Wave numbers of harmonic plane waves of translational and spinor displacements in a semiisotropic thermoelastic solid

Full Text

Введение и предварительные сведения

Несмотря на многочисленные публикации по теории микрополярных тел и по проблемам распространения гармонических волн в микрополярных упругих средах [1–9], некоторые проблемы, существенные как для теории, так и для прикладных вопросов, до сих пор остаются неисследованными. К указанным проблемам следует отнести следующие.

1. Алгебраические уравнения (дисперсионные соотношения) для волновых чисел в подавляющем большинстве публикаций находятся исключительно для продольных волн. Так, в монографии [5] отсутствуют дисперсионные соотношения для поперечных волн в гемитропной среде.
2. Не исследованы вопросы ориентации в пространстве (поляризаций) для плоских гармонических волн, что препятствует применению теории микрополярной термоупругости в экспериментах и не позволяет говорить о завершенности рассматриваемых исследований.
3. Не освещается в должной мере вопрос распространения волны сколь угодно сложной формы с точки зрения принципа суперпозиции Фурье [10] и интеграла Фурье.
4. Для гемитропной среды не рассматриваются вопросы существования зеркальных мод [11]. Отметим, что в изотропном случае они не образуются и не наблюдаются.

Модели термомеханики упругих полуизотропных микрополярных сред основываются на энергетических квадратичных формах микрополярных упругих потенциалов [5, 12–26]. Представление упругих потенциалов, описывающих деформирование сплошных микрополярных сред, в общем случае может быть выполнено только при использовании формализма псевдотензорной алгебры [28–30], однако в итоговом варианте их в конце концов удается привести к абсолютной тензорной форме [27]. Следует отметить три принципиально различных способа построения упругих потенциалов.

• Представление (E) связано с разложением определяющих тензоров/ псевдотензоров на симметричную и антисимметричную части и последующим понижением их ранга. Это представление наиболее подходит для конструирования фигур Ная [31–33], позволяющих быстро выяснить количество определяющих констант, установить наличие/отсутствие связей между ними [34–37] и, в конце концов, выделить наборы независимых [37].
• Представление (H) — наиболее естественное с точки зрения тензорной алгебры [41] и наиболее полезное с точки зрения построения новых моделей анизотропных тел [41–44]. Представление (H) позволяет сразу же редуцировать анизотропное тело к полуизотропному, ультрагемитропному, изотропному и ультраизотропному.
• Представление (A) основано на системах неприводимых алгебраических рациональных инвариантов [28, 38].

В настоящей статье в рамках развиваемой авторами модели полуизотропного термоупругого микрополярного тела [18–26] исследуются процессы распространения плоских гармонических связанных волн температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений в полуизотропном термоупругом теле. Вычисляются волновые числа продольных и поперечных плоских гармонических волн. С помощью системы символьных вычислений Wolfram Mathematica 13 для волновых чисел поперечных и продольных волн получены алгебраические формы, содержащие многозначные комплексные квадратные и кубические радикалы.

1. Связанные уравнения динамики и уравнение теплопроводности полуизотропной микрополярной термоупругости

Уравнения динамики микрополярного континуума выводятся из вариационного принципа виртуальных перемещений сразу в общей ковариантной форме [13, 24]:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
\nabla_i {t} ^{ik}&=- {\rho}(f^k-{\partial_{\boldsymbol{\cdot\cdot}}^2 u^k}),\\
\nabla_i {\mu} ^{i\cdot}_{\cdot k}-2 {\tau} _{k}&=- {\rho}({l}{}_k-{\mathfrak I}{\partial_{\boldsymbol{\cdot\cdot}}^2{\phi} _k}).
\end{aligned}
\end{equation} \tag{1} \]
Здесь и далее используются терминология и обозначения, принятые в [13]. Причем \(\partial_{\boldsymbol{\cdot\cdot}}^2=(\partial_{\boldsymbol{\cdot}})^2=\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\).

