Optimization of the error in exponential-trigonometric interpolation formula

Full Text

1. Введение

В различных областях науки, техники, технологий и компьютерного геометрического проектирования подгонка данных играет важную роль. Интерполяция и аппроксимация являются двумя наиболее распространенными методами подгонки. При интерполяции точки данных используются для построения интерполирующей кривой, проходящей через них. В отличие от этого аппроксимация строит кривую, которая не обязательно проходит через точки данных, но минимизирует отклонение от них. Если форма базовой функции данных сложная, оценить ее с помощью одного полинома затруднительно. В таких случаях предпочтительнее использовать кусочные функции, известные как сплайны. Благодаря простоте построения и способности аппроксимировать сложные формы сплайны являются одними из наиболее полезных инструментов для интерполяции и аппроксимации.

Сплайны играют ключевую роль в прикладной математике благодаря своей гибкости, позволяющей эффективно приближать даже негладкие функции, заданные как явно, так и неявно, например, через дифференциальные уравнения [1–5]. Для численного решения дифференциальных уравнений широко применяются разностные схемы [6]. Узлы и коэффициенты оптимальных интерполяционных формул имеют важное значение для построения оптимальных разностных формул в гильбертовых пространствах. Кроме того, для наилучшего приближения решений дифференциальных уравнений дробного порядка используются оптимальные интерполяционные формулы и их оценки. Решения таких уравнений ищутся в гильбертовых пространствах и находятся преимущественно численными методами, включая различные типы аппроксимации и интерполяции. Интерполяционные формулы для аппроксимации функций могут быть построены как классическими, так и вариационными методами (см. [7]).

1.1. Классические интерполяционные формулы

Общая задача интерполяции заключается в нахождении функции \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), которая для заданных \( n + 1 \) точек данных \((x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)\), где \( x_0 < x_1 < \dots < x_n \), удовлетворяет условию интерполяции:
\[ \begin{equation*}
f(x_i) = y_i, \quad i = 0, 1, \dots, n.
\end{equation*} \]
Выбор подходящей функции \( f \) зависит от свойств данных, таких как их гладкость или периодичность, а также от вычислительных аспектов, включая затраты на определение коэффициентов и численную устойчивость получаемой системы уравнений. Наиболее часто используемыми функциями для интерполяции являются полиномы, тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические и рациональные функции.

1.2. Вариационные методы для построения интерполяционных формул

В последние годы были разработаны новые методы аппроксимации, включая сплайны, которые доказали свою эффективность как в теоретических исследованиях, так и в практических приложениях. Теория сплайнов, основанная на вариационных методах, активно изучается и развивается [8–11]. Сплайны были впервые предложены И. Шенбергом в 1946 году для сглаживания табличных данных [12]. Ниже приведено определение полиномиальных сплайнов.

1.2.1. Полиномиальные сплайны

Обозначим через \( L_2^{(m)} = L_2^{(m)}[a, b] \) гильбертово пространство классов вещественных функций, интегрируемых с квадратом на \([a, b]\) и имеющих производные порядка \( m \), \(m \geqslant 1 \). Функции в этом пространстве отличаются полиномом степени \( (m-1) \), а норма функций определяется формулой [13]:
\[ \begin{equation*}
\|f\|_{L_2 ^{(m)}} = \biggl( \int _{a}^{b} \bigl( f^{(m)}(x) \bigr)^2 dx \biggr)^{ 1/2}.
\end{equation*} \]

Обозначим через \( S \) пространство вещественных функций \( s \), определенных на интервале \([a, b]\) и удовлетворяющих следующим условиям:

1. \( s \) — полином степени \( 2m-1 \) на каждом интервале \( (x_i, x_{i+1}) \), \( i = \overline{1, N-1} \);
2. \( s \) — полином степени \( m-1 \) на \( [a, x_1) \) и \( (x_N, b] \);
3. \( s^{(2m-2)} \) — непрерывная функция.

Такие сплайны имеют следующий общий вид (см., например, [14–16]):
\[ \begin{equation*}
s(x) = \sum_{i=1}^{N} d_i \frac{(x - x_i)_{+}^{2m-1}}{(2m-1)!} + \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j x^j,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
x_{+}^\alpha =
\begin{cases}
x^\alpha, & x \geqslant 0, \\
0, & x < 0,
\end{cases}
\end{equation*} \]
а коэффициенты \( d_i \) удовлетворяют условиям \( \sum _{i=1}^{N} d_i x_i^k = 0 \), \( k = 0, 1, \dots, {m-1} \). Учитывая условия интерполяции, интерполяционный сплайн \( s(x) \) определяется следующей системой уравнений:
\[ \begin{equation}
s(x_{i'}) = \sum _{i=1}^{N} d_i \frac{(x_{i'} - x_i)_{+}^{2m-1}}{(2m-1)!} +
\sum _{j=0}^{m-1} \alpha_j x_{i'}^j = y_{i'}, \quad i' = 1, \dots, N,
\end{equation} \tag{1} \]
\[ \begin{equation}
\sum _{i=1}^{N} d_i x_i^k = 0, \quad k = 0, 1, \dots, m-1.
\end{equation} \tag{2} \]

В случае \( m = 1 \) решением этой системы является сплайн первой степени (прямая линия), а в случае \( m = 2 \) — кубический сплайн.

