Determination of dynamic modes in a two-mode hereditary dynamo system

Full Text

Введение

Существование крупномасштабных магнитных полей космических объектов (планет, звезд и галактик) традиционно объясняется действием механизма гидромагнитного динамо [1, 2]. Данный механизм предполагает генерацию магнитного поля в процессе эволюции системы, содержащей сплошную электропроводящую среду (жидкий металл или плазму). В простейшем случае для космических динамо-систем этот механизм реализуется посредством взаимной генерации тороидальной и полоидальной компонент магнитного поля, обусловленной крупномасштабными движениями проводящей среды и мелкомасштабными турбулентными пульсациями [1, 3]. Необходимым условием является наличие начальной намагниченности среды, создаваемой внешним (затравочным) магнитным полем.

В теории динамо существенную роль играет обратная связь, проявляющаяся во влиянии растущего магнитного поля на процесс его генерации, что приводит к подавлению последнего и установлению конечной величины поля. Физической основой данной обратной связи выступает сила Лоренца, модифицирующая движение проводящей среды. Полная система уравнений динамо включает: 1) уравнение движения среды с учетом силы Лоренца и 2) уравнение магнитной индукции, описывающее генерацию поля. Нелинейный по скорости и магнитному полю характер этих уравнений в сочетании с необходимостью учета начальных и граничных условий делает их решение чрезвычайно сложной вычислительной задачей. Особо следует подчеркнуть, что адекватное описание $\alpha$-эффекта (генерации крупномасштабного магнитного поля посредством нелинейного взаимодействия мелкомасштабных турбулентных пульсаций) требует учета нелокальности и памяти (эредитарности) системы [4, 5].

Прямое численное моделирование полной системы уравнений динамо сопряжено со значительными вычислительными затратами. Для моделирования на временных масштабах, сопоставимых с продолжительностью существования космических объектов, приходится ограничиваться маломодовыми приближениями. Наиболее радикальное упрощение приводит к двумодовым моделям. Примечательно, что даже в рамках столь существенного пространственного упрощения модели с памятью позволяют воспроизводить динамические режимы, аналогичные наблюдаемым в природных системах, включая такие характеристики, как фрактальность шкалы полярности магнитного поля и степенное распределение времени между инверсиями.

Поэтому разработка и исследование малоразмерных динамических систем с памятью, моделирующих процесс генерации магнитных полей на феноменологическом уровне, представляют собой актуальное направление в развитии теории космических динамо-систем.

В работах [6–8] предложена двумодовая эредитарная модель динамо, описываемая следующей системой интегро-дифференциальных уравнений в безразмерных переменных:
\[\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{dx}{dt} = -\eta x + y\biggl[ \eta - \xi s^2 \int_0^t K(t-\tau) Q\bigl(x(\tau),y(\tau)\bigr)\, d\tau \biggr],
\\[10pt]
\displaystyle
\frac{dy}{dt} = -y + x\biggl[ D - \int_0^t K(t-\tau) Q\bigl(x(\tau),y(\tau)\bigr)\, d\tau \biggr],\\[10pt]
\displaystyle
x(0)=x_0, \quad y(0)=y_0. 
\end{array}
\tag{1}
\end{equation}\]
Здесь $x(t)$ и $y(t)$ соответствуют амплитудам тороидальной и полоидальной компонент магнитного поля, а положительные коэффициенты $\eta$, $s$, $\xi$ и $D$ представляют собой управляющие параметры модели. Временной масштаб системы нормирован на характерное время диссипации полоидальной компоненты поля. Физическая интерпретация параметров следующая:

• $\eta^{-1}$ — характерное безразмерное время диссипации тороидальной компоненты поля;
• $s^{-1}$ — относительная эффективность генерации тороидальной компоненты;
• $\xi$ — отношение эффективностей генерации тороидальной и полоидальной компонент за счет $\alpha$-эффекта;
• $D$ — относительное динамо-число, определяющее баланс между генерацией и диссипацией ($D>1$ соответствует преобладанию генерации над диссипацией, $D<1$ — обратной ситуации).

Образно выражаясь, механизм динамо «активируется» только при $D>1$.

Ядро $K({}\cdot{})$ предполагается неотрицательным и интегрируемым на промежутке $[0, +\infty)$. Конкретный вид функции ядра определяет модель подавления $\alpha$-эффекта в системе (1).

