Research of a retrial queueing system with exclusion of customers and three-phase phased by follow-up

Cover Page

Abstract

In this paper, we consider a retrial queueing system (RQ-system) which receives to the input a Poisson flow with a given intensity. If at the time of customer the server is busy, the displacement of customer standing on the server takes place. Customers that do not have time to be successfully serviced go into orbit, in order to, after an accidental exponential delay, again turn to the server for maintenance. It is shown that the limiting characteristic function of the number of customers in the orbit and the states of the server converges to a three-dimensional Gaussian distribution. The mean vector and covariance matrix are obtained for this distribution. A stationary probability distribution of the server states is also found.

Full Text

\Section[n]{Введение} В последние годы активно развивается изучение систем массового обслуживания с повторами (RQ-системы). Это связано с их широким применением в различных областях: в системах телефонной коммутации, телекоммуникационных и компьютерных сетях. Ярким примером является телефонная связь. Телефонный абонент, требующий соединения и получивший сигнал <<занято>>, будет повторять попытки до тех пор, пока не получит соединения. Системы с повторами характеризуются тем, что заявки, прибывшие в систему и по каким-то причинам не получившие полного обслуживания, уходят в~зону ожидания, называемую орбитой, и через некоторое случайное время повторяют попытку обслужиться. С~целью изучения литературы по повторным очередям можно обратиться, например, к~работам [1–3]. В [4] изучена система с повторными попытками, при которых прибор может предоставить дополнительную вторую фазу обслуживания. Эта модель обобщает как классическую систему с повторами, так и очередь с классической линией ожидания. K.~Deka [5] изучил ненадежный сервер с двумя фазами обслуживания и повторными попытками. J.C.~Ke и G.~Choudhury [6] рассматривали систему с повторами, двумя фазами обслуживания, поломкой и ремонтом прибора. Также RQ-системы, в которых обслуживание осуществлялось в несколько фаз, изучены в работах [7, 8]. Для того чтобы предложить различное качество обслуживания для различных клиентов, мы часто устанавливаем приоритеты (то есть каким-то образом вытесняем клиентов) в системе массового обслуживания. Это явление распространено на практике. В~работе [9] рассматривается система с~повторной очередью, в~которой приоритетом обладают только первичные заявки, то есть вытеснять в момент прихода они могут только вторичные заявки, которые обращались к~прибору с~орбиты. Были найдены стационарное состояние и основные показатели работоспособности системы. В~[10] также рассматривают приоритетную систему, но приоритетом обладают вторичные заявки; в~системе присутствует выталкивающий механизм для приоритетных заявок. Работы [11–16] также посвящены приоритетным системам. В указанных исследованиях не учитывается тот факт, что после прерывания обслуживания не запоминается момент, с~которого было прервано обслуживание, и оно начинается заново. В~работе [17] показано, что при некоторых даже сколь угодно малых значениях интенсивности входящего потока стационарного режима не существует, в то время как при других параметрах этой же RQ-системы стационарный режим существует всегда при конечных значениях интенсивности входящего потока. В~данной работе рассмотрим систему с повторами, где запоминается фаза, на которой прервали обслуживание, и~дообслуживание начинается именно с нее. \smallskip \Section{Математическая модель и постановка задачи} Рассмотрим систему массового обслуживания с повторами (рис.~\ref{fig1_Naz}). На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью $\lambda.