1.2.2. Задача минимальной нормы

Пусть даны \( N \) фиксированные различные точки отрезка \([a, b]\): \( a < x_1 < x_2 < \dots < x_N < b \), где \( N \geqslant m \), и \( N \) вещественных чисел \( y_i \), \( i = 1, \dots, N \). Требуется среди всех функций \( f \in L_2 ^{(m)} \), удовлетворяющих условиям интерполяции \( f(x_i) = y_i \), \( i = 1, 2, \dots, N \), найти функцию, для которой функционал
\[ \begin{equation*}
\ell_m(f) = \int_{a}^{b} \bigl( f^{(m)}(x) \bigr)^2 dx
\end{equation*} \]
принимает наименьшее значение. Эта задача заключается в аппроксимации данных полиномиальным сплайном степени \( 2m-1 \) в пространстве \( L_2 ^{(m)} \) для получения более гладкой кривой, проходящей через заданные точки.

Холладей в работе [17] решил эту задачу для \( m = 2 \) в 1957 году, доказав, что кубический сплайн Шенберга (см. [18]) является решением. Позже Де Бур в своей работе [19] обобщил этот результат для произвольного \( m \), показав, что решение представляет собой полиномиальный сплайн степени \( 2m-1 \) в \( L_2 ^{(m)} \).

В работе [20] явное решение задачи минимальной нормы в пространстве \( L_2^{(m)} \) было найдено с помощью дискретного аналога дифференциального оператора \( 2m \)-го порядка. Решения системы (1), (2) позволяют строить натуральные сплайны степени \( 2m-1 \) для любого натурального числа \( m \).

В статьях [21–26] рассматривается задача минимальной нормы в различных гильбертовых пространствах.

Недавно в [27] авторы построили новую оптимальную интерполяционную формулу, используя дискретный аналог оператора \( \frac{d^{6}}{dx^{6}} - 1 \) в гильбертовом пространстве \( W_2^{(3,0)}(0, 1) \).

2. Постановка задачи

Впервые оптимальные интерполяционные формулы изучил С. Л. Соболев (см. [28]). Рассмотрим одну из таких формул:
\[ \begin{equation}
\varphi(x) \cong \sum_{\beta = 0}^N C_\beta(x) \varphi(x_\beta),
\end{equation} \tag{3} \]
где \( C_\beta(x) \) и \( x_\beta \), \( x_\beta \in [0{,} 1] \) называются коэффициентами и узлами интерполяционной формулы (3), а \( \varphi \) является элементом класса \( W_2^{(4,0)}(0, 1) \). Этот класс функций определяется следующим образом:
\[ \begin{equation*}
W_2^{(4,0)}(0, 1) = \bigl\{ \varphi: [0{,} 1] \to \mathbb{R} \mid \varphi^{(3)} \text{ абсолютно непрерывна и } \varphi^{(4)} \in L_2(0, 1) \bigr\}.
\end{equation*} \]

Класс функций \( W_2^{(4,0)}(0, 1) \) со скалярным произведением
\[ \begin{equation}
\langle \varphi, \psi \rangle_{W_2^{(4,0)}} = \int_0^1 \bigl( \varphi^{(4)}(x) + \varphi(x) \bigr) \bigl( \psi^{(4)}(x) + \psi(x) \bigr) dx
\end{equation} \tag{4} \]
является гильбертовым пространством, если отождествлять функции, отличающиеся на решение уравнения
\[ \begin{equation*}
\varphi^{(4)}(x) + \varphi(x) = 0.
\end{equation*} \]
Следовательно, \( W_2^{(4,0)} \) — гильбертово пространство, снабженное полунормой
\[ \begin{equation*}
\| \varphi \|_{W_2^{(4,0)}} = \left\{ \int _0^1 \left[ \varphi^{(4)}(x) + \varphi(x) \right]^2 dx \right\}^{\frac{1}2 },
\end{equation*} \]
соответствующей скалярному произведению (4).

