On the constructive solvability of a nonlinear Volterra integral equation on the entire real line

Full Text

Введение

Рассмотрим класс нелинейных интегральных уравнений на всей числовой прямой
\[
\begin{equation}
f(x) = \mu(x) \int_{-\infty}^{x} V(x-t) \bigl( G(f(t)) + w(t) \bigr)   dt, \quad x \in \mathbb{R}:= (-\infty, +\infty)
\tag{1}
\end{equation}
\]
относительно искомой неотрицательной непрерывной и ограниченной на множестве $\mathbb{R}$ функции $f(x)$.

В уравнении (1) множитель перед интегралом $\mu(x)$ обладает следующими основными свойствами:

1. $\mu(x)$ является непрерывной на $\mathbb{R}$ функцией и  $0 \leqslant \mu(x) \leqslant 1$, $x \in \mathbb{R}$;
2. существуют $\lim\limits_{x \to -\infty} \mu(x) = \varepsilon_0 \in (0, 1)$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \mu(x) = 1$.

Ядро $V$ определено на множестве $\mathbb{R}^+ := [0, +\infty)$ и удовлетворяет следующим основным условиям:

1. $V(\tau) \geqslant 0$, $\tau \in \mathbb{R}^+$;
2. $V \in L_1(\mathbb{R}^+) \cap L_\infty(\mathbb{R}^+)$,

а функция $w$, в свою очередь, обладает свойствами:

1. $w(t) \geqslant 0$, $ t \in \mathbb{R}$,
2. $w \in B(\mathbb{R})$, где $B(\mathbb{R})$ есть множество всех ограниченных на $\mathbb{R}$ функций;
3. существуют $\lim\limits_{t \to \pm\infty} w(t) < +\infty$.

Нелинейность $G$ определена на множестве $\mathbb{R}^+$ и удовлетворяет следующим ограничениям:

1. $G(0) = 0$,  $G \in C(\mathbb{R}^+)$;
2. $y = G(u)$ — возрастающая и вогнутая функция на $\mathbb{R}^+$, причем
   \[ \begin{equation*}
   \lim\limits_{u \to +\infty} \frac{G(u)}{u} = 0;
   \end{equation*} \]
3. существует непрерывное возрастающее и вогнутое отображение
   \[ \begin{equation*}
   \varphi:[{0,1}]\to [{0,1}]
   \end{equation*} \]
       со свойствами $\varphi(0) = 0$ и $\varphi(1) = 1$ такое, что имеет место неравенство $G(\sigma u) \geqslant \varphi(\sigma) G(u)$, $\sigma \in (0,1)$, $ u \in (0, \xi)$, где число $\xi > \lambda_1 \lambda_2$ однозначно определяется из  характеристического уравнения
   \[ \begin{equation}
       u = \lambda_1 G(u) + \lambda_1 \lambda_2,
   \tag{2}
   \end{equation} \]
   а
   \[ \begin{equation}
   0 < \lambda_1 := \int _{0}^{\infty} V(\tau) d\tau < +\infty, \quad 0 \leqslant \lambda_2 := \sup_{t \in \mathbb{R}} w(t) < +\infty.
   \tag{3}
   \end{equation} \]

Следует отметить, что в случае, когда $\lambda_2 = 0$, существование положительного решения $\xi$ для характеристического уравнения (2) предполагается, а в случае $\lambda_2 > 0$ существование решения $\xi > \lambda_1 \lambda_2$ характеристического уравнения (2) не предполагается и сразу следует из условий A) и B).

Вопросы допустимости линеаризации при исследовании устойчивости уравнения типа (1) обсуждены в работе [1] (см. также [2, гл. 2, п. 17]). Отметим также, что линейный аналог уравнения (1) при $w\equiv0$, $\mu\equiv1$  возникает в демографии, где искомое решение $f(t)$ представляет из себя  плотность рождений во времени $t$,  а $V(x)$ — функция плодовитости, т.е. плотность повозрастного распределения рождений у женщин (см. [3, стр. 93]).

Вопросы существования и единственности для соответствующих нелинейных интегральных уравнений с переменным нижним пределом (на положительной полупрямой) обсуждались в работах [4–7].

