Approximation of the solution of transport-diffusion equation in Hölder space

Full Text

Введение

Хорошо известно, что при изучении уравнений параболического типа, в том числе уравнения переноса-диффузии
\[ \begin{equation*}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) = \kappa
\Delta u (t , x) + f ( t, x, u (t , x) ) ,
\end{equation*} \]
часто используются методы, основанные на свойствах эллиптического оператора, которые дают удобные оценки в пространстве Соболева или в пространстве Гёльдера. С использованием этих оценок изучается разрешимость таких уравнений (см., например, работы [1–4] и многие другие). Отметим, что метод, основанный на полугруппе операторов (см., например, [5]), также использует оценки, полученные с помощью эллиптического оператора, но эти оценки становятся менее полезными в случае, когда коэффициент диффузии стремится к нулю.

С другой стороны, обратное уравнение Колмогорова, являющееся стохастическим представлением решения параболического уравнения (см., например, [6, гл. VIII]), дает возможность охарактеризовать поведение решения относительно коэффициента диффузии, стремящегося к нулю, выражая результаты понятиями теории вероятностей (см. [7] и процитированную там литературу).

В последние годы опубликовано несколько работ, посвященных построению такого приближения для уравнения переноса-диффузии, в которых показано, что поведение такого приближения не зависит от величины коэффициента диффузии, и поэтому оно может использоваться даже в случае, когда коэффициент диффузии стремится к нулю. Действительно, в [8, 9] на каждом шаге дискретизации по времени предложены приближенные решения для уравнения переноса-диффузии, построенные с помощью ядра теплопроводности и локально линеаризованного перемещения, соответствующего переносу, доказана их равномерная сходимость к решению уравнения переноса-диффузии. С помощью этих приближенных решений в [10, 11] доказана сходимость решения уравнения переноса-диффузии к решению уравнения переноса. Аналогичные приближенные решения также построены в полупространстве $\mathbb{R}^d_+$ с однородным условием Дирихле (см. [12, 13]) и с однородным условием Неймана (см. [14]).

В настоящей работе определяются приближенные решения для уравнения переноса-диффузии аналогично [8, 9], при этом предполагается, что производные по $ x $ порядка $m$ ($m \geqslant 2$) заданных функций $v (t,x)$, $f(t,x,u)$ и $u_0 (x)$ (смысл этих функций будет ясен из приведенной ниже постановки задачи Коши) непрерывны по Гёльдеру с показателем $\alpha$, ${2}/{3} < \alpha \leqslant 1$. В этих предположениях доказывается принадлежность предельной функции, удовлетворяющей уравнению, к пространству Гёльдера $C^{m + \alpha } (\mathbb{R}^d )$ в каждый момент времени. Другими словами, использование непрерывности по Гёльдеру в настоящей работе улучшает отношение регулярности предельной функции с регулярностью данных. Действительно, в предыдущих работах получались ограниченные производные по $x$ второго порядка предельной функции в предположении, что заданные функции $v (t,x)$, $f(t,x,u)$ и $u_0 (x)$ обладают ограниченными производными по $x$ третьего порядка. Следует также отметить, что оценки приближенных решений, полученные в настоящей работе, не зависят от коэффициента $\kappa$, что дает возможность использовать их в дальнейших исследованиях поведения решения в случае, когда коэффициент $\kappa$ стремится к нулю. Для этого будет полезна идея работ [10, 11].

1. Определение приближенных решений и основой результат

Определим приближенные решения задачи Коши
\[ \begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) = \kappa
\Delta u (t , x) + f ( t, x, u (t , x) ) , \; t > 0, \; x \in
\mathbb{R}^d ,
\end{equation} \tag{1} \]
\[ \begin{equation}
u (0 , x) = u_0 ( x) , \qquad x \in \mathbb{R}^d ,
\end{equation} \tag{2} \]
и докажем их сходимость. Здесь и далее
\[ \begin{equation*}
v \cdot \nabla = \sum_{j = 1}^d v_j \frac{ \partial }{ \partial x_j },
\quad \Delta = \sum_{j = 1}^d \frac{ \partial^2 }{ \partial x_j^2 } .
\end{equation*} \]

Для определения приближенных решений $ u^{[n]} ( t, x)$, $n = 1, 2, \ldots $, для каждого $n$ введем дискретизацию по времени $t$:
\[ \begin{equation*}
0 = t^{[n]}_0 < t^{[n]}_1 < \cdots < t^{[n]}_{k-1} < t^{[n]}_k <
\cdots , \qquad t^{[n]}_k - t^{[n]}_{k-1} = \delta_n = 2^{-n} 
\end{equation*} \]
и рассмотрим ядро теплопроводности для $ t = \delta_n $:
\[ \begin{equation*}
\Theta_n (x) = \frac{1}{ ( 4 \pi \delta_n \kappa )^{d/2} }
\exp \Bigl( - \frac{ | x |^2 }{ 4 \delta_n \kappa } \Bigr) , \quad x \in \mathbb{R}^d ,
\end{equation*} \]
где $ \kappa $ — положительная постоянная. Для каждого $n$ определим приближенное решение $ u^{[n]} ( t, x)$ соотношениями
\[ \begin{equation}
u^{[n]} ( t^{[n]}_0 , x ) = u_0 (x) ,
\end{equation} \tag{3} \]
\[ \begin{multline}
u^{[n]} ( t^{[n]}_k , x ) = \int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_n (y)
u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x - \delta_n v ( t^{[n]}_k ,x ) - y )
dy + {}
\\
{}
+ { \delta_n } f (t^{[n]}_{k - 1} , x , u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1}
, x ) ), \quad \ k = 1, 2, \ldots ,
\end{multline} \tag{4} \]
\[ \begin{equation}
u^{[n]} ( t , x ) = \frac{ t^{[n]}_k - t }{ \delta_n } u^{[n]} (
t^{[n]}_{k - 1} , x ) + \frac{t - t^{[n]}_{k - 1} }{ \delta_n }
u^{[n]} ( t^{[n]}_k , x ) \qquad \mbox{при} \ \ t^{[n]}_{k - 1}
\leqslant t \leqslant t^{[n]}_{k} .
\end{equation} \tag{5} \]

В этой статье используются следующие обозначения (для неотрицательных целых $\nu_j$ и $m$ и для $0 < \alpha \leqslant 1$):
\[ \begin{equation*}
D^\nu_x = \frac{ \partial^{|\nu |} }{ \partial
x_1^{\nu_1 } \cdots \partial x_d^{\nu_d } } ,
\quad \nu = (\nu_1 , \ldots , \nu_d ),
\quad | \nu | = \sum_{j=1}^d \nu_j ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
D^\nu_{x,u} = \frac{ \partial^{|\nu |} }{ \partial
x_1^{\nu_1 } \cdots \partial x_d^{\nu_d } \partial u^{\nu_{d+1} }} ,
\quad \nu = (\nu_1 , \ldots , \nu_d , \nu_{d+1} ),
\quad | \nu | = \sum_{j=1}^{d+1} \nu_j ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\| \varphi \|_{ C^{m + \alpha } (\mathbb{R}^d ) } =
\| \varphi \|_{ C^{m } (\mathbb{R}^d ) } + \sum_{|\nu| = m}
[ D^\nu_x \varphi ]_{ \alpha , \mathbb{R}^d } ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\| \varphi \|_{ C^{m } (\mathbb{R}^d ) } = \sum_{|\nu| \leqslant m}
\sup_{x \in \mathbb{R}^d } | D^\nu_x \varphi (x) | ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
[ D^\nu_x \varphi ]_{ \alpha , \mathbb{R}^d } =
\sup_{x, y \in \mathbb{R}^d , \; x \not = y }
\frac{| D^\nu_x \varphi (x) - D^\nu_x \varphi (y) |}{|x-y|^\alpha} .
\end{equation*} \]

Там, где это не вызывает недоразумения, будем писать $ \| {}\cdot {}\|_{ C^{m + \alpha } } $ вместо ${ \| {}\cdot{} \|_{ C^{m + \alpha} (\mathbb{R}^d ) }} $ и т.д.