Погрешность интерполяционной формулы (3) определяется как разность между функцией и ее интерполяционной суммой. Значение этой погрешности в точке \( z \in [0{,} 1] \) выражается следующим образом:
\[ \begin{equation}
(\ell, \varphi) = \varphi(z) - \sum _{\beta=0}^N C_\beta(z) \varphi(x_\beta),
\end{equation} \tag{5} \]
где
\[ \begin{equation}
\ell(x, z) = \delta(x - z) - \sum_{\beta=0}^{N} C_\beta(z) \delta(x - x_\beta)
\end{equation} \tag{6} \]
является функционалом погрешности интерполяционной формулы (3) и принадлежит сопряженному пространству \( W_2^{(4,0)*} \). Здесь \( \delta(x) \) — дельта-функция Дирака. Для удобства далее будем обозначать \( \ell(x, z) \) через \( \ell(x) \).

Согласно неравенству Коши–Шварца, абсолютная величина погрешности (5) оценивается следующим образом:
\[ \begin{equation*}
| (\ell, \varphi) | \leqslant \| \varphi \|_{W_2^{(4,0)}} \cdot \| \ell \|_{W_2^{(4,0)*}},
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\| \ell \|_{W_2^{(4,0)*}} = \sup_{\varphi , \| \varphi \| \ne 0} \frac{ | (\ell, \varphi) |}{ \| \varphi \|_{W_2^{(4,0)}}}.
\end{equation*} \]
Таким образом, для оценки погрешности интерполяционной формулы (3) по функциям из пространства \( W_2^{(4,0)} \) требуется вычисление величины
\[ \begin{equation}
\| \overset{\circ}\ell \|_{W_2^{(4,0)*}} = \inf_{C_\beta(z)} \| \ell \|_{W_2^{(4,0)*}},
\end{equation} \tag{7} \]
т.е. нахождение минимума (7) функционала погрешности \( \ell(x) \) по коэффициентам \( C_\beta(z) \) при фиксированных узлах \( x_\beta \).

Эта задача состоит из двух частей: вычисление нормы функционала погрешности (6) в пространстве \( W_2^{(4,0)*} \), а затем нахождение минимума нормы (7) по коэффициентам \( C_\beta(z) \) для фиксированных узлов \( x_\beta \).

Одной из основных целей данной работы является исследование задачи о построении оптимальных интерполяционных формул вида (3) в пространстве \( W_2^{(4,0)} \) методом Соболева. Метод Соболева является одним из алгоритмов для построения оптимальных квадратурных и кубатурных формул в пространстве \( L_2^{m}(\mathbb{R}^N) \) [13, 28]. В данной работе мы разрабатываем аналогичный метод для построения оптимальных интерполяционных формул вида (3) в пространстве \( W_2^{(4,0)} \). В результате мы получаем оптимальную интерполяционную формулу, которая точна на экспоненциально-тригонометрических функциях.

3. Норма функционала погрешности

Для нахождения нормы функционала погрешности (6) интерполяционной формулы (3) мы будем использовать экстремальную функцию этого функционала.

Функция \( \psi_\ell \), для которой выполняется равенство
\[ \begin{equation}
(\ell, \psi_\ell) = \|\ell\|_{W_2^{(4,0)*}} \cdot \|\psi_\ell\|_{W_2^{(4,0)}},
\end{equation} \tag{8} \]
называется экстремальной функцией функционала погрешности \( \ell \) [13, 28].

Поскольку \( W_2^{(4,0)} \) — гильбертово пространство, по теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовых пространствах для функционала погрешности \( \ell \in W_2^{(4,0)*} \) существует единственная функция \( \psi_\ell \in W_2^{(4,0)} \) такая, что для любой функции \( \varphi \in W_2^{(4,0)} \) выполняется равенство
\[ \begin{equation}
(\ell, \varphi) = \langle \psi_\ell, \varphi \rangle,
\end{equation} \tag{9} \]
причем \( \|\ell\|_{W_2^{(4,0)*}} = \|\psi_\ell\|_{W_2^{(4,0)}} \). Здесь \( \langle \psi_\ell, \varphi \rangle \) обозначает скалярное произведение функций \( \psi_\ell \) и \( \varphi \) в пространстве \( W_2^{(4,0)} \).

Отсюда видно, что решение \( \psi_\ell \) уравнения (9) удовлетворяет уравнению (8) и является экстремальной функцией. Кроме того, из (9) следует, что функционал погрешности \( \ell \) удовлетворяет следующим равенствам:
\[ \begin{equation}
\left( \ell, e^{\frac{\sqrt 2}2 x} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x \right) = 0, \quad
\left( \ell, e^{\frac{\sqrt 2}2 x} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x \right) = 0,
\end{equation} \tag{10} \]
\[ \begin{equation}
\left( \ell, e^{-\frac{\sqrt 2}2 x} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x \right) = 0, \quad
\left( \ell, e^{-\frac{\sqrt 2}2 x} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x \right) = 0.
\end{equation} \tag{11} \]
Равенства (10) и (11) означают, что наша интерполяционная формула точна для функций $e^{\frac{\sqrt 2}2 x} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x $, $e^{\frac{\sqrt 2}2 x} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x $, $e^{-\frac{\sqrt 2}2 x} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x $, $e^{-\frac{\sqrt 2}2 x} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x $.