В случае, когда $ w \neq 0 $, нелинейные интегральные уравнения с переменным верхним пределом, когда нижний предел — конечное число, изучались в работах [8–10] при различных ограничениях на ядро и на нелинейность.

В настоящей работе мы будем заниматься вопросами существования единственности и асимптотического поведения решения нелинейного уравнения (1). Структура работы следующая. Раздел 1 посвящен конструктивной разрешимости уравнения (1) в пространстве непрерывных и ограниченных на $\mathbb{R}$ функций. Доказывается теорема существования нетривиального непрерывного и ограниченного на $\mathbb{R}$ решения уравнения (1), причем устанавливается, что последовательные приближения
\[\begin{equation}
\begin{array}{c}
\displaystyle f_{n+1}(x) = \mu(x) \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \left(G(f_n(t)) + w(t)\right)  dt ,\\
\displaystyle f_0(x) \equiv \xi, \quad n = 0,1,\ldots, \quad x \in \mathbb{R}
\end{array}
\tag{4}
\end{equation}\]
равномерно со скоростью некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии сходятся к непрерывному и ограниченному решению (см. теорему 1). В разделе 2 исследуется асимптотическое поведение решения на $ \pm \infty $ (см. теорему 2). Раздел 3 посвящен доказательству единственности решения в определенном подклассе неотрицательных и ограниченных на $ \mathbb{R} $ функций (см. теорему 2), а также выявлению конкретных примеров функций $ \mu$, $V $ и $ G $, удовлетворяющих всем условиям доказанных теорем.

1. Существование ограниченного решения уравнения (1)

Рассмотрим последовательные приближения (4). Принимая во внимание условия I), a), b), 1), 2), A), B) и обозначение (3), индукцией по $n$ несложно проверить достоверность следующих фактов:
\[\begin{equation}
    f_n(x) \geqslant 0, \quad n = 0, 1, \dots, \quad x \in \mathbb{R},
\tag{5}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
    f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x), \quad n = 0, 1, \dots, \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{6}
\end{equation}\]

Действительно, докажем, например, справедливость неравенств (6). Сначала, принимая во внимание тот факт, что число $\xi>\lambda_1\lambda_2$ является решением характеристического уравнения (2) и учитывая условия I), a), b), 1), 2), а также обозначения (3), из (4) будем иметь
\[\begin{multline*}
f_1(x)=\mu(x)\int _{-\infty}^x V(x-t)(G(\xi)+w(t))dt\leqslant{}
\\
{}\leqslant G(\xi)\int _{-\infty}^x V(x-t)dt+\lambda_2\int _{-\infty}^x V(x-t)dt={} \\
{}=G(\xi)\lambda_1+\lambda_1\lambda_2=\xi=f_0(x),\quad x\in\mathbb{R}.
\end{multline*}\]

Далее, если предположим, что неравенство (6) выполняется при некотором натуральном $n$, то, используя (5) и условия I), a), A), B), 1) и 2), из (4) получим, что
\[\begin{equation*}
f_{n+2}(x)\leqslant \mu(x)\int _{-\infty}^x V(x-t)(G(f_n(t))+w(t))dt=f_{n+1}(x),\quad x\in\mathbb{R}^+.
\end{equation*}\]

Используя тот факт, что свертка суммируемой и ограниченной функций представляет собой непрерывную функцию (см. [11]), и учитывая непрерывность функции $\mu$, в силу условий A), B) методом индукции нетрудно доказать, что
\[\begin{equation*}
f_n \in C(\mathbb{R}^+), \quad n = 0, 1, 2, \dots
\end{equation*}\]

Принимая во внимание условия I), II), можно утверждать, что существует число $r > 0$ такое, что при $|x| > r$ имеет место неравенство
\[\begin{equation}
    \mu(x) \geqslant \frac{\varepsilon_0}{2}.
\tag{7}
\end{equation}\]

Рассмотрим  следующую вспомогательную функцию на множестве $\mathbb{R}$:
\[\begin{equation}
    \chi(x) := \frac{1}{\xi} \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl( G (\lambda_1 G(\xi) \mu(t) + g(t)  ) + w(t) \bigr) dt, \quad x \in \mathbb{R},
\tag{8}
\end{equation}\]
где
\[\begin{equation}
    g(x) := \mu(x) \int _{-\infty}^{x} V(x - t) w(t)  dt , \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{9}
\end{equation}\]