Определяющие уравнения полуизотропной микрополярной среды записываются в форме [13, 24]:
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
{t}{}^{(is)}= \,\,& 2 {G}{}\left({\nu(1-2\nu)^{-1}g^{is}g^{lm}+g^{il}g^{sm}}\right)\epsilon_{(lm)}+
\\
&+
{G} {L}(c_4g^{is}g_{lm} {\kappa}{}^{(lm)}+c_5 {\kappa}{}^{(is)})-{2 {G}\underset{*}{\alpha}}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}g^{is} \theta,
\\
{\mu}{}_{(is)} = \,\,& 2 {G} {L}^2(c_3g_{is}g_{lm}+g_{il}g_{sm}) {\kappa}{}^{(lm)}+
\\
&+ {G} {L}(c_4g_{is}g^{lm}\epsilon_{(lm)}+c_5\epsilon_{(is)})- {2 {G} {L}^2 {\underset{*}{\beta}}}g_{is} \theta,
\\
{\vphantom{G}\tau}{}_{i} = \,\,& 2 {G}{c}{}_{1}g_{is} {\vphantom{G}\varphi}{}^s+\dfrac{1}{2} {G} {L}{c}{}_{6}\kappa_i,
\\
{\vphantom{G}\mu}{}^i = \,\,& 2 {G} {L}^2{c}{}_{2}\,\,g^{is}\kappa_s+\dfrac{1}{2} {G} {L}{c}{}_{6} {\vphantom{G}\varphi}{}^i,
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Возвращаясь к записи в терминах асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений, получим
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
{t}{}_{is}=\,\, &{G}\Bigl[(1+c_1)\nabla_iu_s+(1-c_1)\nabla_su_i+2\nu(1-2\nu)^{-1}g_{is}\nabla_ku^k- {}
\\
& {}-2c_1e_{isl} {\phi}{}^l+ {L}c_4g_{is}\nabla_l {\phi}{}^l+ {L}c_5\nabla_{(i} {\phi}{}_{s)}-
\frac{1}{2} {L}c_6\nabla_{[i} {\phi}{}_{s]}-{2\underset{*}{\alpha}}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu} g_{is}\theta\Bigr],
\\
{\mu}_{is}=\,\, &{G} {L}^2\Bigl[(1+c_2)\nabla_i {\phi}{}_{s}+(1-c_2)\nabla_s {\phi}{}_{i}+2c_3g_{is}\nabla_l {\phi}{}^l+ {}
\\
& {} + {L}\Bigl(c_4g_{is}\nabla_lu^l+c_5\nabla_{(i}u_{s)}-\frac{1}{2}c_6\nabla_{[i}u_{s]}
+\frac{1}{2}c_6\epsilon_{isl} {\phi}{}^l\Bigr)-{2 {\underset{*}{\beta}}}g_{is} \theta\Bigr].
\end{aligned}
\end{equation} \tag{2} \]

Подставив определяющие уравнения (2) в уравнения динамики (1), дополнив их уравнением теплопроводности [18, 21–26], для полуизотропного микрополярного тела получим замкнутую систему дифференциальных уравнений с частными производными:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&
{G}[(1+{ c}{}_{1})\nabla^s\nabla_su^i+(1-{c}{}_{1}+2\nu(1-2\nu)^{-1})\nabla^i\nabla_ku^k+2{ c}{}_{1}{\epsilon}{}^{ikl}\nabla_k {\phi}{}_{l}+ {}
\\
&
\qquad\qquad {}
+ {L}c' _4\nabla^i\nabla_k {\phi}{}^k+ {L}c' _5\nabla^k\nabla_k {\phi}{}^i]-{2 {G}\underset{*}{\alpha}}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}\nabla_i \theta= {\rho\vphantom{G}}{(\partial_{\boldsymbol{\cdot}})^2 u^i},
\\
&
 {G} {L}^2[(1+{ c}{}_{2})\nabla^s\nabla_s {\phi}{}_{i}+(1-{ c}{}_{2}+2{ c}_3)\nabla_i\nabla_k {\phi}{}^k+ {}
\\
&
\qquad\qquad {}
+ {L}{}^{-1}c' _4\nabla_i\nabla^ku_k+ {L}{}^{-1}c' _5\nabla^k\nabla_ku_i+ {L}{}^{-1}c' _6\epsilon_{isl}\nabla^s {\phi}{}^l]- {}
\\
&
\qquad\qquad {} -2 {G}{ c}{}_{1}(2 {\phi}{}_{i}-e^2\epsilon_{ikl}g^{ks}\nabla_su^l)-{2 {G} {L}^2 {\underset{*}{\beta}}}\nabla_i \theta= {\rho\vphantom{G}}{\mathfrak I}{(\partial_{\boldsymbol{\cdot}})^2 {\phi}{}_{i}},
\\
&
{\lambda}\nabla_s\nabla^s \theta -
{C} \partial_{\boldsymbol{\cdot}}{\theta} -
{2 {G}\underset{*}{\alpha}}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}{\theta_0}\nabla_s \partial_{\boldsymbol{\cdot}}u^s -
{2 {G} {L}^2 {\underset{*}{\beta}}}{\theta_0}\nabla_s \partial_{\boldsymbol{\cdot}} {\phi}{}^{s}\!=0,
\end{aligned}
\end{equation} \tag{3} \]
где приняты следующие обозначения:
\[ \begin{equation*}
c' _4=c_4+\dfrac{1}{2}c_5+\dfrac{1}{4}c_6,\quad
c' _5=\dfrac{1}{2}c_5-\dfrac{1}{4}c_6,\quad
c' _6=-c_6.
\end{equation*} \]