Уравнение (9) решено в работе [29], и для экстремальной функции \( \psi_\ell \) при \( m = 4 \) справедливо следующее выражение:
\[ \begin{equation}
\psi_\ell(x) = (\ell * G_4)(x) + Y_4(x),
\end{equation} \tag{12} \]
где
\[ \begin{multline}
G_4(x) = \frac{\operatorname{sign}(x)}{8}
\Bigl[ \frac{3\sqrt 2}2 \Bigl( \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x \operatorname{ch} \tfrac{\sqrt 2}2 x -
\cos \tfrac{\sqrt 2}2 x \operatorname{sh} \tfrac{\sqrt 2}2 x \Bigr) - {}\\
{}- x \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x \operatorname{sh} \tfrac{\sqrt 2}2 x \Bigr],
\end{multline} \tag{13} \]
и
\[ \begin{multline}
Y_4(x) = d_1 e^{\frac{\sqrt 2}2 x} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x +
d_2 e^{\frac{\sqrt 2}2 x} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x +
d_3 e^{-\frac{\sqrt 2}2 x} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x +{} \\
{}+ d_4 e^{-\frac{\sqrt 2}2 x} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x .
\end{multline} \tag{14} \]
Символ \( * \) обозначает операцию свертки, которая для функций \( f \) и \( g \) определяется следующим образом:
\[ \begin{equation}
(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y) g(y) dy =
\int {-\infty}^{\infty} f(y) g(x - y) dy.
\end{equation} \tag{15} \]

Теперь мы получили норму функционала погрешности \( \ell \). Поскольку пространство \( W_2^{(4,0)} \) является гильбертовым, по теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала имеем
\[ \begin{equation}
(\ell, \psi_\ell) = \|\ell\| \cdot \|\psi_\ell\| = \|\ell\|^2.
\end{equation} \tag{16} \]
Отсюда, используя четную функцию \( G_4(x) \) и выражения (12)–(14), а также учитывая (15) и (16), получаем
\[ \begin{equation}
\|\ell\|^2 = \sum _{\beta=0}^N \sum _{\gamma=0}^N C_\beta(z) C_\gamma(z) G_4(x_\beta - x_\gamma) - 2 \sum _{\beta=0}^N C_\beta(z) G_4(z - x_\beta).
\end{equation} \tag{17} \]

Таким образом, первая часть задачи о построении оптимальных интерполяционных формул в пространстве \( W_2^{(4,0)} \) решена. Далее мы рассмотрим вторую часть задачи.

4. Система для оптимальных коэффициентов интерполяционных формул

Теперь переходим к минимизации квадрата нормы функционала погрешности (17). Известно, что функционал погрешности \( \ell \) удовлетворяет условиям (10), (11). Квадрат нормы (17) функционала погрешности является функцией многих переменных коэффициентов \( C_\beta(z) \), \( \beta = \overline{0, N} \), интерполяционной формулы (3). Для нахождения точки условного минимума квадрата нормы функционала погрешности (5) при условиях (10), (11) применяем метод неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим следующую функцию:
\[ \begin{multline*}
\Psi ( C_0(z), C_1(z), \dots, C_N(z), d_1, d_2, d_3, d_4 ) = \| \ell \|^2 - {}\\
{}- 2d_1 \biggl( e^{\frac{\sqrt 2}2 z} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 z - \sum _{\beta = 0}^N C_\beta(z) e^{\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta \biggr) - {}\\
{}- 2d_2 \biggl( e^{\frac{\sqrt 2}2 z} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 z - \sum _{\beta = 0}^N C_\beta(z) e^{\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta \biggr) - {}\\
{}- 2d_3 \biggl( e^{-\frac{\sqrt 2}2 z} \cos \frac{\sqrt 2}2 z - \sum _{\beta = 0}^N C_\beta(z) e^{-\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta \biggr) -{} \\
{}- 2d_4 \biggl( e^{-\frac{\sqrt 2}2 z} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 z - \sum _{\beta = 0}^N C_\beta(z) e^{-\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta \biggr).
\end{multline*} \]