Снова используя непрерывность свертки суммируемых и ограниченных функций, условия I), a), b), 1), 2), а также непрерывность функции $\mu$, из (8) и (9) получаем, что
\[\begin{equation}
    \chi, g \in C(\mathbb{R}), \quad g(x) \geqslant 0, \quad \chi(x) \geqslant 0, \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{10}
\end{equation}\]

Докажем теперь, что на самом деле существует число $\sigma_0\in(0, 1)$ такое, что
\[\begin{equation}
    \chi(x) \geqslant \sigma_0, \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{11}
\end{equation}\]

Пусть сначала $ x \in [-2r, 2r] $, где число $ r > 0 $ было определено для выполнения неравенства (7). Тогда, если учитывать условия I), a), b), 1), а также неравенства (7) и (10), из (8) для всех $ x \in [-2r, 2r] $ будем иметь
\[\begin{multline}
\chi(x) \geqslant \frac{1}{\xi} \int _{-\infty}^{-2r} V(x - t) 
\bigl( G (\lambda_1 G(\xi)  \mu(t) + g(t)) + w(t) \bigr) dt \geqslant {}\\
{}\geqslant \frac{G \left( \frac{\lambda_1 \varepsilon_0}{2} G(\xi) \right)}{\xi} \int _{-\infty}^{-2r} V(x - t) dt = \frac{G \bigl( \frac{\lambda_1 \varepsilon_0}{2} G(\xi) \bigr)}{\xi} \int _{x+2r}^{\infty} V(y)  dy \geqslant {} \\
    {}\geqslant \frac{G \bigl( \frac{\lambda_1 \varepsilon_0}{2} G(\xi) \bigr)}{\xi} \int _{4r}^{\infty} V(y)  dy =: \sigma_1 > 0.
\tag{12}
\end{multline}\]

Предположим теперь, что $ x > 2r $. Тогда, используя условия I), a), b), 1) и оценки (7) и (10), из (8) в случае $ x > 2r $ получим
\[\begin{multline}
    \chi(x) \geqslant \frac{1}{\xi} \int _{-\infty}^{x} V(x - t) G \bigl( \lambda_1 G(\xi)  \mu(t) \bigr) dt  =
{}    \\{} = \frac{1}{\xi} \int _{0}^{\infty} V(y) G \bigl( \lambda_1 G(\xi)  \mu(x - y)\bigr)  dy \geqslant {} \\
 {} \geqslant \frac{1}{\xi} \int _{0}^{r} V(y) G \bigl( \lambda_1 G(\xi)  \mu(x - y)\bigr)  dy \geqslant {}
 \\
{}\geqslant  \frac{G \bigl( \frac{\lambda_1 \varepsilon_0}{2} G(\xi) \bigr)}{\xi} \int _{0}^{r} V(y)  dy =: \sigma_2 > 0.
\tag{13}
\end{multline}\]

Наконец, если $ x < -2r $, то снова используя условия I), a), b), 1) и оценки (7) и (10), из (8) имеем
\[\begin{multline}
\chi(x) \geqslant \frac{1}{\xi} \int _{0}^{\infty} V(y) G  \bigl( \lambda_1 G(\xi)  \mu(x - y)\bigr)  dy \geqslant \frac{G \bigl( \frac{\lambda_1 \varepsilon_0}{2} G(\xi) \bigr)}{\xi} 
\int _{0}^{\infty} V(y)  dy  ={} \\
{} =\frac{\lambda_1}{\xi} G \bigl( \frac{\lambda_1 \varepsilon_0}{2} G(\xi)\bigr)  =: \sigma_3 > 0, \quad x < -2r.
\tag{14}
\end{multline}\]

Из правых частей неравенств (12), (13) и (14) немедленно следует, что $ \max(\sigma_1, \sigma_2) < \sigma_3$.