Система дифференциальных уравнений (3) ковариантна и, следовательно, пригодна для любой криволинейной координатной системы в трехмерном пространстве; иногда проще оперировать с векторной формой уравнений:
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& (1+{c}{}_{1}){\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla}{\mathbf u}+(1-{c}{}_{1}+ 2\nu(1-2\nu)^{-1}){\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\nabla}\cdot{\mathbf u}+2{c}{}_{1}{\boldsymbol\nabla}\times{\boldsymbol\phi}+ {}
\\
&
\qquad\qquad {} + {L}c' _4{\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\phi}+
{L}c' _5{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\phi}-2\underset{*}{\alpha}
\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}{\boldsymbol\nabla} \theta=\rho G^{-1} (\partial_{\boldsymbol{\cdot}})^2{\mathbf u},
\\
&
(1+{c}{}_{2}){\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\phi}+(1-{c}{}_{2}+2{c}_3){\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\phi}+ {L}{}^{-1}c' _4{\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\nabla}\cdot{\mathbf u}+ {}
\\
&
\qquad {} + {L}{}^{-1}c^
\prime_5{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla}{\mathbf u}+ {L}{}^{-1}c' _6 {\boldsymbol\nabla}\times{\boldsymbol\phi}-2{L}^{-2}{c}{}_{1}(2{\boldsymbol\phi}-{\boldsymbol\nabla}\times{\mathbf u})- {}
\\
&
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad {}
-{2{\underset{*}{\beta}}}{\boldsymbol\nabla} \theta=\rho {\mathfrak I} G^{-1} {L}^{-2} (\partial_{\boldsymbol{\cdot}})^2{{\boldsymbol\phi}},
\\
&
{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla} \theta
\!-\!
{C}{\lambda}^{-1} \partial_{\boldsymbol{\cdot}}{\theta}
\!-\!
{2G}{\lambda}^{-1}\underset{*}{\alpha}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}{\boldsymbol\nabla}\cdot \partial_{\boldsymbol{\cdot}}{\mathbf u}-
{2G}{\lambda}^{-1}{L}^2 {\underset{*}{\beta}}{\boldsymbol\nabla}\cdot \partial_{\boldsymbol{\cdot}} {\boldsymbol\phi}=0,
\end{aligned}
\right.
\end{equation} \tag{4} \]
где выполнена замена \(C\theta_0^{-1}\longrightarrow C\), \(\lambda\theta_0^{-1}\longrightarrow\lambda\).

Система дифференциальных уравнений в частных производных (4), записанная в терминах вектора трансляционных перемещений \({\mathbf u}\), вектора спинорных перемещений \({\boldsymbol\phi}\) и температурного инкремента \(\theta\), служит основой для исследования сильных и слабых разрывов в микрополярной гемитропной среде, а также волновых процессов, которые в рассматриваемом случае характеризуются одновременным распространением прямых и зеркальных мод.

2. Распространение плоских связанных гармонических волн в полуизотропном термоупругом микрополярном теле

Рассмотрим задачу о распространении связанной гармонической плоской волны с частотой \(\omega\). В этом случае поля температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений можно представить в форме
\[ \begin{equation}
{\mathbf u}={\mathbf A}\Phi,
\quad
{\boldsymbol\phi}={\mathbf S}\Phi,
\quad
\theta=B\Phi,
\quad
\Phi=e^{i\,{\rm Arg}\,\Phi},
\quad
{\rm Arg}\,\Phi={\mathbf k\cdot \mathbf r}-\omega t ,
\end{equation} \tag{5} \]
где \({\mathbf k}\) — волновой вектор; \({\mathbf r}\) — радиус-вектор; \(\omega\) — циклическая частота гармонической волны; \({\mathbf A}\), \({\mathbf S}\) — векторы комплексных амплитуд трансляционных и спинорных перемещений соответственно; \(B\) — (комплексная) амплитуда температурного инкремента; \(\Phi\) — фазовый множитель; \({\rm Arg}\,\Phi\) — фаза плоской волны. \({\rm Arg}\,\Phi={\rm const}\) — фазовые плоскости. При этом для существования связанной термоупругой волны необходимо выполнение условия
\[ \begin{equation*}
B^2\ne 0.
\end{equation*} \]

Производные полей температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений (5) вычисляются согласно соотношениям
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla}{\mathbf u} &=-k^2{\mathbf A}\Phi,
&
{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\phi} &=-k^2{\mathbf S}\Phi,
\\
{\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\nabla}\cdot{\mathbf u} &=-{\mathbf k}({\mathbf k}\cdot{\mathbf A})\Phi,
&
{\boldsymbol\nabla}{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\phi} &=-{\mathbf k}({\mathbf k}\cdot{\mathbf S})\Phi,
\\
{\boldsymbol\nabla}\times{\mathbf u} &=i{\mathbf k}\times{\mathbf A}\Phi,
&
{\boldsymbol\nabla}\times{\boldsymbol\phi} &=i{\mathbf k}\times{\mathbf S}\Phi,
\\
(\partial_{\boldsymbol{\cdot}})^2{\mathbf u}&=-\omega^2{\mathbf A}\Phi,
&
(\partial_{\boldsymbol{\cdot}})^2{\boldsymbol\phi}&=-\omega^2{\mathbf S}\Phi,
\\
{\boldsymbol\nabla}\cdot \partial_{\boldsymbol{\cdot}}{\mathbf u} &=\omega{\mathbf k}\cdot{\mathbf A}\Phi,
&
{\boldsymbol\nabla}\cdot \partial_{\boldsymbol{\cdot}}{\boldsymbol\phi} &=\omega{\mathbf k}\cdot{\mathbf S}\Phi,
\\
{\boldsymbol\nabla}\cdot{\boldsymbol\nabla} \theta &=-k^2 B\Phi,
&
\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\theta &=-i\omega B\Phi,
\end{aligned}
\end{equation} \tag{6} \]
где \(k^2={\mathbf k}\cdot{\mathbf k}\). Отметим, что \({\mathbf k}=k{\mathbf s}\), \(k\) — комплексное число, \({\mathbf s}\) — вещественный вектор.

