Higher-order difference schemes for the loaded heat conduction equations with boundary conditions of the first kind

Full Text

Введение

Многие важные задачи математической физики и биологии [1], включая задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования грунтовых вод [2], моделирования процессов переноса частиц [3], тепломассопереноса с сосредоточенными источниками (стоками) переносимой субстанции, фильтрации жидкости в пористых средах [4], исследования обратных задач [5], а также решения задач оптимального управления агроэкосистемами [6], приводят к краевым задачам для нагруженных уравнений в частных производных.

Термин «нагруженное уравнение» был впервые введен в работе [7]. Современное общепринятое определение нагруженных уравнений было предложено А. М. Нахушевым в [8], где дано наиболее общее определение и подробная классификация различных типов нагруженных уравнений: дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функциональных, а также рассмотрены их многочисленные приложения.

Исследованию краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений соболевского типа посвящены работы [9–11]. В исследованиях [12–14] изучены математические модели, учитывающие эффекты памяти в диффузионных процессах, возникающие при моделировании вязкоупругих свойств неньютоновских жидкостей [12, 13] и являющиеся следствием модифицированного закона Фурье для анизотропных неоднородных сред [14]. В работе [15] рассмотрены диффузионные модели с интегральными членами в граничных потоках.

Численным методам решения краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных посвящены исследования [16–20]. Разработке разностных схем повышенного порядка точности посвящены работы [21–24].

Настоящая работа посвящена разностным методам решения начально-краевых задач для нагруженных уравнений теплопроводности с граничными условиями первого рода. Для рассматриваемых задач на равномерной сетке построены разностные схемы повышенного порядка точности. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки решений разностных задач, из которых следуют единственность решения и его непрерывная зависимость от входных данных, а также сходимость решений разностной задачи к решениям исходной дифференциальной задачи со скоростью $O(h^4+\tau^2)$ в сеточной норме $W_2^1(\omega_h)$. Проведены численные эксперименты для тестовых примеров, подтверждающие теоретические результаты исследования. Данная работа развивает исследования автора в данном направлении [15, 20, 24, 25], посвященные разностным методам решения локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений теплопроводности и Аллера.

1. Постановка задачи A

В прямоугольной области
\[
\overline{D} = \{(x,t): 0 \leqslant x \leqslant l, \, 0 \leqslant t \leqslant T\}
\]
рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с интегральным слагаемым вольтерровского типа:
\[
\begin{equation}
u_t = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(k(x,t)\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr) + 
\int^t_0 \rho(x,t,\xi)u(x,\xi)d\xi + f(x,t), 
\quad 0 < x < l, 
\quad 0 < t \leqslant T, 
\tag{1}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
u(0,t) = u(l,t) = 0, \quad 0 \leqslant t \leqslant T, 
\tag{2}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
u(x,0) = u_0(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant l, 
\tag{3}
\end{equation}
\]
где выполняются следующие условия:
\[
\begin{equation}
\begin{array}{l}
0 < c_0 \leqslant k(x,t), \, \dfrac{1}{k(x,t)} \leqslant c_1,  \,
\Bigl|\Bigl(\dfrac{1}{k(x,t)}\Bigr)_x\Bigr|, \, |\rho(x,t,t)|, \, |\rho_x| \leqslant c_2;
\\
u(x,t) \in C^{6,3}(\overline{D}), \quad k(x,t) \in C^{5,1}(\overline{D}), \quad \rho(x,t,t), \, f(x,t) \in C^{4,1}(\overline{D}). 
\end{array}
\tag{4}
\end{equation}
\]

2. Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для численного решения задачи (1)–(3) применяется метод конечных разностей. Введем равномерную сетку:
\[
\begin{equation*}
\overline{\omega}_{h\tau} = \overline{\omega}_h \times \overline{\omega}_\tau = \left\{(x_i,t_j) \in \overline{D} \right\},
\end{equation*}
\]
где
\[
\begin{gather*}
\overline{\omega}_h = \{x_i = ih, \; i = \overline{0,N}, \; h = l/N\}, 
\\
\overline{\omega}_\tau = \{t_j = j\tau, \; j = 0,1,\dots, j_0, \; \tau = T/j_0\}.
\end{gather*}
\]

Дифференциальной задаче (1)–(3) поставим в соответствие разностную схему с порядком аппроксимации $O(h^4+\tau^2)$ [21, 26]:
\[
\begin{equation}
y_t =  (a y^{\sigma}_{\bar{x}} )_x + \sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}} \bar{\rho}_i^{j+ {1}/{2},s} y_i^s \bar{\tau} + \varphi,
\tag{5} 
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
y_0 = y_N = 0, \quad t_j \in \overline{\omega}_\tau, 
\tag{6}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
y(x_i,0) = u_0(x_i), \quad x_i \in \overline{\omega}_h, 
\tag{7}
\end{equation}
\]
где введены следующие обозначения:
\[
\begin{gather*}
a_i^j = a(x_i,t_j) = \frac{1}{\frac{1}{6}p_{i-1} + \frac{2}{3}p_{i- {1}/{2}} + \frac{1}{6}p_i}, 
\\ 
p = p(x,t) = k^{-1}(x,t), \quad x_{i-{1}/{2}} = x_i - h/2, 
\\
y = y_i^j = y(x_i,t_j), \quad 
\hat{y} = y_i^{j+1} = y(x_i,t_{j+1}), \quad y_{i\pm1}^j = y(x_i \pm h, t_j), 
\\
y_{\bar{x}} = \frac{y - y_{i-1}}{h}, \quad y_x = \frac{y_{i+1} - y}{h}, \quad y_t = \frac{\hat{y} - y^j}{\tau}, 
\\
\bar{\rho}y = \rho y + \frac{h^2}{12}\Lambda p \rho y = 
\Bigl(\rho y + \frac{h^2}{12}\bigl(a(p\rho y)_{\bar{x}}\bigr)_x\Bigr)_i^{j+ {1}/{2}}, \quad 
\sigma = \frac{1}{2} - \frac{h^2 p}{12\tau}, 
\\
\varphi_i^j = \Bigl(f + \frac{h^2}{12}\bigl(a(p f)_{\bar{x}}\bigr)_x\Bigr)_i^{j+{1}/{2}}, 
\quad y^{({1}/{2})} = \frac{1}{2}Y, \quad Y = (y^{j+1} + y^j), 
\\
\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} y^s \bar{\tau} = \sum_{s=1}^{j-1} y^s \tau + 0.5\tau(y^0 + y^j + y^{j+{1}/{2}}) = \sum_{s=1}^j y^s \tau + 0.5\tau y^0,
\end{gather*}
\]
\[
\begin{equation*}
\bar{\tau} = \begin{cases}
{\tau}/{2}, & s = 0, j, j+ {1}/{2}, \\
\tau, & s \neq 0, j, j+{1}/{2},
\end{cases}
\quad \text{или} \quad
\bar{\tau} = \begin{cases}
{\tau}/{2}, & s = 0, \\
\tau, & s \neq 0,
\end{cases}
\end{equation*}
\]
где $j_0$ — количество узлов сетки на отрезке $[0, T]$, $N$ — количество узлов сетки на отрезке $[0,l]$.