Убедимся теперь, что имеет место неравенство
\[\begin{equation}
    \sigma_3 < 1.
\tag{15}
\end{equation}\]

Действительно, учитывая равенство $\xi = \lambda_1 G(\xi) + \lambda_1\lambda_2$, обозначения (3), а также условия A) и B), будем иметь
\[\begin{equation*}
    \sigma_3 < \frac{\lambda_1}{\xi} G(\lambda_1 G(\xi)) = \frac{\lambda_1}{\xi} G(\xi - \lambda_1 \lambda_2) \leqslant \frac{\lambda_1 G(\xi)}{\xi} = \frac{\xi - \lambda_1 \lambda_2}{\xi} \leqslant 1.
\end{equation*}\]

Таким образом, в силу (12)–(15) для $\sigma_0 = \min(\sigma_1, \sigma_2) \in (0, 1)$ приходим к неравенству (11). 

Заметим теперь, что $ \chi(x) \leqslant 1$, $x \in \mathbb{R}$. Действительно, принимая во внимание условия I), a), b), 1), 2), A), B) и обозначение (3), из (8) получим
\[\begin{multline*}
    \chi(x) \leqslant \frac{1}{\xi} \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl(G(\lambda_1 G(\xi) + g(t)) + w(t)\bigr) dt
\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{1}{\xi} \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl( G(\lambda_1 G(\xi) + \lambda_1 \lambda_2 ) + w(t) \bigr) dt \leqslant{}
\\
 {}\leqslant \frac{1}{\xi} \bigl( G(\xi) \lambda_1 + \lambda_1 \lambda_2 \bigr) = 1, \quad x \in \mathbb{R}.
\end{multline*}\]

Теперь, используя неравенство (11), убедимся, что имеет место следующая оценка снизу:
\[\begin{equation}
    f_2(x) \geqslant \sigma_0 f_1(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{16}
\end{equation}\]

Действительно, из (4) немедленно следует, что
\[
    f_1(x) = \lambda_1 \mu(x) G(\xi) + g(x), \quad x \in \mathbb{R}, 
\] 
\[
    f_2(x) = \mu(x) \int _{-\infty}^x V(x - t) \bigl( G (\lambda_1 \mu(t) G(\xi) + g(t) ) + w(t) \bigr) dt, \quad x \in \mathbb{R}.
\]

Следовательно, принимая во внимание (8)–(11), (2), (6) и неравенство  $ {0 \leqslant g(x) \leqslant \lambda_1 \lambda_2}$, $x \in \mathbb{R}$, в силу условий I), a), b), 1), 2), A), B) будем иметь
\[\begin{multline*}
f_2(x) = \mu(x) \xi \cdot \chi(x) = \mu(x) \chi(x) \bigl( \lambda_1 G(\xi) + \lambda_1 \lambda_2 \bigr) \geqslant {}
\\
{}\geqslant \mu(x) \chi(x) \biggl( \lambda_1 G(\xi) + \int _{-\infty}^x V(x - t) w(t)  dt  \biggr) = {} \\
{} =
\chi(x) f_1(x) \geqslant \sigma_0 f_1(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\end{multline*}\]

Таким образом, в силу (6) и (16) приходим к следующему двустороннему неравенству:
\[\begin{equation}
    \sigma_0 f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant f_1(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{17}
\end{equation}\]

Неравенство (17) будет играть важную роль в наших дальнейших рассуждениях.

Теперь при следующих дополнительных предположениях относительно функций $ \mu$ и  $ w$: 

• III. $\mu(x)$  не убывает на   $\mathbb{R}$;
• 4. $w(x)$  не убывает на $\mathbb{R}$,

мы докажем, что 
\[\begin{equation}
f_n(x) \text{ не убывают по } x \text{ на } \mathbb{R}, \, n = 0, 1, \ldots.
\tag{18}
\end{equation}\]