Приравнивая к нулю частные производные от \( \Psi \) по коэффициентам \( C_\beta(z) \), \( \beta = \overline{0, N} \) и \( d_k(z) \), \( k = \overline{1, 4} \), получаем систему линейных уравнений:
\[ \begin{multline}
\sum _{\gamma = 0}^N C_\gamma(z) G_4(x_\beta - x_\gamma) + d_3 e^{-\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta + d_4 e^{-\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta + {}\\
{}+ d_1 e^{\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta + d_2 e^{\frac{\sqrt 2}2 x_\beta} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x_\beta = G_4(z - x_\beta), \quad \beta = \overline{0, N},
\end{multline} \tag{18} \]
\[ \begin{equation}
\sum _{\gamma = 0}^N C_\gamma(z) e^{\frac{\sqrt 2}2 x_\gamma} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x_\gamma = e^{\frac{\sqrt 2}2 z} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 z ,
\end{equation} \tag{19} \]
\[ \begin{equation}
\sum _{\gamma = 0}^N C_\gamma(z) e^{\frac{\sqrt 2}2 x_\gamma} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x_\gamma = e^{\frac{\sqrt 2}2 z} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 z ,
\end{equation} \tag{20} \]
\[ \begin{equation}
\sum _{\gamma = 0}^N C_\gamma(z) e^{-\frac{\sqrt 2}2 x_\gamma} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 x_\gamma =
e^{-\frac{\sqrt 2}2 z} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 z ,
\end{equation} \tag{21} \]
\[ \begin{equation}
\sum _{\gamma = 0}^N C_\gamma(z) e^{-\frac{\sqrt 2}2 x_\gamma} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 x_\gamma =
e^{-\frac{\sqrt 2}2 z} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 z ,
\end{equation} \tag{22} \]
где \( G_4(x) \) определяется равенством (13).

Система (18)–(22) имеет единственное решение, которое дает минимум \( \|\ell\|^2 \) при условиях (19)–(22). Доказательство единственности решения системы (18)–(22) аналогично доказательству единственности решения системы для оптимальных коэффициентов в пространстве \( L_2^{(m)} \), полученных в работах Соболева [13, 28].

5. Основные результаты

Для решения системы (18)–(22) методом Соболева нам понадобится дискретный аналог \( D_4(h\beta) \) дифференциального оператора \( \frac{d^8}{dx^8} + 2\frac{d^4}{dx^4} + 1 \), удовлетворяющего равенству
\[ \begin{equation}
D_4(h\beta) * G_4(h\beta) = \delta_d(h\beta),
\end{equation} \tag{23} \]
где \( G_4(h\beta) \) — функция дискретного аргумента, соответствующая функции \( G_4(x) \), определенной формулой (13), а \( \delta_d(h\beta) \) — дискретная дельта-функция:
\[ \begin{equation*}
\delta_d(h\beta) =
\begin{cases}
1, & \beta = 0, \\
0, & \beta \neq 0.
\end{cases}
\end{equation*} \]

В работе [29] при \( m = 4 \) построен дискретный аналог \( D_4(h\beta) \), удовлетворяющий равенству (23), и доказаны некоторые его свойства.

Введем следующие обозначения:
\[ \begin{multline*}
B_1(z, h) = F_1 G_4(z) + G_4(z - h) + a_1^{-} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 h - a_2^{-} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 h +{} \\
{} + a_3^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 h - a_4^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 h - \frac{h}{8} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 (z + h) \operatorname{sh} \tfrac{\sqrt 2}2 (z + h) ,
\end{multline*} \]
\[ \begin{equation*}
B_2(z, h) = F_1 G_4(z - h \beta) + G_4(z - h(\beta - 1)) + G_4(z - h(\beta + 1)),
\end{equation*} \]
\[ \begin{multline*}
B_3(z, h) = F_1 G_4(z - 1) + G_4(z - 1 + h) + a_1^{+} e^{\frac{\sqrt 2}2 (1 + h)} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h) + {}\\
{}+ a_2^{+} e^{\frac{\sqrt 2}2 (1 + h)} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h) + a_3^{+} e^{-\frac{\sqrt 2}2 (1 + h)} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h) +{} \\
{}+ a_4^{+} e^{-\frac{\sqrt 2}2 (1 + h)} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h) ,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
B_4(z, h) = e^{\frac{\sqrt 2}2 (z + h)} \frac{\sin \frac{\sqrt 2}2 (z + h) - 2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \sin \frac{\sqrt 2}2 z + \lambda_k^2 e^{\sqrt 2h} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z - h) }{[ \lambda_k^2 e^{\sqrt 2h} - 2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h + 1 ]^2} - {} \\
{}- e^{\frac{\sqrt 2}2 (h - z)} \frac{e^{\sqrt 2h} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z + h) - 2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \sin \frac{\sqrt 2}2 z + \lambda_k^2 \sin \frac{\sqrt 2}2 (z - h) }{[ \lambda_k^2 - 2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h + e^{\sqrt 2h} ]^2},
\end{multline*} \]
где \( a_i^{-} \) и \( a_i^{+} \) — неизвестные коэффициенты, а \( \lambda_k \) определены в работе [29] при \( m = 4 \).

Результат этого раздела следующий.