$ Пришедшая заявка начинает обслуживаться на первой фазе обслуживания прибора. Время обслуживания распределено экспоненциально с параметрами $\mu_1 $, $\mu_2$, $\mu_3$ для каждой из фаз соответственно. После успешного окончания обслуживания на первой фазе заявка мгновенно переходит для обслуживания на вторую, после второй --- на третью и затем покидает систему. Если в момент прихода заявка обнаруживает прибор занятым, то она вытесняет заявку, стоящую на обслуживании, и~занимает его. Вытесненная заявка переходит на орбиту, разделенную на три зоны. В~первую зону переходят заявки с~первой фазы обслуживания и~возвращаются на дообслуживание на первую фазу, со второй зоны переходят заявки со второй фазы обслуживания и~возвращаются на дообслуживание на вторую фазу, с~третьей зоны --- на третью. После экспоненциально распределенного времени задержки заявок на орбите с параметрами $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ для соответствующих зон заявки вновь встают на прибор для обслуживания. При обращении из орбиты происходит аналогичное вытеснение по тому же закону, что и для вновь прибывших в систему заявок. \begin{figure}[!t] \centering \begin{tabular}{cp{6cm}} \includegraphics[width=0.3 \linewidth] {model} & \vspace{-3cm} \caption{Система с повторными вызовами, вытеснением заявок и~трехфазным пофазовым дообслуживанием \label{fig1_Naz}} \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{fig1_Naz}. Retrial queueing system with exclusion of customers and three-phase \centerline{phased by follow-up]} \end{tabular} \vspace{-3mm} \end{figure} Обозначим состояния прибора в момент времени $t$ следующим образом: \smallskip $k(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \text{если прибор пуст,} 1, & \text{если прибор занят обслуживанием заявки на первой фазе,} 2, & \text{если прибор занят обслуживанием заявки на второй фазе,} 3, & \text{если прибор занят обслуживанием заявки на третьей фазе.} \end{array} \right.$ \smallskip Пусть $P_k(i_1, i_2, i_3)=P \{ k(t)=k, i_1(t)=i_1, i_2(t)=i_2, i_3(t)=i_3 \}$, $ i_m\geq0$, $m=\overline{1,3}$, $k=\overline{0,3}$ --- стационарное распределение вероятностей чисел заявок на орбите, где $i_1(t)$, $i_2(t)$, $i_3(t)$ --- число заявок на орбите в первой, второй и~третьей зонах соответственно; $R_k=P \{ k(t)=k \}$ --- стационарное распределение вероятностей состояний прибора. Ставится задача исследования системы с повторами, вытеснением заявок и пофазовым трехфазным дообслуживанием, а именно задача нахождения стационарного распределения вероятностей состояний прибора и нахождения асимптотической характеристической функции числа заявок на орбите. \Section{Система уравнений Колмогорова} Для распределения вероятностей $P_k(i_1, i_2, i_3)$, $k=\overline{0,3},$ чисел заявок на орбите составим однородную систему с бесконечным числом линейных алгебраических уравнений Колмогорова: \begin{equation} \label{Naz_eq0} \! \begin{array}{l} -(\lambda+i_1\sigma_1+i_2\sigma_2+i_3\sigma_3)P_0(i_1, i_2, i_3)+\mu_3P_3(i_1, i_2, i_3)=0, [2mm] -(\lambda+\mu_1+i_2\sigma_2+i_3\sigma_3)P_1(i_1, i_2, i_3)+\lambda P_0(i_1, i_2, i_3)+\lambda P_1(i_1-1, i_2, i_3)+ \quad\quad +\lambda P_2(i_1, i_2-1, i_3)+\lambda P_3(i_1, i_2, i_3-1)+(i_1+1)\sigma_1P_0(i_1+1, i_2, i_3)+ \quad \quad +(i_1+1)\sigma_1 P_2(i_1+1, i_2-1, i_3)+(i_1+1)\sigma_1 P_3(i_1+1, i_2, i_3-1)=0, [2mm] -(\lambda+\mu_2+i_1\sigma_1+i_3\sigma_3)P_2(i_1, i_2, i_3)+\mu_1 P_1(i_1, i_2, i_3)+ \quad \quad +(i_2+1)\sigma_2 P_0(i_1, i_2+1, i_3)+(i_2+1)\sigma_2 P_1(i_1-1, i_2+1, i_3)+ \quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad ~ +(i_2+1)\sigma_2 P_3(i_1, i_2+1, i_3-1)=0, [2mm] -(\lambda+\mu_3+i_1\sigma_1+i_2\sigma_2)P_3(i_1, i_2, i_3)+\mu_2 P_2(i_1, i_2, i_3)+ \quad \quad +(i_3+1)\sigma_3 P_0(i_1, i_2, i_3+1)+(i_3+1)\sigma_3 P_1(i_1-1, i_2, i_3+1)+ \quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad ~ +(i_3+1)\sigma_3 P_2(i_1, i_2-1, i_3+1)=0. \end{array} \!\!\!\!\!\!\!