Stochastic model for forecasting the dynamics of gross regional product and regional production resources

Full Text

Введение

Устойчивый экономический рост регионов составляет основу стабильного развития национальной экономики в целом. 

Разработка экономико-математических методов прогнозирования динамики регионального развития представляет собой одну из наиболее актуальных задач современной экономической теории. Решение данной задачи позволяет осуществлять комплексный анализ бизнес-процессов, определять оптимальные параметры производства валового регионального продукта (ВРП) и объемов региональных производственных ресурсов (РПР).

Фундаментальные положения теории экономического роста систем подробно изложены в работах [1, 2 и др.]. 

На основе этих исследований разработан широкий спектр моделей экономического роста, учитывающих влияние технологических инноваций и информационных технологий [3–13].

Региональная экономическая динамика по своей природе имеет стохастический характер, обусловленный взаимодействием инвестиционных потоков и амортизационных отчислений. В связи с этим основным математическим аппаратом для моделирования экономического развития предприятий выступает теория стохастических дифференциальных уравнений и их систем [14–16].

Целью настоящего исследования является разработка инновационной стохастической модели прогнозирования динамики ВРП и РПР под воздействием инвестиционных факторов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим объем валового регионального продукта $V$, определяемый объемами производственных ресурсов региона. К указанным ресурсам относятся: основной капитал, производственные фонды, трудовые ресурсы, материальные затраты, применяемые технологии и инновации.

Данные ресурсы могут быть агрегированы в интегральный показатель — региональный производственный ресурс, характеризуемый объемом производственного фактора $Q$.

Объем ВРП региона $V$ задается производственной функцией от фактора производства $Q$. В рамках исследования ограничимся классической производственной функцией Кобба–Дугласа:
\[\begin{equation}
V = P   Q^{a},
\tag{1}
\end{equation}\]
где $P$ — стоимость продукции на единицу ресурса; $a$ — коэффициент эластичности выпуска по ресурсу $Q$, причем $0 \leqslant a \leqslant 1$.

Объем производственного фактора $Q = Q(t)$ представляет собой непрерывно дифференцируемую и ограниченную функцию на временной полуоси $t \in [0, \infty)$.

Величина РПР удовлетворяет ограничению
\[
Q_{0} \leqslant Q(t) \leqslant Q_{\infty},
\]
где $Q_{0}$ — известное начальное значение производственного фактора; $Q_{\infty}$ — его предельное значение, подлежащее определению.

Для анализа динамики ВРП региона необходимо сформулировать уравнение баланса для объема производственного фактора $Q=Q(t)$. 

Приращение объема РПР $\Delta Q=Q(t+\Delta t)-Q(t)$ за малый временной интервал $\Delta t$ может быть представлено в виде трех компонент:
\[\begin{equation}
\Delta Q(t) = \Delta Q^{A}(t) + \Delta Q^{I}(t) + \Delta Q^{W}(t),
\tag{2}
\end{equation}\]
где $\Delta Q^{A}(t)$ — уменьшение объема производственного фактора вследствие амортизации; $\Delta Q^{I}(t)$ — прирост объема производственного фактора за счет инвестиций в промышленный комплекс региона; $\Delta Q^{W}(t)$ — стохастическая компонента, отражающая случайные колебания РПР.

Компонента амортизации за интервал $\Delta t$ описывается выражением
\[\begin{equation}
\Delta Q^{A}(t) = -A  Q(t)  \Delta t,
\tag{3}
\end{equation}\]
где $A$ — коэффициент амортизации, определяющий долю выбывающего объема производственного фактора в единицу времени.

Приращение инвестиционной составляющей за временной интервал $\Delta t$ определяется соотношением
\[\begin{equation}
\Delta Q^{I}(t) = I(t)  \Delta t = B   V(t)   \Delta t = B   P   Q^{a}(t)  \Delta t,
\tag{4}
\end{equation}\]
где $I(t)$ — объем инвестиций в момент времени $t$; $B$ — коэффициент капиталообразования (доля ВРП, направляемая в инвестиции); $V(t)$ — объем ВРП, вычисляемый согласно производственной функции (1).