Начальные условия $x(0) = x_0$ и $y(0) = y_0$ задают начальную замагниченность среды затравочным полем.

При $\xi = 0$ получаем динамо-систему, где тороидальная компонента генерируется из полоидальной исключительно за счет крупномасштабного движения среды, а полоидальная компонента — из тороидальной благодаря $\alpha$-эффекту. Такой механизм принято называть $\alpha\omega$-динамо. В случае $\xi \neq 0$ $\alpha$-эффект участвует в генерации обеих компонент поля, что соответствует механизму $\alpha^2\omega$-динамо.

Вопрос существования и единственности решения системы (1) при произвольных начальных условиях рассмотрен в работе [8].

Физический смысл интегрального члена заключается в учете памяти в обратной связи динамо-системы, когда подавление генерации магнитного поля определяется функцией $Q(x,y)$ от компонент поля, усредненной по предшествующим состояниям. В реальных физических системах такая обратная связь обусловлена силой Лоренца, которая квадратична по полю. Поэтому естественно рассматривать функцию $Q(x,y)$ как квадратичную форму своих аргументов: $Q(x,y) = A(x^2 + y^2) + 2Cxy$, где $A$ и $C$ — постоянные коэффициенты, не равные нулю одновременно. 

Частные случаи имеют четкую физическую интерпретацию: 

• при $A = 0$ подавление $\alpha$-эффекта определяется только спиральностью поля $H = xy$; 
• при $C = 0$ — только энергией поля $E = x^2 + y^2$; 
• если же оба коэффициента отличны от нуля, то в подавлении участвуют как спиральность, так и энергия поля.

Наиболее полное представление о поведении динамической системы дает карта динамических режимов — диаграмма на плоскости параметров системы, где по осям координат отложены управляющие параметры, а различные области соответствуют разным типам динамических режимов.

Реальные космические динамо-системы демонстрируют значительное разнообразие сложных динамических режимов, включая квазистационарные состояния, квазирегулярные и хаотические колебания, всплески активности, васцилляции (колебания вокруг ненулевого уровня), инверсии поля и другие [1, 3].

В современной литературе описаны различные критерии идентификации хаотических режимов. Наиболее простой метод основан на анализе спектра колебаний с помощью преобразования Фурье. Дискретный спектр характерен для периодических и квазипериодических колебаний, тогда как непрерывный спектр свидетельствует либо о хаотическом, либо о случайном характере динамики. Альтернативой Фурье-анализу служит вейвлет-анализ динамических систем. Еще один подход использует отображения Пуанкаре — сечения фазовой траектории некоторой поверхностью. Для случайного процесса отображение Пуанкаре представляет собой облако точек, тогда как квазипериодические и хаотические решения дают линии. Характерной особенностью хаотических режимов является их экспоненциальная чувствительность к малым изменениям начальных условий.

Наиболее надежным методом детектирования хаоса в системах, описываемых дифференциальными уравнениями, считается анализ скорости расхождения траекторий, который количественно оценивается с помощью показателей Ляпунова.

Однако практическое применение этого метода может быть сопряжено со значительными вычислительными трудностями, а для систем интегро-дифференциальных уравнений сама возможность его использования требует дополнительного обоснования. В связи с этим для исследования режимов в системе (1) целесообразно применять методы, опирающиеся исключительно на фазовые траектории, полученные в численных экспериментах, а не на уравнения системы. Одним из наиболее известных методов такого типа является тест 0–1 [9].

В настоящей работе представлены результаты применения теста 0–1 к системе (1). Проведенные вычислительные эксперименты демонстрируют эффективность данного метода для различения регулярных и хаотических режимов. Однако следует отметить, что тест 0–1 не позволяет дифференцировать типы регулярных режимов — асимптотически стационарный режим и периодические/квазипериодические колебания. 

Для решения этой задачи предлагается эмпирическая методика, основанная на анализе характеристик автокорреляционной функции траектории системы. Дополнительно проводится сравнительный анализ обоих подходов для случая, когда система (1) допускает редукцию к дифференциальной форме.

