Том 29, № 2 (2025)

Интегральное преобразование Халуты представляет собой мощный метод решения различных типов уравнений, включая интегро-дифференциальные уравнения и интегральные уравнения. Оно также может быть применено к начальным и краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Основная цель данной работы — получение решений систем линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра дробного порядка с производной Капуто с использованием интегрального преобразования Халуты.
Для решения таких систем данным методом необходимо установить и определить ключевые свойства интегрального преобразования Халуты, которые играют важнейшую роль при выводе преобразования для дробной производной Капуто, входящей в системы. В работе представлены и решены несколько численных примеров с применением метода интегрального преобразования Халуты, демонстрирующие применимость предложенного подхода. Полученные результаты подтверждают, что данный метод обладает высокой эффективностью и позволяет находить точные решения систем линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра дробного порядка прямым способом.

В настоящее время локальные краевые задачи для дифференциальных уравнений гиперболического типа изучены достаточно подробно. Однако математическое моделирование ряда реальных процессов приводит к нелокальным краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа, которые остаются слабо исследованными. В данной работе рассматривается интегральная граничная задача общего вида в характеристическом прямоугольнике для уравнений гиперболического типа. При естественных условиях на исходные данные задачи построена функция Грина и установлены критерии однозначной разрешимости. Доказательства основных результатов демонстрируют существенность наложенных условий: их нарушение приводит к невозможности построения функции Грина и утрате требуемых свойств разрешимости задачи. В частном случае, с применением метода сжимающих отображений Банаха, получены достаточные условия существования и единственности решения краевой задачи. В качестве иллюстрации приведен конкретный пример.

Исследуются вопросы построения кубических аппроксимаций энергетических форм для потенциалов силовых и моментных напряжений гемитропных микрополярных упругих тел. Ранее были предложены H/E/A-представления для указанных энергетических форм. В частности, А-форма позволяет получить кубическую аппроксимацию потенциала напряжений в виде полиномиальной линейной комбинации рациональных гемитропных инвариантов, некоторые из «псевдотензорных прообразов» которых обладают чувствительностью к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства.
В рамках данного исследования получен полный неприводимый набор индивидуальных и совместных гемитропных целых рациональных алгебраических инвариантов для системы, состоящей из симметричных и антисимметричных частей асимметричного тензора деформаций и тензора изгиба-кручения. Полученный набор инвариантов используется для построения кубической энергетической формы гемитропного тела и определения полного набора из 37 определяющих постоянных. Выведены определяющие уравнения для силовых и моментных напряжений, включающие квадратичные поправки и справедливые в произвольной системе криволинейных координат.

Одной из ключевых проблем линейного регрессионного анализа является обеспечение робастного оценивания параметров модели в условиях стохастической неоднородности данных. В подобных случаях оценки классического метода наименьших квадратов теряют устойчивость. Данная проблема особенно актуальна при распределениях ошибок с более вытянутыми хвостами по сравнению с нормальным распределением. В качестве одного из подходов к повышению робастности регрессионных моделей рассматривается замена квадратичной функции потерь на выпукло-вогнутую, однако непосредственное применение таких функций приводит к многоэкстремальности целевой функции, что существенно усложняет решение задачи. 

Целью настоящего исследования является анализ свойств метода вариационно-взвешенных квадратических и абсолютных приближений для невыпуклых функций потерь. В работе предложен подход, основанный на замене исходной невыпуклой задачи регрессионного оценивания на итеративное применение взвешенных методов наименьших квадратов и наименьших модулей. Фактически реализуется метод вариационно-взвешенных квадратических и абсолютных приближений для невыпуклых функций потерь. На каждой итерации взвешенного метода наименьших модулей использовались алгоритмы спуска по узловым прямым. 

Исследование итерационных алгоритмов проведено методом статистических испытаний Монте–Карло для различных функций потерь. Установлено, что взвешенный метод наименьших модулей превосходит метод наименьших квадратов по быстродействию при сопоставимой точности оценивания. В условиях одновременного нарушения нескольких предпосылок регрессионного анализа для достижения приемлемой точности предпочтительным является использование либо взвешенного метода наименьших модулей, либо обобщенного метода наименьших модулей, реализованного в виде алгоритма обобщенного спуска. Получены оценки вычислительной сложности алгоритмов и времени их выполнения в зависимости от объема выборки и количества параметров регрессионной модели.

В работе исследуется развитие неустойчивости Паркера в коротковолновой части спектра колебаний крупномасштабных магнитных полей (волновое число $m>20$) в верхних слоях конвективной зоны Солнца. Вследствие резкой нелинейности подъема верхней части магнитной арки формируется иглообразный профиль, пронизывающий солнечную атмосферу с гиперзвуковой скоростью. При подъеме магнитного поля фотосферные слои и хромосфера испытывают резкий вертикальный удар, что приводит к генерации цуга круговых расходящихся ударных волн, распространяющихся вдоль солнечной поверхности. Данное явление уверенно регистрируется современными наблюдательными средствами и получило название «солнцетрясения». Начало генерации расходящихся ударных волн является предвестником вспышечной активности в пределах активной области солнечной атмосферы. В работе получены численные оценки пространственного и временного разрешения регистрирующей аппаратуры, необходимого для детального изучения подъема магнитного поля с гиперзвуковыми скоростями в хромосфере Солнца.

Статья посвящена описанию процедуры построения решения задачи о стабилизации периодического возмущения положения равновесия для одномерной модели Бродвелла. Описывается процедура построения решения: применяется метод Фурье для решения системы уравнений относительно коэффициентов Фурье переменных. В пространстве образов Фурье система сводится к проекции на одну переменную, что позволяет выразить остальные коэффициенты Фурье $u_{k,l}$, $v_{k,l}$, $w_{k,l}$ через $z_{k,l}$ с помощью уравнений состояния.
Существенную роль в исследовании скорости стабилизации играет линеаризация $z$-проекции, представляющая собой в данном случае интегро-дифференциальный оператор, описываемый в терминах теоремы Пэли–Винера. Рассогласование правой и левой частей одномерной системы приводит в методе Фурье к возникновению препятствий при построении аннуляторов секулярных членов соответствующей проекции. Указанные препятствия не позволяют получить решение задачи для произвольных начальных данных, описывающих периодические возмущения положения равновесия. Установлено, что для различных проекций возникающие препятствия оказываются идентичными.

Представлена стохастическая модель прогнозирования динамики валового регионального продукта (ВРП), разработанная на основе статистических данных по Самарской области за период 1998–2023 годы. Модель позволяет оценить влияние инвестиций на развитие региональной экономики. Для описания динамики ВРП предложено стохастическое дифференциальное уравнение баланса, связывающее показатели ВРП с объемами регионального производственного ресурса (РПР). В рамках исследования проведена оценка объемов РПР, построены теоретические траектории динамики ВРП и РПР, а также получены кривые математических ожиданий их роста. Результаты численного анализа модели демонстрируют высокую степень соответствия эмпирическим данным.