Стохастическая компонента $\Delta Q^{W}(t)$, отражающая естественную волатильность инвестиционных процессов, моделируется стандартным винеровским процессом [15, 16]:
\[\begin{equation}
\Delta Q^{W}(t) = \rho  \bigl(Q(t) - Q_{0}\bigr)  \Bigl(1 - \frac{Q(t)}{Q_{\infty}}\Bigr)  \Delta w,
\tag{5}
\end{equation}\]
где $w$ — стандартный винеровский процесс; $\Delta w = \varepsilon  \sqrt{\Delta t}$ — приращение винеровского процесса; $\rho$ — параметр волатильности (СКО случайных колебаний РПР); $\varepsilon \sim N(0,1)$ — стандартная нормальная случайная величина.

Из структуры уравнения (5) следует важное свойство модели: в окрестностях начального $Q_0$ и предельного $Q_\infty$ значений производственного фактора система демонстрирует квазидетерминированное поведение.

Подстановка выражений (3), (4) и (5) в уравнение баланса (2) приводит к следующему соотношению:
\[\begin{equation}
\Delta Q(t) = \bigl(-A Q(t) + B P Q^{a}(t)\bigr) \Delta t +   \rho \bigl(Q(t)-Q_{0}\bigr)  \Bigl(1-\dfrac{Q(t)}{Q_{\infty}}\Bigr) \Delta w.
\tag{6}
\end{equation}\]

Выполняя предельный переход при $\Delta t \to 0$ и $\Delta w \to 0$ в соотношении (6), получаем стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито [14]:
\[\begin{equation}
dQ(t) = S(t) dt + Z(t) dw,
\tag{7}
\end{equation}\]
где
\[\begin{equation}
S(t) = -A  Q(t) + B P Q^{a}(t), 
\tag{8}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
Z(t) = \rho \bigl(Q(t)-Q_{0}\bigr) \Bigl(1-\dfrac{Q(t)}{Q_{\infty}}\Bigr), 
\tag{9}
\end{equation}\]
причем $S(t)$ представляет собой функцию сноса, а $Z(t)$ — функцию волатильности.

Начальное условие для уравнения (7) задается следующим образом:
\[\begin{equation}
Q(0) = Q_{0}.
\tag{10}
\end{equation}\]

2. Стохастические траектории динамики ВРП

Анализ структуры стохастического дифференциального уравнения баланса (7) позволяет установить, что рост объема производственного фактора $Q(t)$ происходит при выполнении условия $dQ(t) \geqslant 0$, что соответствует случаю, когда объем внутренних инвестиций превышает амортизационные отчисления.

Рост объема прекращается при достижении предельного значения $Q_{\infty}$, когда инвестиции компенсируют амортизационные потери. В окрестности этой предельной точки случайный процесс становится квазидетерминированным, что позволяет определить $Q_{\infty}$ из уравнения
\[\begin{equation*}
-A  Q_{\infty} + B  P  Q_{\infty}^{a} = 0,
\end{equation*}\]
решение которого имеет вид
\[\begin{equation}
Q_{\infty} = \Bigl(\dfrac{B  P}{A}\Bigr)^{ {1}/({1-a})}.
\tag{11}
\end{equation}\]

Численное решение стохастического дифференциального уравнения (7) с коэффициентами (8), (9) при начальном условии (10) реализуется на временном интервале $[t_{0}, t_{n}]$, дискретизированном точками $(t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n})$, с использованием метода Эйлера— Маруямы [14]:
\[\begin{equation}
\begin{cases}
Q_{i+1} = Q_{i} + S_{i}  \Delta t_{i} + \varepsilon_{i}  Z_{i}  \sqrt{\Delta t_{i}}, \\[1.5mm]
S_{i} = -A  Q_{i} + B  P  Q_{i}^{a}, \\
Z_{i} = \rho  \bigl(Q_{i} - Q_{0}\bigr)  \Bigl(1 - \dfrac{Q_{i}}{Q_{\infty}}\Bigr),
\end{cases}
\tag{12}
\end{equation}\]
где $\Delta t_{i} = t_{i} - t_{i-1}$ — шаг дискретизации; $Q_{i} = Q(t_{i})$, $S_{i} = S(t_{i})$, $Z_{i} = Z(t_{i})$ — значения соответствующих функций; $\varepsilon_{i}$ — реализация стандартной нормальной случайной величины на интервале $[t_{i-1}, t_{i}]$.

Реализация алгоритма (12) позволяет получить набор случайных точек $\{(t_{i}, Q_{i})\}_{i=0}^{n}$ и соответствующие стохастические траектории динамики производственного фактора.

Для определения математического ожидания процесса $Q(t)$ проведем статистическое усреднение уравнения (7) с учетом выражений (8) и (9):
\[\begin{equation}
\dfrac{d\langle Q \rangle}{dt} = -A   \langle Q \rangle + B  P  \langle Q^{a} \rangle,
\tag{13}
\end{equation}\]
где $\langle {}\cdot{} \rangle$ обозначает оператор математического ожидания.

При вычислении статистического момента $\langle Q^{a} \rangle$ методом последовательных приближений возникает проблема замыкания бесконечной цепочки уравнений. Для ее решения введем следующее предположение о характере флуктуаций:
\[\begin{equation}
Q(t) - \langle Q \rangle = \xi   \langle Q \rangle   \varepsilon(t),
\tag{14}
\end{equation}\]
где $\varepsilon(t)$ — стандартный случайный процесс с нулевым средним, а безразмерный коэффициент пропорциональности $\xi$ задается выражением
\[\begin{equation}
\xi = \rho  \Bigl(1 - \dfrac{Q_{0}}{\langle Q \rangle}\Bigr)  \Bigl(1 - \dfrac{\langle Q \rangle}{Q_{\infty}}\Bigr).
\tag{15}
\end{equation}\] 

Для вычисления величины $Q^{a} = \langle Q \rangle^{a}  (1 + \xi \cdot \varepsilon)^{a}$ воспользуемся соотношениями (14) и (15), применив разложение в биномиальный ряд при условии малых флуктуаций $|\xi  \varepsilon| < 1$:
\[\begin{equation}
Q^{a}=\langle Q \rangle^{a} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-k+1)}{k!}  \xi^{k} \varepsilon^{k}.
\end{equation}\]

Ограничиваясь квадратичными членами разложения, получаем
\[\begin{equation}
Q^{a} \approx \langle Q \rangle^{a}   \Bigl(1 + a  \xi  \varepsilon + \frac{a(a-1)}{2}   \xi^{2}  \varepsilon^{2}\Bigr).
\tag{16}
\end{equation}\]

Статистическое усреднение выражения (16) с учетом свойств случайной величины $\varepsilon$ 
($\langle \varepsilon \rangle = 0$, $\langle \varepsilon^{2} \rangle = 1$) дает
\[\begin{equation}
\langle Q^{a} \rangle = \langle Q \rangle^{a}  \Bigl(1 + \frac{a(a-1)}{2}  \xi^{2}\Bigr).
\tag{17}
\end{equation}\]

Подстановка (17) в уравнение (13) приводит к замкнутому дифференциальному уравнению для математического ожидания:
\[\begin{equation}
\frac{d\langle Q \rangle}{dt} = -A  \langle Q \rangle + B P  \langle Q \rangle^{a}  \Bigl(1 + \frac{a(a-1)}{2}  \xi^{2}\Bigr),
\tag{18}
\end{equation}\]
где коэффициент $\xi$ определяется согласно (15). Начальное условие сохраняется в виде (10).

В детерминированном приближении, когда флуктуациями можно пренебречь ($\xi \to 0$), уравнение (18) упрощается до вида
\[\begin{equation}
\frac{d\langle Q \rangle}{dt} = -A  \langle Q \rangle + B  P  \langle Q \rangle^{a}.
\tag{19}
\end{equation}\]

Решение задачи Коши для уравнения (19) с начальным условием (10) имеет аналитическое представление:
\[\begin{equation}
\langle Q \rangle(t) = \bigl(Q_{\infty}^{1-a} +  (Q_{0}^{1-a} - Q_{\infty}^{1-a} )  e^{-A(1-a)t}\bigr)^{ {1}/({1-a})},
\tag{20}
\end{equation}\]
где $Q_{\infty}$ определяется выражением (11).

Соответствующее среднее значение объема ВРП региона вычисляется по формуле
\[\begin{equation}
\langle V \rangle(t) = P  \bigl(Q_{\infty}^{1-a} +  (Q_{0}^{1-a} - Q_{\infty}^{1-a} )  e^{-A(1-a)t}\bigr)^{{a}/({1-a})}.
\tag{21}
\end{equation}\] 

Применим полученные теоретические результаты (уравнения (12), (13), (18)–(21)) для анализа динамики ВРП и РПР Самарской области. 

Исходные статистические данные¹ об изменении объема ВРП за период 1998–2023 гг. представлены в табл. 1, где $t = T - 1998$ — относительный год наблюдения; $T \geqslant 1998$ — календарный год.

Методом наименьших квадратов на основе данных табл. 1 и теоретической зависимости (21) были оценены параметры производственной функции: ${P = 6.4928}$, $a = 0.81454$, $Q_0 = 17.724$.

Таблица 1. Динамика валового регионального продукта $V(t)$ Самарской области в период 1998–2023 гг.
[Evolution of the Gross Regional Product $V(t)$ in Samara Region (1998–2023)]

Year	$t$	$ Q $, mln RUB	Year	$t$	$ Q $, mln RUB	Year	$t$	$ Q $, mln RUB
1998	0	67.520	2007	9	584.969	2016	18	1364.822
1999	1	105.581	2008	10	699.296	2017	19	1449.006
2000	2	140.407	2009	11	584.000	2018	20	1625.559
2001	3	180.049	2010	12	695.651	2019	21	1773.989
2002	4	206.320	2011	13	834.149	2020	22	1781.909
2003	5	256.555	2012	14	937.435	2021	23	2157.662
2004	6	327.119	2013	15	1048.546	2022	24	2378.451
2005	7	401.812	2014	16	1149.148	2023	25	2746.426
2006	8	487.714	2015	17	1264.910	2024	26	—

С учетом полученных оценок производственная функция (1) принимает конкретный вид:
\[\begin{equation}
V(t) = 6.4928 \cdot Q^{0.81454}(t).
\tag{22}
\end{equation}\]

С помощью формулы (22) вычислены прогнозные значения объемов регионального производственного ресурса $Q$, представленные в табл. 2.

Таблица 2. Динамика  регионального производственного ресурса $ Q (t)$ Самарской области в период 1998–2023 гг.
[Evolution of the Regional Productive Capacity $ Q (t)$ in Samara region (1998–2023)]

Year	$t$	$ Q $, mln RUB	Year	$t$	$ Q $, mln RUB	Year	$t$	$ Q $, mln RUB
1998	0	17.724	2007	9	251.058	2016	18	710.389
1999	1	30.685	2008	10	312.575	2017	19	764.555
2000	2	43.543	2009	11	250.547	2018	20	880.462
2001	3	59.089	2010	12	310.577	2019	21	980.167
2002	4	69.844	2011	13	388.128	2020	22	985.542
2003	5	91.267	2012	14	447.936	2021	23	1246.504
2004	6	122.990	2013	15	513.971	2022	24	1404.877
2005	7	158.316	2014	16	575.158	2023	25	1676.243
2006	8	200.828	2015	17	647.086	2024	26	—

На рис. 1 показаны траектория роста объема валового регионального продукта $V(t)$, построенная по данным табл. 1, и прогнозная траектория роста объема регионального производственного ресурса $Q(t)$, рассчитанная по данным табл. 2.

Рис. 1. Эмпирическая траектория роста валового регионального продукта $V$ (по данным табл. 1) и прогнозируемая траектория роста регионального производственного ресурса $Q$ (по данным табл. 2)
[Figure 1. Empirical trajectory of gross regional product $V$ growth (according to Table 1) and predicted trajectory of regional production resource $Q$ growth (according to Table 2)]

На рис. 2 представлено сравнение стохастических траекторий роста объема валового регионального продукта $V(t)$ и объема регионального производственного ресурса $Q(t)$, полученных численной реализацией алгоритма (12) и расчетами по формуле (22), со статистическими данными табл. 1 и 2.

Рис. 2. Стохастические траектории роста валового регионального продукта $V(t)$ и регионального производственного ресурса $Q(t)$, полученные численным моделированием по алгоритму (12) и расчетами по формуле (22); точки — статистические данные из табл. 1 и табл. 2
[Figure 2. Stochastic growth trajectories of gross regional product $V(t)$ and regional production resource $Q(t)$ obtained through: numerical simulation using algorithm (12), and calculations via formula (22); points represent statistical data from Tables 1 and 2]

На рис. 3 приведено сравнение математических ожиданий роста объема валового регионального продукта $\langle V \rangle$ и объема регионального производственного ресурса $\langle Q \rangle$, рассчитанных путем численного решения задачи Коши (18), (10) с использованием формулы (22), со статистическими данными табл. 1 и табл. 2.

Рис. 3. Математические ожидания $\langle V \rangle$ и $\langle Q \rangle$, полученные численным решением задачи Коши (18), (10) с использованием (22); точки — статистические данные из табл. 1 и табл. 2
[Figure 3. Mathematical expectations $\langle V \rangle$ and $\langle Q \rangle$ obtained by numerical solution of the Cauchy problem (18), (10) using (22); points represent statistical data from Tables 1 and 2]

В расчетах использованы следующие значения параметров модели: 
\[
\begin{array}{c}
P=6.4928,\quad a=0.81454,\quad A=0.1,\quad B=0.12,\\ 
\rho=0.1,\quad  Q_{0}=17.724,\quad   Q_{\infty}=64187.494.
\end{array}
\]

Заключение

В работе предложена стохастическая модель прогнозирования динамики валового регионального продукта, разработанная на основе статистических данных Самарской области за 1998-2023 гг. Модель позволяет оценивать объемы регионального производственного ресурса с учетом стохастических факторов, строить теоретические траектории динамики ВРП и РПР и
прогнозировать математические ожидания роста экономических показателей.

Численное моделирование подтвердило адекватность модели — результаты демонстрируют высокую степень соответствия статистическим данным. Полученные результаты могут быть использованы для долгосрочного прогнозирования регионального экономического развития,
оценки эффективности инвестиционных программ и анализа устойчивости региональной экономики к стохастическим колебаниям.

Перспективы дальнейших исследований связаны с расширением модели для учета дополнительных экономических факторов и применением к другим регионам.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

---

¹Статистические данные получены с официального сайта Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Самарской области: «Валовой региональный продукт» [Электронный ресурс]. URL: https://63.rosstat.gov.ru/grp (дата обращения: 05.11.2024).

About the authors

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921
Scopus Author ID: 57219452875
https://www.mathnet.ru/rus/person41652

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Professor; Dept. of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 443086, Samara, Moskovskoye shosse, 34

Anastasiya V. Yuklasova

Samara National Research University

Email: yuklasova.anasta@mail.ru
ORCID iD: 0009-0007-9684-8864
https://www.mathnet.ru/eng/person230061

Cand. Econ. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of State and Municipal Administration

Russian Federation, 443086, Samara, Moskovskoye shosse, 34

References

Supplementary files