\! \end{equation} Домножим правую и левую части системы \eqref{Naz_eq0} на величину ${{e}^{j{{u}_{1}}{{i}_{1}}+j{{u}_{2}}{{i}_{2}}+j{{u}_{3}}{{i}_{3}}}}$ и просуммируем по всем $i_m, m=\overline{1,3},$ где $j=\sqrt{-1}$ – мнимая единица. Введем функции следующего вида: \begin{equation}\label{Naz_eq1} {H}_{k}={{H}_{k} }({{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}})=\sum\limits_{{{i}_{1}}=0}^{\infty }{\sum\limits_{{{i}_{2}}=0}^{\infty }{\sum\limits_{{{i}_{3}}=0}^{\infty }{{e}^{j{{u}_{1}}{{i}_{1}}+j{{u}_{2}}{{i}_{2}}+j{{u}_{3}}{{i}_{3}}}}{{P}_{k}}({{i}_{1}},{{i}_{2}},{{i}_{3}})}},~~~k=\overline{0,3}. \end{equation} Данная функция является частичной характеристической функцией. Учитывая, что \begin{equation*} \displaystyle\frac{\partial H_k}{\partial u_m}=\frac{\partial H_k(u_1, u_2, u_3)}{\partial u_m}=\sum\limits_{{{i}_{1}}=0}^{\infty }{\sum\limits_{{{i}_{2}}=0}^{\infty }{\sum\limits_{{{i}_{3}}=0}^{\infty }j i_m{{e}^{j{{u}_{1}}{{i}_{1}}+j{{u}_{2}}{{i}_{2}}+j{{u}_{3}}{{i}_{3}}}}{{P}_{k}}({{i}_{1}},{{i}_{2}},{{i}_{3}})}}, \end{equation*} $k=\overline{0,3}$, $m=\overline{1,3}$, из системы \eqref{Naz_eq0} следует, что для функций вида \eqref{Naz_eq1} уравнения Колмогорова имеют вид \begin{equation} \label{Naz_eq2} \hspace{-2cm} \begin{array}{l} \displaystyle j\sigma_1\frac{\partial H_0}{\partial u_1}+j\sigma_2\frac{\partial H_0}{\partial u_2}+j\sigma_3\frac{\partial H_0}{\partial u_3}+\mu_3 H_3-\lambda H_0=0, [3mm] \displaystyle -\lambda H_1-\mu_1 H_1+\lambda H_0 +\lambda e^{ju_1} H_1+ \lambda e^{ju_2} H_2+\lambda e^{ju_3} H_3 +j\sigma_3\frac{\partial H_1}{\partial u_3}- [1mm] \displaystyle \quad\quad -j\sigma_1 e^{-ju_1}\frac{\partial H_0}{\partial u_1}+j\sigma_2\frac{\partial H_1}{\partial u_2} -j\sigma_1 e^{-ju_1+ju_2}\frac{\partial H_2}{\partial u_1}-j\sigma_1 e^{-ju_1+ju_3}\frac{\partial H_3}{\partial u_1}=0, [4mm] \displaystyle -\lambda H_2-\mu_2 H_2+\mu_1 H_1 +j\sigma_1\frac{\partial H_2}{\partial u_1}-j\sigma_2 e^{-ju_2}\frac{\partial H_0}{\partial u_2}+j\sigma_3\frac{\partial H_2}{\partial u_3}- [1mm] \displaystyle \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad -j\sigma_2 e^{-ju_2+ju_1}\frac{\partial H_1}{\partial u_2}-j\sigma_2 e^{-ju_2+ju_3}\frac{\partial H_3}{\partial u_2}=0, [4mm] \displaystyle -\lambda H_3-\mu_3 H_3+\mu_2 H_2 +j\sigma_1\frac{\partial H_3}{\partial u_1}-j\sigma_3 e^{-ju_3}\frac{\partial H_0}{\partial u_3}+j\sigma_2\frac{\partial H_3}{\partial u_2}- [1mm] \displaystyle \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad -j\sigma_3 e^{-ju_3+ju_1}\frac{\partial H_1}{\partial u_3}-j\sigma_3 e^{-ju_3+ju_2}\frac{\partial H_2}{\partial u_3}=0. \end{array} \hspace{-2cm} \end{equation} Так как прямое решение системы \eqref{Naz_eq2} не представляется возможным, воспользуемся методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки заявок на орбите, полагая, что $\sigma_m=\sigma \gamma_m$, $m=1,2,3,$ $\sigma \to0$. \bigskip \Section{Асимптотический анализ} Асимптотический анализ проводится в два этапа. На первом этапе находятся стационарное распределение вероятностей состояний прибора и асимптотические средние значения числа заявок в~зонах на орбите. На втором этапе находится вид предельной характеристической функции, а также параметры полученного распределения вероятностей числа заявок на орбите. \smallskip {{\sl 3.1.} \it Асимптотика первого порядка}\/. Введем следующие обозначения: $x_1$, $x_2$, $x_3$ --- асимптотические средние значения числа заявок на орбите в первой, второй, третьей зонах орбиты соответственно. \smallskip % Сформулируем утверждения: \begin{theorem}[1] \label{Naz_th1} Пусть $i_1(t),$ $i_2(t),$ $i_3(t)$ --- число заявок в зонах орбиты системы массового обслуживания с повторами$,$ вытеснением заявок и трехфазным пофазовым дообслуживанием$.