1. Сведение к дифференциальной системе

Интегральный член в системе (1) отражает ключевую особенность модели — наличие эредитарности (памяти). Однако для определенного класса ядер с экспоненциальной асимптотикой возможно исключение интегрального члена путем расширения фазового пространства системы. Более точно: если ядро удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, то исходная интегро-дифференциальная система (1) может быть сведена к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительными начальными условиями для введенных фазовых переменных. Данное утверждение формализуется следующей теоремой [10].

Теорема. Пусть ядро $K(t)$ является решением дифференциального уравнения 
\[\begin{equation}
a_0K^{(n)}(t) + a_1K^{(n-1)}(t) + \dots + a_{n-1}K'(t) + a_nK(t) = 0
\end{equation}\]
с постоянными коэффициентами $a_i.$ Тогда интегральное соотношение
\[\begin{equation*}
z(t) = \int_0^t K(t-\tau)Q\bigl(x(\tau),y(\tau)\bigr)\,d\tau
\end{equation*}\]
эквивалентно задаче Коши для функции $z(t)$:
\[\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &a_0\frac{d^n z}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1} z}{dt^{n-1}} + \dots + a_n z = \sum_{l=1}^{n}a_{n-l}\sum_{s=0}^{l-1}K^{(s)}(0) \frac{d^{l-1-s}}{dt^{l-1-s}} Q\bigl(x(t),y(t)\bigr), \\[10pt]
        &z(0) = 0, \\[5pt]
        &\frac{d^lz(t)}{dt^l}\Bigr|_{t=0} = \sum_{s=0}^{l-1} K^{(s)}(0)  \frac{d^{l-1-s}}{dt^{l-1-s}} Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)\Bigr|_{t=0},  \quad l=1,\dots,n-1.
    \end{aligned}
\end{equation}\]

Одним из частных случаев ядер $K(t)$, к которым применима данная теорема, являются экспоненциальные ядра вида $K(t) = e^{-bt}$, где $b > 0$. Параметр $b^{-1}$ представляет собой безразмерный временной масштаб ядра, определяющий эффективную длительность памяти в системе. При дополнительном условии $\xi = 0$ модель соответствует механизму $\alpha\omega$-динамо.

Соответствующая задача Коши принимает вид
\[\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{dx}{dt} = -\eta x + \eta y,
\quad 
\frac{dy}{dt} = -y + x(D - z),
\quad \frac{dz}{dt} = Q(x,y) - b z,
\\[10pt]
x(0) = x_0, \quad y(0) = y_0, \quad z(0) = 0.
\end{array}
\tag{2}
\end{equation}\]

В частном случае, когда функция подавления $Q(x,y) = xy$ (что соответствует учету только спиральности поля), система (2) сводится к классической системе Лоренца, динамика которой детально изучена [11]. К данной системе применимы как метод показателей Ляпунова, так и тест 0–1.

Для визуализации динамических режимов были построены карты режимов на основе расчета показателей Ляпунова. При фиксированном значении параметра $\eta = 10$ проводилось варьирование параметров $D$ (от 1 до 100 с шагом 1) и $b$ (от 1 до 2 с шагом 0.1). На рис. 1 представлены результаты для случая $Q(x,y) = xy$.

Следует отметить, что для многих систем, описываемых дифференциальными уравнениями, вычисление показателей Ляпунова представляет собой вычислительно сложную задачу. Эта сложность обусловлена необходимостью при моделировании $n$-мерной системы дополнительно рассчитывать $n$ систем в вариациях, что существенно увеличивает временные затраты на вычисления [12, 13, 15].

Дополнительные трудности при расчете показателей Ляпунова могут быть связаны с экспоненциальным ростом фазовых переменных и их вариаций для определенных значений управляющих параметров. Кроме того, данный метод требует знания уравнений системы в вариациях. В связи с этим в работе был использован альтернативный подход к определению динамических режимов — тест 0–1.

Для верификации теста 0–1 была построена карта (рис. 2) динамических режимов системы (2). Качественное сравнение результатов, полученных обоими методами, демонстрирует их хорошее соответствие. В дальнейшем анализе динамических режимов системы (2) использовался тест 0–1 как более универсальный метод, применимый как к системам дифференциальных уравнений, так и к интегро-дифференциальным системам.