Для получения априорной оценки применим метод энергетических неравенств. Введем скалярные произведения и норму:
\[
\begin{equation*}
(u,v) = \sum_{i=1}^{N-1} u_i v_i h, \quad 
(u,v] = \sum_{i=1}^N u_i v_i h, \quad 
(u,u) = (1,u^2) = \|u({}\cdot{},t)\|_0^2 = \|u\|_0^2.
\end{equation*}
\]

Справедлива следующая лемма [26, p. 120].

Лемма. Для произвольной функции $y(x),$ заданной на равномерной сетке
\[
\begin{equation*}
\overline{\omega}_h = \{x_i = ih, \; i = 0,1,\ldots,N, \; x_0 = 0, \; x_N = l\}
\end{equation*}
\]
и удовлетворяющей граничным условиям $y(0) = y(l) = 0,$ выполняются следующие оценки:
\[
\begin{equation*}
\frac{h^2}{4}\|y_{\bar{x}}]|^2 \leqslant \|y\|^2 \leqslant \frac{l^2}{8}\|y_{\bar{x}}]|^2.
\end{equation*}
\]

Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Перепишем уравнение (5) в виде
\[
\begin{equation}
y_t = \frac{1}{2}\bigl(aY_{\bar{x}}\bigr)_x - \frac{h^2}{12} \bigl(a (py_t )_{\bar{x}}\bigr)_x + 
\sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}}\bar{\rho}_{i,s}^j y_{i}^s\bar{\tau} + \varphi. 
\tag{8}
\end{equation}
\]

Умножим уравнение (8) скалярно на $Y = y^j + y^{j+1}$:
\[
\begin{equation}
(y_t, Y ) = \frac{1}{2} \bigl( (aY_{\bar{x}} )_x, Y\bigr) - 
\frac{h^2}{12} \bigl( (a(py_t)_{\bar{x}} )_x, Y\bigr) + 
\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\bar{\rho}_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar{\tau},Y\biggr) +  (\varphi, Y ). 
\tag{9}
\end{equation}
\]

Преобразуем слагаемые в (9), используя разностную формулу Грина, лемму и неравенство Коши с параметром $\varepsilon$:
\[
\begin{equation*}
(y_t, Y )=  (y_t,y^{j+1}+y^j )=\frac{1}{\tau}  (y^{j+1}-y^j,y^{j+1}+y^j )= (\|y^j\|_0^2 )_t;
\end{equation*}
\]
\[
\begin{equation*}
\Bigl(\frac{1}{2}(aY_{\bar x})_x,Y\Bigr)=-\frac{1}{2}  (a Y_{\bar x}, Y_{\bar x} ]\geqslant -\frac{c_0}2 \|Y_{\bar x}]|_0^2;
\end{equation*}
\]
\[
\begin{multline*}
-\frac{h^2}{12}\bigl((a(py_t)_{\bar x})_x,Y\bigr)=
\frac{h^2}{12}\bigl(a(py_t)_{\bar x},Y_{\bar x}\bigr]=
\frac{h^2}{12}\bigl(a[p_{\bar x}y_t+p^{(-1)}y_{t \bar x}],Y_{\bar x}\bigr]={}
\\
{}
=\frac{h^2}{12}\bigl(a p_{\bar x}y_t, Y_{\bar x}\bigr]+
\frac{h^2}{12}\bigl(ap^{(-1)}y_{t \bar x},Y_{\bar x}\bigr] \leqslant  {}
\\
\leqslant \|y_t\|_0^2+\frac{h^4}{144}M_1\|Y_{\bar x}]|_0^2+\frac{h^2}{12} M_2  (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t
\leqslant {}
\\
{} \leqslant \|y_t\|_0^2+\frac{h^2}{36}M_1\|Y\|_0^2+\frac{h^2}{12} M_2  (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t;
\end{multline*}
\]
\[
\begin{multline*}
\biggl(\sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}}
\bar\rho_{i}^{j+{1}/{2},s} y_{i}^s\bar\tau,Y \biggr)= {}
\\
{}
=\biggl(\sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}}
\rho_{i}^{j+{1}/{2},s} y_{i}^s\bar\tau,Y \biggr) + 
\biggl(
\frac{h^2}{12} \biggl(
a\biggl( p\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i}^{j+{1}/{2},s} y_{i}^s\bar\tau\biggr)_{\bar x} 
\biggr)_x,
Y
\biggr)=
{}
\\
=\biggl(
\sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}}
\rho_{i}^{j+{1}/{2},s} y_{i}^s\bar\tau,Y\biggr) - 
\biggl(\frac{h^2}{12} a \biggl( p\sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}}\rho_{i}^{j+{1}/{2},s} y_{i}^s\bar\tau
\biggr)_{\bar x}, Y_{\bar x}
\biggr] \leqslant {}
\\ 
{}
\leqslant  
\biggl(\sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}}
\rho_{i}^{j+ {1}/{2},s} y_{i}^s\bar\tau,Y\biggr) - 
\biggl(\frac{h^2}{12}a p_{\bar x}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i}^{j+ {1}/{2},s} y_{i}^s\bar\tau,
Y_{\bar x}\biggr]-{}
\\ 
{}
- \biggl(\frac{h^2}{12}a p^{(-1)}\sum_{s=0}^{j+ {1}/{2}} (\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} )_{\bar x} 
y_{i}^s\bar\tau,Y_{\bar x}\biggr] - 
\biggl(\frac{h^2}{12}a p^{(-1)}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i-1}^{{j+{1}/{2}},s} y_{\bar x}^s\bar\tau, Y_{\bar x}\biggr]\leqslant {}
\\
{}
\leqslant
\biggl(\frac{1}{2},\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}
\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau\biggr)^2\biggr) 
+
\biggl(1,\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{\bar x}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau\biggr)^2\biggr) +{} 
\\
{}
+ \biggl(\frac{h^2}{4},\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i-1}^{{j+{1}/{2}},s} y_{\bar x}^s\bar\tau\biggr)^2\biggr)+
\frac{1}{2}\|Y\|_0^2+M_3\frac{h^2}{4}\|Y_{\bar x}\|_0^2\leqslant {}
\\
{}
\leqslant M_4\|Y\|_0^2+
\biggl(\frac{1}{2},\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} (\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s}  )^2\bar\tau \sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}y^2\bar\tau\biggr)+ {}
\\
{} 
+ \biggl(1,\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}  (\rho_{\bar x}^{{j+{1}/{2}},s}  )^2\bar\tau \sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}y^2\bar\tau\biggr)+
\biggl(\frac{h^2}{4},\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} (\rho_{i-1}^{{j+{1}/{2}},s}  )^2\bar\tau \sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}y_{\bar x}^2\bar\tau\biggr)\leqslant {}
\\
{}
\leqslant M_4\|Y\|_0^2+M_5\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}(1,y^2)\bar \tau + 
M_6\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\Bigl( \frac{h^2}{4},y_{\bar x}^2\Bigr)\bar \tau\le M_4\|Y\|_0^2+ {}
\\
{}
+M_5\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s\|_0^2\bar\tau + M_6\frac{h^2}{4}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s_{\bar x}\|_0^2\bar\tau \leqslant  M_4\|Y\|_0^2+M_7\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s\|_0^2\bar\tau ; 
\end{multline*} 
\]
\[
\begin{equation*}
(\varphi, Y )\leqslant \frac{1}{2} \|\varphi\|_0^2+\frac{1}{2}\|Y\|_0^2.
\end{equation*}
\]

