Mathematical modeling of pre-llare signal formation in the solar atmosphere

Full Text

Введение

Вспышки на Солнце представляют собой наиболее мощное проявление солнечной активности [1–3]. Они оказывают значительное влияние на околоземное космическое пространство и магнитосферу Земли [4, 5]. Исследования, проводимые в рамках международных программ по изучению солнечно-земных связей, охватывают широкий спектр прикладных задач — от обеспечения безопасности космических миссий (защита оборудования и здоровья экипажа при длительных экспедициях) до медицинских аспектов (возможные осложнения сердечно-сосудистых заболеваний, онкологические риски и другие негативные последствия [6, 7]).

Ключевым элементом проводимых исследований является диагностика формирующихся активных областей солнечной атмосферы, которые служат очагами вспышечной активности. Особое значение имеет идентификация физических процессов (сигналов), предшествующих началу вспышечной активности в таких областях. Эти сигналы получили название cпредвестников» [1, 6], причем их природа может быть различной. 

Изучению «предвестников», исследованию их физической природы посвящено множество теоретических и наблюдательных работ [6–9]. Тем не менее проблема остается актуальной, поскольку до сих пор не установлены надежные физические критерии или явления, которые бы однозначно характеризовали начальную стадию вспышечного процесса и позволяли точно диагностировать предвспышечное состояние в формирующихся активных областях солнечной атмосферы [6, 7].

В данной работе для решения указанной задачи методом математического моделирования исследуется динамика выброса магнитного поля из верхних слоев конвективной зоны в солнечную атмосферу. Результаты расчетов демонстрируют наличие взрывных режимов нелинейного обострения при подъеме магнитного поля. Физическим механизмом, обеспечивающим нелинейный рост скорости подъема магнитного поля, является развитие неустойчивости Паркера в коротковолновой части спектра колебаний всплывающих магнитных полей в верхних слоях конвективной зоны Солнца. В работе детально анализируется динамика подъема магнитного поля от фотосферного уровня до верхних слоев хромосферы. Полученные результаты позволяют идентифицировать физический механизм генерации интенсивных концентрических ударных волн, распространяющихся вдоль солнечной поверхности в очагах вспышечной активности и наблюдаемых экспериментально [10].

1. Математическая постановка задачи

Современные наблюдательные данные о зарождении и временной эволюции активных областей в солнечной атмосфере позволяют установить, что формирующиеся магнитные структуры представляют собой совокупность мелкомасштабных магнитных трубок с высокой напряженностью магнитного поля, расположенных в слабомагниченной плазме (рис. 1). Динамика тонкой магнитной трубки в конвективной зоне и атмосфере Солнца описывается следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений:

\[\begin{equation}
\rho_i \cdot \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{H}{4\pi} \cdot \frac{\partial (\vec{H})}{\partial \ell}+(\rho_i-\rho_e)\vec{g} ,
\tag{1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
p_i+\frac{H^2}{8\pi}=p_e, 
\tag{2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\frac{\rho^\gamma_i}{\gamma-1} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Bigl(\frac{p_i}{\rho^\gamma_i}\Bigr)=\operatorname{div}(k \cdot \vec{\nabla}T)+Q_i ,
\tag{3}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
H\cdot\sigma=\mathrm{const} 
\tag{4}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\vec{\nabla}p_e=\rho_e \cdot \vec{g} ,
\tag{5}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
p_i=\frac{\mathrm{R}}{\mu}\cdot\rho_i \cdot T_i ,
\tag{6}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\varepsilon_i=\dfrac{1}{\gamma-1}\cdot\dfrac{p_i}{\rho_i} .
\tag{7}
\end{equation}\]
Здесь (1) — уравнение движения трубки с учетом силы натяжения магнитного поля и выталкивающей силы Архимеда; (2) — уравнение баланса давлений на границе трубки; (3) — уравнение энергии с учетом теплопроводности и радиационных потерь; (4) — условие сохранения магнитного потока; (5) — уравнение гидростатического равновесия для внешней плазмы; (6), (7) — уравнения состояния идеального газа. Индексы $i$ и $e$ обозначают  параметры внутри и вне трубки соответственно. В уравнениях введены следующие обозначения: $H$ — напряженность магнитного поля [Гс]; $\rho$ — плотность плазмы [г/см$^3$]; $p$ — газовое давление [дин/см$^2$]; $\vec{v}$ — скорость плазмы [см/с]; $\vec{g}$ — ускорение свободного падения [см/с$^2$]; $\sigma$ — площадь поперечного сечения трубки [см$^2$]; $\ell$ — координата вдоль оси магнитной трубки [см]; $T$ — температура плазмы [К]; $k$ — коэффициент теплопроводности [эрг/(см${}\cdot{}$с${}\cdot{}$К)]; $Q_i$ — объемные потери энергии на излучение [эрг/(см$^3{}\cdot{}$с)]; $\gamma$ — показатель адиабаты; $\mathrm{R} = 8.314\times10^7$ — универсальная газовая постоянная [эрг/(К${}\cdot{}$моль)]; $\mu$ — молярная масса плазмы [г/моль]; $\varepsilon$ — удельная внутренняя энергия [эрг/г]. Профили $\rho_e(r)$, $p_e(r)$, $g(r)$ определяются по стандартной модели внутреннего строения Солнца [11].