Теорема. Оптимальные коэффициенты интерполяционной формулы (3) с равноотстоящими узлами в пространстве $W_2^{(4,0)} (0, 1)$ имеют следующий вид:
\[ \begin{equation*}
C_0(z)=\frac{8}{K} \biggl[B_1(z,h)+\sum _{k=1}^3 \frac{A_k}{\lambda_k} \sum _{\gamma=0}^N \bigl(\lambda_k^\gamma G_4(z-h\gamma) + M_k + \lambda_k^N N_k\bigr)\Bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_\beta(z)=\frac{8}{K} \biggl[B_2(z,h)+\sum _{k=1}^3 \frac{A_k}{\lambda_k} \sum _{\gamma=0}^N \bigl(\lambda_k^{|\beta-\gamma|} G_4(z-h\gamma) +\lambda_k^\beta M_k + \lambda_k^{N-\beta} N_k\bigr)\biggr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_N(z)=\frac{8}{K} \biggl[B_3(z,h)+\sum _{k=1}^3 \frac{A_k}{\lambda_k} \sum _{\gamma=0}^N \bigl(\lambda_k^{N-\gamma} G_4(z-h\gamma) +\lambda_k^N M_k + N_k\bigr)\biggr],
\end{equation*} \]
где $\beta=\overline{1,N-1}$, а величины $K$, $A_k$ и $\lambda_k$, определены в работе [29] при $m=4$, $h$ — малый параметр и
\[ \begin{multline*}
M_k=\frac{a_1^{-} (e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h -\lambda_k )-a_2^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \sin \frac{\sqrt 2}2 h }{\lambda_k^2 - 2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +e^{\sqrt 2h}} - \frac{h \lambda_k}{16} B_4(z,h) + {}
\\
{}+ \frac{a_3^{-} (e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h -e^{\sqrt 2h}\lambda_k )-
a_4^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \sin \frac{\sqrt 2}2 h }{e^{\sqrt 2h} \lambda_k^2 - 2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +1}, \quad k=1, 2, 3,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
N_k=\frac{a_{1}^{+} \bigl( e^{\frac{\sqrt 2}2 (1+h)}\cos \frac{\sqrt 2}2 (1+h) -\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 (1+2h)} \cos \frac{\sqrt 2}2 \bigr)}{ e^{\sqrt 2h}\lambda _k ^2 -2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +1} + {}
\\
{} +\frac{a_2 ^{+}\bigl( e^{\frac{\sqrt 2}2 (1+h)} \sin \frac{\sqrt 2}2 (1+h) -
\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 (1+2h)} \sin \frac{\sqrt 2}2 \bigr)}{e^{\sqrt 2h} \lambda _k ^2 -2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +1} + {}
\\
{} +\frac{a_{3}^{+}\bigl( e^{\frac{\sqrt 2}2 (h-1)}\cos \frac{\sqrt 2}2 (1+h) - \lambda_k e^{-\frac{\sqrt 2}2 }\cos \frac{\sqrt 2}2 \bigr)}{\lambda _k ^2 -2\lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +e^{\sqrt 2h}} +{}
\\
{} +\frac{a_{4}^{+}\bigl( e^{\frac{\sqrt 2}2 (h-1)} \sin \frac{\sqrt 2}2 (1+h) - \lambda_k e^{-\frac{\sqrt 2}2 }\sin \frac{\sqrt 2}2 \bigr)}{\lambda _k ^2 -2 \lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +e^{\sqrt 2h}} - \frac{h \lambda_k}{16} B_4(z,h) + {}
\\
{} +\frac{1}{16} \Biggl[
\frac{ e^{-\frac{\sqrt 2}2 (z-1-h)} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z-1-h) - \lambda_k e^{-\frac{\sqrt 2}2 (z-1-2h)} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z-1) }{e^{\sqrt 2h} \lambda _k ^2 -2 \lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +1 } -{}
\\
{} -\frac{ e^{\frac{\sqrt 2}2 (z-1+h)} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z-1-h) - \lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 (z-1)} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z-1) }{\lambda _k ^2 -2 \lambda_k e^{\frac{\sqrt 2}2 h} \cos \frac{\sqrt 2}2 h +e^{\sqrt 2h}} \Biggr], \quad k=1, 2, 3.
\end{multline*} \]

Доказательство. Для доказательства этой теоремы необходимо провести следующие вычисления. Введем функции
\[ \begin{equation*}
\vartheta(h\beta) = G_4(h\beta) * C_\beta(z)
\end{equation*} \]
и
\[ \begin{equation}
u(h\beta) = \vartheta(h\beta) + Y_4(h\beta).
\end{equation} \tag{24} \]
Тогда с учетом (23) для оптимальных коэффициентов \( C_\beta(z) \) имеем
\[ \begin{equation}
C_\beta(z) = D_4(h\beta) * u(h\beta).
\end{equation} \tag{25} \]
Найдя функцию \( u(h\beta) \), мы можем определить оптимальные коэффициенты \( C_\beta(z) \) из равенства (25).