Здесь и далее через $M_i$ ($i = 1, 2, \ldots$) обозначены положительные постоянные, зависящие только от входных данных исходной дифференциальной задачи.

Учитывая полученные выше преобразования, из (9) получаем неравенство 
\[
\begin{multline}
(\|y^j\|_0^2 )_t -\frac{h^2}{12} M_2 (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t+ \frac{c_0}{2}\|Y_{\bar x}]|_0^2\leqslant {}
\\
{} \leqslant \|y_t\|_0^2+M_8\|Y\|_0^2+M_7\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s\|_0^2\bar\tau+\frac{1}{2}\|\varphi\|_0^2. 
\tag{10}
\end{multline}
\]
Оценим первое слагаемое в правой части (10). Для этого умножим (1) скалярно на $y_t$:
\[
\begin{multline}
(y_t, y_t )= \frac{1}{2}\bigl((aY_{\bar x})_x,y_t\bigr)-  
\frac{h^2}{12}\bigl( (a(py_t)_{\bar x} )_x, y_t\bigr) +{}
\\
{} +\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \bar\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau, y_t\biggr)+
(\varphi, y_t ). 
\tag{11}
\end{multline}
\]

Оценим суммы, входящие в тождество (11):
\[\begin{equation*}
(y_t,y_t)=\|y_t\|_0^2;
\end{equation*}\]
\[
\begin{multline*}
\Bigl(\frac{1}{2}(aY_{\bar x})_x, y_t\Bigr)=
-\frac{1}{2}  (a Y_{\bar x}, y_{\bar xt} ]= {}
\\
{} =-\frac{1}{2\tau} \bigl(a,  ( y^{j+1}_{\bar x}+y^j_{\bar x} )  (y^{j+1}_{\bar x}-y^j_{\bar x} ) \bigr)\geqslant  -\frac{c_0}{2} (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t;
\end{multline*}
\]
\[
\begin{multline*}
-\frac{h^2}{12} \bigl((a(py_t)_{\bar x})_x,y_t\bigr)=
 \frac{h^2}{12} \bigl(a(py_t)_{\bar x},y_{\bar xt}\bigr]=
 \frac{h^2}{12} \bigl(a[p_{\bar x}y_{t,i-1}+py_{t \bar x}],y_{\bar xt}\bigr]=
{}
\\
{}
=\frac{h^2}{12} \bigl(ap_{\bar x},y_{t,i-1}y_{\bar xt}\bigr]
+\frac{h^2}{12} \bigl(1,y^2_{\bar xt}\bigr]\leqslant 
 \frac{h^2}{12} \bigl(ap_{\bar x},y_{t,i-1}y_{\bar xt}\bigr]+\frac{1}{3}\|y_t\|^2_0;
\end{multline*}
\]
\[
\begin{multline*}
\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}
\bar\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau,y_t\biggr)= {}
\\
{}=\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}
\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau, y_t\biggr) + 
\biggl(\frac{h^2}{12} \biggl(a \biggl( p\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau \biggr)_{\bar x} \biggr)_x, y_t\biggr)= {}
\\ 
{}=\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau, y_t\biggr) - 
\biggl(\frac{h^2}{12}a\biggl( p\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau\biggr)_{\bar x}, y_{\bar x t}\biggr] \leqslant {}
\\
{}
\leqslant  
\biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau,y_t\biggr) - 
\biggl(\frac{h^2}{12}a p_{\bar x}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau,y_{\bar x t}\biggr]- {}
\\
{}
- \biggl( \frac{h^2}{12}a p^{(-1)}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}  (\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} )_{\bar x} y_{i}^s\bar\tau, y_{\bar x t}\biggr] - 
\biggl( \frac{h^2}{12}a p^{(-1)}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i-1}^{{j+{1}/{2}},s} y_{\bar x}^s\bar\tau, y_{\bar x t}\biggr]\leqslant {}
\\
{} 
\leqslant 
\biggl( M_9^\varepsilon, \biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}
\rho_{i}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau \biggr)^2 \biggr) 
+\biggl( M_{10}, \biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{\bar x}^{{j+{1}/{2}},s} y_{i}^s\bar\tau\biggr)^2\biggr) +
{} 
\\
{}
+ \biggl(\frac{h^2}{12}M_{11}, \biggl(\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}\rho_{i-1}^{{j+{1}/{2}},s} y_{\bar x}^s\bar\tau\biggr)^2\biggr)+
\varepsilon\|y_t\|_0^2+\frac{h^2}{12}\|y_{\bar x t}\|_0^2\leqslant {}
\\
{}
\leqslant \Bigl(\varepsilon+\frac{1}{3}\Bigr) \|y_t\|_0^2 + 
M_{12}^\varepsilon\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}}(1,y^2)\bar \tau + 
M_{13}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \Bigl( \frac{h^2}{12},y_{\bar x}^2\Bigr)\bar \tau\leqslant {}
\\
{} 
\leqslant \Bigl(\varepsilon+\frac{1}{3}\Bigr) \|y_t\|_0^2+
M_{12}^\varepsilon\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s\|_0^2\bar\tau + 
M_{13}\frac{h^2}{4}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s_{\bar x}\|_0^2\bar\tau \leqslant {}
\\
{}
\leqslant  \Bigl(\varepsilon+\frac{1}{3}\Bigr) \|y_t\|_0^2+M_{14}^\varepsilon\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s\|_0^2\bar\tau ; 
\end{multline*}
\]
\[\begin{equation*}
(\varphi, y_t )\leqslant \frac{3}{2} \|\varphi\|_0^2+\frac{1}{6}\|y_t\|_0^2.
\end{equation*}\]
Учитывая полученные преобразования, из (11) находим
\[
\begin{multline}
\Bigl(\frac{1}{6}-\varepsilon\Bigr)\|y_t\|_0^2 + 
\frac{c_0}{2} (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t \leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{h^2}{12}  (ap_{\bar x},y_{t,i-1}y_{\bar xt} ]+
M_{14}^{\varepsilon}\sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \|y^s\|_0^2\bar\tau + 
\frac{3}{2}\|\varphi\|^2_0.
\tag{12}
\end{multline}
\]