Рис. 1. Формирование группы пятен в активной области NOAA 10488 по изображениям в континууме SOHO MDI [13]
[Figure 1. Formation of a sunspot group in the active region of NOAA 10488 from images in the SOHO MDI continuum [13]]

В начальный момент времени трубка расположена в экваториальной плоскости Солнца (рис. 2, a). Волновое число $m$ соответствует количеству стоячих волн вдоль периметра трубки. В равновесном состоянии выталкивающая сила Архимеда компенсируется натяжением магнитных силовых линий. Вблизи положения равновесия возникают два типа линейных колебаний: быстрые (альфвеновские) и медленные (варикозные) моды (рис. 2, b). В гравитационном поле Солнца наименее устойчивыми являются медленные моды колебаний. При малых значениях напряженности магнитного поля области с повышенной плотностью опускаются вниз, тогда как разреженные участки, теряя массу, под действием архимедовой силы ускоренно всплывают к фотосфере и в атмосферу Солнца. Данный механизм описывает развитие неустойчивости Паркера для медленных мод колебаний магнитного поля в конвективной зоне.

Рис. 2. Начальная форма магнитной трубки для волнового числа $m = 5$ (a); течение плазмы в трубке для изгибной (быстрой) и продольной (медленной) мод колебаний (b)
[Figure 2. The initial shape of the magnetic tube for the wavenumber $m = 5$ (a); plasma flow in a tube for bending (fast) and longitudinal (slow) oscillation modes (b)]

Для численного решения системы уравнений (1)–(7) вводится лагранжева массовая координата $s$, определяющая массу вещества между фиксированным начальным и текущим сечениями трубки [12]. Система уравнений в безразмерных массовых лагранжевых переменных аппроксимируется разностными схемами и разделяется на три группы: уравнения для координат узлов трубки, динамические и тепловые уравнения. Полученная нелинейная система разностных уравнений решается неявным методом Ньютона с использованием процедуры раздельных прогонок [12].

2. Физические условия развития неустойчивости Паркера в верхних слоях конвективной зоны Солнца

Развитие неустойчивости Паркера для колебаний магнитной трубки проявляется по-разному в зависимости от глубины ее залегания в конвективной зоне. На рис. 3, a представлены распределения газодинамических параметров на различных глубинах конвективной зоны, полученные в рамках программы GONG [11]. В верхних слоях конвективной зоны (на глубинах менее $10^5$ км от фотосферного уровня, где радиус Солнца составляет 695,500 км) формируется область с высокими градиентами газодинамических параметров. При уменьшении глубины погружения равновесные положения магнитной трубки становятся менее устойчивыми. Ключевым параметром устойчивости является длина волны (характеризуемая волновым числом $m$): с увеличением длины волны области повышенной плотности в трубке под действием гравитации легче опускаются вниз, что приводит к развитию неустойчивости Паркера. При больших значениях волнового числа $m$ устойчивые конфигурации магнитного поля формируются вблизи фотосферного уровня (рис. 3, b).