В случае $n=0$ утверждение (18) сразу следует из определения нулевого приближения в итерациях (4). Предположим, что для некоторого натурального $n$ при всех $x_1$, $x_2 \in \mathbb{R}$ из $x_1 > x_2$ следует неравенство $f_n(x_1) \geqslant f_n(x_2)$. Тогда, записывая  итерации (4) в виде
\[\begin{equation*}
    f_{n+1}(x) = \mu(x) \int _{\xi}^{x} V(y) \bigl( G ( f_n(x - y) ) + w(x - y)\bigr) dy, 
\end{equation*}\] 
\[\begin{equation*}
    f_0(x) \equiv \xi, \quad n = 0, 1, \ldots, \quad x \in \mathbb{R},
\end{equation*}\]
и при этом учитывая условия a), 1), I), III), 4), A) и B), согласно индукционному предположению имеем
\[\begin{multline*}
f_{n+1}(x_1) \geqslant \mu(x_2) \int _{0}^{\infty} V(y) \bigl( G ( f_n(x_1 - y) ) + w(x_1 - y)\bigr) dy \geqslant {}
\\
{}\geqslant \mu(x_2) \int _{0}^{\infty} V(y) \bigl( G ( f_n(x_2 - y) ) + w(x_2 - y)\bigr) dy = f_{n+1}(x_2).
\end{multline*}\]

Итак, утверждение (18) доказано.

Вернемся к неравенству (17). Из (17) в силу условий I), a), 1), A) и B) следует, что
\[\begin{equation}
\mu(x) \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl( G ( \sigma_0 f_1(t) ) + w(t)\bigr) dt \leqslant f_3(x) \leqslant f_2(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{19}
\end{equation}\]

Принимая во внимание условие C) и тот факт, что $\varphi(\sigma_0) \in (0, 1)$, из (19) получаем
\[\begin{equation}
\varphi(\sigma_0) f_2(x) \leqslant f_3(x) \leqslant f_2(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{20}
\end{equation}\]

Снова используя условия I), a), 1), A) и B), из (20) приходим к неравенствам
\[
    \mu(x) \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl( G ( \varphi(\sigma_0) f_2(t) ) + w(t)\bigr) dt \leqslant f_4(x) \leqslant f_3(x), \quad x \in \mathbb{R},
\]
откуда с учетом условия C) и включения $\varphi(\varphi(\sigma_0)) \in (0, 1)$ получаем, что
\[\begin{equation*}
    \varphi(\varphi(\sigma_0)) f_3(x) \leqslant f_4(x) \leqslant f_3(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\end{equation*}\]
Продолжая данную процедуру на $n$-ном шаге, получим следующее двустороннее неравенство:
\[\begin{equation}
\underbrace{\varphi(\varphi\ldots \varphi(\sigma_0))}_n f_{n+1}(x) \leqslant f_{n+2}(x) \leqslant f_{n+1}(x), \quad n = 1, 2, \ldots, \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{21}
\end{equation}\]
Из (21) с учетом (6) и определения нулевого приближения в итерациях (4) приходим к оценке
\[\begin{equation}
0 \leqslant f_{n+1}(x) - f_{n+2}(x) \leqslant \xi ( 1 - \underbrace{\varphi(\varphi\ldots \varphi(\sigma_0))}_n , \quad n = 1, 2, \ldots, \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{22}
\end{equation}\]

Теперь воспользуемся следующим неравенством из работы [12]:
\[\begin{equation}
1 - \underbrace{\varphi(\varphi\ldots \varphi(\sigma_0))}_n \leqslant k^n (1 - \sigma_0), \quad 
k := \frac{1 - \varphi(\sigma_0)}{1 - \sigma_0} \in (0, 1).
\tag{23}
\end{equation}\]
С учетом (23) из (22) следует, что
\[\begin{equation}
    0 \leqslant f_{n+1}(x) - f_{n+2}(x) \leqslant C \cdot k^n, \quad n = 1, 2, \ldots, \quad x \in \mathbb{R},
\tag{24}
\end{equation}\]
где $ C := \xi (1 - \sigma_0) > 0.$

Из (24) следует равномерная сходимость последовательности непрерывных на $ \mathbb{R}$  функций $ \{ f_n(x) \}_{n=0}^{\infty}$   к непрерывной функции $f(x)$:
\[ 
f_n(x) \rightrightarrows f(x), \quad n \to \infty, \quad f \in C(\mathbb{R}),
\]
при этом в силу (5) имеем, что $ f(x) \geqslant 0$, $x \in \mathbb{R}$.