Оценим первое слагаемое в правой части (12). В этих целях рассмотрим отдельно неравенство
\[
\begin{equation*}
- (y_{i}-y_{i-1} )^2 \leqslant 0,  
\end{equation*}
\]
которое можно переписать в виде
\[
\begin{equation}
-y_i^2 + 2y_iy_{i-1} - y_{i-1}^2 \leqslant 0. 
\tag{13}
\end{equation}
\]
Из (13) получаем оценку
\[
\begin{equation*}
hy_{i-1}y_{\bar{x}} \leqslant \frac{1}{2}y_i^2.  
\end{equation*}
\]

Следовательно, для первого слагаемого в (12) имеем
\[
\begin{equation}
\frac{h^2}{12} (ap_{\bar{x}},y_{t,i-1}y_{\bar{x}t} ] \leqslant \frac{h}{12}M_{15}\|y_t\|^2_0. 
\tag{14}
\end{equation}
\]

Подставляя (14) в (12), получаем
\[
\begin{equation}
\Bigl(\frac{1}{6}-\varepsilon - \frac{h}{12}M_{15}\Bigr)\|y_t\|_0^2 + 
\frac{c_0}{2} (\|y_{\bar{x}}]|_0^2 )_t 
\leqslant M_{14}^{\varepsilon}\sum_{s=0}^{j+1/2} \|y^s\|_0^2\bar{\tau} + \frac{3}{2}\|\varphi\|^2_0. 
\tag{15}
\end{equation}
\]

Выбирая параметры $\varepsilon =  {1}/{12}$ и $h \leqslant h_1 =  {1}/({2M_{15}})$, из (15) находим
\[
\begin{equation}
\|y_t\|_0^2 +  (\|y_{\bar{x}}]|_0^2 )_t \leqslant 
M_{15}\sum_{s=0}^{j+1/2} \|y^s\|_0^2\bar{\tau} + M_{16}\|\varphi\|^2_0. 
\tag{16}
\end{equation}
\]

Используя оценку (16) в неравенстве (10), получаем
\[
\begin{multline}
(\|y\|_0^2 )_t + \Bigl(1-\frac{h^2}{12}M_2\Bigr) (\|y_{\bar{x}}]|_0^2 )_t + 
\frac{c_0}{4} \|Y_{\bar{x}}]|_0^2 \leqslant{}
\\
{} \leqslant M_{17}\|Y\|_0^2 +  M_{18}\sum_{s=0}^{j+1/2}\|y^s\|_0^2\bar{\tau} + 
M_{19}\|\varphi\|^2_0. 
\tag{17}
\end{multline}
\]

Оценим второе слагаемое в правой части (17) следующим образом:
\[
\begin{equation}
\sum_{s=0}^{j+1/2}\|y^s\|_0^2\bar{\tau} = 
\sum_{s=0}^{j}\|y^s\|_0^2\tau +  0.5\tau\|y^j\|_0^2 \leqslant 
2\sum_{s=0}^{j}\|y^s\|_0^2\tau. 
\tag{18}
\end{equation}
\]

Принимая $h^2 \leqslant h_2^2 =  {1}/{M_2}$ и подставляя (18) в (17), окончательно получаем
\[
\begin{equation}
(\|y\|_0^2)_t +  (\|y_{\bar{x}}]|_0^2 )_t + 
\|Y_{\bar{x}}]|_0^2 \leqslant M_{20}\|Y\|_0^2 + M_{21}\sum_{s=0}^{j}\|y^s\|_0^2\tau + M_{22}\|\varphi\|^2_0. 
\tag{19}
\end{equation} 
\]

Умножим обе части (19) на $\tau$ и просуммируем по $j'$ от $0$ до $j$:
\[
\begin{multline}
\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau 
\leqslant M_{20}\sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}\|^2_0\tau + {}
\\
{} +M_{21}\sum^j_{j'=0}\sum_{s=0}^{j'} \|y^s\|_0^2\tau + 
M_{22}\biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr) .
\tag{20}
\end{multline}
\]

Преобразуем первое слагаемое в правой части (20). Используя неравенство $(a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$, получаем
\[
\begin{multline}
 \sum^j_{j'=0}\|Y\|^2_0\tau = \sum^j_{j'=0}\|y^{j'+1} + y^{j'}\|^2_0\tau \leqslant 
2\sum^j_{j'=0}\bigl( \|y^{j'+1}\|^2_0 + \|y^{j'}\|^2_0\bigr) \tau = {}
\\
{}
=2\sum^j_{j'=0}\|y^{j'+1}\|^2_0\tau + 2\sum^j_{j'=0}\|y^{j'}\|^2_0\tau
=2\sum^{j+1}_{j'=1}\|y^{j'}\|^2_0\tau + 2\sum^j_{j'=0}\|y^{j'}\|^2_0\tau= {}
\\
{}
=2\|y^{j+1}\|^2_0+2\|y^{0}\|^2_0 + 4\sum^j_{j'=1}\|y^{j'}\|^2_0\tau.
\tag{21}
\end{multline}
\]
Для двойной суммы имеем оценку
\[
\begin{equation}
\sum^j_{j'=0}\sum_{s=0}^{j'} \|y^s\|_0^2\tau \leq T\sum^j_{j'=0} \|y^{j'}\|_0^2\tau. 
\tag{22}
\end{equation}
\]