Основным результатом настоящей работы является

Теорема 1. Пусть $ m \in \mathbb{Z}$, $ m \geqslant 2 $, $ {2}/{3} < \alpha \leqslant 1$, $0 < \alpha_1 \leqslant 1$, $0 < \alpha_2 \leqslant 1$. Предположим, что для каждого $\tau > 0$ справедливы соотношения
\[ \begin{equation}
\sup_{0\leqslant t \leqslant \tau } \| v (t, {}\cdot {} ) \|_{ C^{m+\alpha}
(\mathbb{R}^d )} < \infty ,
\end{equation} \tag{6} \]
\[ \begin{equation}
\sup_{0\leqslant t \leqslant \tau } \| \partial_t v (t, {}\cdot{}) \|_{ C^{m-1 } (\mathbb{R}^d )} < \infty ,
\end{equation} \tag{7} \]
\[ \begin{equation}
\sup_{ 0 \leqslant t < t' \leqslant \tau , \, x \in \mathbb{R}^d }
\frac{| D^\nu_x v (t, x) - D^\nu_x v (t', x) |}{|t-t'|^{\alpha_1}} < \infty , \quad |\nu|=m,
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation}
\sup_{0\leqslant t \leqslant \tau , \, u \in \mathbb{R}}
\frac{ \| f (t, {}\cdot{} , u) \|_{ C^{m + \alpha } (\mathbb{R}^{d} )} }{1 + |u| } < \infty ,
\end{equation} \tag{9} \]
\[ \begin{equation}
\sup_{0\leqslant t \leqslant \tau , \, x \in \mathbb{R}^d , u \in \mathbb{R}}
| \partial_t D^{\nu}_{x, u} f (t, x, u ) | < \infty , \quad
|\nu| \leqslant m-1,
\end{equation} \tag{10} \]
\[ \begin{equation}
\sup_{ 0 \leqslant t < t' \leqslant \tau, \, x \in \mathbb{R}^d, u \in \mathbb{R} }
\frac{| D^\nu_{x, u} f (t, x, u) - D^\nu_{x, u} f (t', x, u) |}{|t-t'|^{\alpha_2}} < \infty , \quad |\nu|=m ,
\end{equation} \tag{11} \]
\[ \begin{equation}
\sup_{ 0 \leqslant t \leqslant \tau, \, x \in \mathbb{R^d}, \; u, u' \in \mathbb{R} , \; u \not = u' }
\frac{| D^\nu_{x, u} f (t, x, u) - D^\nu_{x, u} f (t, x, u') | }{|u-u'|} < \infty , \quad |\nu|=m ,
\end{equation} \tag{12} \]
\[ \begin{equation}
\| u_0 \|_{ C^{m+\alpha} (\mathbb{R}^d )} < \infty .
\end{equation} \tag{13} \]
Тогда функции $ u^{[n]} ( t , x )$, определенные соотношениями (3)–(5), и их производные $ D^\nu_x u^{[n]} ( t , x ) $, $|\nu| \leqslant m$, сходятся при $n \to \infty$ равномерно на $[0, \tau]\times \mathbb{R}^d $ для любого $ {\tau} > 0$ к одной функции $u (t,x) $ и ее производным $ D^\nu_x u ( t , x ) $ и их производные порядка $ m$ сходятся в норме $C^{0+\alpha'} ( \mathbb{R}^d )$ $(0 < \alpha' < \alpha )$ для каждого $t \geqslant 0$, причем

1. существует функция ${\overline{\Phi}_{m + \alpha}}(t)$, определенная условиями (6), (9) и (13) для $v$, $f$, и $u_0$, такая, что функция $ u ( t, x ) $ удовлетворяет неравенству
   \[ \begin{equation}
   \sup_{0 \leqslant t' \leqslant t} \|u(t', {}\cdot {})\|_{C^{m+\alpha}(\mathbb{R}^d)}
   \leqslant {\overline{\Phi}_{m + \alpha}}(t) \quad \forall t \geqslant 0 ,
   \end{equation} \tag{14} \]
2. функция $ u ( t, x ) $ удовлетворяет начальному условию (2) поточечно и уравнению (1) в том смысле, что для любого $x \in \mathbb{R}^d $ имеет место равенство
   \[ \begin{multline}
   - \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial\varphi}{\partial t}(t)
   u(t, x ) dt =
   {}
   \\
   {} = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) \bigl( - v (t, x) {}\cdot {} \nabla u (t , x) + \kappa \Delta u (t , x)
   + f (t , x , u (t , x ) ) \bigr) dt
   \end{multline} \tag{15} \]
   для любой обладающей непрерывной производной функции $\varphi$ такой, что ее носитель ограничен и расположен внутри $ \mathbb{R}_+$.

2. Оценки приближенных решений и их производных

Далее будем использовать обозначение
\[ \begin{equation*}
\tau_+ = \tau + \delta_1,
\end{equation*} \]
где $ \tau > 0 $. Прежде всего установим оценку $ | u^{[n]} ( t, x) | $.

Лемма 1. Пусть $ u^{[n]} ( t, x ) $ — функции, определенные соотношениями (3)–(5). Пусть выполнены предположения теоремы 1. Тогда существует возрастающая непрерывная на $ \mathbb{R}_+$ и независимая от $n$ функция $ \Phi_0 (t) $ такая, что
\[ \begin{equation}
\sup_{ x \in \mathbb{R}^d } | u^{[n]} ( t, x) | \leqslant \Phi_0 (t) \quad \forall t \geqslant 0 .
\end{equation} \tag{16} \]

Доказательство. Пусть $ {\tau} > 0$. Положим
\[ \begin{equation*}
C_f = C_f (\tau) = \sup_{ (t,x,u) \in [0,\tau_+] \times
\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}} \frac{|f(t,x,u)|}{1 + |u|} .
\end{equation*} \]
Так как
\[ \begin{equation*}
\biggl| \int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_n (y ) u^{[n]}(t^{[n]}_{k-1} ,
x - \delta_n v(t^{[n]}_{k},x)-y ) dy \biggr| \leqslant
\sup_{ \xi \in \mathbb{R}^d } | u^{[n]} ( t^{[n]}_{k - 1} , \xi ) | ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\bigl| f\bigl(t_{k-1}^{[n]},x,u^{[n]}(t_{k-1}^{[n]},x) \bigr) \bigr| \leqslant C_f
\Bigl(1 + \sup_{ \xi \in \mathbb{R}^d } | u^{[n]} ( t^{[n]}_{k - 1} , \xi ) | \Bigr) ,
\end{equation*} \]
из (3), (4) следует, что для $ A^{[0{,}n]}_k = \sup_{ x\in \mathbb{R}^d } \bigl| u^{[n]} (t^{[n]}_k ,x) \bigr| $ имеем
\[ \begin{equation*}
A^{[0{,}n]}_k \leqslant (1 + \delta_n C_f ) A^{[0{,}n]}_{k-1} + \delta_n C_f .
\end{equation*} \]
Применяя последнее неравенство $k$ раз, для $ 0 \leqslant t^{[n]}_{k } \leqslant \tau_+ $ имеем
\[ \begin{equation*}
A^{[0{,}n]}_k \leqslant (1 + \delta_n C_f )^k A^{[0{,}n]}_0 +
\delta_n C_f \sum_{j=1}^{k} (1 + \delta_n C_f )^{k-j}.
\end{equation*} \]
Из этого соотношения и (5) вытекает, что существует возрастающая непрерывная и независимая от $n$ функция $ \Phi_0 (t) $, удовлетворяющая неравенству (16). Лемма 1 доказана. $\square$

Замечание. В силу (16) выражение $ | {u}^{[n]} ( t, x) |$ ограничено в каждом отрезке времени $[0, \tau]$, поэтому далее норму $ \| f (t, {}\cdot {}, u ) \|_{ C^{m + \alpha } (\mathbb{R}^d )} $ можно считать ограниченной в каждом отрезке $[0, \tau]$.