Записывая неравенства (24) для номеров $n + 1$, $n + 2$, $\ldots$, $n + p$, затем складывая полученные неравенства и (24), приходим к следующим оценкам:
\[
0 \leqslant f_{n+1}(x) - f_{n+2+p}(x) \leqslant C \left( k^n + \dots + k^{n+p} \right) \leqslant \frac{C \cdot k^n}{1 - k}, \quad n = 1,2,\dots, \, x \in \mathbb{R}.
\]
В последнем неравенстве, устремляя число $p \to \infty$, получим
\[\begin{equation}
0 \leqslant f_{n+1}(x) - f(x) \leqslant \frac{C \cdot k^n}{1 - k}, \quad n = 1,2,\dots, \, x \in \mathbb{R}.
\tag{25}
\end{equation}\]
Из (18) также следует, что $f(x)$ является неубывающей функцией на $\mathbb{R}$. Следовательно, используя непрерывность, неотрицательность и ограниченность решения $f(x)$, можно утверждать, что существуют
\[\begin{equation}
\lim_{x \to -\infty} f(x) = :\alpha \quad \text{и} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = :\beta,
\tag{26}
\end{equation}\]
причем $ 0 \leqslant \alpha \leqslant \beta \leqslant \xi$.

Ниже убедимся, что на самом деле  $\alpha > 0$. С этой целью докажем, что имеет место оценка снизу:
\[\begin{equation}
f_n(x) \geqslant \tau^* f_1(x), \quad n = 1,2,\dots,
\tag{27}
\end{equation}\]
где $\tau^*$ — положительное решение характеристического уравнения: ${\tau = \sigma_0 \varphi(\tau)}$. Существование такого решения несложно доказать, например, при выполнении следующего дополнительного условия на функцию $\varphi$:
\[\begin{equation}
\varphi^\prime(+0) = +\infty.
\tag{28}
\end{equation}\]

Сначала проверим выполнение неравенства (27) для номера $n=1$. Действительно, неравенство (27) при $n=1$ сразу получается из следующих соображений: $0 < \tau^* < \varphi(\tau^*)$ (ибо $\sigma_0 \in (0, 1)$), $\varphi(1) = 1$ и $ {\varphi(u)}/{u}$  не возрастает на интервале $(0, 1)$. Пусть теперь оценка (27) имеет место при некотором натуральном $n > 1$. Тогда, учитывая условия a), I), 1), A), B) и C), из (4) будем иметь
\[\begin{multline*}
f_{n+1}(x) \geqslant \mu(x) \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl( G (\tau^*  f_1(t) ) + w(t) \bigr) dt 
\geqslant {}
\\
{}\geqslant \mu(x) \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl( \varphi(\tau^*) G ( f_1(t) ) + w(t) \bigr) dt 
\geqslant {}
\\
{}\geqslant \varphi(\tau^*) \mu(x) \int _{-\infty}^{x} V(x - t) \bigl( G ( f_1(t) ) + w(t) \bigr) dt = {}
\\
{}= \varphi(\tau^*) f_2(x)  = \frac{\tau^*}{\sigma_0} f_2(x) \geqslant \tau^* f_1(x), x \in \mathbb{R},
\end{multline*}\]
ибо $f_2(x) \geqslant \sigma_0 f_1(x)$ (см.(20)) и $\varphi(\tau^*) \in (0, 1)$.

В неравенстве (27), устремляя $n \to \infty$, получим $f(x) \geqslant \tau^* f_1(x)$,  $x \in \mathbb{R}$. С другой стороны, \( f_1(x) \geqslant \mu(x) G(\xi) \lambda_1\),  \(x \in \mathbb{R}\). Следовательно,
\[
\alpha = \lim_{x \to -\infty} f(x) \geqslant \tau^* G(\xi) \lambda_1 \lim_{x \to -\infty} \mu(x) = \tau^* G(\xi) \lambda_1 \varepsilon_0 > 0.
\]

Докажем теперь следующие предельные соотношения:
\[\begin{equation}
\begin{array}{c}
\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \int _{-\infty}^{x} V(x - t) G(f(t)) dt = \lambda_1 G(\beta), \\ \displaystyle\lim\limits_{x \to -\infty} \int _{-\infty}^{x} V(x - t) G(f(t)) dt = \lambda_1 G(\alpha).
\end{array}
\tag{29}
\end{equation}\]