Подставляя (21) и (22) в (20), получаем
\[
\begin{multline}
(1-2M_{20}\tau ) \|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + 
\sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leqslant{}
\\
{}
\leqslant 4M_{20}\sum^j_{j'=0}\|y\|^2_0\tau + 
M_{23}\biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr).
\tag{23}
\end{multline}
\]

Выбирая шаг $\tau \leqslant \tau_0 = {1}/({4M_{20}})$, из (23) находим
\[
\begin{multline}
\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leqslant{}
\\
{}
\leqslant M_{24}\sum^j_{j'=0}\|y\|^2_0\tau + M_{25}\biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr).
\tag{24}
\end{multline}
\]

Применяя разностный аналог леммы Гронуолла [27, лемма 4, с. 171] к (24), получаем
\[\begin{equation*}
\|y^{j+1}\|^2_0  \leqslant
M_{26} \biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr).
\end{equation*}
\]

Учитывая последнее, из (24) получаем окончательную априорную оценку:
\[
\begin{multline}
\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leqslant{}
\\
{}\leqslant M(T)\biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr),
\tag{25}
\end{multline}
\]
где $M(T)=\mathrm{const}>0$ не зависит от параметров сетки  $h$ и $\tau$.

Теорема 1. Пусть выполнены условия гладкости (4). Тогда существуют $\tau_0 > 0$ и $h_0 > 0,$ зависящие от констант $c_0,$ $c_1,$ $c_2,$ такие что при $\tau \leqslant \tau_0(c_0, c_1, c_2),$ $h \leqslant h_0(c_0, c_1, c_2) = \min\{h_1, h_2\}$ разностная схема (5)–(7) устойчива по правой части и начальным данным. При этом для решения задачи справедлива априорная оценка  на каждом временном слое в смысле нормы $\|y\|^{2}_{1} =\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau.$

Из априорной оценки (25) следует единственность решения разностной задачи (5)–(7) и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи.

Введем следующие обозначения: $u(x,t)$ — решение исходной дифференциальной задачи (1)–(3); $y(x_i,t_j) = y_i^j$ —  решение разностной задачи (5)–(7).

Для оценки  точности разностной схемы (5)–(7) рассмотрим разность $z_i^j =y_i^j-u_i^j$, где $u^j_i=u(x_i,t_j)$.  Подстановка $y = z + u$ в разностные соотношения (5)–(7) приводит к задаче для погрешности аппроксимации:
\[
\begin{equation}
z_t= (az^{\sigma}_{\bar x} )_x + \sum_{s=0}^{j+{1}/{2}} \bar\rho_{i,s}^j z_{i}^s\bar\tau + \Psi, 
\tag{26}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
z_0=z_N=0, \quad z(x_i,0)=0,
\tag{27}
\end{equation}
\]
где величина $\Psi=O(h^4+\tau^2)$ характеризует погрешность аппроксимации дифференциальной задачи (1)–(3) разностной схемой (5)–(7) в классе решений $u(x,t)$ исходной задачи.

Применение априорной оценки (25) к задаче (26), (27) дает следующую оценку погрешности:
\[
\begin{equation}
\|z^{j+1}\|^2_0 + \|z^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Z^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leq
M\sum^j_{j'=0}\|\Psi^{j'}\|^2_0\tau, 
\tag{28}
\end{equation}
\]
где постоянная $M>0$ не зависит от  $h$ и $\tau$. 

С учетом (28) справедлива следующая теорема.

Теорема 2.  Пусть выполнены условия, при которых $\|\Psi\| = O(h^4+\tau^2),$ 
и условия ограниченности (4). Тогда разностная схема  (5)–(7) при независимом стремлении $h$ и $\tau$ к нулю сходится к решению дифференциальной задачи (1)–(3) в смысле нормы 
\[\begin{equation*}
\|z^{j+1}\|^2_1 = \|z^{j+1}\|^2_0 + \|z^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum\limits^j_{j'=0}\|Z^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau
\end{equation*}\]
на каждом слое так, что при достаточно малых $h$ и $\tau$ имеет место оценка
\[\begin{equation*}
\|y^{j+1}-u^{j+1}\|_1\leqslant M (h^4+\tau^2 ), \quad \tau\leqslant \tau_{0}, \, h\leqslant h_{0}=\min\{h_1,h_2\},
\end{equation*}\]
где константа $M>0$ не зависит от выбора сетки.

3. Постановка задачи Б

В прямоугольной области 
\[\begin{equation*}
\overline{D} = \{(x,t): 0 \leqslant x \leqslant l, 0 \leqslant t \leqslant T\}
\end{equation*}\]
рассмотрим нагруженное уравнение теплопроводности, заменяющее уравнение (1):
\[
\begin{equation}
u_t = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(k(x,t)\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr) - 
\sum_{s=1}^m q_s(x,t)u(x_s,t) + f(x,t), \quad 0 < x < l, 0 < t \leqslant T, 
\tag{29}
\end{equation}
\]
где коэффициенты удовлетворяют условиям
\[
\begin{equation}
|q_s(x,t)|, |q_{s,xx}(x,t)| \leqslant c_2, \; s=1,2,\dots,m; \quad q_s(x,t) \in C^{4,1}(\overline{D}), 
\tag{30}
\end{equation}
\]
а $x_s$ ($s=1,2,\dots ,m$) представляют собой произвольные фиксированные точки интервала $(0,l)$.

4. Устойчивость и сходимость разностной схемы

На равномерной сетке $\overline \omega_{h\tau}$ дифференциальной задаче (2), (3), (29) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации $O(h^4+\tau^{2})$:
\[
\begin{equation}
y_t= (ay^{\sigma}_{\bar x} )_x  - \frac{1}{2}\sum^m_{s=1}\bar d_s \overline Y_{s} + \varphi, 
\tag{31}
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
y_0=y_N=0, \quad t_j\in\overline \omega_\tau, 
\tag{32}
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
y(x_i,0)=u_0(x_i), \quad x_i \in \overline \omega_h, 
\tag{33}
\end{equation}
\]
где
\[
x_{i_s}\leqslant x_s \leqslant x_{i_{s+1}}, \quad 
\bar d_{s,i}^jy = \Bigl(d_sy + \frac{h^2}{12}\bigl(a ( pd_sy )_{\bar x} \bigr)_x\Bigr)^{j+{1}/{2}}_i, 
\quad \sigma = \frac{1}{2} - \frac{h^2}{12\tau}p,  
\]
\[
\begin{multline*}
\bar{y}_{s} = \frac{(x_s-x_{i_s})(x_s-x_{i_s+1})(x_s-x_{i_s+2})}{-6h^3}y_{i_s-1} + {}
\\
+{} \frac{(x_s-x_{i_s-1})(x_s-x_{i_s+1})(x_s-x_{i_s+2})}{2h^3}y_{i_s} +{}
\\
{}+ \frac{(x_s-x_{i_s-1})(x_s-x_{i_s})(x_s-x_{i_s+2})}{-2h^3}y_{i_s+1} + {}
\\
{}+ \frac{(x_s-x_{i_s-1})(x_s-x_{i_s})(x_s-x_{i_s+1})}{6h^3}y_{i_s+2}.
\end{multline*}
\]

В дальнейшем будем считать, что $h<\min\{x_1,l-x_m\}$.

Найдем априорную оценку, используя метод энергетических неравенств. Перепишем (31) в виде
\[
\begin{equation}
y_t= \frac{1}{2} (aY_{\bar x} )_x-\frac{h^2}{12} \bigl(a (py_t)_{\bar x}\bigr)_x-
\frac{1}{2}\sum\limits_{s=1}^m \bar d_s\overline Y_s+\varphi. 
\tag{34}
\end{equation}
\]

Умножая (34) скалярно на $Y = y^j+y^{j+1}$, получим
\[
\begin{equation}
(y_t, Y)= \frac{1}{2}\bigl( (aY_{\bar x} )_x,Y\bigr)- \frac{h^2}{12}\bigl(\bigl(a(py_t)_{\bar x}\bigr)_x,Y\bigr)-\frac{1}{2}\biggl(\sum\limits_{s=1}^m \bar d_s\overline Y_s,Y\biggr)+ (\varphi,Y ). 
\tag{35}
\end{equation}
\]

После подробных преобразований (аналогичных (9), (10)) c учетом (32) и оценки 
\[
\begin{multline*}
-\frac{1}{2}\biggl(\sum^m_{s=1}\bar d_s\overline Y_{s},Y\biggr) = 
-\frac{1}{2}\biggl(\sum^m_{s=1} d_s\overline Y_{s},Y\biggr) 
-\biggl(\frac{h^2}{24}\sum^m_{s=1}\bigl(a ( p d_s\overline Y_{s} )_{\bar x} \bigr)_x,Y\biggr) = {}
\\
{} = -\frac{1}{2}\sum^m_{s=1}\overline Y_{s} ( d_s, Y ) + \biggl(\frac{h^2}{24}\sum^m_{s=1}a\ ( p d_s )_{\bar x}\overline Y_{s},Y_{\bar x}\biggr] \leqslant {}
\\
{}
\leqslant \sum^m_{s=1} \Bigl( \frac{1}{4} (\overline Y_{s})^2 +\frac{c_2^2}{4} (1, Y)^2\Bigr)  + 
\biggl(\frac{h^2}{24}M_1\sum^m_{s=1}Y_{s},Y_{\bar x}\biggr]\leqslant{}
\\
\leqslant M_{2}\sum^m_{s=1}\overline Y^2_{s}+\frac{mlc_2^2}{4} (1, Y^2 ) + 
\biggl(\frac{h^2}{48}M^2_1,\biggl( \sum^m_{s=1}Y_{s}\biggr)^2\biggr) +\Bigl(\frac{h^2}{48},Y^2_{\bar x}\Bigr] \leqslant{} 
\\
{}
\leqslant M_{3}\Bigl(\varepsilon\|Y_{\bar x}]|^2_0 + \frac{1}{4\varepsilon}\|Y\|^2_0 \Bigr) +
\frac{mlc_2^2}{4} (1, Y^2 ) + \biggl(\frac{h^2}{48}M_4,\sum^m_{s=1}Y^2_{s}\biggr) +
\frac{h^2}{48}\|Y_{\bar x}]|^2_0\leqslant{}
\\
{}
\leqslant \varepsilon M_{5} \|Y_{\bar x}]|_0^2+ \frac{h^2}{48} M_{6} \|Y_{\bar x}]|_0^2+
M_{7}^{\varepsilon} \|Y\|_0^2\leqslant \varepsilon M_{5} \|Y_{\bar x}]|_0^2+ M_{8}^{\varepsilon} \|Y\|_0^2
\end{multline*}
\]
из (35) получаем
\[
\begin{multline}
(\|y^j\|_0^2 )_ t -\frac{h^2}{12} M_9  (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t+ \Bigl(\frac{c_0}{2}-\varepsilon M_{5}\Bigr) 
 \|Y_{\bar x}]|_0^2\leqslant {} 
\\
{}\leqslant \|y_t\|_0^2+M_{8}^{\varepsilon}\|Y\|_0^2+\frac{1}{2}\|\varphi\|_0^2. 
\tag{36}
\end{multline}
\]

Выбирая $\varepsilon= {c_0}/({4M_{5}})$, из (36) получаем
\[
\begin{equation}
(\|y\|_0^2 )_ t -\frac{h^2}{12} M_9  (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t+
\frac{c_0}{4} \|Y_{\bar x}]|_0^2\leqslant 
\|y_t\|_0^2+M_{10}\|Y\|_0^2+\frac{1}{2}\|\varphi\|_0^2. 
\tag{37}
\end{equation}
\]

Оценим первое слагаемое в правой части (37). Для этого умножим (31) скалярно на $y_t$:
\[
\begin{equation} 
(y_t, y_t )=  \frac{1}{2}\bigl((aY_{\bar x})_x,y_t\bigr)- 
\frac{h^2}{12}\bigl(\bigl(a(py_t)_{\bar x}\bigr)_x, y_t\bigr)-
\frac{1}{2}\biggl(\sum\limits_{s=1}^m \bar d_s\overline Y_s,y_t\biggr)+
(\varphi, y_t). 
\tag{38}
\end{equation}
\]