$ Тогда выполняется предельное равенство \begin{equation*} \lim_{\sigma \to 0} M[ \exp \{ ju_1\sigma i_1(t)+j u_2\sigma i_2 (t)+j u_3 \sigma i_3(t)\}]= \exp \{ j u_1 x_1+ju_2x_2+ju_3 x_3 \} , \end{equation*} где $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ имеют вид \begin{equation}\label{Naz_eq4} x_1=\frac{\lambda R_1}{\gamma_1 R_0}, \quad x_2=\frac{\lambda R_2}{\gamma_2 R_0}, \quad x_3=\frac{\lambda R_3}{\gamma_3 R_0}, \end{equation} а $R_k,$ $k=\overline{0,3},$ определяются равенствами \begin{equation} \label{Naz_eq3} R_1=\frac{\lambda}{\mu_1}, \quad R_2=\frac{\lambda}{\mu_2}, \quad R_3=\frac{\lambda}{\mu_3}, \quad R_0=1-\frac{\lambda}{\mu_1}-\frac{\lambda}{\mu_2}-\frac{\lambda}{\mu_3}. \end{equation} \end{theorem} \smallskip \begin{proof} В системе уравнений \eqref{Naz_eq2} выполним замены \begin{gather*} \sigma_m=\sigma \gamma_m,\quad m=1,2,3, \quad \sigma=\epsilon, \quad u_m=\epsilon w_m; H_k=H_k(u_1, u_2, u_3)=F_k(w_1, w_2, w_3, \epsilon)=F_k(\epsilon),\quad k=\overline{0,3}. \end{gather*} Тогда получаем следующую систему: \begin{equation} \label{Naz_eq5} \begin{array}{l} \displaystyle j\gamma_1\frac{\partial F_0(\epsilon)}{\partial w_1}+j\gamma_2\frac{\partial F_0(\epsilon)}{\partial w_2} +j\gamma_3\frac{\partial F_0(\epsilon)}{\partial w_3}+\mu_3 F_3(\epsilon)-\lambda F_0(\epsilon)=0, [4mm] \displaystyle \lambda F_0(\epsilon)+(\lambda {e}^{j\epsilon w_1}-\lambda-\mu_1)F_1(\epsilon)+\lambda {e}^{j\epsilon w_2}F_2(\epsilon)+\lambda {e}^{j\epsilon w_3}F_3(\epsilon)- [1mm] \displaystyle \quad \quad \quad -j\gamma_1 {e}^{-j\epsilon w_1}\frac{\partial F_0(\epsilon)}{\partial w_1}+j\gamma_2 \frac{\partial F_1(\epsilon)}{\partial w_2}+j\gamma_3 \frac{\partial F_1(\epsilon)}{\partial w_3}- [1mm] \displaystyle \quad \quad \quad -j\gamma_1 {e}^{j\epsilon (w_2-w_1)}\frac{\partial F_2(\epsilon)}{\partial w_1}-j\gamma_1 {e}^{j\epsilon(w_3-w_1)}\frac{\partial F_3(\epsilon)}{\partial w_1}=0, [4mm] \displaystyle \mu_1 F_1(\epsilon)-(\lambda+\mu_2)F_2(\epsilon)-j\gamma_2 {e}^{-j\epsilon w_2}\frac{\partial F_0(\epsilon)}{\partial w_2}-j\gamma_2 {e}^{j\epsilon (w_1-w_2)}\frac{\partial F_1(\epsilon)}{\partial w_2}+ [1mm] \displaystyle \quad \quad \quad +j\gamma_1 \frac{\partial F_2(\epsilon)}{\partial w_1}+j\gamma_3 \frac{\partial F_2(\epsilon)}{\partial w_3}-j\gamma_2 {e}^{j\epsilon (w_3-w_2)}\frac{\partial F_3(\epsilon)}{\partial w_2}=0, [4mm] \displaystyle \mu_2 F_2(\epsilon)-(\lambda+\mu_3)F_3(\epsilon)-j\gamma_3 {e}^{-j\epsilon w_3}\frac{\partial F_0(\epsilon)}{\partial w_3}-j\gamma_3 {e}^{j\epsilon (w_1-w_3)}\frac{\partial F_1(\epsilon)}{\partial w_3}+ [1mm] \displaystyle \quad \quad \quad +j\gamma_1 \frac{\partial F_3(\epsilon)}{\partial w_1}+j\gamma_2 \frac{\partial F_3(\epsilon)}{\partial w_2}-j\gamma_3 {e}^{j\epsilon (w_2-w_3)}\frac{\partial F_2(\epsilon)}{\partial w_3}=0. \end{array} \end{equation} В системе \eqref{Naz_eq5} выполним предельный переход при $\epsilon \to 0$ и обозначим \begin{equation} \label{Naz_eq55} \lim_{\epsilon \to 0} F_k(\epsilon)=F_k(w_1, w_2, w_3)=F_k. \end{equation} Функции $F_k$ будем искать в виде $F_k=R_k \Phi(w_1,w_2,w_3)=R_k \Phi.$ После всех замен и предельного перехода из системы \eqref{Naz_eq5} получаем \begin{equation*} \begin{array}{r} \displaystyle (-\lambda R_0+\mu_3 R_3)\Phi+jR_0 \Bigl(\gamma_1 \frac{\partial \Phi}{\partial w_1}+\gamma_2 \frac{\partial \Phi}{\partial w_2}+\gamma_3 \frac{\partial \Phi}{\partial w_3}\Bigr)=0, [3mm] \displaystyle \bigl(\lambda (1-R_1)-\mu_1 R_1\bigr)\Phi-j\gamma_1(1-R_1)\frac{\partial \Phi}{\partial w_1}+j\gamma_2 R_1 \frac{\partial \Phi}{\partial w_2}+j\gamma_3 R_1 \frac{\partial \Phi}{\partial w_3}=0, [3mm] \displaystyle \bigl((-\lambda+\mu_2)R_2+\mu_1 R_1\bigr)\Phi-j\gamma_2(1-R_2)\frac{\partial \Phi}{\partial w_2}+j\gamma_1 R_2 \frac{\partial \Phi}{\partial w_1}+j\gamma_3 R_2 \frac{\partial \Phi}{\partial w_3}=0, [3mm] \displaystyle \bigl((-\lambda+\mu_3)R_3+\mu_2 R_2\bigr)\Phi-j\gamma_3(1-R_3)\frac{\partial \Phi}{\partial w_3}+j\gamma_1 R_3 \frac{\partial \Phi}{\partial w_1}+j\gamma_2 R_3 \frac{\partial \Phi}{\partial w_2}=0. \end{array} \end{equation*} Левые и правые части уравнений полученной системы разделим на $\Phi$ и эту функцию будем искать в виде \begin{equation} \label{Naz_eq6} \Phi=\exp({jw_1 x_1+jw_2 x_2+jw_3 x_3}). \end{equation} Тогда получаем систему уравнений \begin{equation} \label{Naz_eq6} \begin{array}{r} -(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)R_0+\mu_3 R_3=0, (\lambda+\gamma_1 x_1)R_0-(\mu_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)R_1+(\lambda+\gamma_1 x_1 )(R_2+R_3)=0, \gamma_2 x_2 R_0+(\mu_1+\gamma_2 x_2)R_1-(\lambda+\mu_2+\gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3)R_2+\gamma_2 x_2 R_3=0, \gamma_3 x_3 R_0+\gamma_3 x_3 R_1+(\mu_2+\gamma_3 x_3)R_2-(\lambda+\mu_3+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2)R_3=0.