Учитывая соотношения (6), после ряда преобразований получим систему уравнений, связывающую волновой вектор \({\mathbf{k}}\), циклическую частоту \(\omega\), векторы поляризации плоской волны \({\mathbf A}\), \({\mathbf S}\) и амплитуду \(B\):
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& [\rho G^{-1}\omega^2-(1+{c}{}_{1})k^2]{\mathbf A}-(1-{c}{}_{1}+ 2\nu(1-2\nu)^{-1}){\mathbf k}({\mathbf k}\cdot{\mathbf A})+ {}
\\
&
\qquad\qquad {} +2{c}{}_{1}i{\mathbf k}\times{\mathbf S}- {L}c'_4{\mathbf k}({\mathbf k}\cdot{\mathbf S})-
{L}c'_5k^2{\mathbf S}-2\underset{*}{\alpha}
\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}i{\mathbf{k}}B={\mathbf 0},
\\
&
[\rho {\mathfrak I} G^{-1} {L}^{-2}\omega^2-4{L}^{-2}{c}{}_{1}-(1+{c}{}_{2})k^2]{\mathbf S}-(1-{c}{}_{2}+2{c}_3){\mathbf k}({\mathbf k}\cdot{\mathbf S})- {}
\\
&
\qquad {}-{L}{}^{-1}c'_4{\mathbf k}({\mathbf k}\cdot{\mathbf A})-{L}{}^{-1}c'_5k^2{\mathbf A} + {L}{}^{-1}c'_6 i{\mathbf k}\times{\mathbf S} + 2{L}^{-2}{c}{}_{1}i{\mathbf k}\times{\mathbf A}- {}
\\
&
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad {}-{2{\underset{*}{\beta}}}i{\mathbf{k}}B={\mathbf 0},
\\
&
({C}{\lambda}^{-1} i\omega -k^2) B
\!-\!
{2G}{\lambda}^{-1}\underset{*}{\alpha}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}\omega({\mathbf k}\cdot{\mathbf A})-
{2G}{\lambda}^{-1}{L}^2 {\underset{*}{\beta}}\omega({\mathbf k}\cdot{\mathbf S})=0.
\end{aligned}
\right.
\end{equation} \tag{7} \]

Представим векторы комплексных амплитуд трансляционных \({\mathbf A}\) и спинорных \({\mathbf S}\) перемещений в виде суммы
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
{\mathbf A}&={\mathbf A}_{\perp} + A_\parallel {\mathbf k},
&
{\mathbf S}&={\mathbf S}_{\perp} + S_\parallel {\mathbf k},
\end{aligned}
\end{equation} \tag{8} \]
где векторы \({\mathbf A}_{\perp}\) и \({\mathbf S}_{\perp}\) лежат в плоскости, перпендикулярной волновому вектору, т.е. в фазовой плоскости.

Подставив представление (8) в систему (7), получим
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& [\rho G^{-1}\omega^2-(1+{c}{}_{1})k^2]({\mathbf A}_{\perp} + A_\parallel {\mathbf k})-(1-{c}{}_{1}+ 2\nu(1-2\nu)^{-1})A_\parallel k^2{\mathbf k}+ {}
\\
&
\qquad {}+2{c}{}_{1}i{\mathbf k}\times{\mathbf S}_{\perp}- {L}c' _4 S_\parallel k^2{\mathbf k}-
{L}c' _5k^2({\mathbf S}_{\perp} + S_\parallel {\mathbf k})-2\underset{*}{\alpha}
\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}i{\mathbf{k}}B={\mathbf 0},
\\
&
[\rho {\mathfrak I} G^{-1} {L}^{-2}\omega^2-4{L}^{-2}{c}{}_{1}-(1+{c}{}_{2})k^2]({\mathbf S}_{\perp} + S_\parallel {\mathbf k})-(1-{c}{}_{2}+2{c}_3)S_\parallel k^2{\mathbf k}- {}
\\
&
\qquad\qquad\qquad {} -{L}{}^{-1}c' _4 A_\parallel k^2{\mathbf k}-{L}{}^{-1}c'_5k^2({\mathbf A}_{\perp} + A_\parallel {\mathbf k})+ {L}{}^{-1}c' _6 i{\mathbf k}\times{\mathbf S}_{\perp}+ {}
\\
&
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad {} +2{L}^{-2}{c}{}_{1}i{\mathbf k}\times{\mathbf A}_{\perp}-{2{\underset{*}{\beta}}}i{\mathbf{k}}B={\mathbf 0},
\\
&
({C}{\lambda}^{-1} i\omega -k^2) B
\!-\!
{2G}{\lambda}^{-1}\underset{*}{\alpha}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}\omega A_\parallel k^2-
{2G}{\lambda}^{-1}{L}^2 {\underset{*}{\beta}}\omega S_\parallel k^2=0.
\end{aligned}
\right.
\end{equation} \tag{9} \]