Для вычисления свертки (25) необходимо найти представление функции \( u(h\beta) \) при всех целых значениях \( \beta \). Из равенства (24) получаем, что \( u(h\beta) = G_4(z - h\beta) \) для \( h\beta \in [0{,} 1] \). Теперь найдем представление функции \( u(h\beta) \) при \( \beta < 0 \) и \( \beta > N \). Поскольку \( C_\beta(z) = 0 \) для \( h\beta \notin [0{,} 1] \),
\[ \begin{equation}
C_\beta(z) = D_4(h\beta) * u(h\beta) = 0, \quad h\beta \notin [0{,} 1].
\end{equation} \tag{26} \]

Теперь вычислим свертку \( \vartheta(h\beta) = G_4(h\beta) * C_\beta(z) \) для \( h\beta \notin [0{,} 1] \).

Предположим, что \( \beta < 0 \) и \( \beta > N \). Тогда, учитывая равенства (10), (11) и (13), получаем
\[ \begin{equation}
u(h\beta) =
\begin{cases}
a_1^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h\beta} \cos \frac{\sqrt 2}2 h\beta + a_2^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h\beta}
\sin \frac{\sqrt 2}2 h\beta + {} \\
\quad {}+ a_3^{-} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h\beta} \cos \frac{\sqrt 2}2 h\beta + a_4^{-} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h\beta} \sin \frac{\sqrt 2}2 h\beta + {} \\
\qquad\qquad {}+ \frac{h\beta}{8} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z - h\beta) \operatorname{sh} \frac{\sqrt 2}2 (z - h\beta) , & \beta < 0, \\
G_4(z - h\beta), & 0 \leqslant \beta \leqslant N, \\
a_1^{+} e^{\frac{\sqrt 2}2 h\beta} \cos \frac{\sqrt 2}2 h\beta + a_2^{+} e^{\frac{\sqrt 2}2 h\beta} \sin\frac{\sqrt 2}2 h\beta + {}\\
\quad {}+ a_3^{+} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h\beta} \cos \frac{\sqrt 2}2 h\beta + a_4^{+} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h\beta} \sin \frac{\sqrt 2}2 h\beta -{} \\
\qquad\qquad {}- \frac{h\beta}{8} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z - h\beta) \operatorname{sh} \frac{\sqrt 2}2 (z - h\beta) , & \beta > N,
\end{cases}
\end{equation} \tag{27} \]
где \( a_1^{-}\), \(a_2^{-}\), \(a_3^{-}\), \(a_4^{-}\), \(a_1^{+}\), \(a_2^{+}\), \(a_3^{+}\), \(a_4^{+} \) — неизвестные коэффициенты.

Из (27) при \( \beta = 0 \) и \( \beta = N \) получаем
\[ \begin{equation}
a_1^{-} = G_4(z) - a_3^{-},
\end{equation} \tag{28} \]
\[ \begin{multline}
a_1^{+} = \frac{G_4(z - 1) + \frac{h\beta}{8} \sin \frac{\sqrt 2}2 (z - 1) \operatorname{sh} \frac{\sqrt 2}2 (z - 1) }{e^{\frac{\sqrt 2}2} \cos \frac{\sqrt 2}2} - {}
\\
{} - a_2^{+} \tan \tfrac{\sqrt 2}2 - a_3^{+} e^{-\sqrt 2} - a_4^{+} e^{-\sqrt 2} \tan \tfrac{\sqrt 2}2.
\end{multline} \tag{29} \]

Здесь у нас есть шесть неизвестных: \( a_2^{-}\), \(a_3^{-}\), \(a_4^{-}\), \(a_2^{+}\), \(a_3^{+} \) и \( a_4^{+} \). Из уравнения (26) для \( \beta = -1, -2, -3 \) и \( \beta = N + 1, N + 2, N + 3 \) с учетом (27) получаем систему из шести линейных уравнений для \( a_2^{-}\), \(a_3^{-}\), \(a_4^{-}\), \(a_2^{+}\), \(a_3^{+} \) и \( a_4^{+} \). Поскольку интерполяционная задача имеет единственное решение, основная матрица этой системы невырождена.