\end{array} \end{equation} Просуммируем уравнения системы \eqref{Naz_eq5}, выполним предельный переход при $\epsilon \to 0$ и, учитывая \eqref{Naz_eq55}, \eqref{Naz_eq6}, получим \begin{multline*} \bigl(-\gamma_1 x_1 R_0+(\lambda+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)R_1-\gamma_1 x_1(R_2+R_3)\bigr)w_1+ +\bigl(-\gamma_2 x_2 R_0+(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3)R_2-\gamma_2 x_2(R_1+R_3)\bigr)w_2+ +\bigl(-\gamma_3 x_3 R_0+(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2)R_3-\gamma_3 x_3(R_1+R_2)\bigr)w_3=0. \end{multline*} Приравнивая коэффициенты при $w_m, m=\overline{1,3}$, к нулю, получим систему \begin{equation*} \begin{array}{r} -\gamma_1 x_1 R_0+(\lambda+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)R_1-\gamma_1 x_1(R_2+R_3)=0, -\gamma_2 x_2 R_0+(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3)R_2-\gamma_2 x_2(R_1+R_3)=0, -\gamma_3 x_3 R_0+(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2)R_3-\gamma_3 x_3(R_1+R_2)=0, \end{array} \end{equation*} объединяя которую с системой \eqref{Naz_eq6} и используя условие нормировки ${\sum\limits_{k=0}^{3}\!\! R_k=1}$, получаем формулы \eqref{Naz_eq4} и \eqref{Naz_eq3}. \end{proof} \smallskip Таким образом, при малых значениях $\sigma$ среднее число заявок на орбите приближенно равно $({x_1+x_2+x_3})/{\sigma}$. \smallskip {{\sl 3.2.} \it Асимптотика второго порядка}\/. Построим гауссовскую аппроксимацию числа заявок на орбите. Пусть \begin{equation*} \mathbf{K}=\left [ \begin{array}{ccc} K_{11} & K_{12} & K_{13} K_{21} & K_{22} & K_{23} K_{31} & K_{32} & K_{33} \end{array}\right ] \end{equation*} --- матрица ковариаций. С учетом того, что $K_{12}=K_{21}$, $K_{13}=K_{31}$, $K_{23}=K_{32}$, запишем вектор $\mathbf{k}$: \begin{equation*} \mathbf{k}=\left [ \begin{array}{cccccc} K_{11} & K_{12} & K_{13} & K_{22} & K_{23} & K_{33} \end{array}\right ]. \end{equation*} \smallskip \begin{theorem}[2] Пусть $i_1(t),$ $i_2(t),$ $i_3(t)$ --- число заявок в~зонах орбиты системы массового обслуживания с~повторами$,$ вытеснением заявок и трехфазным пофазовым дообслуживанием$.$ Тогда выполняется предельное равенство \begin{equation*} \displaystyle\lim_{\sigma \to 0} M \biggl[ \exp \biggl\{ \sum \limits_{\nu=1}^3 j{u}_{\nu}\sqrt{\sigma} \Bigl\{ i_{\nu}(t)-\frac{x_{\nu}}{\sigma} \Bigr \} \biggr\} \biggr] =\exp \biggl\{ \frac{1}{2}\sum \limits_{\nu=1}^3 \sum \limits_{\kappa=1}^3 ju_{\kappa}ju_{\nu}K_{\kappa\nu} \biggr\} , \end{equation*} где $x_{\nu},$ $\nu=\overline{1,3},$ имеют вид \eqref{Naz_eq4}$,$ а элементы матрицы ковариаций $K_{\kappa\nu},$ $\nu\hm =\overline{1,3},$ $\kappa=\overline{1,3},$ находятся из матричного уравнения \begin{equation*} \mathbf{k}\mathbf{A}=\mathbf{C}, \end{equation*} в котором элементы матрицы $A_{\kappa\nu},$ $\nu=\overline{1,6},$ $\kappa=\overline{1,6},$ имеют вид \begin{equation} \begin{array}{l} A_{11}=-\gamma_1 (R_0 z_0+R_2 z_2+R_3 z_3)+\gamma_1 (1-R_1)(1+z_1), A_{21}=\gamma_2 R_1+\gamma_2 z_2(1-R_2)-\gamma_2(R_0z_0+R_1z_1+R_3z_3), A_{31}=\gamma_3 z_3(1-R_3)-\gamma_3(R_0z_0+R_1z_1+R_2z_2)-\gamma_3R_1, A_{22}=\gamma_1 R_2+\gamma_1 a_1(1-R_1)-\gamma_1(R_0a_0+R_2a_2+R_3a_3), A_{42}=-\gamma_2 (R_0 a_0+R_1 a_1+R_3 a_3)+\gamma_2 (1-R_2)(1+a_2), A_{52}=\gamma_3 a_3(1-R_3)-\gamma_3(R_0a_0+R_1a_1+R_2a_2)-\gamma_3R_2, A_{33}=\gamma_1 s_1(1-R_1)-\gamma_1(R_0s_0+R_2s_2+R_3s_3)-\gamma_1R_3, A_{53}=\gamma_2 R_3+\gamma_2 s_2(1-R_2)-\gamma_2(R_0s_0+R_1s_1+R_3s_3), A_{63}=-\gamma_3 (R_0 s_0+R_1s_1+R_2s_2)+\gamma_3 (1-R_3)(1+s_3), A_{14}=\gamma_1 