Рис. 3. Распределение газодинамических параметров в зависимости от глубины конвективной зоны [11] (a); распределение критических значений напряженности магнитного поля развития неустойчивости Паркера в зависимости от глубины конвективной зоны и волнового числа $m$ (b)
[Figure 3. Distribution of gas-dynamic parameters depending on the depth of the convective zone [11] (a); distribution of critical values of the magnetic field strength for the development of the Parker instability depending on the depth of the convective zone and the wave number $m$ (b)]

Для гармоники $m=20$ глубина потери устойчивости составляет 52,394 км ниже фотосферного уровня при начальной напряженности магнитного поля $H = 2\cdot10^6$ Гс. При всплывании магнитной арки все участки трубки динамически эквивалентны: газ поступает в некоторый объем с одной стороны и вытекает с другой. Особый интерес представляет верхняя точка арки, где газ вытекает через оба боковых сечения сегмента трубки.

В этой области создаются оптимальные условия для развития неустойчивости Паркера, что приводит к нелинейному росту скорости подъема вершины арки (рис. 4, 5). Вершина приобретает иглообразную форму, причем степень заостренности напрямую влияет на эффективность стекания газа под действием гравитации и, следовательно, на развитие неустойчивости.

Рис. 4. Распределение вертикального и горизонтального ускорений магнитной трубки (a); распределение вертикальной скорости подъема трубки при выходе на фотосферный уровень и в верхние слои хромосферы (b)
[Figure 4. Distribution of vertical and horizontal accelerations of the magnetic flux tube (a); vertical velocity distribution during the tube's ascent through the photospheric level and into the upper chromospheric layers (b)]

Рис. 5. Распределение вертикального ускорения магнитной трубки в верхних слоях хромосферы
[Figure 5.  Distribution of vertical acceleration of the magnetic flux tube in the upper chromospheric layers]

Начальная стадия неустойчивости (рис. 4–6) характеризуется классическим механизмом: газ стекает к основанию арки, а центральная часть, непрерывно теряя массу, ускоряется по направлению к фотосфере. Возрастающие температурные градиенты вдоль оси трубки вызывают усиление тепловых потоков от основания к вершине. Для трубки с радиусом сечения 1 км при срыве тепловые потоки достигают $3\cdot10^{29}$ эрг/с (рис. 6,  b), что достаточно для обеспечения энергии типичной солнечной вспышки ($\sim10^{32}$ эрг, [1, 2]). Несмотря на малую начальную глубину ($\lambda\approx2\cdot10^5$ км), на нелинейной стадии вершина арки приобретает ускорение до 600 м/с$^2$ (рис. 4, a) и скорость подъема 200 км/с (рис. 4, b).

Рис. 6. Распределения температуры (a) и тепловых потоков (b) при подъеме магнитной трубки к фотосферному уровню: $\tau_0=0$, $\tau_1=32$ мин, $\tau_2=38$ мин, $\tau_3=42$ мин, $\tau_4=43$ мин, $\tau_5=44$ мин
[Figure 6. Distributions of temperature (a) and heat fluxes (b) during the magnetic flux tube's ascent to the photospheric level: $\tau_0=0$, $\tau_1=32$ min, $\tau_2=38$ min, $\tau_3=42$ min, $\tau_4=43$ min, $\tau_5=44$ min]

Основная стадия разгона магнитной трубки реализуется при подъеме в пределах хромосферы Солнца. В верхних слоях хромосферы реализуется взрывной режим развития неустойчивости Паркера. Максимальное значение вертикального ускорения достигает величины 8000 м/сек$^2$, что почти на два порядка превышает величину ускорения свободного падения на поверхности Солнца (рис. 5). Скорость подъема достигает значений около 300 км/с, что на порядок превышает значение местной скорости звука ($M\simeq 12$). Вершина всплывающей «иглы» резко заостряется: полуширина графика вертикального ускорения снижается от значения 20,000 км на фотосферном уровне до значений порядка $10^3$ км в верхних слоях хромосферы (рис. 5). Также на порядок понижается значение полуширины графика вертикальной скорости подъема по отношению к фотосферному уровню (рис. 4, b).