 

Рис. 1. Карта динамических режимов для системы Лоренца, построенная по показателям Ляпунова: красный цвет — асимптотически стационарные режимы; желтый цвет — периодические режимы; черный цвет — хаотические режимы (онлайн в цвете)
[Figure 1. (online in color) Map of dynamic regimes for the Lorenz system obtained using Lyapunov exponents: red color — asymptotically stationary regimes; yellow color — periodic regimes; black color — chaotic regimes]

 

Рис. 2. Карта динамических режимов для системы Лоренца, построенная с использованием теста 0–1: желтый цвет — регулярные режимы (асимптотически стационарные и периодические); черный — хаотические режимы (онлайн в цвете)
[Figure 2. (online in color) Map of dynamic regimes for the Lorenz system obtained using 0–1 test: yellow color — regular regimes (asymptotically stationary and periodic); black color — chaotic regimes]

 

2. Анализ динамических режимов с помощью теста 0–1

В работе рассматриваются два различных типа ядер интеграла подавления: ядра с экспоненциальной асимптотикой $K(t) = t^n e^{-bt}$ и ядра со степенной асимптотикой $ K(t) =  {t^{n}}{(1+t)^{-(b+n)}}$, где $n = 0,1,2,3,\dots$, а $b^{-1}>0$ определяет временной масштаб ядра. 

Физический смысл параметров заключается в следующем:

• при ${K(0)\neq 0}$ система демонстрирует мгновенный отклик в обратной связи;
• в случае $K(0)=0$ наблюдается запаздывающий отклик, причем величина задержки возрастает с увеличением параметра $n$, поскольку максимум ядра смещается в более поздние моменты времени, уменьшая влияние текущих значений компонент поля.

Далее рассматривается случай $\xi=0$, соответствующий механизму $\alpha\omega$-динамо, который наиболее характерен для космических динамо-систем. Значение параметра $\eta$ фиксировано и равно 10, что обусловлено геометрическими особенностями тороидальных и полоидальных компонент — известно, что при одинаковых пространственных масштабах тороидальные моды затухают быстрее полоидальных.

В качестве квадратичной формы подавления выбрана спиральность поля $Q(x,y) = xy$. Этот выбор обусловлен двумя факторами: во-первых, энергия поля (знакоположительная форма) может вызывать чрезмерно сильное подавление; во-вторых, спиральность оказывает существенное влияние на динамику динамо-систем, что подтверждено в работе [5].

Численное моделирование системы (1) проводилось при следующих параметрах: параметр $D$ варьировался от 2 до 220 с шагом 1, а параметр $b$ изменялся от 2 до 5 с шагом 0.1.

На рис. 3 представлена карта динамических режимов для системы с экспоненциальным ядром подавления $K(t) = e^{-bt}$. 

Анализ карты позволяет сделать следующие наблюдения. При малых значениях динамо-числа $D$ в системе наблюдаются исключительно регулярные режимы. С увеличением этого параметра происходит переход в хаотическую область, причем граница между регулярными и хаотическими режимами выражена достаточно четко. Однако при дальнейшем росте $D$ наблюдается  чередование хаотических и регулярных областей.

Такая структура карты режимов свидетельствует о том, что малые флуктуации параметров $D$ и $b$ способны изменить характер динамики лишь вблизи границ областей. С физической точки зрения флуктуации параметра $D$ соответствуют вариациям скорости крупномасштабных движений и интенсивности турбулентных пульсаций, которые вполне возможны в реальных системах. Таким образом, можно заключить, что система демонстрирует высокую устойчивость типов динамики по отношению к малым возмущениям параметров.

Рассмотрим теперь случай степенного ядра $ K(t) =  (1+t)^{-b}$. Результаты численного моделирования представлены на рис. 4. Сравнительный анализ показывает отсутствие качественных различий между поведением системы с экспоненциальным (рис. 3) и степенным (рис. 4) ядрами.