Система (9) распадается на две независимые системы уравнений.

3. Волновые числа связанной продольной плоской гармонической волны

Проекции уравнений системы (7) на волновой вектор \({\mathbf k}\) представляют собой замкнутую систему трех линейных однородных уравнений:
\[ \begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \Big(\omega^2-\dfrac{G(2-2\nu)}{\rho(1-2\nu)}k^2\Big)A_\parallel -
(c' _4+
c' _5)\rho^{-1} G{L} k^2 S_\parallel -2\underset{*}{\alpha}
\dfrac{G(1+\nu)}{\rho(1-2\nu)}iB={ 0},
\\
&
[\omega^2-4{c}{}_{1}(\rho {\mathfrak I})^{-1} G -2(1+c_3)(\rho {\mathfrak I})^{-1} G {L}^{2}k^2]S_\parallel - {}
\\
&
\qquad\qquad\qquad\qquad {}-(c' _4+c'_5)(\rho {\mathfrak I})^{-1} G {L}k^2A_\parallel -{2 {\underset{*}{\beta}}}(\rho {\mathfrak I})^{-1} G {L}^{2}i B={ 0},
\\
&
({C}{\lambda}^{-1} i\omega -k^2) B
\!-\!
{2G}{\lambda}^{-1}\underset{*}{\alpha}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu}\omega A_\parallel k^2-
{2G}{\lambda}^{-1}{L}^2 {\underset{*}{\beta}}\omega S_\parallel k^2=0.
\end{aligned}
\right.
\end{equation} \tag{10} \]

Для существования нетривиального решения алгебраической системы (10) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:
\[ \begin{equation}
\begin{vmatrix}
\omega^2- V_{\parallel}^2 k^2
& -a_1k^2
& -ia_2
\\
-a_1{\mathfrak I}{}^{-1}k^2
& \omega^2-\Omega-(V_{\parallel}^{\mu\mu})^2 k^2
& -i a_3
\\
-a_4\omega k^2
& -a_5\omega k^2
& i a_6\omega - k^2
\end{vmatrix}
=0,
\end{equation} \tag{11} \]
где
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
V_{\parallel}^2 &=\dfrac{G(2-2\nu)}{\rho(1-2\nu)},
&
(V_{\parallel}^{\mu\mu})^2 &=\dfrac{2GL^{2}(1+{c}_3)}{\rho {\mathfrak I}},
&
a_2 &=2\underset{*}{\alpha}\dfrac{G(1+\nu)}{\rho(1-2\nu)},
\\
\rho {\mathfrak I}\Omega &=4{c}{}_{1} G,
&
\rho a_1 &=(c' _4+ c' _5) G{L},
&
\rho {\mathfrak I} a_3 &={2 {\underset{*}{\beta}}} G {L}^{2},
\\
\lambda a_4 &={2G}\underset{*}{\alpha}\dfrac{1+\nu}{1-2\nu},
&
\lambda a_5 &={2G}{L}^2 {\underset{*}{\beta}},
&
\lambda a_6 &={C}.
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Алгебраическое уравнение (11) представляет собой бикубическое уравнение относительно подлежащего определению волнового числа:
\[ \begin{equation}
Q_6 k^6 +
Q_4 k^4 +
Q_2 k^2 +
Q_0 = 0,
\end{equation} \tag{12} \]
где введены обозначения
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
Q_6 =
&\,a_1^2 {\mathfrak I} - (V_{\parallel}V_{\parallel}^{\mu\mu})^2 ,
\qquad\qquad
Q_0= i a_6 \omega^3(\omega^2 - \Omega),
\\
Q_4=
&\,(V_{\parallel}^2 + (V_{\parallel}^{\mu\mu})^2) \omega^2 - V_{\parallel}^2 \Omega + i [a_1 (a_3 a_4 + a_2 a_5 {\mathfrak I})
-{}
\\
&\qquad\qquad\qquad
{}-(
a_6 Q_6 + a_3 a_5 V_{\parallel}^2 + a_2 a_4 (V_{\parallel}^{\mu\mu})^2 )] \omega ,
\\
Q_2=
&\,\omega^2 \Omega - \omega^4 + i [a_2 a_4
+ a_3 a_5 - a_6 (V_{\parallel}^2 + (V_{\parallel}^{\mu\mu})^2 )] \omega^3 +{}
\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad
{}+ i (a_6 V_{\parallel}^2 - a_2 a_4) \omega \Omega .
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Воспользовавшись заменой
\[ \begin{equation*}
{k^2}=Y-\dfrac{Q_4}{3Q_6},
\end{equation*} \]
бикубическое уравнение (12) можно свести к неполному кубическому уравнению
\[ \begin{equation}
Y^3+pY+q=0,
\end{equation} \tag{13} \]
где коэффициенты уравнения суть
\[ \begin{equation*}
p=\dfrac{2Q_6Q_2-Q_4^2}{Q_6^2},
\qquad
q=\dfrac{2Q_4^3-9Q_6Q_4Q_2+27Q_6^2Q_0}{27Q_6^3}.
\end{equation*} \]