В результате нелинейного роста скорости верхней части арочной магнитной структуры при развитии нелинейной фазы неустойчивости Паркера фотосферные и, в большей степени, хромосферные слои испытывают резкий вертикальный удар, сила которого пропорциональна ускорению всплывающей верхней части магнитной арки (рис. 5). Полуширина профиля распределения вертикального ускорения на фотосферном уровне составляет порядка 1000 км — распределение носит сингулярный характер. Горизонтальное ускорение магнитной трубки на фотосферном уровне определяется силами натяжения магнитного поля и практически отсутствует (рис. 4, a). При достижении фотосферного уровня трубка успевает разогнаться до гиперзвуковых скоростей подъема (рис. 4, b). В результате фотосфера (и особенно хромосфера) испытывают мощный вертикальный удар, сконцентрированный на малой площади и производимый заостренным телом, движущимся с гиперзвуковой скоростью. От места воздействия удара отходят сильные концентрические ударные волны, распространяющиеся вдоль солнечной поверхности. Эти волны современными наблюдательными средствами уверенно регистрируются (рис. 7) и получили название «солнцетрясений» [10].

Рис. 7. Генерация концентрических ударных волн в солнечной хромосфере и на фотосферном уровне («солнцетрясение»)
[Figure 7. Generation of concentric shock waves in the solar chromosphere and photospheric level (''sunquake'')]

В верхних слоях хромосферы Солнца на высотах порядка 2000 км от фотосферного уровня реализуется нелинейный рост температуры из-за эффекта аномального прогрева солнечной атмосферы [8]. На этих высотах нелинейно резко растет температура и падает плотность газа. Как следствие, разности температур и плотностей газа внутри и снаружи магнитной трубки меняют знак (рис. 8). Выталкивающая сила Архимеда исчезает, и ускорение магнитной трубки становится отрицательным (рис. 9). Силовое воздействие всплывающего магнитного потока на солнечную атмосферу прекращается.

Рис. 8. Разность температур (a) и плотностей газа (b) внутри и снаружи магнитной трубки в верхних слоях хромосферы
[Figure 8. Temperature difference (a) and gas density contrast (b) inside and outside the magnetic flux tube in the upper chromospheric layers]

Рис. 9. Распределение вертикального ускорения верхней точки арочной магнитной структуры в зависимости от высоты подъема в солнечной атмосфере
[Figure 9. Vertical acceleration distribution of the apex of an arched magnetic structure as a function of ascent height in the solar atmosphere]

Заключение

Феномен выброса магнитных полей с гиперзвуковыми скоростями в солнечную хромосферу представляет принципиальную важность для анализа физических процессов, сопровождающих хромосферные вспышки [3]. Непосредственная регистрация процесса выброса магнитного поля в хромосферу затруднена ограничениями пространственно-временного разрешения наблюдательных данных. Характерный диапазон глубин формирования спектральных линий в хромосфере составляет порядка 100 км [1]. Магнитная трубка, поднимающаяся со скоростью 300 км/с (рис. 4, b), преодолевает область чувствительности спектральных линий менее чем за 0.1 сек, что существенно превышает возможности временного разрешения современной наблюдательной аппаратуры [7].

В аспекте пространственного разрешения ситуация более благоприятная. На стадии взрывного ускорения магнитной трубки формируется очень узкий профиль вертикального ускорения с полушириной порядка 1000 км (рис. 5). Этот параметр определяет требуемое пространственное разрешение для регистрации вспышечных процессов в солнечной атмосфере. Современные наблюдательные системы успешно решают эту задачу, что позволило получить фундаментальные результаты в исследовании механизмов хромосферных вспышек [7, 10].

Решение проблемы временного разрешения при регистрации подъема магнитного поля по ансамблю спектральных линий, формирующихся от фотосферы до верхней хромосферы, позволит детально исследовать динамику магнитных полей в нижних слоях солнечной атмосферы и, в перспективе, полностью объяснить механизмы формирования энергетических потоков во вспышечных событиях. Это также разрешает проблему триггерного механизма инициирования вспышек [1, 3], который является следствием неустойчивости Паркера для крупномасштабных магнитных полей в верхних слоях конвективной зоны Солнца.