Сначала докажем первое предельное соотношение в (29). Учитывая обозначения (3), условие a) и монотонность функций $ f$, $ G $, будем иметь
\[\begin{multline*}
0 \leqslant \lambda_1 G(\beta) - \int _{-\infty}^{x} V(x-t) G(f(t))  dt  ={}
\\
{} = \int _{-\infty}^{x} V(x-t) (G(\beta) - G(f(t)))  dt =  \int _{0}^{\infty} V(y) (G(\beta) - G(f(x-y)))  dy  = {}
\\
{}= \int _{0}^{x/2} V(y) (G(\beta) - G(f(x-y)))  dy +  \int _{x/2}^{\infty} V(y) (G(\beta) - G(f(x-y)))  dy =: I_1 + I_2.
\end{multline*}\]

Так как $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \beta > 0$, $f(x) \geqslant \alpha > 0$, $x \in \mathbb{R}$,  $и$ $G \in C(\mathbb{R}^+)$, при каждом $ \varepsilon > 0 $ существует число $ \delta_1 > 0 $ такое, что
\[
G(\beta) - G(f(\tau)) < \varepsilon,
\]
если только $ \tau > \delta_1 $.

С другой стороны очевидно, что при всяком $ \varepsilon > 0 $ существует $ \delta_2 > 0 $ такое, что
\[
\int _{\tau}^{\infty} V(y)  dy < \varepsilon,
\]
если только $ \tau > \delta_2 $.

Положим $ \delta := \max(\delta_1, \delta_2) $ и пусть $ x > 2 \delta $. Тогда
\[
I_1 \leqslant \varepsilon \int _{0}^{\infty} V(y)  dy = \lambda_1 \varepsilon, \quad I_2 \leqslant \varepsilon G(\beta).
\]

Следовательно,
\[
0 \leqslant \lambda_1 G(\beta) - \int _{-\infty}^{x} V(x-t) G(f(t))  dt  \leqslant \varepsilon(\lambda_1 + G(\beta)),
\]
если только $ x > 2 \delta $.

Перейдем к доказательству второго предельного соотношения в (29). В этом случае для всякого $\varepsilon>0$ существует число $\delta_0>0$ такое, что
\[
0 \leqslant G(f(t)) - G(\alpha) < \varepsilon,
\]
если только $ t > -\delta_0 $.

Принимая во внимание обозначения (3), монотонность функции $ f $ и условия A), B), получим
\[\begin{multline*}
0 \leqslant \int _{-\infty}^{x} V(x-t) G(f(t))  dt  - G(\alpha) \lambda_1 = {}
\\
{}= \int _{-\infty}^{x} V(x-t) \bigl(G(f(t)) - G(\alpha)\bigr)  dt  < \varepsilon \int _{-\infty}^{x} V(x-t)  dt  = \varepsilon \lambda_1,  
\end{multline*}\]
если только $x > -\delta_0$.

Итак, предельные соотношения (29) доказаны. 

Аналогичными рассуждениями доказывается справедливость следующих предельных соотношений:
\[\begin{equation}
\lim\limits_{x \to \pm \infty} \int _{-\infty}^{x} V(x-t) w(t)  dt  = \lambda_1 w_{\pm},
\tag{30}
\end{equation}\]
где
\[
0 \leqslant w_{\pm}: = \lim\limits_{t \to \pm \infty} w(t) < +\infty.
\]

Переходя к пределу в обеих частях уравнения (1) при  $ x \to \pm \infty $ и учитывая (29), (30), а также условия II), 3), получаем следующие характеристические уравнения относительно $ \beta $ и $ \alpha $:
\[\begin{equation}
\beta = \lambda_1 G(\beta) + \lambda_1 w_{+},
\tag{31}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\alpha = \lambda_1 \varepsilon_0 G(\alpha) + \lambda_1 \varepsilon_0 w_- .
\tag{32}
\end{equation}\]

 Займемся теперь изучением и решением характеристических уравнений (31) и (32). С этой целью рассмотрим следующую вспомогательную функцию на множестве $ [\lambda_1 w_{+}, +\infty) $:
\[
B(u) := \frac{u - \lambda_1 w_{+}}{G(u)} - \lambda_1, \quad u \in [\lambda_1 w_{+}, +\infty)
\]
при условии, что $ w_{+} > 0 $. Учитывая условия A), B), можно утверждать, что
\[
B(\lambda_1 w_{+}) = -\lambda_1 < 0; \quad B(+\infty) = +\infty; \quad B \in C[\lambda_1 w_{+}, +\infty);
\]
$ B(u) $ возрастает на множестве $ [\lambda_1 w_{+}, +\infty) $.