 

Рис. 3. Карта динамических режимов системы (1) с экспоненциальным ядром $K(t) = e^{-bt}$; цветовая кодировка карты как на рис. 2 (онлайн в цвете)
[Figure 3. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with exponential kernel $K(t) = e^{-bt}$; the color coding follows Fig. 2]

 

Рис. 4. Карта динамических режимов системы (1) со степенным ядром $K(t) = (1+t)^{-b}$; цветовая кодировка карты как на рис. 2 (онлайн в цвете)
[Figure 4. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with power-law kernel $K(t) = (1+t)^{-b}$; the color coding follows Fig. 2]

 

Перейдем к анализу случая ядер с запаздывающим обратным влиянием. В качестве первого примера рассмотрим экспоненциальное ядро вида $K(t) = te^{-bt}$. Результаты численного моделирования для этого случая представлены на рис. 5. Наблюдается принципиально иная картина динамики по сравнению с ядрами без задержки: обширная область параметров демонстрирует сложное переплетение регулярных и хаотических зон. Такая структура означает, что даже незначительные флуктуации управляющих параметров способны вызывать резкую смену типа динамики системы. С физической точки зрения это соответствует спонтанным перестройкам режима генерации магнитного поля без внешних воздействий. Подобные явления действительно наблюдаются в реальных динамо-системах.

Аналогичное исследование для степенного ядра с запаздыванием $ K(t) =  {t}{(1+t)^{-(b+1)}}$ приведено на рис. 6. Полученная карта режимов качественно аналогична предыдущему случаю.

 

Рис. 5. Карта динамических режимов системы (1) с экспоненциальным ядром $K(t) = te^{-bt}$ и запаздывающим откликом; цветовая кодировка карты как на рис. 2 (онлайн в цвете)
[Figure 5. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with delayed-response exponential kernel $K(t) = te^{-bt}$; the color coding follows Fig. 2]

 

Рис. 6. Карта динамических режимов системы (1) со степенным ядром $K(t) = {t}{(1+t)}^{-(b+1)}$ и запаздывающим откликом; цветовая кодировка карты как на рис. 2 (онлайн в цвете)
[Figure 6. (online in color) Map of dynamic regimes for system (1) with delayed-response exponential kernel $K(t) = te^{-bt}$; the color coding follows Fig. 2]

 

Обобщая полученные результаты, можно сделать важный вывод: ключевым фактором, определяющим динамику системы, является наличие или отсутствие запаздывания в обратной связи, тогда как тип асимптотики ядра (экспоненциальная или степенная) играет второстепенную роль.

Тест 0–1 позволяет различать только два типа динамических режимов: хаотический и регулярный, при этом к регулярным относятся как асимптотически стационарные, так и периодические решения. Для более детальной классификации регулярных режимов необходимо применение дополнительных методов анализа.

Рассмотрим подход, основанный на анализе автокорреляционных функций. Пусть получены временные ряды фазовых переменных $x(t)$ и $y(t)$ системы (1) с шагом интегрирования $h$. В соответствии с методами цифровой обработки сигналов [16] выполним нормировку времени, приняв $h$ за единичный интервал, так что дискретное время $t$ принимает целые значения: $t = 0, 1, \dots, N$.

Для временного ряда  $x(t)$ вычисляется его энергия:
\[
E = \sum_{t=0}^N x^2(t).
\]

Нормированная автокорреляционная функция определяется так:
\[
R(\tau) = \frac{1}{E}\sum_{t=0}^{N} x(t)x(t+\tau), \quad \tau = 0,1,\dots,N-1.
\]

Теперь найдем статистические характеристики полученного ряда $R(\tau)$, а именно его математическое ожидание $M$ и дисперсию $V$. В дальнейшем анализе рассматриваются только случаи, когда тест 0–1 показал результат регулярной динамики. 

Характерные графики автокорреляционной функции представлены на рис. 7: для асимптотически стационарного режима (a) и для периодического режима (b) вид автокорреляционных функций существенно различается.

 

Рис. 7. Автокорреляционные функции и временные ряды для различных режимов: a — асимптотически стационарный режим ($D=5$, $b=2.7$); b — периодический режим ($D=220$, $b=2.7$)
[Figure 7. Autocorrelation functions and time series for various dynamical regimes: (a) asymptotically stationary regime ($D=5$, $b=2.7$); (b) periodic regime ($D=220$, $b=2.7$)]

 

Анализ многочисленных вычислительных экспериментов показал, что математическое ожидание $M$ автокорреляционной функции служит надежным критерием для различения типов регулярной динамики. Для асимптотически стационарных режимов характерны значения $M \geqslant 0.4$, тогда как периодические режимы соответствуют меньшим значениям математического ожидания.

Применение этого критерия позволило построить уточненные карты динамических режимов (рис. 8), где асимптотически стационарные режимы обозначены красным цветом, периодические — желтым, а хаотические — черным. 

 

Рис. 8. Карты динамических режимов системы (1) для различных ядер: a — $K(t) = e^{-bt}$ (экспоненциальное без запаздывания); b — $K(t) = te^{-bt}$ (экспоненциальное с запаздыванием); c — $K(t) = (1+t)^{-b}$ (степенное без запаздывания); d — $K(t) = t(1+t)^{-(b+1)}$ (степенное с запаздыванием). Карты построены с использованием теста 0–1 и анализа автокорреляционных функций; цветовая кодировка карты как на рис. 1 (онлайн в цвете)
[Figure 8. (online in color) Dynamical regime maps of system (1) for different kernels: (a) $K(t) = e^{-bt}$ (exponential without delay); (b) $K(t) = te^{-bt}$ (exponential with delay); (c) $K(t) = (1+t)^{-b}$ (power-law without delay); (d) $K(t) = t(1+t)^{-(b+1)}$ (power-law with delay). The maps were constructed using the 0–1 test and autocorrelation function analysis; color coding follows Fig. 1]

 

Сравнение карт динамических режимов для различных ядерных функций позволяет сделать следующие выводы. Асимптотически стационарные режимы преобладают при малых значениях динамо-числа $D$, что соответствует слабой генерации поля. С увеличением $D$ система переходит либо в периодический, либо в хаотический режим. Особенностью систем с запаздывающей обратной связью является преобладание колебательной динамики — регулярной или хаотической.

Заключение

Идентификация типов динамических режимов играет ключевую роль при исследовании математических моделей динамических систем, поскольку разные режимы соответствуют принципиально различным сценариям эволюции моделируемых физических процессов. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо зарекомендовал себя метод показателей Ляпунова. Однако в случае эредитарных систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями или уравнениями с дробными производными (Герасимова— Капуто или Римана— Лиувилля [17]), применение этого метода становится проблематичным. Хотя в литературе встречаются работы, где показатели Ляпунова применяются к уравнениям дробного порядка [18], строгое теоретическое обоснование такой процедуры пока отсутствует.

В данном контексте особую важность приобретают методы анализа временных рядов, полученных в результате численного моделирования или натурных экспериментов. Одним из таких методов является тест 0–1, который был успешно применен в нашей работе для исследования двумодовой эредитарной системы, моделирующей космическое динамо с памятью в механизме подавления $\alpha$-эффекта.

Проведенные исследования показали, что тест 0–1 эффективно разделяет хаотические и регулярные режимы, но не позволяет отличить асимптотически стационарные режимы от периодических и квазипериодических. Для решения этой задачи была разработана дополнительная методика, основанная на анализе автокорреляционных функций. Хотя предложенный подход пока не имеет строгого теоретического обоснования, его эффективность была подтверждена в ходе численных экспериментов. Полученные результаты открывают перспективы для дальнейших теоретических исследований и применения методики к более сложным моделям динамо-систем.

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы внесли равный вклад в разработку концепции исследования, проведение расчетов и подготовку рукописи. Окончательная версия статьи была одобрена всеми соавторами.
Финансирование. Исследование выполнено при поддержке Государственного задания ИКИР ДВО РАН (регистрационный номер НИОКТР 124012300245-2).
Благодарность. Авторы выражают благодарность рецензентам за внимательное рассмотрение работы и конструктивные замечания, способствовавшие улучшению статьи.

About the authors

Evgeny A. Kazakov

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Far East Division, Russian Academy of Sciences

Email: kazakov@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0001-7235-4148
SPIN-code: 3564-6783
Scopus Author ID: 57204824921
https://www.mathnet.ru/rus/person129133

Junior Researcher; Lab. of Electromagnetic Propogation

Russian Federation, 684034, Kamchatkiy kray, Paratunka, Mirnaya str., 7

Gleb M. Vodinchar

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Far East Division, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: vodinchar@ikir.ru
ORCID iD: 0000-0002-5516-1931
SPIN-code: 2079-6494
Scopus Author ID: 56514066300
ResearcherId: F-4653-2017
https://www.mathnet.ru/rus/person32636

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Lab. Simulation of Physical Processes

Russian Federation, 684034, Kamchatkiy kray, Paratunka, Mirnaya str., 7

References

Supplementary files