Ключевой результат настоящего исследования заключается в установлении того факта, что начало генерации концентрических ударных волн, распространяющихся вдоль солнечной поверхности (рис. 7), предшествует старту вспышечных процессов в активной области. Данное явление по своей физической природе представляет собой достоверный «предвестник» вспышечной активности.

Конкурирующие интересы. Авторы не имеют конфликта интересов по материалам представленной работы.
Авторский вклад и ответственность. К.В. Романов — концепция исследования; математическая и физическая постановка задачи; разработка численного алгоритма (метод циклических раздельных прогонок для магнитной трубки с импульсными тепловыми потоками); интерпретация результатов; подготовка первоначального варианта статьи. Д.В. Романов — соавторство в постановке задачи; разработка численного алгоритма; тестирование программного комплекса (тепловая и динамическая группы уравнений); анализ литературы; финальная редакция статьи. В.А. Романов — участие в физической постановке; аналитические тесты для тепловой и динамической групп (различные граничные условия и режимы вращения); анализ астрофизических данных; финальная редакция. Е.А. Степанов — реализация численного алгоритма; тестирование программного комплекса (проверка порядка аппроксимации); проведение всех расчетов; представленных в статье; финальная редакция. А.А. Лебедев — разработка программного комплекса; тестовые расчеты; сравнительный анализ численных методов; проведение всех расчетов; финальная редакция. В.А. Маскаев — разработка программного комплекса; тестовые расчеты; анализ численных подходов в литературе; проведение всех расчетов; финальная редакция. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. 
Финансирование. Работа выполнена на базе бюджетного финансирования.
Благодарность. Авторы благодарят Л.В. Ермакову  (Институт солнечно-земной физики СО РАН) за предоставленные наблюдательные данные по зарождению активных областей, А.Г. Косовичева (Крымская астрофизическая обсерватороия РАН) за предоставленные данные по внутреннему строению Солнца из проекта GONG. 

About the authors

Dmitry V. Romanov

Krasnoyarsk State Pedagogical University

Author for correspondence.
Email: d-v-romanov@ya.ru
ORCID iD: 0000-0002-4982-5973
Scopus Author ID: 7005015022
https://www.mathnet.ru/person183792

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Computer Science and Information Technology in Education

Russian Federation, 660049, Krasnoyarsk, Ada Lebedeva st., 89

Konstantin V. Romanov

Krasnoyarsk State Pedagogical University

Email: k-v-romanov@ya.ru
ORCID iD: 0000-0001-7320-2517
Scopus Author ID: 56517878500
https://www.mathnet.ru/person183791

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics

Russian Federation, 660049, Krasnoyarsk, Ada Lebedeva st., 89

Valery A. Romanov

Saratov State University

Email: valeriy.a.romanov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-9876-0822
Scopus Author ID: 57197104739
https://www.mathnet.ru/person183794

Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Cybernetics and Computer Science

Russian Federation, 410012, Saratov, Astrakhanskaya st., 83

Evgeny A. Stepanov

Saratov State University

Email: ev_stepanof@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2050-2724
Scopus Author ID: 57224766992
https://www.mathnet.ru/person203707

Postgraduate Student; Dept. of Mathematical Cybernetics and Computer Science

Russian Federation, 410012, Saratov, Astrakhanskaya st., 83

Anton A. Lebedev

Saratov State University

Email: maiorovaleks94@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8241-1916
https://www.mathnet.ru/person203708

Postgraduate Student; Dept. of Mathematical Cybernetics and Computer Science

Russian Federation, 410012, Saratov, Astrakhanskaya st., 83

Vladimir A. Maskaev

Saratov State University

Email: maskaev-01@mail.ru
ORCID iD: 0009-0000-3754-6902
https://www.mathnet.ru/rus/person230212

Postgraduate Student; Dept. of Mathematical Cybernetics and Computer Science

Russian Federation, 410012, Saratov, Astrakhanskaya st., 83

References

Supplementary files