a_1(1-R_1)-\gamma_1(R_0a_0+R_2a_2+R_3a_3)-\gamma_1R_2, A_{24}=-\gamma_1 (R_0 z_0+R_2 z_2+R_3 z_3)+\gamma_1 (1-R_1)(1+z_1)- \quad \quad~~~ \! -\gamma_2 (R_0 a_0+R_1 a_1+R_3 a_3)+\gamma_2 (1-R_2)(1+a_2), A_{34}=\gamma_3 a_3(1-R_3)-\gamma_3(R_0a_0+R_1a_1+R_2a_2)-\gamma_3R_2, A_{44}=\gamma_2 z_2(1-R_2)-\gamma_2(R_0z_0+R_1z_1+R_3z_3)-\gamma_2R_1, A_{54}=\gamma_3 z_3(1-R_3)-\gamma_3(R_0z_0+R_1z_1+R_2z_2)-\gamma_3R_1, A_{15}=\gamma_1 s_1(1-R_1)-\gamma_1(R_0s_0+R_2s_2+R_3s_3)-\gamma_1R_3, A_{25}=\gamma_2 s_2(1-R_2)-\gamma_2(R_0s_0+R_1s_1+R_3s_3)-\gamma_2R_3, A_{35}=-\gamma_1 (R_0 z_0+R_2 z_2+R_3 z_3)+\gamma_1 (1-R_1)(1+z_1)- \quad \quad~~~ \! -\gamma_3 (R_0 s_0+R_1 s_1+R_2s_2)+\gamma_3 (1-R_3)(1+s_3), A_{55}=\gamma_2 z_2(1-R_2)-\gamma_2(R_0z_0+R_1z_1+R_3z_3)-\gamma_2R_1, A_{65}=\gamma_3 z_3(1-R_3)-\gamma_3(R_0z_0+R_1z_1+R_2z_2)-\gamma_3R_1, A_{26}=\gamma_1 s_1(1-R_1)-\gamma_1(R_0s_0+R_2s_2+R_3s_3)-\gamma_1R_3, A_{36}=\gamma_1 a_1(1-R_1)-\gamma_1(R_0a_0+R_2a_2+R_3a_3)-\gamma_1R_2, A_{46}=\gamma_2 s_2(1-R_2)-\gamma_2(R_0s_0+R_1s_1+R_3s_3)-\gamma_2R_3, A_{56}=-\gamma_2 (R_0 a_0+R_1a_1+R_3 a_3)+\gamma_2 (1-R_2)(1+a_2)- \quad \quad~~~ \! - \gamma_3 (R_0 s_0+R_1 s_1+R_2s_2)+\gamma_3 (1-R_3)(1+s_3), A_{66}=\gamma_3 a_3(1-R_3)-\gamma_3(R_0a_0+R_1a_1+R_2a_2)-\gamma_3R_2, [2mm] A_{13}=0, \quad A_{12}=0, \quad A_{23}=0,\quad A_{43}=0, \quad A_{41}=0,\quad A_{51}=0, A_{61}=0,\quad A_{32}=0,\quad A_{62}=0,\quad A_{64}=0,\quad A_{45}=0,\quad A_{16}=0, \end{array} \end{equation} а элементы вектора $\mathbf{C}$ имеют следующий вид: \begin{equation} \begin{array}{l} C_1=\displaystyle \frac{\gamma_1 x_1}{2} ( 1-R_1)+(\lambda+ \gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)\frac{R_1}{2}- [1mm] \qquad \qquad ~~~\! - \lambda R_1 z_1+\gamma_1 x_1z_1(1-R_1)-\gamma_2 x_2z_2 R_1-\gamma_3 x_3z_3 R_1, [2mm] C_2=\displaystyle \frac{\gamma_2 x_2}{2} ( 1-R_2)+(\lambda+ \gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3)\frac{R_2}{2}- [1mm] \qquad \qquad ~~~\!\! - \lambda R_2a_1+\gamma_2 x_2a_2(1-R_2)-\gamma_1 x_1a_1 R_2-\gamma_3 x_3a_3 R_2, [2mm] C_3=\displaystyle \frac{\gamma_3 x_3}{2} ( 1-R_3)+(\lambda+ \gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2)\frac{R_3}{2}- [1mm] \qquad \qquad ~~~\! - \lambda R_3s_1+\gamma_3 x_3s_3(1-R_3)-\gamma_1 x_1s_1 R_3-\gamma_2 x_2s_2 R_3, [2mm] C_4=-\gamma_1 x_1R_2-\gamma_2 x_2 R_1-\lambda R_1a_1+\gamma_1 x_1a_1(1-R_1)-\gamma_2 x_2R_1a_2- [1mm] \quad \quad ~ ~ \! - \gamma_3 x_3R_1a_3 -\lambda R_2z_1-\gamma_1 x_1R_2z_1+\gamma_2 x_2z_2(1-R_2)-\gamma_3 x_3R_2z_3, \end{array} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{l} C_5=-\gamma_1 x_1R_3-\gamma_3 x_3 R_1-\lambda R_1s_1+\gamma_1 x_1s_1(1-R_1)-\gamma_2 x_2R_1s_2- [1mm] \quad \quad ~ ~ \! -\gamma_3 x_3R_1s_3- \lambda R_3z_1-\gamma_1 x_1R_3z_1+\gamma_3 x_3z_3(1-R_3)-\gamma_2 x_2R_3z_2, [2mm] C_6=-\gamma_2 x_2R_3-\gamma_3 x_3 R_2-\lambda R_2s_1+\gamma_2 x_2s_2(1-R_2)-\gamma_1 x_1R_2s_1- [1mm] \quad \quad ~ ~ \! - \gamma_3 x_3R_2s_3- \lambda R_3a_1-\gamma_1 x_1R_3a_1+\gamma_3 x_3a_3(1-R_3)-\gamma_2 x_2R_3a_2. \end{array} \end{equation} Величины $z_k,$ $a_k,$ $s_k,$ $k=\overline{0,3},$ находятся из следующих систем уравнений{\rm\/:} \begin{itemize} \item[--] система для нахождения значений $z_k{:}$ \begin{equation} \hspace{-.5cm} \begin{array}{l} -(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)z_0+(\lambda+\gamma_1 x_1)z_1+\gamma_2 x_2z_2+\gamma_3 x_3z_3=-\gamma_1 x_1, -(\mu_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)z_1+(\mu_1+\gamma_2 x_2)z_2+\gamma_3 x_3z_3=\lambda+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3, (\lambda+\gamma_1 x_1)z_1-(\lambda+\mu_2+\gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3)z_2+(\mu_2+\gamma_3 x_3)z_3=-\gamma_1 x_1, \mu_3z_0+(\lambda+\gamma_1 x_1)z_1+\gamma_2 x_2z_2-(\lambda+\mu_3+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2)z_3=-\gamma_1 x_1; \end{array} \end{equation} \item[--] система для нахождения значений $a_k{:}$ \begin{equation} \hspace{-.5cm} \begin{array}{l} -(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)a_0+(\lambda+\gamma_1 x_1)a_1+\gamma_2 x_2a_2+\gamma_3 x_3a_3=-\gamma_2 x_2, -(\mu_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)a_1+(\mu_1+\gamma_2 x_2)a_2+\gamma_3 x_3a_3=-\gamma_2 x_2, (\lambda+\gamma_1 x_1)a_1-(\lambda+\mu_2+\gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3)a_2+(\mu_2+\gamma_3 x_3)a_3=\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3, \mu_3a_0+(\lambda+\gamma_1 x_1)a_1+\gamma_2 x_2a_2-(\lambda+\mu_3+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2)a_3=-\gamma_2 x_2; \end{array} \end{equation} \item[--] система для нахождения значений $s_k{:}$ \begin{equation} \hspace{-.5cm} \begin{array}{l} -(\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)s_0+(\lambda+\gamma_1 x_1)s_1+\gamma_2 x_2s_2+\gamma_3 x_3s_3=-\gamma_3 x_3, -(\mu_1+\gamma_2 x_2+\gamma_3 x_3)s_1+(\mu_1+\gamma_2 x_2)s_2+\gamma_3 x_3s_3=-\gamma_3 x_3, (\lambda+\gamma_1 x_1)s_1-(\lambda+\mu_2+\gamma_1 x_1+\gamma_3 x_3)s_2+(\mu_2+\gamma_3 x_3)s_3=-\gamma_3 x_3, \mu_3s_0+(\lambda+\gamma_1 x_1)s_1+\gamma_2 x_2s_2-(\lambda+\mu_3+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2)s_3=\lambda+\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2. \end{array} \end{equation} \end{itemize} \end{theorem} \smallskip {\it Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о\/} этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 11 из~[18]. \smallskip Таким образом, асимптотическая характеристическая функция числа заявок на орбите в исследуемой RQ-системе является гауссовской: \begin{equation*} \displaystyle h(u_1, u_2, u_3)=\exp \biggl\{ \sum \limits_{\nu=1}^3 ju_{\nu}x_{\nu} -\frac{1}{2}\sum \limits_{\nu=1}^3 \sum \limits_{\kappa=1}^3 u_{\kappa}u_{\nu}K_{\kappa\nu} \biggr\}. \end{equation*} \smallskip \Section{Численная реализация} Используя формулы, полученные выше для нахождения параметров гауссовского распределения, построим аппроксимацию распределения вероятности суммарного числа заявок на орбите. Пусть $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3$. Из полученных параметров для трехмерного распределения вероятностей числа заявок на орбите перейдем к одномерному нормальному распределению с параметрами \begin{equation*} a=\frac{x_1+x_2+x_3}{\sigma}, \quad d=\frac{K_{11}+K_{22}+K_{33}+2K_{12}+2K_{13}+2K_{23}}{\sigma}. \end{equation*} Положим значения параметров системы следующими: \begin{equation*} \gamma_1=\gamma_2=\gamma_3=2, \quad \sigma=0.01, \quad \mu_1=2, \quad \mu_2=3, \quad \mu_3=4, \quad \lambda=0.5. \end{equation*} Отсюда \begin{gather*} R_0=0.458, \quad R_1=0.25, \quad R_2=0.167, \quad R_3=0.125; x_1=0.136, \quad x_2=0.091, \quad x_3=0.068; K_{11}=0.167, \quad K_{12}=0.035, \quad K_{13}=0.027, K_{22}=0.1, \quad K_{23}=0.017, \quad K_{33}=0.077. \end{gather*} Тогда $a=29.5$ --- математическое ожидание, $d=50.2$ --- дисперсия. На рис.~\ref{fig2_Naz} представлена аппроксимация распределения вероятностей $P(i)$ числа заявок на орбите, полученная из гауссовского распределения с параметрами $a$, $\sqrt{d}$. \begin{figure}[!h] \centering \begin{tabular}{cp{6cm}} \includegraphics[width=0.35 \linewidth] {Naz_appr} & \vspace{-3cm} \caption{Гауссовская аппроксимация распределения вероятностей $P(i)$ числа заявок на орбите \label{fig2_Naz}} \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{fig2_Naz}. Gaussian approximation of the probability distribution $P(i)$ of the number \centerline{of customers in the orbit]} \end{tabular} \vspace{-3mm} \end{figure} \Section[N]{Заключение} В работе исследована RQ-система с вытеснением заявок и~трехфазным пофазовым дообслуживанием. Для нее получено стационарное распределение вероятностей состояний прибора. Показано, что характеристическую функцию числа заявок на орбите можно аппроксимировать нормальным распределением. Найдены параметры этого распределения. Вызывает интерес задача более общего плана, то есть система с повторами и дообслуживанием с произвольным распределением времени обслуживания.
×