Лемма 2. Пусть $ u^{[n]} ( t, x ) $ — функции, определенные соотношениями (3)–(5). Пусть выполнены предположения теоремы 1. Тогда существует возрастающая непрерывная на $\mathbb{R}_{+}$ и независимая от $n$ функция $ \Phi_m (t) $ такая, что
\[ \begin{equation}
\sup_{ x \in \mathbb{R}^d , |\nu| \leqslant m } | D^\nu_x u^{[n]} ( t, x) |
\leqslant \Phi_m (t) \quad \forall t \geqslant 0 .
\end{equation} \tag{17} \]

Доказательство. В силу (16) выражение $ | {u}^{[n]} ( t, x) |$ ограничено в каждом отрезке времени $[0, \tau]$, поэтому норму $ \| f (t, \cdot , u ) \|_{ C^{m + \alpha } } $ можно считать ограниченной в каждом отрезке $[0, \tau]$. Таким образом, лемма 2 доказывается аналогично [8, 9].

3. Оценка приближенных решений в пространстве Гёльдера

Лемма 3. Пусть $ u^{[n]} ( t, x ) $ — функции, определенные соотношениями (3)–(5). Пусть выполнены предположения теоремы 1. Тогда существует возрастающая непрерывная на $\mathbb{R}_+$ и независимая от $n$ функция $ {\Phi}_{\alpha,m} (t)$, определенная условиями (6), (9) и (13) для $v$, $f$ и $u_0$ такая, что
\[ \begin{equation}
\sum_{|\nu| = m }
[ D^{\nu}_x u^{[n]} (t , {}\cdot {}) ]_{\alpha , \mathbb{R}^d} \leqslant {\Phi}_{\alpha,m} (t) \quad \forall t \geqslant 0 .
\end{equation} \tag{18} \]

Доказательство. Рассмотрим дифференциальный оператор $ D^\nu_x $, в котором $ {|\nu| = m }$. В силу условия (13) и определения (3) имеем
\[ \begin{equation}
[ D^\nu_x {u}^{ [ n ]}( t^{ [ n ]}_0 , {}\cdot {}) ]_{\alpha} =
[ D^\nu_x {u}_0 ( {}\cdot {}) ]_{\alpha} < \infty .
\end{equation} \tag{19} \]

Пусть $ x^{(a)} \in \mathbb{R}^d$, $ x^{(b)} \in \mathbb{R}^d$, $ x^{(a)} \not = x^{(b)} $. Из (4) следует, что
\[ \begin{equation}
(D^\nu_x u^{[n]} ( t^{[n]}_k , {}\cdot{} )) ( x^{(a)} ) -
(D^\nu_x u^{[n]} ( t^{[n]}_k , {}\cdot{} )) ( x^{(b)} ) =
D_{(1)} + D_{(2)} ,
\end{equation} \tag{20} \]
где
\[ \begin{multline*}
D_{(1)} = \int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_n (y)
\Bigl( D^\nu_x u^{[n]} \bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x^{(a)} - \delta_n v
( t^{[n]}_k ,x^{(a)} ) - y \bigr) - {}
\\
{}-
D^\nu_x u^{[n]}
\bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x^{(b)} -
\delta_n v ( t^{[n]}_k ,x^{(b)} ) - y \bigr) \Bigr) dy ,
\end{multline*} \]
\[ \begin{equation*}
D_{(2)} = { \delta_n } \Bigl( D^\nu_x f \bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x^{(a)} , u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x^{(a)} ) \bigr) -
D^\nu_x f \bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x^{(b)} ,
u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x^{(b)} ) \bigr) \Bigr) .
\end{equation*} \]

Поскольку для $\varphi \in C^{m + \alpha}(\mathbb{R}^d)$ и $ |\nu'| < m$ имеет место неравенство
\[ \begin{multline*}
\frac{| D^{\nu'}_x \varphi( {}\cdot{} )(x^{(a)})-
D^{\nu'}_x \varphi( {}\cdot{} )(x^{(b)})|}{|x^{(a)} - x^{(b)}|^\alpha}\leqslant
{}
\\
{}
\leqslant \biggl(
\sum_{|\nu''|= |\nu'|+1 }
\sup_{\xi \in \mathbb{R}^d} |D^{\nu''}_x \varphi( {}\cdot{} )(\xi)|
\biggr)^\alpha \Bigl(2 \sup_{\xi \in \mathbb{R}^d }
|D^{\nu'}_x \varphi({}\cdot{} )(\xi)| \Bigr)^{1 - \alpha} < \infty ,
\end{multline*} \]
используя правило дифференцирования сложной функции и предполагая, что $ u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , {}\cdot{} ) \in C^{m + \alpha } ( \mathbb{R}^d ) $, с учетом условия (6) и леммы 2 получаем
\[ \begin{multline}
| D_{(1)} |\leqslant [ D^\nu_x u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , {}\cdot{} )]_{\alpha } | x^{(a)} - x^{(b)} |^\alpha + {}
\\
{} + \delta_n C \biggl( \sum_{|\nu'| = m }
[ D^{\nu'}_x u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , {}\cdot{} )]_{\alpha} +
\sum_{|\nu'| = m } [ D^{\nu'}_x v (t^{[n]}_k ,{} \cdot {}) ]_{\alpha} \biggr) | x^{(a)} - x^{(b)} |^\alpha +
{}
\\
{} + \delta_n C | x^{(a)} - x^{(b)} |^{\alpha},
\end{multline} \tag{21} \]
где $C$ — независимая от $n$ и $k$ постоянная. Аналогичным образом с учетом условий (9) и (12) имеем
\[ \begin{multline}
| D_{(2)} |\leqslant \delta_n C' \biggl( \sum_{|\nu'| = m }
[ D^{\nu'}_x u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , {}\cdot {}) ]_{\alpha}
+ \sum_{|\nu'| = m } [ D^{\nu'}_x f (t^{[n]}_k , {}\cdot{}, u ) ]_{\alpha} \biggr)
| x^{(a)} - x^{(b)} |^\alpha +{}
\\
+ \delta_n C | x^{(a)} - x^{(b)} |^{\alpha} .
\end{multline} \tag{22} \]

Из (20)–(22) следует, что существует независимая от $n$ и $k$ постоянная $C'$ такая, что
\[ \begin{equation*}
\sum_{|\nu| = m }
[ D^{\nu}_x u^{[n]} (t^{[n]}_{k} , {}\cdot{} ) ]_{\alpha} \leqslant
( 1 + \delta_n C' ) \sum_{|\nu| = m } [ D^\nu_x u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , {}\cdot{} ) ]_{\alpha} + \delta_n C' .
\end{equation*} \]
Значит,
\[ \begin{equation*}
\sum_{|\nu| = m }
[ D^{\nu}_x u^{[n]} (t^{[n]}_{k} , {}\cdot{} ) ]_{\alpha} \leqslant
(1 + \delta_n C' )^k \sum_{|\nu| = m } [ D^{\nu}_x u^{[n]} (t^{[n]}_0 , {}\cdot {}) ]_{\alpha} +
\delta_n C' \sum_{j=1}^{k} (1 + \delta_n C' )^{k-j}
\end{equation*} \]
при $ 0 \leqslant t^{[n]}_{k } \leqslant \tau $.

Из последнего неравенства, равенства (19) и определения (5) следует, что существует возрастающая непрерывная и независимая от $n$ функция $ {\Phi}_{\alpha,m} (t) $, удовлетворяющая неравенству (18) в отрезке $ [0, \tau]$. Так как $\tau > 0$ произвольная величина, функцию $ {\Phi}_{\alpha,m} (t)$ можно продолжить на все $ t\geqslant 0$, что завершает доказательство леммы 3. $\square$

4. Сходимость приближенных решений

Лемма 4. Пусть $ u^{[n]} ( t, x ) $ — функции, определенные соотношениями (3)–(5). Пусть выполнены предположения теоремы 1. Тогда для каждого $\tau > 0 $ функции $ u^{[n]} ( t, x ) $ и их производные по $x \in \mathbb{R}^d $ до порядка $m$ включительно сходятся при $n\to\infty$ равномерно на $ [0, \tau ]\times \mathbb{R}^d$, а их производные порядка $ m$ сходятся в норме $C^{0+\alpha'} ( \mathbb{R}^d )$ $(0 < \alpha' < \alpha )$ для каждого $t \geqslant 0$. Кроме того, существует функция $\overline{\Phi}_{m+\alpha} (t)$, определенная условиями (6), (9) и (13) для $v$, $f$, и $u_0$, такая, что предельная функция $ u ( t, x ) $ последовательности $ \{ u^{[n]} ( t, x ) \}_{n=1}^\infty $ удовлетворяет неравенству (14).

Доказательство. Лемма будет доказана в три шага.

Шаг 1. Функции $ u^{[n]} ( t, x ) $ и их производные по $x \in \mathbb{R}^d$ до порядка $m-1$ включительно сходятся равномерно на $ [0, \tau ] \times \mathbb{R}^d $ для любого $ \tau > 0$.

Действительно, равномерная сходимость $ u^{[n]} ( t, x ) $ и их производных первого и второго порядков на $ [0, \tau ] \times \mathbb{R}^d $ для каждого $ \tau > 0 $ доказывается так же, как в [8, 9]. Аналогичным образом с использованием оценки (17) равномерная сходимость может быть доказана и для их производных порядка от 2 до $ m - 1$.

Шаг 2. Докажем, что производные функций $ u^{[n]} ( t, x ) $ по $x \in \mathbb{R}^d$ порядка $m$ сходятся равномерно на $ [0, \tau ] \times \mathbb{R}^d $ для любого $ \tau > 0 $.

Напомним, что $ t^{[n+1]}_{2k + 2} = t^{[n]}_{k + 1} $, и рассмотрим разность $ D^\nu_x u^{[n +1]} ( t^{[n+1]}_{2k + 2} , x ) - D^\nu_x u^{[n ]} ( t^{[n]}_{k + 1} , x ) $. Для упрощения записи введем следующие обозначения:
\[ \begin{equation*}
w^{[m', n]}_{\nu', k}(x) = D^{\nu'}_x u^{[n]} ( t^{[n]}_k, x) ,
\quad
m' = |\nu'|, \quad \nu' = ( \nu'_1 , \ldots , \nu'_d ) ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\xi_{k'}^{ n' }(x,y ) = x - \delta_{n'}
v(t_{k' }^{ [ n' ]},x) - y .
\end{equation*} \]

Из (4) следует, что $u^{[n +1]} ( t^{[n+1]}_{2k + 2} , x )$ может быть выражено в виде
\[ \begin{multline}
u^{[n +1]} ( t^{[n+1]}_{2k + 2} , x ) =
\int_{ \mathbb{R}^d }
\int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n+1} (y_1) \Theta_{n+1} (y_2)
u^{[n+1]} \bigl(t^{[n+1]}_{2k} , \xi^\ast (y_1, y_2 ) \bigr) dy_1 dy_2 +{}
\\
{} + \delta_{n+1} \int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n+1} (y_1)
f \Bigl(t^{[n+1]}_{2k} , \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1) , u^{[n+1]} \bigl(t^{[n+1]}_{2k }
, \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1) \bigr) \Bigr) dy_1 +
{}
\\
{}
+ \delta_{n+1} f (t^{[n+1]}_{2k + 1} , x , U ), \quad k = 1, 2, \ldots,
\end{multline} \tag{23} \]
где
\[ \begin{equation*}
\xi^\ast (y_1, y_2 ) = \xi_{2k + 2}^{n+1} (x , y_1)
- \delta_{n+1} v (t^{[n+1]}_{2k + 1} ,
\xi_{2k + 2}^{n+1} (x , y_1) ) - y_2,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
U = \int_{\mathbb{R}^d} \Theta_{n+1} ( y)
u^{[n+1]} \bigl(t^{[n+1]}_{2k}, \xi_{2k+1}^{n+1} (x, y)\bigr) dy +
\delta_{n+1}
f\bigl( t^{[n+1]}_{2k}, x, u^{[n+1]} (t^{[n+1]}_{2k}, x)\bigr).
\end{equation*} \]

С другой стороны, так как $ \displaystyle \Theta_n (y) = \int_{ \mathbb{R}^d} \Theta_{n+1} (y - y_1 ) \Theta_{n+1} ( y_1 ) dy_1 $, для произвольной регулярной функции $ \varphi ( {}\cdot {}) $ имеем
\[ \begin{equation*}
\int_{ \mathbb{R}^d} \Theta_n (y) \varphi ( x - y ) dy = \int_{ \mathbb{R}^d} \int_{ \mathbb{R}^d} \Theta_{n+1} (y_2) \Theta_{n+1} (y_1) \varphi ( x - y_1 - y_2 ) dy_1 dy_2 .
\end{equation*} \]
Поэтому из (4) также получим
\[ \begin{multline}
u^{[n ]} ( t^{[n]}_{k + 1} , x ) = \int_{ \mathbb{R}^d } \int_{ \mathbb{R}^d }
\Theta_{n+1} (y_1) \Theta_{n+1} (y_2)
u^{[n]} (t^{[n]}_{k} , \xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2) ) dy_1 dy_2 + {}
\\
{}
+ \delta_{n} f \bigl(t^{[n]}_{k} , x , u^{[n]} (t^{[n]}_{k }, x ) \bigr),
\quad k = 1, 2, \ldots.
\end{multline} \tag{24} \]

Из (23) и (24) следует, что
\[ \begin{multline}
D^\nu_x u^{[n +1]} ( t^{[n+1]}_{2k + 2} , x ) -
D^\nu_x u^{[n ]} ( t^{[n]}_{k + 1} , x ) =
{}
\\
{}= \int_{ \mathbb{R}^d } \int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n+1} (y_1)
\Theta_{n+1} (y_2) \bigl(D^\nu_x (U_1) + D^\nu_x (U_2) \bigr) dy_1 dy_2+ {}
\\
{}
+ \delta_{n+1} \int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n+1} (y_1) D^\nu_x ( F_1) dy_1 + \delta_{n+1} D^\nu_x (F_2) ,
\end{multline} \tag{25} \]
где
\[ \begin{equation*}
U_1 = u^{[n+1]} \bigl(t^{[n+1]}_{2k } , \xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2) \bigr) -
u^{[n]} \bigl(t^{[n]}_{k} , \xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2) \bigr),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
U_2 = u^{[n+1]} \bigl(t^{[n+1]}_{2k} , \xi^\ast (y_1, y_2 ) \bigr) -
u^{[n+1]} \bigl(t^{[n+1]}_{2k} , \xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2) \bigr),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_1 = f \Bigl(t^{[n+1]}_{2k} , \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1) , u^{[n+1]} \bigl(t^{[n+1]}_{2k }
, \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1) \bigr) \Bigr) - f \bigl(t^{[n]}_{k} , x , u^{[n]} (t^{[n]}_{k }, x ) \bigr),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_2 = f (t^{[n+1]}_{2k + 1} , x , U) -
f \bigl(t^{[n]}_{k} , x , u^{[n]} (t^{[n]}_{k }, x ) \bigr).
\end{equation*} \]

В силу условия (6) имеем оценку
\[ \begin{multline*}
|D^\nu_x U_1| \leqslant 
\bigl|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2k} \bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr)
- w^{[m, n]}_{\nu, k}\bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr) \bigr| +
{}
\\
{}+ C_1 \delta_{n+1} \sum_{|\nu'|=m}
\bigl|w^{[m, n+1]}_{\nu', 2k}
\bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr) -
w^{[m, n]}_{\nu', k} \bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr) \bigr| + {}
\\
{} + C_1 \delta_{n+1} \sum_{|\nu'|=m', \, 0 < m' < {m}}
\bigl|w^{[m', n+1]}_{\nu', 2k} \bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr) -
w^{[m', n]}_{\nu', k}\bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr) \bigr|,
\end{multline*} \]
где $C_1$ — независимая от $n$ и $k$ постоянная.

С другой стороны, с учетом леммы 2 и условий (6) и (7) имеем
\[ \begin{multline*}
|D^\nu_x U_2| \leqslant \bigl|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k} \bigl(\xi^\ast (y_1, y_2 )\bigr) -
w^{[m, n+1]}_{\nu, 2k}\bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr) \bigr| +{}
\\
{}
+ C_2 \delta_{n+1} \sum_{|\nu'|=m}
\bigl|w^{[m, n+1]}_{\nu', 2 k}\bigl(\xi^\ast (y_1, y_2 )\bigr) -
w^{[m, n+1]}_{\nu', 2k}\bigl(\xi^{n}_{k+1}\bigl(x, y_1+y_2)\bigr) \bigr| + {}
\\
{}
+ C_2 \delta_{n+1} \bigl|D^\nu_x v \bigl(t^{[n+1]}_{2k+1}, \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1)\bigr) -
D^\nu_x v (t^{[n]}_{k+1}, x) \bigr| +
C_2 \delta_{n+1}^2 + C_2 \delta_{n+1} |y_1| ,
\end{multline*} \]
где $C_2$ — независимая от $n$ и $k$ постоянная.

Заметим, что в силу леммы 3 имеем оценки
\[ \begin{multline*}
\bigl|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k} \bigl(\xi^\ast (y_1, y_2 )\bigr) -
w^{[m, n+1]}_{\nu, 2k}\bigl(\xi^{n}_{k+1}(x, y_1+y_2)\bigr) \bigr| \leqslant
{}
\\
{}
\leqslant [ D^\nu_x u^{[n+1]}( t^{[n+1]}_{2k}, {}\cdot{}) ]_{\alpha}
|\xi^\ast (y_1, y_2 ) - \xi^{n}_{k+1} (x, y_1+y_2)|^\alpha \leqslant
{}
\\
{} \leqslant [ D^\nu_x u^{[n+1]}( t^{[n+1]}_{2k}, {}\cdot {})]_{\alpha} \delta_{n+1}^\alpha
\bigl( \delta_{n+1} \sup|\partial_t v| + \sup|\nabla v|( \sup|v| \delta_{n+1} + |y_1|)
\bigr)^\alpha
\end{multline*} \]
(здесь и далее запишем просто $\sup$ вместо $\sup _{0\leqslant t \leqslant \tau, x \in \mathbb{R}^d}$). Кроме этого, из условий (6) и (8) следует, что
\[ \begin{multline*}
\!\!\!\!\!
|D^\nu_x v (t^{[n+1]}_{2k+1}, \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1)) -
D^\nu_x v ( t^{[n]}_{k+1}, x) | \leqslant
{}
\\
{}
\leqslant |D^\nu_x v (t^{[n+1]}_{2k+1},x) - D^\nu_x v(t^{[n]}_{k+1}, x) |
+ \bigl|D^\nu_x v \bigl(t^{[n+1]}_{2k+1}, \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1)\bigr) -
D^\nu_x v (t^{[n+1]}_{2k+1}, x) \bigr| \leqslant {}
\\
{}
\leqslant C_3 \delta_{n+1}^{\alpha_1} +
[ D^\nu_x v( t^{[n+1]}_{2k+1}, {}\cdot{}) ]_{\alpha} (\delta_{n+1} \sup|v| + |y_1|)^\alpha ,
\end{multline*} \]
где $C_3$ — независимая от $n$ и $k$ постоянная.

Следовательно, учитывая соотношение
\[ \begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d} \Theta_{n+1} |y|^\alpha dy =
C_\alpha \delta_{n+1}^{{\alpha}/{2}}
\end{equation} \tag{26} \]
с независимой от $n$ постоянной $ C_\alpha$, определенной числом $\alpha$, делаем вывод, что существует независимая от $n$ постоянная $C$ такая, что
\[ \begin{multline}
\!\!\!\!\!
\sup_{x \in \mathbb{R}^d }\biggl|
\int_{ \mathbb{R}^d } \int_{ \mathbb{R}^d }
\Theta_{n+1} (y_1) \Theta_{n+1} (y_2) \bigl(D^\nu_x (U_1) + D^\nu_x (U_2)
\bigr) dy_1 dy_2 \biggr| \leqslant {}
\\
{}
\leqslant \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |w^{[m, n+1]}_{\nu, 2k} (x) - w^{[m, n]}_{\nu, k}(x) |
+ C \delta_{n+1} \sum_{|\nu'|=m} \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |w^{[m, n+1]}_{\nu', 2k} (x)
- w^{[m, n]}_{\nu', k}(x) | +{}
\\
{}+ C \delta_{n+1} \!\!\!\!\! \sum_{ |\nu'|=m', \; 0 <m' < m} \sup_{x \in \mathbb{R}^d}
|w^{[m', n+1]}_{\nu', 2k}(x) - w^{[m', n]}_{\nu', k}(x) | +
C \delta_{n+1}^{\min(1+\alpha_1, \, {3\alpha}/{2})} .
\end{multline} \tag{27} \]

Рассмотрим теперь второе слагаемое правой части (25). В силу леммы 2 и условий (6) и (9) имеем
\[ \begin{multline}
\!\!\!\!\!
|D^\nu_x F_1| \leqslant |w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(x) - w^{[m, n]}_{\nu, k}(x) |
+ C'_1 \bigl|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}\bigl(\xi^{n+1}_{2k+2} (x, y_1)\bigr) -
w^{[m, n+1]}_{\nu, 2k}(x) \bigr| +{}
\\
{}+ C'_1 \!\!\!\!\! \sum_{|\nu'|=m' , \, 0 < m' < m} \!\!\!\!\!
|w^{[m', n+1]}_{\nu', 2 k}(x) - w^{[m', n]}_{\nu', k}(x) | +
C'_1 |u^{[n+1]} ( t^{[n+1]}_{2 k}, x) - u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x)| +{}
\\
{}
+ C'_1 \sum_{|\nu'| = m} | f^{[\ast\ast]}_{\nu'} - f^{[\ast]}_{\nu'} |
+ C'_1 \delta_{n+1} + C'_1 |y_1| ,
\end{multline} \tag{28} \]
где
\[ \begin{equation*}
f^{[\ast\ast]}_{\nu'} = D^{\nu'}_{x,u}
f \Bigl(t^{[n+1]}_{2k}, \xi^{n+1}_{2k+2} (x, y_1), u^{[n+1]}
\bigl( t^{[n+1]}_{2 k}, \xi^{n+1}_{2k+2} (x, y_1) \bigr)\Bigr) ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
f^{[\ast]}_{\nu'} = D^{\nu'}_{x,u}
f \bigl(t^{[n]}_{k}, x, u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x )\bigr) ,
\end{equation*} \]
а $C'_1$ — независимая от $n$ и $k$ постоянная. В силу леммы 3 имеем
\[ \begin{multline}
|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(\xi^{n+1}_{2k+2} (x, y_1)) -
w^{[m, n+1]}_{\nu, 2k}(x) | \leqslant{}
\\
{}
\leqslant [ D^\nu_x u^{[n+1]}( ^{[n+1]}_{2 k}, {}\cdot{}) ]_{\alpha}
( \sup|v| \delta_{n+1} + |y_1| )^\alpha.
\end{multline} \tag{29} \]
Кроме этого, в силу условий (9) и (12) имеем
\[ \begin{multline}
\Bigl| D^{\nu'}_{x,u} f \Bigl(t^{[n+1]}_{2k}, \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1),
u^{[n+1]} \bigl( t^{[n+1]}_{2 k}, \xi^{n+1}_{2k+2}(x, y_1) \bigr)\Bigr) - {}\\
\hspace{5cm}
{} -
D^{\nu'}_{x,u} f \bigl(t^{[n]}_{k},x, u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x )\bigr) \Bigr|
\leqslant {}
\\
{}\leqslant C'_2 \bigl[
\bigl( \sup|v| \delta_{n+1} + |y_1|) \bigr)^\alpha +
\sup |\nabla u^{n+1}| \bigl( \sup|v| \delta_{n+1} + |y_1|) \bigr) +{}
\\
{}
+ \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |u^{[n+1]} ( t^{[n+1]}_{2 k}, x)
- u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x )| \bigr] ,
\end{multline} \tag{30} \]
где $ C'_2 $ — независимая от $n$ и $k$ постоянная. Из (26), (28), (29) и (30) вытекает, что существует независимая от $n$ и $k$ постоянная $C'$ такая, что
\[ \begin{multline}
\sup_{x \in \mathbb{R}^d} \biggl|
\int_{ \mathbb{R}^d }
\Theta_{n+1} (y_1) D^\nu_x ( F_1) dy_1 \biggr| \leqslant
\sup_{x \in \mathbb{R}^d} |w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(x) - w^{[m, n]}_{\nu, k}(x) | + {}
\\
{}
+ C' \!\!\!\!\! \sum_{|\nu'|=m' , \, 0 < m' < m }
\sup_{x \in \mathbb{R}^d} |w^{[m', n+1]}_{\nu', 2 k}(x) -
w^{[m', n]}_{\nu', k}(x) | + {}
\\
{}
+ C' \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |u^{[n+1]} ( t^{[n+1]}_{2 k}, x)
- u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x)| + C' \delta_{n+1}^{{\alpha}/{2}} .
\end{multline} \tag{31} \]

Что касается последнего слагаемого правой части (25), то с учетом условия (10) получаем
\[ \begin{multline}
|D^\nu_x F_2| \leqslant |w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(x) - w^{[m, n]}_{\nu, k}(x) | +
{}
\\
{}
+ \int_{\mathbb{R}^d} \Theta_{n+1} (y)
\bigl|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}\bigl(\xi^{n+1}_{2k+1}(x, y)\bigr) - w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(x) \bigr| dy + {}
\\
{}
+ C''_1 \!\!\!\!\! \sum_{|\nu'|=m', \, 0 < m' < m} \!\!\!\!\!
|w^{[m', n+1]}_{\nu', 2 k}(x) - w^{[m', n]}_{\nu', k}(x) | +
C''_1 |u^{[n+1]} ( t^{[n+1]}_{2 k}, x) - u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x)| +
{}
\\
{}
+ C''_1 \sum_{|\nu'| = m}
\bigl| D^{\nu'}_{x,u} f (t^{[n+1]}_{2k+1},x, U )
- D^{\nu'}_{x,u} f\bigl(t^{[n]}_{k},x, u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x ) \bigr)\bigr| +
C''_1 \sqrt{\delta_{n+1}} ,
\end{multline} \tag{32} \]
где $C''_1 $ — независимая от $n$ и $k$ постоянная. В силу леммы 3 имеем
\[ \begin{multline}
|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(\xi^{n+1}_{2k+1}(x, y)) - w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(x) | \leqslant {}
\\
{} \leqslant [ D^\nu_x u^{[n+1]}(t^{[n+1]}_{2 k}, {}\cdot {}) ]_{\alpha}
( \sup|v| \delta_{n+1} + |y| )^\alpha.
\end{multline} \tag{33} \]
Кроме этого, в силу условий (11) и (12) имеем
\[ \begin{multline}
\bigl| D^{\nu'}_{x,u} f (t^{[n+1]}_{2k+1},x, U) - D^{\nu'}_{x,u}
f \bigl( t^{[n]}_{ k} , x, u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x )\bigr) \bigr| \leqslant{}
\\
{} \leqslant C''_2 \bigl( \delta_{n+1}^{\alpha_2} + |u^{[n+1]} ( t^{[n+1]}_{2 k}, x )
- u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x )| + \sqrt{ \delta_{n+1}} \, \bigr) ,
\end{multline} \tag{34} \]
где $C''_2$ — независимая от $n$ и $k$ постоянная. Из (26), (32), (33) и (34) вытекает, что существует независимая от $n$ и $k$ постоянная $C''$ такая, что
\[ \begin{multline}
|D^\nu_x F_2| \leqslant \sup_{x \in \mathbb{R}^d}
|w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(x) - w^{[m, n]}_{\nu, k}(x) | + {}
\\
{}+ C'' \!\!\!\!\! \sum_{|\nu'|=m', \, 0 < m' < m'} \sup_{x \in \mathbb{R}^d}
|w^{[m', n+1]}_{\nu', 2 k}(x) - w^{[m', n]}_{\nu', k}(x) | + {}
\\
{}
+ C'' |u^{[n+1]} ( t^{[n+1]}_{2 k}, x) - u^{[n]} ( t^{[n]}_{k}, x)|
+ C'' \delta_{n+1}^{\min ( {\alpha }/{2} , \alpha_2)} .
\end{multline} \tag{35} \]

Из неравенств (27), (31) и (35) получаем
\[ \begin{multline*}
\sum_{0 \leqslant |\nu|\leqslant m} \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |D^\nu_x
u^{[n +1]} ( t^{[n+1]}_{2k + 2} , x ) - D^\nu_x u^{[n ]}
( t^{[n]}_{k + 1} , x )| \leqslant {}
\\
{}
\leqslant (1 + \widetilde{C} \delta_{n+1}) \sum_{0 \leqslant |\nu|\leqslant m}
\sup_{x \in \mathbb{R}^d} |w^{[m, n+1]}_{\nu, 2 k}(x) - w^{[m, n]}_{\nu, k}(x) | + \widetilde{C} \delta_{n+1}^{1+\beta} ,
\end{multline*} \]
где $ \beta = \min( {3\alpha}/{2}-1, \alpha_1, \alpha_2) $ и $ \widetilde{C} = C + C' + C''$. Таким образом, если положим
\[ \begin{equation*}
Y^{[m, n]}_{k+1} = \sum_{0 \leqslant |\nu|\leqslant m}
\sup_{x \in \mathbb{R}^d} |D^\nu_x u^{[n +1]}
( t^{[n+1]}_{2k + 2} , x ) - D^\nu_x u^{[n ]} ( t^{[n]}_{k + 1} , x )| ,
\end{equation*} \]
то имеет место неравенство
\[ \begin{equation*}
Y^{[m, n]}_{k+1} \leqslant ( 1 + \delta_{n+1}\widetilde{C}) Y^{[m, n]}_{k} + \widetilde{C}\delta_{n+1}^{1+\beta} ,
\end{equation*} \]
откуда с учетом соотношения $ Y^{[m, n]}_0 = 0$
\[ \begin{equation*}
Y^{[m, n]}_{k} \leqslant \widetilde{C}\delta_{n+1}^{1+\beta}
\sum_{j=0}^k ( 1 + \delta_{n+1}\widetilde{C})^{k-j} \leqslant \delta_{n+1}^{\beta} e^{t^{n}_{k+1}\widetilde{C}}.
\end{equation*} \]
Следовательно, напоминая определение $ Y^{[m, n]}_{k} $ и соотношение (5), получим
\[ \begin{equation}
\sum_{0 \leqslant |\nu|\leqslant m} \sup_{x \in \mathbb{R}^d}
|D^\nu_x u^{[n +1]} ( t , x ) - D^\nu_x u^{[n ]} ( t , x )|
\leqslant \delta_{n+1}^{\beta} e^{t^{n}_{k+1}\widetilde{C}} .
\end{equation} \tag{36} \]

Так как $ \beta > 0 $, имеем
\[ \begin{equation*}
\sum_{n= 0}^\infty \delta_{n+1}^\beta =\sum_{n= 0}^\infty \frac{1}{2^{n\beta}} < \infty .
\end{equation*} \]
Значит, из (36) вытекает равномерная сходимость $ D^\nu_x u^{[n ]} ( t , x ) $ при $ n \to \infty$.

Шаг 3. Докажем, что существует функция $\overline{\Phi}_{m+\alpha} (t)$, определенная условиями (6), (9) и (13) для $v$, $f$, и $u_0$ такая, что предельная функция $ u ( t, x ) $ удовлетворяет неравенству (14), а для каждого $t \geqslant 0$ $D^\nu_x u^{[n]} (t,x)$ $( |\nu| = m)$ сходится к $D^\nu_x u (t,x)$ в норме $C^{0+\alpha'} (\mathbb{R}^d)$ при $0 < \alpha' < \alpha $.

