Том 28, № 3 (2024)

Недавно автором было введено и разработано новое интегральное преобразование, которое обобщает множество известных интегральных преобразований. Цель этой работы — расширение данного интегрального преобразования (преобразование Халуты) различными операторами дробной производной. Рассматриваются дробные производные в смысле Римана–Лиувилля, Лиувилля–Капуто, Капуто–Фабрицио, Атанганы–Балеану–Римана–Лиувилля и Атанганы–Балеану–Капуто. Доказаны теоремы, касающиеся свойств преобразования Халуты для решения дробных дифференциальных уравнений с использованием указанных операторов дробной производной. Приведено несколько примеров для проверки надежности и эффективности предложенной техники. Результаты показывают, что преобразование Халуты является эффективным инструментом при работе с дробными дифференциальными уравнениями.

Рассматриваются вопросы распространения плоских гармонических связанных волн температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений в полуизотропном термоупругом теле. Получены и проанализированы характеристические уравнения для волновых чисел плоских гармонических связанных термоупругих продольных (бикубическое уравнение) и поперечных волн перемещений (уравнение 8-й степени, естественным образом распадающееся на два алгебраических уравнения 4-й степени). Для продольной волны комплексные амплитуды температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений оказываются также связанными, в отличие от поперечной волны. С помощью системы символьных вычислений Wolfram Mathematica 13 для волновых чисел поперечных волн получены алгебраические формы, содержащие многозначные комплексные квадратные и кубические радикалы.

Разработан численный метод для расчета релаксации остаточных напряжений во вращающемся поверхностно упрочненном призматическом образце с полукруглым надрезом в условиях высокотемпературной ползучести. Задача моделирует напряженно-деформированное состояние образца, у которого одна грань закреплена на вращающемся с постоянной скоростью диске.
Методика включает в себя следующие этапы:
– реконструкцию полей остаточных напряжений и пластических деформаций после предварительного поверхностного пластического деформирования;
– расчет релаксации остаточных напряжений в процессе ползучести вращающегося призматического стержня.
Выполнен детальный анализ задачи для призматического образца размером 150 $\times$ 10 $\times$ 10 мм из сплава ЭП742. Одна из граней этого образца была упрочнена с помощью механического ультразвукового упрочнения. Решение задачи рассматривалось для образца с полукруглыми надрезами радиусами 0.1 и 0.3 мм, расположенными на расстоянии 2 и 75 мм от жестко закрепленной грани.
В области надрезов после опережающего поверхностного пластического деформирования задачи решались как в упругой, так и в упруго-пластической постановках. Полученные начальные поля остаточных напряжений и пластических деформаций использовались в качестве исходных данных для решения задачи ползучести.
Анализ влияния радиусов надрезов, их расположения, угловой скорости и начальных полей остаточных напряжений на релаксацию остаточных напряжений проводился при температуре 650 °C на основе феноменологической теории течения, построенной на известных экспериментальных данных для данного сплава.
Результаты показали, что для определения начального напряженно-деформированного состояния после предварительного пластического деформирования для надреза радиусом 0.1 мм необходимо использовать упруго-пластическое решение, тогда как для радиуса 0.3 мм различия между упругими и упруго-пластическими решениями незначительны.
Исследование релаксации остаточных напряжений проводилось при угловых скоростях 1500 и 2000 об/мин в течение 100 часов. Несмотря на заметную релаксацию остаточных напряжений для образцов с надрезами радиусом 0.1 и 0.3 мм, после полной температурно-силовой разгрузки в области надрезов все же наблюдается значительный уровень остаточных сжимающих напряжений. Это свидетельствует о высокой эффективности поверхностного упрочнения при эксплуатации в условиях высокотемпературной ползучести.

При реализации активной стратегии управления динамическим поведением конструкций, в состав которых входят элементы, выполненные из пьезоэлектрических материалов, как правило, используют два пьезоэлемента, один из которых выступает в роли сенсора, а другой – актуатора. При этом проблема заключается в определении величины управляющего сигнала, подаваемого на актуатор, и аппаратной реализации необходимого закона управления. В связи с необходимостью формирования сложных электрических цепей, представляющих собой блок управления, привлекательным становится предварительное моделирование механического отклика на тот или иной управляющий сигнал.
В настоящей работе подход, позволяющий на основе решения задачи о собственных колебаниях электровязкоупругой конструкции получить аналитические выражения для определения величины электрического потенциала, генерируемого в момент резонанса на электродированной поверхности пьезоэлемента при его деформировании на рассматриваемой моде при вынужденных установившихся колебаниях, распространен на случай использования двух пьезоэлементов, выполняющих функции сенсора и актуатора и располагающихся соответствующим образом на поверхности конструкции.
Выведены аналитические выражения для определения величины управляющего сигнала, который подается на актуатор и обеспечивает демпфирование заданной моды колебаний. Управляющий сигнал формируется путем преобразования сигнала, получаемого от сенсора.
Приемлемость предложенного подхода продемонстрирована на примере консольно защемленной пластинки, выполненной из вязкоупругого материала, механическое поведение которого описывается комплексными динамическими модулями. По обе стороны пластинки размещены пьезоэлементы, играющие роли сенсора и актуатора. Численная реализация предложенного подхода осуществляется методом конечных элементов с использованием пакета прикладных программ ANSYS. Продемонстрировано хорошее совпадение результатов, полученных по выведенным формулам, с результатами расчета в ANSYS. Предложенный подход позволяет существенно сократить временные и ресурсные затраты при математическом моделировании активного управления вынужденными установившимися колебаниями электровязкоупругих тел, определить условия, которым должны удовлетворять элементы блока управления при реализации активной стратегии управления динамическим поведением такого рода smart-систем.

Системные исследования деятельности региональной энергосистемы с целью повышения эффективности управления энергетическим комплексом с учетом вклада используемых ресурсов принципиально невозможны без совершенствования математических моделей и методов их идентификации на основе статистических данных.
В статье приводятся результаты анализа известного математического описания функционирования региональной энергосистемы, на основе которого отмечаются существенные недостатки, негативно влияющие как на достоверность оценок основных показателей эффективности энергетического комплекса, так и на точность прогноза, сделанного на основе построенной модели.
В работе рассматриваются и систематизируются по трем основным группам как различные трехфакторные регрессионные модели, так и ковариационно-стационарные модели временных рядов на основе линейной и нелинейной регрессии. Описаны алгоритмы численных методов среднеквадратического оценивания параметров этих моделей на основе результатов наблюдений. Приведены результаты математического моделирования динамики выпуска продукции энергосистемы на основе статистических данных, публикуемых в ежегодной отчетности региональных министерств и энергетических компаний. Проведен статистический анализ полученных результатов. Сравнительный анализ разработанных математических моделей на основе оценки погрешности прогноза позволил выбрать из рассматриваемой совокупности моделей наиболее эффективную математическую модель с минимальной ошибкой прогноза на период времени от одного года до пяти лет.