About the authors

Anatolii Andreevich Nazarov

Tomsk State University

Email: anazarov@fpmk.tsu.ru
Doctor of technical sciences, Professor

Yana Evgenevna Izmailova

Tomsk State University

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Yang T., Templeton J.G.C., "A survey on retrial queue", Queueing Syst., 1987, 201–233
  2. Falin G. I., "A survey of retrial queues", Queueing Syst., 7 (1990), 127-168
  3. Falin G. I., Templeton J.G.C., Retrial Queues, Chapman and Hall, London, 1997, 338 pp.
  4. Artalejo J. R., Choudhury G., "Steady state snalysis of an M/G/1 queue with repeated attempts and two-phase service", Quality Technology and Quantitative Management, 1:2 (2004), 189-199
  5. Choudhury G., Deka K., "An M/G/1 retrial queueing system with two phases of service subject to the server breakdown and repair", Performance Evaluation, 65:10 (2008), 714-724
  6. Ke J. C., Choudhury G., "A batch arrival retrial queue with general retrial times under Bernoulli vacation schedule for unreliable server and delaying repair", Appl. Math. Model., 36:1 (2012), 255-269
  7. Kumar K., Vijayakumar A., Arivudainambi D., "An M/G/1 retrial queueing system with two-phase service and preemptive resume", Ann. Oper. Res., 113 (2002), 61-79
  8. Kuki A., Wang J., Wang F., Sztrik J., "Finite source retrial queues with two phase service", Int. J. Oper. Res., 30:4 (2017), 421-440
  9. Zhou Z., "Analysis of M1, M2/M1, M2/N retrial queue system with non-preemptive priority", 2018 IEEE 9th International Conference on Software Engineering and Service Science (ICSESS), Beijing, China, 2018, 301-304
  10. Korenevskaya M., Zayats O., Ilyashenko A., Muliukha V., "Retrial queuing system with randomized push-out mechanism and non-preemptive priority", Procedia Computer Science, 150 (2019), 716-725
  11. Senthil Kumar M., Chakravarthy S. R., Arumuganathan R., "Preemptive resume priority retrial queue with two classes of MAP arrivals", Appl. Math. Sci., 7 (2013), 2569-2589
  12. Lan S., Tang Y., "Performance analysis of a discrete-time Geo/G/1 retrial queue with non-preemptive priority, working vacations and vacation interruption", J. Ind. Manag. Optim., 15:3 (2019), 1421-1446
  13. Devos A., Walraevens J., Bruneel H., "A priority retrial queue with constant retrial policy", Y. Takahashi, T. Phung-Duc, S. Wittevrongel, W. Yue (eds.), Queueing Theory and Network Applications. QTNA 2018, Lecture Notes in Computer Science, 10932, Springer, Cham, 2018, 3-21
  14. Gao S., "A preemptive priority retrial queue with two classes of customers and general retrial times", Oper. Res. Int. J., 15 (2015), 233-251
  15. Назаров А. А., Измайлова Я. Е., "Исследование RQ-системы M|E2|1 с вытеснением заявок и сохранением фазовой реализации обслуживания", Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика, 2018, № 42, 72-78
  16. Назаров А. А., Измайлова Я. Е., "Исследование RQ-системы ||1 с -настойчивым вытеснением альтернативных заявок", Вестник СибГАУ, 17:2 (2016), 328-334
  17. Назаров A. A., Черникова Я. Е., "Исследование RQ-системы M|GI|1 с вытеснением в условии большой задержки", Известия Томского политехнического университета, 323:5 (2013), 16-20
  18. Измайлова Я. Е., Исследование математических моделей RQ-систем с вытеснением заявок, Дис. … канд. физ.-мат. наук, Томск, 2017, 148 с.

Statistics

Views

Abstract: 98

PDF (Russian): 33

Dimensions

Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies