Existence and uniqueness of solutions to the Goursat–Darboux system with integral boundary conditions

Full Text

Введение

В последние десятилетия наблюдается интенсивное исследование нелокальных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных [1–4]. Следует отметить, что краевая задача называется нелокальной, если краевые условия задаются в виде комбинаций значений искомого решения и/или его производных в различных граничных или внутренних точках области [4]. Важно подчеркнуть, что задачи с нелокальными краевыми условиями возникают при математическом моделировании физических и химических процессов, демографических исследований и в других прикладных областях.

При моделировании процессов, в которых непосредственное измерение основных параметров невозможно, а известны лишь их средние значения по области, возникают интегральные условия. Исследованию задач для уравнений гиперболического типа с интегральными условиями посвящены многочисленные работы [5–18].  В указанных работах преимущественно изучены вопросы разрешимости краевых задач как в классическом, так и в обобщенном смысле.

1. Постановка задачи

Рассмотрим функцию $y = y(t,x)$, определяемую как решение уравнения
\[
\begin{equation}
y_{tx} = f \bigl(t,x,y(t,x), y_t(t,x), y_x(t,x)\bigr), \quad (t,x) \in Q,
\end{equation}
\tag{1}
\]
с интегральными ограничениями вида
\[
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\int ^T_0 n(t)y(t,x)dt = \varphi(x), \quad x \in [0,l], \\
\displaystyle
\int ^l_0 m(x)y(t,x)dx = \psi(t), \quad t \in [0,T], 
\end{array}
\end{equation}
\tag{2}
\]
где $Q = \bigl\{(t,x) : 0 \leqslant t \leqslant T, 0 \leqslant x \leqslant l \bigr\}$ — характеристический прямоугольник; $T$, $l > 0$ — заданные константы; $y = (y_1,y_2,\dots,y_n)$ — вектор состояния; $f = (f_1,f_2,\dots,f_n)$, $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi_n)$, $\psi = (\psi_1,\psi_2,\dots,\psi_n)$ — вектор-функции; $n(t)$ и $m(x)$ — заданные матричные функции размерности $n \times n$. Все векторы рассматриваются как вектор-столбцы даже при строковой записи.

Задача (1), (2) была впервые исследована С. В. Жестковым в работе [6], где классическим методом последовательных приближений были доказаны теоремы существования и единственности решения. В дальнейшем Б. Панеяхом и П. Панеяхом [7] при минимальных ограничениях на исходные данные были получены более детальные условия однозначной разрешимости данной задачи. Следует отметить, что в работах [6, 7] исследование существования и единственности классического решения задачи (1), (2) проводилось для одномерного случая.

В дальнейшем будем предполагать выполнение следующих условий:

1. вектор-функция $f: Q \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ непрерывна по совокупности переменных;
2. матричные функции $n(t) \in L_\infty[0,T]$, $m(x) \in L_\infty[0,l]$ являются перестановочными, то есть удовлетворяют соотношениям
   \[
   n(t)m(x) = m(x)n(t) \quad \text{при} \quad (t,x) \in Q,
   \]
   причем
   \[
   \det\biggl[\int^T_0 n(t)dt\biggr] \neq 0, \quad \det\biggl[\int^l_0 m(x)dx\biggr] \neq 0;
   \]
3. функции $\varphi(x)$ и $\psi(t)$ дифференцируемы на отрезках $[0,l]$ и $[0,T]$ соответственно, и дополнительно выполняется условие согласования
   \[
   \int^l_0 m(x)\varphi(x)dx = \int^T_0 n(t)\psi(t)dt = A = \text{const}.
   \]

Следует подчеркнуть, что условия 2) и 3) представляют собой необходимые условия разрешимости задачи (1), (2).

Обозначим через $C(Q,\mathbb{R}^n)$ пространство непрерывных на $Q$ вектор-функций $y: Q \to \mathbb{R}^n$.

Под решением задачи (1), (2) будем понимать функцию $y(t,x) \in C(Q,\mathbb{R}^n)$, обладающую частными производными
\[
y_t(t,x) \in C(Q,\mathbb{R}^n), \quad y_x(t,x) \in C(Q,\mathbb{R}^n), \quad y_{tx}(t,x) \in C(Q,\mathbb{R}^n),
\]
удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2). Такие решения принято называть классическими.

2. Приведение задачи (1), (2) к интегральным уравнениям

Для упрощения рассмотрим модельную задачу
\[
\begin{equation} 
y_{tx}(t,x) = z(t,x), \quad (t,x) \in Q,
\end{equation}
\tag{3}
\]
с интегральными ограничениями (2), где $z(t,x) \in C(Q,\mathbb{R}^n)$ — заданная непрерывная вектор-функция.

Теорема 1. Решение задачи (3), (2) представимо в виде
\[
\begin{multline}
y(t,x) = m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - n^{-1}(T)m^{-1}(l)A +{}\\
{}+ \int_0^T \int_0^l G(t,x,\tau,s)z(\tau,s)\,d\tau ds,
\tag{4}
\end{multline}
\]
где функция Грина $G(t,x,\tau,s)$ определяется следующим образом:
\[
G(t,x,\tau,s) = 
\begin{cases} 
\displaystyle
m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_0^s m(r)dr \int _0^\tau n(\alpha)d\alpha, & 0 \leqslant \tau \leqslant t,  0 \leqslant s \leqslant x, \\
\displaystyle 
-m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_0^s m(r)dr \int _\tau^T n(\alpha)d\alpha, & 0 \leqslant s \leqslant x,  t < \tau \leqslant T, \\ 
\displaystyle
-m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_0^\tau n(\alpha)d\alpha \int_s^l m(r)dr, & 0 \leqslant \tau \leqslant t,  x < s \leqslant l, \\ 
\displaystyle
m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_s^l m(r)dr \int_\tau^T n(\alpha)d\alpha, & x < s \leqslant l, \ t < \tau \leqslant T,
\end{cases}
\]
причем 
\[
m^{-1}(l) = \biggl[\int_0^l m(x)dx\biggr]^{-1}, \quad 
n^{-1}(T) = \biggl[\int_0^T n(t)dt\biggr]^{-1}.
\]

Доказательство. Решение задачи (3), (2) будем искать в виде
\[
\begin{equation}
y(t,x) = a(t) + b(x) + \int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds, \quad (t,x) \in Q,
\end{equation}
\tag{5}
\]
где $a(t) \in C^1[0,T]$, $b(x) \in C^1[0,l]$ — неизвестные непрерывно дифференцируемые функции.

Подстановка (5) в условия (2) дает систему:
\[
\begin{multline}
  \int_0^T n(t)a(t)dt + \int_0^T n(t)b(x)dt +{} \\
{}+ \int_0^T n(t)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dt = \varphi(x), 
\tag{6}  
\end{multline}
\]
\[
\begin{multline}
  \int_0^l m(x)a(t)dx + \int_0^l m(x)b(x)dx +{} \\
{}+ \int_0^l m(x)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dx = \psi(t).   \tag{7}
\end{multline}
\]

Без ограничения общности предположим, что
\[
\int_0^T n(t)a(t)dt = 0 \quad \text{или} \quad \int_0^l m(x)b(x)dx = 0.
\]
Выберем первое условие $\displaystyle \int_0^T n(t)a(t)dt = 0$. Тогда из (6) следует
\[
\begin{equation}
b(x) = n^{-1}(T)\varphi(x) -  n^{-1}(T)\int_0^T n(t)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dt, \quad x \in [0,l].
\tag{8}
\end{equation}
\]

Подставляя (8) в (7), получаем выражение для $a(t)$:
\[
\begin{multline*}
a(t) = -m^{-1}(l)\psi(t) +{}\\
{}+ n^{-1}(T)m^{-1}(l)\int_0^T \int_0^l n(t)m(x)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dtdx -{}
\\
{}- m^{-1}(l)\int_0^l m(x)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dx - A, \quad t \in [0,T].
\end{multline*}
\]

Учитывая выражения для функций $a(t)$ и $b(x)$ в равенстве (5), получаем следующее представление для решения:
\[
\begin{multline}
y(t,x) = m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - n^{-1}(T)m^{-1}(l)A - {}\\
{}- m^{-1}(l)\int_0^l m(x)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dx -{} \\
{}- n^{-1}(T)\int_0^T n(t) \biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dt +{} \\
{}+ m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^T \int_0^l m(x)n(t)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dtdx +{}\\
{}+ \int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds, \quad (t,x) \in Q.
\tag{9}
\end{multline}
\]

Применяя интегральные преобразования  
\[
\int_0^l m(x)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dx = \int_0^l \int_0^t \biggl(\int_x^l m(s)ds\biggr)z(\tau,x)d\tau dx, \]
\[
\int_0^T n(t)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dt = \int_0^T \int_0^x \biggl(\int_t^T n(\tau)d\tau\biggr)z(t,s)dtds, \]
\begin{multline*}
\int_0^T \int_0^l n(t)m(x)\biggl(\int_0^t \int_0^x z(\tau,s)d\tau ds\biggr)dtdx  = {}
\\
{}=\int_0^T \int_0^l \biggl(\int_t^T n(\tau)d\tau \int_x^l m(s)ds\biggr)z(t,x)dtdx,
\end{multline*}
к (9), получаем
\[
\begin{multline}
y(t,x) = m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - n^{-1}(T)m^{-1}(l)A - {}\\
{}- m^{-1}(l)\int _0^l \int _0^t \biggl(\int _x^l m(s)ds\biggr)z(\tau,x)d\tau dx -{} \\
{}- n^{-1}(T)\int _0^T \int _0^x \biggl(\int _t^T n(\tau)d\tau\biggr)z(\tau,s)dtds +{}\\
{}+ m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int _0^T \int _0^l \biggl(\int _t^T n(\tau)d\tau \int _x^l m(s)ds\biggr)z(t,x)dtdx +{}\\
{}+ \int _0^t \int _0^x z(\tau,s)d\tau ds, \quad (t,x) \in Q.
\tag{10}
\end{multline}
\]

Далее, объединяя слагаемые в (10), приходим к окончательному представлению:
\[
\begin{multline}
y(t,x) = m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - n^{-1}(T)m^{-1}(l)A +{} \\
+ \int _0^t \int _0^x \biggl[m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int _s^l m(r)dr \int _\tau^T n(t)dt + E  - {}\\
\shoveright{ {} - m^{-1}(l)\int _s^l m(s)ds - n^{-1}(T)\int _\tau^T n(t)dt\biggr]z(\tau,s)d\tau ds +{}} 
\\
{}+ \int _0^t \int _x^l \biggl[m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int _s^l m(r)dr \int _\tau^T n(a)da  -{} \\
\shoveright{ {} - m^{-1}(l)\int _s^l m(s)ds\biggr]z(\tau,s)d\tau ds+{}} \\
{}+ \int _t^T \int _0^x \biggl[m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int _s^l m(r)dr \int _\tau^T n(a)da -{} \\
\shoveright{ {} - n^{-1}(T)\int _\tau^T n(a)da\biggr]z(\tau,s)d\tau ds +{}} \\
{}+ \int _t^T \int _x^l \biggl[m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int _s^l m(r)dr \int _\tau^T n(a)da\biggr]z(\tau,s)d\tau ds,
\tag{11}
\end{multline}
\]
где $E$ — единичная матрица размерности $n\times n$, а $(t,x) \in Q$.

В равенстве (11) проведем некоторые упрощения:
\[
\begin{multline}
E+m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int^l_s m(r)dr\int^T_\tau n(a)da-{}
\\
\shoveright{{}-m^{-1}(l)\int^l_sm(r)dr-n^{-1}(T)\int^T_\tau n(a)da= {}}
\\
{}= m^{-1}(l)n^{-1}(T)\biggl[m(l)m(T)+\int^l_s m(r)dr\int^T_\tau n(a)da - {}
\\ 
\shoveright{ {}-n (T)\int^l_s m(r)dr-m(l)\int^T_\tau n(a)da \biggr] = {}}
\\
{}=
m^{-1}(l)n^{-1}(T)   \biggl[\biggl(\int^s_0 m(r)ds+\int^l_s m(r)dr\biggr)
\biggl(\int^\tau_0 n(a)da+\int^T_\tau n(a)da \biggr) + {}
\\
{}+\int^l_s m(r)dr\int^T_\tau n(a)da-\biggl(\int^\tau_0 n(a)da+\int^T_\tau n(a)da \biggr)\int^l_s m(r)dr-{}
\\ 
\shoveright{{}-\biggl(\int^s_0 m(r)ds+\int^l_s m(r)dr \biggr) \int^T_\tau n(a)da \biggr] = {}}
\\
{}=m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int^s_0 m(r)dr \int^\tau_0 n(a)da;
\tag{12}
\end{multline}
\]
\[
\begin{multline}
m^{-1}(l) n^{-1}(T)\int_s^l m(r) dr \int_\tau ^T  n(\alpha) d\alpha 
-n^{-1}(T)\int_t^T n (\alpha)  d\alpha = {}
\\
{}
=m^{-1}(l) n^{-1}(T)  \biggl[ \int_0^s m(r) ds \int_t^T n(\alpha) d\alpha   -{}
\\
\shoveright{{}- \biggl( \int_0^s m(r) ds+\int_s^l m(r) dr \biggr) \int_\tau ^T n (\alpha) d\alpha \biggr]
={} }
\\
=-m^{-1}(l) n^{-1}(T) \int_0^s m(r) dr\int_\tau^T n(\alpha) d\alpha ;
\tag{13}
\end{multline}
\]
\[
\begin{multline}
m^{-1}(l) n^{-1}(T)\int_s^l m(r) dr\int_\tau^T n(\alpha )d\alpha -m^{-1}(l) \int_s^l m(r) dr={}
\\
{} =
m^{-1}(l) n^{-1} (T) \biggl[\int_s^l m(r) ds\int_\tau ^T n (\alpha) d\alpha - {}
\\
\shoveright{{} - \biggl( \int_\tau ^T n(\alpha) d\alpha +\int_\tau ^T n(\alpha) d\alpha \biggr) 
\int_s^l m(r) dr \biggr] ={}}
\\
=-m^{-1}(l) n^{-1}(T)\int_0^\tau  n(\alpha) d\alpha \int_s^l m(r) dr.
\tag{14}
\end{multline} 
\]

Учитывая равенства (12), (13) и (14) в (10), получаем следующее представление решения:
\[
\begin{multline}
y(t,x) = m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - m^{-1}(l)n^{-1}(T)A + {}\\
{}+ \int_0^{t}\int_0^{x}
\biggl[m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^{s}m(r)dr\int_0^{\tau}n(\alpha)d\alpha\biggr]
z(\tau,s)d\tau ds  +{} \\
{}+ \int_0^{t}\int_{x}^{l}
\biggl[-m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^{s}m(r)dr\int_{\tau}^{T}n(\alpha)d\alpha\biggr]
z(\tau,s)d\tau ds +{} \\
{}+ \int_{t}^{T}\int_0^{x} \biggl[-m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^{\tau}n(\alpha)d\alpha\int_{s}^{l}m(r)dr\biggr]
z(\tau,s)d\tau ds + {}\\
{}+ \int_{t}^{T}\int_{x}^{l}
\biggl[m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_{s}^{l}m(r)dr\int_{\tau}^{T}n(\alpha)d\alpha\biggr]
z(\tau,s)d\tau ds.
\tag{15}
\end{multline}
\]

Введем матричную функцию Грина:
\[
\begin{equation*}
G(t,x,\tau,s) =
\begin{cases}
\displaystyle
m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^{s}m(r)dr\int_0^{\tau}n(\alpha)d\alpha, & 0\leqslant\tau\leqslant t,\ 0\leqslant s\leqslant x, \\
\displaystyle
-m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^{s}m(r)dr\int_{\tau}^{T}n(\alpha)d\alpha, & 0\leqslant s\leqslant x,\ t<\tau\leqslant T, \\
\displaystyle
-m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^{\tau}n(\alpha)d\alpha\int_{s}^{l}m(r)dr, & 0\leqslant\tau\leqslant t,\ x<s\leqslant l, \\
\displaystyle
m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_{s}^{l}m(r)dr\int_{\tau}^{T}n(\alpha)d\alpha, & x<s\leqslant l,\ t<\tau\leqslant T.
\end{cases}
\end{equation*}
\]

Тогда равенство (15) можно компактно записать в виде
\[
\begin{multline*}
y(t,x) = m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - m^{-1}(l)n^{-1}(T)A + {}
\\
{}+ \int_0^{T}\int_0^{l} G(t,x,\tau,s)z(\tau,s)d\tau ds.
\end{multline*}
\]

Отсюда следует справедливость равенства (4).

Пусть функция $y(t,x)$ определяется равенством (15). Докажем, что эта функция удовлетворяет уравнению (3) и краевым условиям (2).

Вычислим смешанную производную функции $y(t,x)$:
\[
\begin{multline*}
y_{tx}(t,x) = \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}
\biggl[
m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - m^{-1}(l)n^{-1}(T)A  +{} 
\\
\shoveright{{} + \int_0^T \int_0^l G(t,x,\tau,s)z(\tau,s)d\tau ds
\biggr] ={} }
\\
{}= \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\biggl[
\int_0^t \int_0^x m^{-1}(l)n^{-1}(T)\biggl(\int_0^s m(r)dr\int_0^\tau n(\alpha)d\alpha\biggr)z(\tau,s)d\tau ds
\biggr] +{}\\
{}+ \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\biggl[
\int_0^t \int_x^l \biggl(-m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^s m(r)dr\int_\tau^T n(\alpha)d\alpha\biggr)z(\tau,s)d\tau ds
\biggr]+{} \\
{}+ \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\biggl[
\int_t^T \int_0^x \biggl(-m^{-1}(l)n^{-1}(T)\int_0^\tau n(\alpha)d\alpha\int_s^l m(r)dr\biggr)z(\tau,s)d\tau ds
\biggr] + {}
\\
{}+ \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\biggl[
\int_t^T \int_x^l m^{-1}(l)n^{-1}(T)\biggl(\int_s^l m(r)dr\int_\tau^T n(\alpha)d\alpha\biggr)z(\tau,s)d\tau ds
\biggr] ={}
\\
\shoveleft{{}=m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_0^x m(r) ds \int_0^T n(\alpha) d\alpha \, z(t, x) + {}}
\\
{} + m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_0^x m(r) ds \int_t^T n(\alpha) d\alpha \, z(t, x) + {}
\\
{} +m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_0^T n(\alpha) d\alpha \int_0^x m(r) dr \, z(t, x) + {}
\\
\shoveright{{} +m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_x^l m(r) ds   \int_t^T n(\alpha) d\alpha \, z(t, x) = {}}
\\
\shoveleft{{} =m^{-1}(l)n^{-1}(T) \int_0^x m(r) ds \, n(T) z(t, x) + {}}
\\
\shoveright{+m^{-1}(l) n^{-1}(T) \int_{x}^l n(\alpha) d\alpha \, n(T) z(t, x) ={}}
\\
=m^{-1}(l) \int_0^x m(r) dr \, z(t, x)
+m^{-1}(l) \int_x^l m(r) dr \, z(t, x)
=z(t, x).
\end{multline*}
\]

Теперь проверим выполнение краевых условий (2). Так как представления (4) и (10) эквивалентны, умножим представление для $y(t,x)$ на $n(t)$ и проинтегрируем по $[0,T]$:
\[
\begin{multline*}
\int_0^T n(t) y(t, x) dt=
 \int_0^T n(t) \biggl[ m^{-1}(l) \psi (t) +n^{-1}(T) \varphi (x) -n^{-1}(T) m^{-1}(l) A  - {}
\\
{}-m^{-1}(l) \int_0^l m(x) \biggl( \int_0^T \int_0^x z ( \tau, s) d\tau ds \bigr) dx- {}
\\
{}-n^{-1}(T)\int_0^T n(t) \biggl( \int_0^T \int_0^x z( \tau, s) d\tau ds \biggr) dt+{}
\\
{} +n^{-1}(T) m^{-1}(l)  \int_0^T \int_0^l m(x) n(t) \biggl(
\int_0^T \int_0^x z( \tau, s) d\tau ds \biggr) dtdx+ {}
\\
\shoveright{{}+\int_0^T \int_0^x z( \tau, s) d\tau ds \biggr] dt= {}}
\\
\shoveleft{{}= m^{-1}(l) \int_0^T n(t)   \psi (t) dt+  \varphi (x) -m^{-1}(l)\int_0^T n(t)  \psi (t) dt- {}}
\\
{}-m^{-1}(l)  \int_0^T \int_0^l n(t) m(x) \biggl( \int_0^T \int_0^x z(\tau, s) d\tau ds \biggr) dtdx-{}
\\
{}-\int_0^T n(t) \biggl( \int_0^T \int_0^x z(\tau, s) d\tau ds \biggr) dt+{}
\\
{}+m^{-1}(l) \int_0^T \int_0^l n(t) m(x)  \biggl( \int_0^T \int_0^x z(\tau, s) d\tau ds\biggr)  
dtdx+{}
\\
{}+\int_0^T n(t) \biggl( \int_0^T \int_0^x z(\tau, s) d\tau ds \biggr) dt= \varphi (x) .
\end{multline*}
\]

При выводе последнего равенства  учитывалась перестановочность матриц $n(t)$, $m(x)$ и их обратных $n^{-1}(T)$, $m^{-1}(l)$.

Аналогичным образом проверяется выполнение второго условия:
\[
\int^l_0 m(x) y(t, x)dx=\psi(t).
\] 

Таким образом, функция $y(t,x)$, заданная в виде (4), действительно является решением задачи (3), (2). Теорема доказана. $\square$

Теорема 1 показывает, что задача (1), (2) эквивалентна интегральному уравнению
\[
\begin{multline} 
y(t, x) =m^{-1}(l) \psi (t) +n^{-1}(T) \varphi (x) -m^{-1}(l) n^{-1}(T) A+{}
\\
{}
+\int_0^T \int_0^l G( t, x, \tau , s) f \bigl( \tau, s, y(\tau,s),  y_t(\tau, s),  y_s( \tau,s) \bigr) d\tau ds.  
\tag{16}
\end{multline}
\]

3. Доказательство существования и единственности

Для доказательства существования и единственности решения задачи (1), (2) будем предполагать, что функция $f$ зависит только от $t$, $x$ и $y$:
\[
f(t,x,y,y_t,y_x) \equiv f(t,x,y).
\]

Определим оператор $P:C(Q;\mathbb{R}^n) \to C(Q;\mathbb{R}^n)$ равенством
\[
\begin{multline*}
(Pz)(t,x) = m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - m^{-1}(l)n^{-1}(T)A +{} \\
{}+ \int_0^T \int_0^l G(t,x,\tau,s)f\bigl(\tau,s,y(\tau,s)\bigr)d\tau ds,
\end{multline*}
\]
где $G(t,x,\tau,s)$ — функция Грина, введенная ранее.

Заметим, что разрешимость задачи (1), (2) или интегрального уравнения (16) эквивалентна существованию неподвижной точки оператора $P$. Таким образом, задача (1), (2) имеет решение тогда и только тогда, когда оператор $P$ имеет неподвижную точку в пространстве $C(Q;\mathbb{R}^n)$.

Теорема 2.  Предположим, что выполнены следующие условия:
\[
\begin{equation} 
|f(t,x,z_2) - f(t,x,z_1)| \leqslant M|z_2 - z_1|
\tag{17}
\end{equation}  
\]
для всех $(t,x) \in Q,$ $z_1,$ $z_2 \in \mathbb{R}^n,$ где $M \geqslant 0,$ и 
\[
\begin{equation}
L = lTSM < 1, 
\tag{18}
\end{equation}
\] 
где
\[S = \max_{Q\times Q} \|G(t,x,\tau,s)\|.\] 
Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение. 

Доказательство. Введем обозначения:
\[
N = \max_{Q} |m^{-1}(l)\psi(t) + n^{-1}(T)\varphi(x) - m^{-1}(l)n^{-1}(T)A|,
\quad 
M_f = \max_{Q} |f(t,x,0)|.
\]
Выберем $r \geqslant ({N + M_f T S})/({1 - L})$, где $S = \max\limits_{Q\times Q} \|G(t,x,\tau,s)\|$, и рассмотрим шар
\[
B_r = \{z \in C(Q;\mathbb{R}^n) : \|z\| \leqslant r\}.
\]

Для произвольного $z \in B_r$ оценим норму оператора $P$:
\[
\begin{multline*}
\|(Pz)(t,x)\| \leq N + \int_0^T \int_0^l |G(t,x,\tau,s)| \cdot |f(\tau,s,z(\tau,s)) - f(\tau,s,0)| d\tau ds +{} \\
{}+ \int_0^T \int_0^l |G(t,x,\tau,s)| \cdot |f(\tau,s,0)| d\tau ds \leqslant {}
\\
{}\leqslant N + S \int_0^T \int_0^l (M|z(\tau,s)| + M_f) d\tau ds \leqslant N + S M r T l + M_f T l S \leqslant{} \\
{}\leqslant \frac{N + M_f T l S}{1 - L} \leqslant r.
\end{multline*}
\]

Для любых $z_1, z_2 \in B_r$ из условия Липшица (17) следует:
\[
\begin{multline*}
|(Pz_2)(t,x) - (Pz_1)(t,x)| \leqslant{}
\\
{}\leqslant \int_0^T \int_0^l |G(t,x,\tau,s)| \cdot |f(\tau,s,z_2(\tau,s)) - f(\tau,s,z_1(\tau,s))| d\tau ds 
\leqslant {}
\\
{}\leqslant S M \int_0^T \int_0^l |z_2(\tau,s) - z_1(\tau,s)| d\tau ds \leqslant {}
\\
{}\leqslant S M T l \max_{Q} |z_2(t,x) - z_1(t,x)| 
\leqslant L \|z_2 - z_1\|.
\end{multline*}
\]

Таким образом, оператор $P$ является сжимающим на $B_r$, и по принципу сжимающих отображений задача (1), (2) имеет единственное решение.  $\square$

4. Пример применения результатов

В качестве иллюстрации полученных результатов рассмотрим систему гиперболических уравнений 
\[
\begin{equation}
\begin{cases}
y_{1tx} = 0.1 \sin y_2, \\ 
y_{2tx} = \dfrac{|y_1|}{(e + e^{tx})(1 + |y_1|)},
\end{cases} \quad (t,x) \in [{0, 1}] \times [{0, 1}]
\tag{19}
\end{equation}
\]
с интегральными условиями следующего вида:
\[
\begin{equation}
\int^1_0 \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\ 
y_2 \end{pmatrix} dt = 
\begin{pmatrix}
1 \\ 
x \end{pmatrix}, \quad
\int^1_0 \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\ 
y_2 \end{pmatrix} dx = 
\begin{pmatrix}
1 \\ 
t \end{pmatrix}.
\tag{20}
\end{equation}
\]

Непосредственной проверкой устанавливается выполнение условия согласования. Функция Грина для данной задачи имеет вид
\[
G(t,x,\tau,s) = 
\begin{cases} 
E \cdot
s\tau, & 0 \leqslant s \leqslant x, \ 0 \leqslant \tau \leqslant t, \\ 
-E \cdot
s(1-\tau), & 0 \leqslant s \leqslant x, \ t \leqslant \tau \leqslant 1, \\ 
-E \cdot
(1-s)t, & x < s \leqslant 1, \ 0 \leqslant \tau \leqslant t, \\ 
E \cdot
(1-s)(1-\tau), & t \leqslant \tau \leqslant 1, \ x < s \leqslant 1,
\end{cases}
\]
где $E$ — единичная матрица.

Оценим параметры задачи:

• норма функции Грина: $\max|G(t,x,\tau,s)| \leqslant 1$;
• константа Липшица: $M = 0.1$;
• параметр сжатия: $L = \|G\|MTl \leqslant 1 \cdot 0.1 \cdot 1 \cdot 1 = 0.1 < 1$.

Таким образом, все условия теоремы 2 выполнены, и задача (19), (20) имеет единственное решение.

Заключение

В данной работе исследована нелокальная краевая задача с интегральными условиями для системы гиперболических уравнений. Основные результаты включают:

• построение функции Грина для рассматриваемого класса задач;
• установление условий однозначной разрешимости в терминах исходных данных;
• доказательство теоремы существования и единственности решения на основе принципа сжимающих отображений;
• демонстрацию полученных результатов на конкретном примере.

Как показано в работе, введенные ограничения на исходные данные (включая условие Липшица (17) и ограничение на норму функции Грина (18)) являются существенными для обеспечения однозначной разрешимости задачи. Приведенный пример демонстрирует эффективность предложенного подхода для нелинейных систем гиперболического типа.

Полученные результаты расширяют существующие методы исследования нелокальных краевых задач и могут быть применены к более широкому классу уравнений математической физики.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Misir J. Mardanov

Institute of Mathematics and Mechanics, Azerbaijan National Academy of Sciences; Baku State University

Author for correspondence.
Email: misirmardanov@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0003-3901-0719
Scopus Author ID: 55646639800
ResearcherId: Q-4480-2016
https://www.mathnet.ru/rus/person21841

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Corresponding Member of ANAS; Director of Institute¹; Professor; Dept. of Higher Mathematics²

Azerbaijan, AZ1141, Baku, Bakhtiyar Vahabzade st., 9; AZ1148, Baku, Z. Khalilov st., 33

Yagub A. Sharifov

Institute of Mathematics and Mechanics; Baku State University; Azerbaijan Technical University

Email: sharifov22@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0001-5273-6384
https://www.mathnet.ru/rus/person76177

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Leading Researcher; Dept. of Optimal Control¹; Professor; Dept. of Engineering Mathematics and Artificial Intelligence²; Professor; Dept. of Applied Mathematics³

Azerbaijan, AZ1141, Baku, Bakhtiyar Vahabzade st., 9; AZ1148, Baku, Z. Khalilov st., 33; AZ1073, Baku, Hussein Javid prosp., 25

References

Supplementary files