После подробных преобразований (аналогичных (11), (12)) с учетом оценки
\[
\begin{multline*}
-\frac{1}{2}\biggl(\sum^m_{s=1}\bar d_s\overline Y_{s},y_t\biggr) = 
-\frac{1}{2}\biggl(\sum^m_{s=1} d_s\overline Y_{s}, y_t\biggr) 
-\biggl(\frac{h^2}{24}\sum^m_{s=1}\bigl(a ( p d_s\overline Y_{s} )_{\bar x} \bigr)_x, y_t \biggr) ={}
\\
{}
= -\frac{1}{2}\sum^m_{s=1}\overline Y_{s}  ( d_s, y_t ) + 
\biggl(\frac{h^2}{24}\sum^m_{s=1}a ( p d_s  )_{\bar x}\overline Y_{s},y_{\bar x t}\biggr] \leqslant {}
\\
{}
\leqslant \sum^m_{s=1} \Bigl( \frac{1}{8\varepsilon}  (\overline Y_{s} )^2 +
\varepsilon c_2^2  (1, y_t )^2\Bigr)  + 
\biggl(\frac{h^2}{24}M_{11}\sum^m_{s=1}Y_{s}, y_{\bar x t}\biggr]\leqslant {}
\\
{}
\leqslant  M_{12}^\varepsilon\sum^m_{s=1}\overline Y^2_{s}+ \varepsilon mlc_2^2 (1, y_t^2) + 
\biggl(\frac{h^2}{48}M^{\varepsilon_1}_{11},\biggl( \sum^m_{s=1}Y_{s}\biggr)^2\biggr) +
\Bigl(\frac{h^2}{48},\varepsilon_1 y^2_{\bar x t}\Bigr]\leqslant {} 
\\
{} 
\leqslant M_{13}^\varepsilon \Bigl(\varepsilon_2\|Y_{\bar x}]|^2_0 + \frac{1}{4\varepsilon_2}\|Y\|^2_0 \Bigr) 
+\varepsilon mlc_2^2  (1, y_t^2) + \biggl(\frac{h^2}{48}M^{\varepsilon_1}_{14},\sum^m_{s=1}Y^2_{s}\biggr) 
+\varepsilon_1\frac{h^2}{48}\|y_{\bar x t}]|^2_0\leqslant {}
\\
{}
\leqslant (\varepsilon+\varepsilon_1) M_{15} \|y_t\|_0^2 + \varepsilon_2 M_{13}^{\varepsilon} \|Y_{\bar x}]|_0^2+M_{16}^{\varepsilon, \varepsilon_1, \varepsilon_2} \|Y\|_0^2
\end{multline*}
\]
из (38) находим
\[
\begin{multline} 
\Bigl(\frac{1}{3}-(\varepsilon +\varepsilon_1)M_{15}\Bigr)\|y_t\|_0^2 + 
\frac{c_0}{2} (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t \leqslant 
\frac{h^2}{12}  (ap_{\bar x},y_{t,i-1}y_{\bar xt} ]+ {}
\\
{}
+\varepsilon_2 M_{13}^{\varepsilon} \|Y_{\bar x}]|_0^2+M_{16}^{\varepsilon, \varepsilon_1 \varepsilon_2} \|Y\|_0^2 + \frac{3}{4}\|\varphi\|^2_0.
\tag{39}
\end{multline}
\]

С учетом преобразования (14) из (39) имеем
\[
\begin{multline}
\Bigl(\frac{1}{3}-(\varepsilon +\varepsilon_1)M_{15} - \frac{h}{12}M_{17}\Bigr)
\|y_t\|_0^2 +\frac{c_0}{2} (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t \leqslant
{}
\\
{}\leqslant
\varepsilon_2 M_{13}^{\varepsilon} \|Y_{\bar x}]|_0^2+
M_{16}^{\varepsilon, \varepsilon_1 \varepsilon_2} \|Y\|_0^2 + \frac{3}{4}\|\varphi\|^2_0.
\tag{40}
\end{multline}
\]
Выбирая $\varepsilon = \varepsilon_1 =  1/( {12M_{15}})$, $h\leqslant h_1= {1}/{M_{17}}$, из (40) находим
\[
\begin{equation}
\|y_t\|_0^2 +  (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t \leqslant \varepsilon_2 M_{18} \|Y_{\bar x}]|_0^2+
M_{19}^{\varepsilon_2} \|Y\|_0^2 +M_{20}\|\varphi\|^2_0.
\tag{41}
\end{equation}
\]

С учетом (41) из (37) получим
\[
\begin{multline}
(\|y\|_0^2 )_ t +\Bigl( 1-\frac{h^2}{12} M_9\Bigr)   (\|y_{\bar x}]|_0^2 )_t +
\Bigl(\frac{c_0}{4}-\varepsilon_2 M_{18}\Bigr) \|Y_{\bar x}]|_0^2\leqslant{} 
\\
{}\leqslant M_{21}^{\varepsilon_2} \|Y\|_0^2 +M_{22}\|\varphi\|^2_0. 
\tag{42}
\end{multline}
\]
Выбирая $h^2 \leqslant h_2^2= {1}/{M_9}$, $\varepsilon_{2}= {c_0}/({8M_{18}})$, из (42) находим
\[
\begin{equation}
(\|y\|_0^2 )_ t + ( \|y_{\bar x}]|_0^2  )_t+ \|Y_{\bar x}]|_0^2\leqslant 
M_{23} \|Y\|_0^2 + M_{24}\|\varphi\|^2_0. 
\tag{43}
\end{equation}
\]

Умножим обе части (43) на $\tau$ и просуммируем по $j'$ от 0 до $j$:
\[
\begin{multline}
\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leqslant {}
\\
{} \leqslant M_{23}\sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}\|^2_0\tau + 
M_{25}\biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr) .
\tag{44}
\end{multline}
\]