Действительно, из шагов 1 и 2 следует, что величина $ \sup_{0 \leqslant t' \leqslant t} \|u(t', \cdot)\|_{C^{m} } $ ограничена функцией, определенной условиями (6), (9) и (13) для $v$, $f$ и $u_0$. Помня об этом, рассмотрим для $ |\nu |=m$ неравенство
\[ \begin{multline*}
\frac{|D^\nu_x u(t,x) - D^\nu_x u(t,y) |}{|x-y|^{\alpha}} \leqslant
\frac{|D^\nu_x u^{[n]}(t,x) - D^\nu_x u^{[n]}(t,y) |}{|x-y|^{\alpha}} +
{}
\\
{}
+ \frac{|D^\nu_x u(t,x) - D^\nu_x u^{[n]}(t,x) |}{|x-y|^{\alpha}} 
+ \frac{|D^\nu_x u(t,y) - D^\nu_x u^{[n]}(t,y) |}{|x-y|^{\alpha}} .
\end{multline*} \]
Из шага 2 следует, что для каждого $\varepsilon > 0 $ можно найти $ \overline{n}_\varepsilon$ такое, что
\[ \begin{equation*}
|D^\nu_x u(t,x) - D^\nu_x u^{[n]}(t,x) | \leqslant \varepsilon \quad \text{ при } n \geqslant \overline{n}_\varepsilon .
\end{equation*} \]
Следовательно, в силу (18) имеем
\[ \begin{equation*}
\frac{|D^\nu_x u(t,x) - D^\nu_x u(t,y) |}{|x-y|^{\alpha}} \leqslant \Phi_{\alpha, m}(t) + 1 ,
\end{equation*} \]
откуда получим (14) с $ \overline{\Phi}_{m+\alpha}(t) = \Phi_{\alpha, m}(t) + \Phi_m (t) +1$. Сходимость $D^\nu_x u^{[n]} (t,x)$ ($ |\nu| = m$) к $D^\nu_x u (t,x)$ для каждого $t \geqslant 0$ в $C^{0+\alpha'} (\mathbb{R}^d)$ при $0 < \alpha' < \alpha $ следует из (14), (18), равномерной сходимости $D^\nu_x u^{[n]} (t,x)$ к $D^\nu_x u (t,x)$ и неравенства
\[ \begin{multline*}
\!\!\!
\sup \frac{| D^\nu_x u^{[n]} (t,x^{(a)}) - D^\nu_x u (t,x^{(a)}) -
( D^\nu_x u^{[n]} (t,x^{(b)}) - D^\nu_x u (t,x^{(b)}))|}{
|x^{(a)} - x^{(b)} |^{\alpha'}} \leqslant {}
\\
{}
\leqslant \Bigl( \sup \frac{| D^\nu_x u^{[n]} (t,x^{(a)}) -
D^\nu_x u (t,x^{(a)}) - ( D^\nu_x u^{[n]} (t,x^{(b)}) -
D^\nu_x u (t,x^{(b)}))|}{ |x^{(a)} - x^{(b)} |^{\alpha'}}
\Bigr)^{{\alpha'}/{\alpha}} \times {}
\\
\times \bigl( \sup
\bigl| D^\nu_x u^{[n]} (t,x^{(a)}) -
D^\nu_x u (t,x^{(a)}) - \bigl( D^\nu_x u^{[n]} (t,x^{(b)}) -
D^\nu_x u (t,x^{(b)})\bigr) \bigr| \bigr)^{({\alpha - \alpha'})/{\alpha}},
\end{multline*} \]
где $ \sup = \sup_{x^{(a)} , x^{(b)} \in \mathbb{R}^d, \, x^{(a)}\not = x^{(b)}} $. Лемма 4 доказана. $\square$

5. Переход к пределу

Перед тем как доказать, что предельная функция $ u ( t, x ) $ удовлетворяет уравнению переноса-диффузии (1), напомним сначала связь между приближенными решениями $ u^{[n]} ( t , x ) $ и уравнением (1).

Лемма 5. Пусть $ \tau >0 $, а $ u^{[n]} ( t, x ) $ — функция, определенная соотношениями (3), (4). Пусть выполнены предположения теоремы 1. Тогда при $ t^{[n]}_{1} \leqslant t^{[n]}_{k} \leqslant \tau_+ $ имеем
\[ \begin{multline}
\frac{u^{[n]} ( t^{[n]}_{k} , x ) - u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x)}{\delta_n }
=- v (t^{[n]}_{k}, x) \cdot \nabla u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x) +
{}
\\
{}
+ \kappa \Delta u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x) +
f \bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x , u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x ) \bigr) + R ,
\end{multline} \tag{37} \]
\[ \begin{equation}
|R| \leqslant \delta_n^{ {\alpha}/{2}} C_0 ,
\end{equation} \tag{38} \]
где $C_0$ — независимая от $n$ постоянная, определенная предположениями.

Доказательство. Согласно формуле Тейлора получаем
\[ \begin{multline}
u^{[n]} \bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x - \delta_n v (t^{[n]}_{k}, x ) - y \bigr) ={}
\\
{}=
u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x) -
\delta_n v (t^{[n]}_{k}, x) \cdot
\nabla u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x) - y \cdot \nabla u^{[n]}
(t^{[n]}_{k - 1} , x ) +{}
\\
\hspace{5.7cm}
{} + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^d y_i y_j \frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
(t^{[n]}_{k - 1} , x ) + {}
\\
{}
+ \int_{0}^1 (1-s) \sum_{i,j=1}^d y_i y_j
\Bigl[
\frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
\bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x -\delta_n v (t^{[n]}_{k}, x ) s - y s\bigr)
-
{}
\\
\hspace{6.8cm}
{}
- \frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
(t^{[n]}_{k - 1} , x)
\Bigr]ds +
{}
\\
{}
+ \int_{0}^1 (1-s) \sum_{i,j=1}^d \bigl[ \delta_n^2 v_i (x) v_j (t, x)
+ 2 \delta_n v_i (t, x) y_j \bigr] \times{}
\\
{}\times \frac{\partial^2 u^{[n]}
}{\partial x_i \partial x_j}
\bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x - \delta_n v (t^{[n]}_{k}, x ) s - y s\bigr) ds .
\end{multline} \tag{39} \]
Так как
\[ \begin{equation*}
\int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n} (y) y_j dy = 0 , \quad
\int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n} (y) y_i y_j dy = 0 \ \text{ для } \
i \not = j , \quad \int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n} (y) y_i^2 dy
= 2 \delta_n \kappa ,
\end{equation*} \]
имеем
\[ \begin{equation*}
\int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n} (y) y \cdot \nabla u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x) dy = 0 ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n} (y)
\biggl[ \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^d y_i y_j
\frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
(t^{[n]}_{k - 1} , x ) \biggr]dy = \delta_n \kappa
\Delta u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x ) .
\end{equation*} \]

С другой стороны, так как $m \geqslant 2$, в силу леммы 3 производные второго порядка функции $ u^{[n]} $ по $x$ непрерывны по Гёльдеру с показателем $\alpha$, так что
\[ \begin{multline*}
\Bigl|\frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
(t^{[n]}_{k - 1} , x -\delta_n v (t^{[n]}_{k}, x ) s - y s)
- \frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
(t^{[n]}_{k - 1} , x)\Bigr| \leqslant {}
\\
{}
\leqslant \Bigl[ \frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
(t^{[n]}_{k}, {}\cdot{})\Bigr]_{\alpha} ( \sup|v| \delta_n + |y|)^\alpha s^\alpha.
\end{multline*} \]
Следовательно, с учетом (26) имеем
\[ \begin{multline*}
\biggl|
\int_{ \mathbb{R}^d } \Theta_{n} (y) \biggl( \int_{0}^1 (1-s)
\sum_{i,j=1}^d y_i y_j
\Bigl[
\frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
\bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x -\delta_n v (t^{[n]}_{k}, x ) s - y s\bigr) -
{}
\\
{}
- \frac{\partial^2 u^{[n]} }{\partial x_i \partial x_j}
(t^{[n]}_{k - 1} , x) \Bigr]ds \biggr)dy \biggr| \leqslant C_1
\delta_n^{1 + {\alpha}/{2}} ,
\end{multline*} \]
где $C_1 $ — независимая от $n$ постоянная. Кроме этого, так как производные второго порядка функции $ u^{[n]} $ по $x$ равномерно ограничены (см. лемму 2), интеграл последнего слагаемого (39), умноженного на $ \Theta_{n} (y) $, ограничен величиной $ C_2 \delta_n^{{3}/{2}} $ с независимой от $n$ постоянной $ C_2 $.

Принимая во внимание (4), из полученных выше соотношений получаем
\[ \begin{multline*}
u^{[n]} ( t^{[n]}_{k} , x ) - u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x) =
- \delta_n v (t^{[n]}_{k - 1}, x) \cdot \nabla u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x) + {}
\\
{}
+ \delta_n \kappa \Delta u^{[n]} \bigl(t^{[n]}_{k - 1} , x) +
{ \delta_n } f (t^{[n]}_{k - 1} , x , u^{[n]} (t^{[n]}_{k - 1} , x ) \bigr) + { \delta_n } R
\end{multline*} \]
с $ |R| \leqslant \delta_n^{ {\alpha}/{2}} C_0 $. Разделив обе части этого равенства на $ \delta_n $, получим (37). Лемма 5 доказана. $\square$

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию
\[ \begin{equation*}
h^{[n]} (t) = t^{[n]}_{k - 1} \ \ \text{при} \ \ t^{[n]}_{k - 1}
\leqslant t < t^{[n]}_{k} , \quad k = 1, 2, \ldots .
\end{equation*} \]
Тогда из соотношений (37), (38) и определения (5) получим
\[ \begin{multline*}
\frac{\partial u^{[n]} }{\partial t} (t, x ) =
- v \bigl(h^{[n]} (t+\delta_n), x \bigr) \cdot \nabla u^{[n]} \bigl(h^{[n]} (t) , x \bigr)
+ \kappa \Delta u^{[n]} \bigl(h^{[n]} (t) , x\bigr) + {}
\\
{}
+ f \Bigl(h^{[n]} (t) , x , u^{[n]} \bigl(h^{[n]} (t) , x \bigr) \Bigr) + R
\ \ \text{при} \ \ t \not = t^{[n]}_{k} .
\end{multline*} \]
Продолжим обе части этого равенства на $ t \leqslant 0 $ их значениями на $ 0 < t < t^{[n]}_{1} $. Тогда их свертка по $t$ со стандартной регуляризируюшей функцией $\varrho_\varepsilon (t) $ дает
\[ \begin{multline}
\varrho_\varepsilon \ast_t \partial_t u^{[n]} ( {} \cdot {}, x ) (t) =
{}
\\
{} =
\varrho_\varepsilon \ast_t
\Bigl( - v \bigl( h^{[n]} ( {}\cdot{} +\delta_n), x \bigr)
\cdot \nabla u^{[n]} \bigl(h^{[n]} ( {}\cdot{}) , x \bigr)
+ \kappa \Delta u^{[n]} \bigl(h^{[n]} ( {}\cdot {}) , x \bigr) +
{}
\\
{}
+ f \Bigl( h^{[n]} ( {}\cdot {}) , x , u^{[n]} \bigl(h^{[n]} ( {}\cdot{}) , x \bigr) \Bigr) +
R \Big) (t) ,
\end{multline} \tag{40} \]
где $\ast_t$ обозначает свертку по $t$.

Учитывая равномерную сходимость производных первого и второго порядка по $x$ приближенных решений (см. лемму 5), нетрудно видеть, что правая часть равенства (40) сходится равномерно к функции
\[ \begin{equation*}
\varrho_\varepsilon \ast_t \Bigl( - v ({}\cdot{}, x) \cdot \nabla u ({}\cdot{} , x)
+ \kappa \Delta u ({}\cdot{} , x) + f \bigl( {}\cdot{} , x , u ({}\cdot{} , x ) \bigr) \Bigr)(t)
\end{equation*} \]
на $[0, \tau]\times\mathbb{R}^d$ при $n \to \infty$.

Пусть $ \varphi(t) $ — обладающая непрерывной производной функции такая, что ее носитель ограничен и расположен внутри $ \mathbb{R}_+ $. Тогда из равенства
\[ \begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)
\Bigl( \varrho_\varepsilon
\ast_t \frac{\partial u^{[n]} }{\partial t} ({}\cdot{}, x )\Bigr)(t) dt =
- \int_{-\infty}^{+\infty}
\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \ast_t\varrho_\varepsilon \Bigr)(t) u^{[n] }(t, x ) dt
\end{equation*} \]
и равномерной сходимости приближенных решений $u^{[n]}(t, x)$ к функции $u$ на $[0, \tau]\times\mathbb{R}^d$ следует, что
\[ \begin{equation*}
\lim_{n \to +\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)
\Bigl( \varrho_\varepsilon \ast_t \frac{\partial u^{[n]} }{\partial t}
({}\cdot{}, x )\Bigr)(t) dt =
- \int_{-\infty}^{+\infty}
\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\ast_t\varrho_\varepsilon \Bigr)(t)
u(t, x ) dt .
\end{equation*} \]
Следовательно,
\[ \begin{multline*}
- \int_{-\infty}^{+\infty}
\Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \ast_t\varrho_\varepsilon \Bigr)(t) u(t, x ) dt = {}
\\
{}
= \int_{-\infty}^{+\infty} (\varphi\ast_t\varrho_\varepsilon )(t)
\Bigl( - v (t, x) \cdot \nabla u (t , x) + \kappa \Delta u (t , x)
+ f (t , x , u (t , x ) \bigr) \Bigr) dt .
\end{multline*} \]
Отсюда получается равенство (15) при $\varepsilon\to 0$. Теорема 1 доказана. $\square$

Выводы

В этой работе рассмотрены приближенные решения для уравнения переноса-диффузии, построенные путем применения ядра теплопроводности на каждом шаге дискретизации по времени, и кроме их сходимости к решению уравнения переноса-диффузии доказана принадлежность предельной функции к пространству Гёльдера. Оценки этих приближенных решений и их предельной функции имеют независимое от коэффициента диффузии поведение, что дает возможность использовать их в дальнейшем исследовании поведения решения в случае, когда коэффициент диффузии стремится к нулю. Также благодаря использованию непрерывности по Гёльдеру показано, что предельная функция приближенных решений может иметь такую же дифференцируемость по $x$, как и заданная функция переноса $ v (t, x) $, что является первым шагом в направлении изучения квазилинейных уравнений.

Конкурирующие интересы. Мы заявляем об отсутствии явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.
Авторский вклад и ответственность. Вклад авторов равноценен. Мы несем полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательной версии рукописи нами одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Amina Nemdili

École Normale Supérieure El Katiba Assia Djebar Constantine

Email: nemdili.amina@gmail.com
ORCID iD: 0009-0007-5898-3360
https://www.mathnet.ru/person213536

Assistant; Teacher, Member of Laboratory; Lab. of Applied Mathematics and Didactics

Algeria, 25000, Constantine, Ain El Bey Ali Mendjeli, Ville Universitaire

Farhouh Korichi

École Normale Supérieure de Kouba

Email: korichi_korichi@yahoo.com
ORCID iD: 0009-0006-6442-3506
https://www.mathnet.ru/person213537

Associate Professor; Member of Laboratory; Lab. of Theory of Fixed-Point and Applications

Algeria, 16050, Alger, Vieux Kouba, B.P. 92

Hisao Fujita Yashima

École Normale Supérieure El Katiba Assia Djebar Constantine

Author for correspondence.
Email: hisaofujitayashima@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0001-9937-8406
https://www.mathnet.ru/person29081

Professor; Member of Laboratory; Lab. of Applied Mathematics and Didactics

Algeria, 25000, Constantine, Ain El Bey Ali Mendjeli, Ville Universitaire

References

Supplementary files