Решая систему (26) при \( \beta = -1, -2, -3 \) и \( \beta = N + 1, N + 2, N + 3 \), находим \( a_2^{-}\), \(a_3^{-}\), \(a_4^{-}\), \(a_2^{+}\), \(a_3^{+} \) и \( a_4^{+} \). Затем, используя (28) и (29), находим \( a_1^{-} \) и \( a_1^{+} \). Из (25) для \( \beta = 0, 1, \dots, N \) выводим
\[ \begin{multline*}
C_\beta(z) = \sum_{\gamma=1}^\infty D_4(h\beta + h\gamma)
\Bigl[ a_1^{-} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h\gamma} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 h\gamma - a_2^{-} e^{-\frac{\sqrt 2}2 h\gamma} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 h\gamma + {}
\\
{}+ a_3^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h\gamma} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 h\gamma - a_4^{-} e^{\frac{\sqrt 2}2 h\gamma} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 h\gamma - {}
\\
\hspace{5cm}
{}
- \frac{h\gamma}{8} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 (z + h\gamma) \operatorname{sh} \tfrac{\sqrt 2}2 (z + h\gamma) \Bigr] + {}
\\
{}+ \sum_{\gamma=0}^{N} D_4(h\beta - h\gamma) G_4(z - h\gamma) + {}
\hspace{5cm}
\\
{}+ \sum_{\gamma=1}^{\infty} D_4\bigl( h(N + \gamma - \beta) \bigr)
\Bigl[ a_1^{+} e^{\frac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma)} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma) + {} \qquad
\\
{}+ a_2^{+} e^{\frac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma)} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma) +
a_3^{+} e^{-\frac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma)} \cos \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma) + {}
\\
{}+ a_4^{+} e^{-\frac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma)} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 (1 + h\gamma) - {}
\\
{} - \frac{1 + h\gamma}{8} \sin \tfrac{\sqrt 2}2 (z - 1 - h\gamma) \operatorname{sh} \tfrac{\sqrt 2}2 (z - 1 - h\gamma) \Bigr],
\quad \beta = 0, 1, \dots, N.
\end{multline*} \]

Отсюда, используя дискретный оператор \( D_4(h\beta) \), приведенный в работе [29] при \( m = 4 \), и учитывая \( M_k \) и \( N_k \), \( k = 1, 2, 3 \), приходим к выражениям для коэффициентов \( C_\beta(z) \), \( \beta = 0, 1, \dots, N \), которые приведены в теореме. Теорема доказана. $\square$

6. Численные результаты

В этом разделе мы приведем численные примеры и результаты интерполяции следующих функций:
\[ \begin{equation*}
\varphi_1(z) = z^3 + z^2 + z, \quad \varphi_2(z) = \frac{1.25 + \cos 5.4z }{6 (1 + (3z - 1)^2)},
\end{equation*} \]
взятых из работы [30], и сравним эти результаты с результатами работы [30] при \( N = 5 \).

Для заданных функций графики абсолютных погрешностей интерполяционной формулы (3) приведены на рис. 1. Аналогичные абсолютные погрешности аппроксимации из работы [30] представлены на рис. 2.

Рис. 1. Графики абсолютных погрешностей \(\varphi_1(z)\) и \(\varphi_2(z)\) при \(N = 5\)
[Figure 1. Graphs of absolute errors for \(\varphi_1(z)\) and \(\varphi_2(z)\) at \(N = 5\)]

Рис. 2. Графики абсолютных погрешностей \(\varphi_1(z)\) и \(\varphi_2(z)\) при \(N = 5\) [30]
[Figure 2. Graphs of absolute errors for \(\varphi_1(z)\) and \(\varphi_2(z)\) at \(N = 5\) [30]]

7. Заключение

Статья посвящена построению оптимальной интерполяционной формулы, точной для экспоненциально-тригонометрических функций. Для построения оптимальной интерполяционной формулы использован метод Соболева, основанный на дискретном аналоге \( D_4(h\beta) \) дифференциального оператора \( \tfrac{d^8}{dx^8} + 2\tfrac{d^4}{dx^4} + 1 \). Применяя дискретный аналог \( D_4(h\beta) \), мы получили явные выражения для оптимальных коэффициентов (см. теорему), которые имеют важное значение в приложениях. В итоге численные результаты демонстрируют высокую надежность построенной оптимальной интерполяционной формулы.

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Вклад авторов и ответственность. Все авторы внесли равный вклад в разработку концепции статьи и написание рукописи. Авторы несут полную ответственность за подготовку и предоставление окончательной версии рукописи для публикации. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено без привлечения внешнего финансирования.
Благодарности. Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам за внимательное прочтение статьи, а также за ценные комментарии и предложения, которые способствовали улучшению работы.

About the authors

Kholmat M. Shadimetov

Tashkent State Transport University; V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics
of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Email: kholmatshadimetov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4183-6184
https://www.mathnet.ru/person51749

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Computer Science and Graphics; Leading Research Scientist; Lab. of Computational Mathematics

Uzbekistan, 100167, Tashkent, Temiryulchilar st., 1; 100174, Tashkent, University st., 9

Aziz K. Boltaev

V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; International Nordic University

Author for correspondence.
Email: aziz_boltayev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8329-4440
https://www.mathnet.ru/person178798

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Research Scientist; Lab. of Computational Mathematics; Associate Professor; Dept. of Economics and Business Management

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University st., 9; 100043, Tashkent, Bunyodkor st., 8/2

References

Supplementary files