Уравнение (13) не имеет вещественных корней, т.е. \({\rm Im}\,k\ne 0 \). Иначе продольная волна оказалась бы незатухающей.

Решение неполного кубического уравнения (13) можно найти согласно формулам Кардано [39, 40]. Приведем указанное решение в канонической алгебраической форме
\[ \begin{equation}
Y_1= a + b, \quad Y_{2,3}=-\frac{1}{2}(a+b) \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}(a-b),
\end{equation} \tag{14} \]
где
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
&a=\sqrt[{3}]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\mathfrak{D_1}}}, \quad
b=\sqrt[{3}]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\mathfrak{D_1}}}, \quad
\mathfrak{D_1}=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27},
\\
&\mathrm{Re} \mathfrak{D_1} = \frac{1}{4} (\mathrm{Re}\,q)^2-\frac{1}{4} (\mathrm{Im}\,q)^2+\frac{1}{27} (\mathrm{Re}\,p) ^3-\frac{1}{9} (\mathrm{Re}\,p) (\mathrm{Im}\,p)^2,
\\
&\mathrm{Im} \mathfrak{D_1} = \frac{1}{2} (\mathrm{Re}\,q) (\mathrm{Im}\,q)+\frac{1}{9} (\mathrm{Re}\,p)^2 (\mathrm{Im}\,p)-\frac{1}{27} (\mathrm{Im}\,p)^3.
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Достаточно выбрать одно из значений квадратного корня $\sqrt{\mathfrak{D_1}}$. Воспользуемся далее известной формулой для нахождения квадратного корня из комплекснозначного выражения $p = \mathrm{Re}\,p + i \mathrm{Im}\,p$. Положив $\sqrt{p} = z = \mathrm{Re}\,z + i \mathrm{Im}\,z$, имеем ровно два значения для $\sqrt{p}$, которые вычисляются согласно формулам
\[ \begin{equation*}
\sqrt{2}\mathrm{Re}\,z = \pm \sqrt{\mathrm{Re}\,p+\sqrt{(\mathrm{Re}\,p )^2+(\mathrm{Im}\,p )^2}}, \qquad \mathrm{Im}\,z = \dfrac{\mathrm{Im}\,p }{2\mathrm{Re}\,z }.
\end{equation*} \]
Находим также
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
&\sqrt{2}\mathrm{Re} \sqrt{\mathfrak{D_1}} = \sqrt{\mathrm{Re} \mathfrak{D_1}+\sqrt{(\mathrm{Re} \mathfrak{D_1} )^2+(\mathrm{Im} \mathfrak{D_1} )^2}},
\\
&\mathrm{Im} \sqrt{\mathfrak{D_1}} = \dfrac{\mathrm{Im} \mathfrak{D_1} }{2\mathrm{Re} \sqrt{\mathfrak{D_1} }}.
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Применяя формулы (14), для каждого из трех значений величины $a$ необходимо подбирать такое значение $b$, для которого выполняется условие
\[ \begin{equation*}
a b= -{p}/{3}.
\end{equation*} \]

Следуя указанной схеме, получаем все три комплексных корня неполного кубического уравнения (13).

Остается разрешить использованную выше подстановку относительно волнового числа и получить окончательные формулы:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&
{k_{1,2,3}}=\sqrt{Y_{1,2,3}-\dfrac{Q_4}{3Q_6}}\, ,
\\
&
k_4=-k_1, \qquad
k_5=-k_2, \qquad
k_6=-k_3.
\end{aligned}
\end{equation} \tag{15} \]

Значения волновых чисел (15), полученные при исследовании бикубического (12) уравнения, можно впоследствии использовать при отделении однозначных ветвей многозначных квадратных и кубических радикалов на комплексной плоскости $k = \mathrm{Re}k + i \, \mathrm{Im}k$ (\({\rm Re}\, k > 0\)).

4. Волновые числа поперечной плоской атермической волны

Рассмотрим проекции системы линейных уравнений (9) в фазовой плоскости. Введем в рассмотрение два единичных взаимно ортогональных вектора \(\boldsymbol{\imath}\) и \(\boldsymbol{\jmath}\), лежащих в фазовой плоскости. Тогда векторы \({\mathbf A}_{\perp}\) и \({\mathbf S}_{\perp}\) можно представить в форме
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
{\mathbf A}_{\perp}&=\underset{1}{A}{}_{\perp}{\boldsymbol{\imath}}+ \underset{2}{A}{}_{\perp}{\boldsymbol{\jmath}},
&
{\mathbf S}_{\perp}&=\underset{1}{S}{}_{\perp}{\boldsymbol{\imath}}+ \underset{2}{S}{}_{\perp}{\boldsymbol{\jmath}} .
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Проекции системы линейных уравнений (9) на орты \({\mathbf{1}}\) и \({\mathbf{2}}\) примут вид
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
[\omega^2-&(1+{c}{}_{1})G\rho^{-1}k^2]\underset{1}{A}{}_{\perp}-
{L}c' _5G\rho^{-1}k^2\underset{1}{S}{}_{\perp} -2i{c}{}_{1}G\rho^{-1} k\underset{2}{S}{}_{\perp}={ 0},
\\
[\omega^2-&(1+{c}{}_{1})\rho G^{-1}k^2]\underset{2}{A}{}_{\perp}+2i{c}{}_{1}\rho G^{-1} k\underset{1}{S}{}_{\perp}-
{L}c'_5\rho G^{-1}k^2\underset{2}{S}{}_{\perp} ={ 0},
\\
[\omega^2-&4{c}{}_{1}(\rho{\mathfrak I})^{-1}G - (1+{c}{}_{2}){L}^{2}(\rho{\mathfrak I})^{-1}Gk^2]\underset{1}{S}{}_{\perp} - {}
\\
{}
-&{L}c^
\prime_5(\rho{\mathfrak I})^{-1}Gk^2\underset{1}{A}{}_{\perp} - i{L}c' _6 (\rho{\mathfrak I})^{-1}Gk\underset{2}{S}{}_{\perp} - 2i{c}{}_{1}(\rho{\mathfrak I})^{-1}Gk\underset{2}{A}{}_{\perp}={ 0},
\\
[\omega^2-&4{c}{}_{1}(\rho{\mathfrak I})^{-1}G - (1+{c}{}_{2}){L}^{2}(\rho{\mathfrak I})^{-1}Gk^2]\underset{2}{S}{}_{\perp} - {}
\\
{}
-&{L}c^
\prime_5(\rho{\mathfrak I})^{-1}Gk^2\underset{2}{A}{}_{\perp} + i{L}c' _6 (\rho{\mathfrak I})^{-1}G k\underset{1}{S}{}_{\perp} + 2i{c}{}_{1}(\rho{\mathfrak I})^{-1}Gk\underset{1}{A}{}_{\perp}={ 0}.
\end{aligned}
\end{equation} \tag{16} \]

Для существования нетривиального решения системы линейных однородных уравнений (16) необходимо и достаточно, чтобы нижеследующий определитель был равен нулю:
\[ \begin{equation}
\begin{vmatrix}
\omega^2-(V_{\perp}^{\mu})^2k^2\!\!\!
& 0
& -a_7 k^2
& -i a_8 k
\\
0
& \!\!\!\omega^2-(V_{\perp}^{\mu})^2k^2\!\!\!
& i a_8 k
& -a_7 k^2
\\
-a_7 k^2
& -i a_8 k
& \!\!\!\omega^2 {\mathfrak I}-4\Omega_\perp - (V_{\perp}^{\mu\mu})^2{\mathfrak I} k^2\!\!\!
& -i a_9 k
\\
i a_8 k
& -a_7 k^2
& i a_9 k
&\!\!\! \omega^2 {\mathfrak I}-4\Omega - (V_{\perp}^{\mu\mu})^2{\mathfrak I} k^2
\end{vmatrix}
=0,
\end{equation} \tag{17} \]
где введены обозначения
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
(V_{\perp}^{\mu})^2 &=\dfrac{G(1+{c}{}_{1})}{\rho},
&
(V_{\perp}^{\mu\mu})^2 &=\dfrac{G(1+{c}{}_{2})}{\rho {\mathfrak I}},
&
4\Omega_\perp &={\mathfrak I}\Omega,
\\
a_7 \rho &={L}c'_5G,
&
a_8 \rho{\mathfrak I} &=2{c}{}_{1} G,
&
a_9 \rho{\mathfrak I} &={L}c'_6 G.
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Волновые числа поперечных волн вещественны, что следует из физики плоских поперечных волн. Указанное обстоятельство связано с атермичностью поперечной волны, т.е. c отсутствием потери энергии. В этом случае матрица (17) симметрична комплексно-сопряженной относительно главной диагонали.

Алгебраическое уравнение (17) представляет собой уравнение относительно квадрата волнового числа:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
P_4^2 k^8 + (2 P_2 P_4-P_3^2) k^6 & + (P_2^2 - 2 P_1 P_3 + 2 P_0 P_4) k^4 + {}
\\
&
{}+(2 P_0 P_2-P_1^2) k^2 + P_0^2=0,
\end{aligned}
\end{equation} \tag{18} \]
где введены обозначения
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
P_0
=&\,
\omega^2 ({\mathfrak I} \omega^2 - 4 \Omega_\perp),
\qquad\quad
P_1
=
a_9 \Omega_\perp^2,
\\
P_4
=&\,
a_7^2 - {\mathfrak I} (V_{\perp}^{\mu})^2 (V_{\perp}^{\mu\mu})^2,
\qquad
P_3
=
2 a_7 a_8 - a_9 (V_{\perp}^{\mu})^2,
\\
P_2
=&
a_8^2 + {\mathfrak I} (V_{\perp}^{\mu})^2 \Omega_\perp^2 + {\mathfrak I} (V_{\perp}^{\mu\mu})^2 \Omega_\perp^2 - 4 (V_{\perp}^{\mu})^2 \Omega_\perp
.
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Заметим, что уравнение (18) можно представить в виде произведения следующих двух уравнений:
\[ \begin{equation*}
(P_4 k^4 + P_3 k^3 + P_2 k^2 + P_1 k + P_0)
(P_4 k^4 - P_3 k^3 + P_2 k^2 - P_1 k + P_0) =0.
\end{equation*} \]

Корни уравнения (18) вычисляются по формулам
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&
k_{s}=\pm\dfrac{P_3}{4 P_4} \pm \dfrac{1}{2} \sqrt{{{\mathfrak P}_5}+{{\mathfrak P}_4} } \pm \frac{1}{2} \sqrt{2{{\mathfrak P}_5}-{{\mathfrak P}_4}-
{{\mathfrak P}_6}\Big({{{\mathfrak P}_5}
+
{{\mathfrak P}_4}}\Big)^{-1/2}},
\\
&s=1,\ldots,8.
\end{aligned}
\end{equation} \tag{19} \]
где введены обозначения
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
&{{\mathfrak P}_1}=P_2^2-3 P_1 P_3+12 P_0 P_4 ,
\\
&
{{\mathfrak P}_2}=2 P_2^3-9 P_1 P_2 P_3+27 P_0 P_3^2+27 P_1^2 P_4-72 P_0 P_2 P_4 ,
\\
&
{{\mathfrak P}_3}=\sqrt[{3}]{{{\mathfrak P}_2}+\sqrt{{{\mathfrak P}_2}^2-4{{\mathfrak P}_1}^3}} ,
\qquad
{{\mathfrak P}_4}=\dfrac{\sqrt[{3}]{2}{{\mathfrak P}_1}}{3 P_4{{\mathfrak P}_3}}
+\dfrac{{\mathfrak P}_3}{3\sqrt[{3}]{2}P_4} ,
\\
&
{{\mathfrak P}_5}=\dfrac{P_3^2}{4 P_4^2}-\dfrac{2 P_2}{3 P_4} ,
\qquad
{{\mathfrak P}_6}=\dfrac{4 P_2 P_3}{P_4^2}-\dfrac{P_3^3}{4P_4^3}-\dfrac{8P_1}{4P_4}.
\end{aligned}
\end{equation*} \]

В формулах (19) знаки "\(\pm\)'" выбираются независимо друг от друга. Формулы (19) позволяют определить вещественные волновые числа поперечной гармонической волны трансляционных и спинорных перемещений.

Заключение

В настоящей работе рассматриваются вопросы распространения плоских гармонических связанных волн температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений в полуизотропном термоупругом теле.

1. Исследована связанная система дифференциальных уравнений с частными производными, записанная в терминах вектора трансляционных перемещений, вектора спинорных перемещений и температурного инкремента для микрополярного полуизотропного тела.
2. Получены алгебраические уравнения для волновых чисел продольных (бикубическое уравнение) и поперечных связанных волн (уравнение восьмой степени, распадающееся на два уравнения четвертой степени).
3. Волновые числа продольных гармонических волн оказываются комплексными, что соответствует связанности комплексных амплитуд температурного инкремента, трансляционных и спинорных перемещений.
4. Волновые числа поперечных гармонических волн вещественны, что обусловлено атермичностью поперечной волны.
5. Остаются неисследованными вопросы пространственной поляризации гармонических волн. В отличие от изотропного случая векторы поляризации не ортогональны между собой.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23–21–00262, https://rscf.ru/project/23-21-00262/.

About the authors

Evgenii V. Murashkin

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: evmurashkin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
SPIN-code: 4022-4305
Scopus Author ID: 12760003400
ResearcherId: F-4192-2014
http://www.mathnet.ru/person53045

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD; Senior Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101-1

Yuri N. Radayev

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: y.radayev@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
SPIN-code: 5886-9203
Scopus Author ID: 6602740688
ResearcherId: J-8505-2019
http://www.mathnet.ru/person39479

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101-1

References

Supplementary files