Учитывая (21), из (44) находим
\[
\begin{multline}
(1-2M_{23}\tau ) \|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau 
\leqslant {}
\\
{}\leqslant 4M_{23}\sum^j_{j'=0}\|y\|^2_0\tau + 
M_{26}\biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr).
\tag{45}
\end{multline}
\]
Выбирая $\tau\leqslant \tau_0 =  {1}/({4M_{23}})$, из (45) находим
\[
\begin{multline*}
\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leqslant {}
\\
{} \leqslant M_{27}\sum^j_{j'=0}\|y\|^2_0\tau + 
M_{28}\biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr).
\end{multline*}
\]
Применяя к последнему неравенству разностный аналог леммы Гронуолла [27, лемма 4, с. 171], находим оценку
\[
\begin{multline}
\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leqslant {}
\\
{} \leqslant M(T) \biggl( \sum^j_{j'=0}\|\varphi^{j'}\|^2_0\tau+\|y^{0}\|^2_0 + \|y^{0}_{\bar x}]|_0^2\biggr),
\tag{46}
\end{multline}
\]
где $M(T)=\mathrm{const}>0$ не зависит от параметров сетки $h$ и $\tau$.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4), (30). Тогда существуют $\tau_{0}>0$ и $h_0>0,$ зависящие от констант $c_{0},$ $c_{1},$ $c_{2},$
такие что при $\tau\leqslant \tau_{0}(c_{0}, c_{1}, c_{2}),$ $h\leqslant h_{0}(c_{0}, c_{1}, c_{2})=\min\{h_1,h_2\}$ разностная схема (31)–(33) устойчива по правой части и начальным данным. При этом для решения задачи справедлива априорная оценка (46) на каждом временном слое в смысле нормы
\[
\begin{equation*}
\|y\|_{1}=\biggl(\|y^{j+1}\|^2_0 + \|y^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Y^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau\biggr)^{{1}/{2}}.
\end{equation*}
\]

Из априорной оценки (46) следуют единственность решения разностной задачи (31)–(33) и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи.

Пусть $u(x,t) $ — решение задачи (29), (2), (3); $y(x_i,t_j)=y_i^j$— решение разностной задачи (31)–(33). 

Для оценки точности разностной схемы (31)–(33) рассмотрим разность $z_i^j=y_i^j-u_i^j$, где $u^j_i=u(x_i,t_j)$. Подстановка $y=z+u$ разностные  соотношения (31)–(33) приводит к задаче для функции $z$: 
\[
\begin{equation}
z_t= (az^{\sigma}_{\bar x} )_x  - \frac{1}{2}\sum^m_{s=1} \bar d_s \overline Z_{s} + \Psi, 
\tag{47}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
z_0=z_N=0, \quad z(x_i,0)=0,
\tag{48}
\end{equation}
\]
где $\Psi=O (h^4+\tau^2 )$ характеризует погрешность аппроксимации дифференциальной задачи (1)–(3) разностной схемой (31)–(33) в классе решений ${u=u(x,t)}$ задачи (29), (2), (3).

Применение априорной оценки (46) к задаче (47), (48) дает следующую оценку погрешности:
\[
\begin{equation}
\|z^{j+1}\|^2_0 + \|z^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum^j_{j'=0}\|Z^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau \leqslant
M\sum^j_{j'=0}\|\Psi^{j'}\|^2_0\tau,
\tag{49}
\end{equation}
\]
где постоянная $M>0$ не зависит от $h$ и $\tau$.

С учетом (49) справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть выполнены условия, при которых $\|\Psi\| = O(h^4+\tau^2),$ и условия ограниченности (4), (30). Тогда разностная схема (31)–(33) при независимом стремлении $h$ и $\tau$ к нулю сходится к решению дифференциальной задачи (29), (2), (3) в смысле нормы
\[
\begin{equation*}
\|z^{j+1}\|^2_1 = \|z^{j+1}\|^2_0 + \|z^{j+1}_{\bar x}]|_0^2 + \sum\limits^j_{j'=0}\|Z^{j'}_{\bar x}]|^2_0\tau
\end{equation*}
\]
на каждом слое так, что при достаточно малых $h$ и $\tau$ имеет место оценка
\[
\begin{equation*}
\|y^{j+1}-u^{j+1}\|_1\leqslant M (h^4+\tau^2 ), \quad \tau\leqslant \tau_{0}, \ h\leqslant h_{0}=\min\{h_1,h_2\}, 
\end{equation*}
\]
где константа $M>0$ не зависит от выбора сетки.

5. Тестовые задачи и численные результаты

Коэффициенты уравнения и граничные условия дифференциальных задач (1)–(3) и (29), (2), (3) подбираются таким образом, чтобы функция
\[
\begin{equation*}
u(x,t) = t^3(x^6 - lx^5)
\end{equation*}
\]
являлась точным решением каждой из рассматриваемых задач.

Для приведения разностных схем (5)–(6) и (31)–(33) к расчетному виду был применен метод параметрической прогонки [28, с. 131].

В табл. 1–4 представлены максимальные значения погрешности ${z = y - u}$ и вычислительный (апостериорный) порядок сходимости $\mathrm{CO}$ (Convergence Order) при последовательном уменьшении шагов сетки. 
Исследование проводилось в нормах $\|{}\cdot{}\|_{L_2(\bar{\omega}_{h\tau})}$ и $\|{}\cdot{}\|_{C(\bar{\omega}_{h\tau})}$:
\[
\|z\|_{L_2(\bar{\omega}_{h\tau})} = \biggl( \tau h \sum_{i=0}^N \sum_{j=0}^{j_0} |z_{ij}|^2 \biggr)^{1/2},
\quad
\|z\|_{C(\bar{\omega}_{h\tau})} = \max\limits_{(x_i,t_j)\in \bar{\omega}_{h\tau}} |z_{ij}|,
\]
где $z_{ij} = z(x_i,t_j)$. Наблюдаемое уменьшение погрешности соответствует теоретическому порядку аппроксимации $O(h^4 + \tau^2)$.

Вычислительный порядок сходимости определялся по формуле
\[
\text{CO} = \log_2 \frac{\|z_1\|}{\|z_2\|},
\]
где $z_1$ и $z_2$ — погрешности, полученные при шагах сетки $0.5\bar{h}$ и $\bar{h}$ соответственно.

Заключение

Основным результатом исследования является построение и обоснование разностных схем повышенного порядка точности $O(h^4+\tau^2)$ для решения начально-краевых задач для нагруженных уравнений теплопроводности с граничными условиями Дирихле. На основе метода энергетических неравенств получены априорные оценки решений разностных задач в сеточных нормах, из которых следует единственность решения разностной задачи, устойчивость по начальным данным и правой части,
сходимость к решению исходной дифференциальной задачи в классе достаточно гладких функций. Проведенные численные эксперименты для тестовых задач подтверждают теоретические оценки порядка точности и демонстрируют эффективность предложенного метода.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнено без финансовой поддержки.

About the authors

Murat Kh. Beshtokov

Author for correspondence.
Email: beshtokov-murat@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-2968-9211
Scopus Author ID: 55933179800
ResearcherId: L-8961-2017
https://www.mathnet.ru/rus/person52345

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Dept. of Computational Methods

References

Supplementary files