Следовательно, существует единственное число $ \beta {>} \lambda_1 w_{+} $ такое, что   $ {B(\beta) {=} 0} $, т.е. уравнение (31) при $ w_{+} > 0 $ имеет единственное решение $ {\beta > \lambda_1 w_{+}} $.

Пусть теперь $ w_{+} = 0 $. В этом случае уравнение (31) сводится к уравнению (2) с $ \lambda_2 = 0 $, и существование единственного положительного решения было заранее предположено (см. Введение). Аналогичным образом можно исследовать уравнение (32).

Итак, на основе вышеизложенных фактов приходим к следующему результату.

Теорема 1. Пусть выполняются условия I), II), a), b), 1)–3), A)–C), (28) и уравнение $G(u) = \dfrac{u}{\lambda_1 \varepsilon_0}$ имеет положительное решение. Тогда уравнение (1) обладает неотрицательным  непрерывным и ограниченным на $ \mathbb{R} $ решением $ f(x) .$  Более того, имеют место неравенства
\[
\xi \geqslant f(x) \geqslant \tau^* (\lambda_1 \mu(x) G(\xi)+g(x)), \quad x \in \mathbb{R} 
\]
и (25). Кроме того, если дополнительно выполняются условия III) и 4), то $ f(x) $ является неубывающей функцией на $ \mathbb{R} ,$ причем 
\[
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \alpha ,\quad \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \beta,
\] 
где числа $ \alpha,$ $\beta > 0 $ однозначно определяются из характеристических уравнений (31) и (32) соответственно.

2. Интегральная асимптотика решения

Перейдем к исследованию интегральной асимптотики полученного решения на $ \pm\infty $ при следующих дополнительных ограничениях на функции $ V$, $\mu $ и $ w $:

• $\Omega_1)$ при условиях $\displaystyle \int _{0}^{\infty} t V(t)  dt  < +\infty$, $1-\mu\in L_1(0,+\infty)$, $w_{+}-w\in L_1(0,+\infty) $ докажем, что
  \[\begin{equation}
  \beta - f \in L_1(0, +\infty),
  \end{equation}\]
• $\Omega_2)$ а при условиях $\displaystyle \int _0^{\infty} V(t)  dt  < +\infty$, $\mu - \varepsilon_0 \in L_1(-\infty, 0)$,  $w - w_{+} \in L_1(-\infty, 0)$ аналогично доказывается, что
  \[\begin{equation}
  f - \alpha \in L_1(-\infty, 0).
  \tag{33}
  \end{equation}\]

Используя (31) и (3), во-первых имеем, что
\[\begin{multline}
 0 \leqslant \beta - f(x) = \int _{-\infty}^x V(x - t)  [ w_{+} - w(t) ] dt + {}\\
{}+ \int _{-\infty}^x V(x - t) \bigl( G(\beta) - \mu(\alpha) G(f(t)) \bigr) dt, \quad  x \in \mathbb{R}.
\tag{34}
\end{multline}\]

Используя (26), непрерывность и монотонность функции $ G, $ можно утверждать, что существует число $ r^* > 0 $ такое, что при $ t > r^* $ имеет место неравенство
\[\begin{equation}
G(f(t)) \geqslant G \bigl( {\beta}/{2} \bigr).
\tag{35}
\end{equation}\]

Пусть $ R > r^* $ — произвольное число. Тогда, принимая во внимание условия a), b) и $ \Omega_1$), а также неравенство (35) и условия A), B), из (34) будем иметь
\[\begin{multline*}
0 \leqslant \int _{r^*}^R (\beta - f(x))  dx \leqslant \int _{r^*}^R \int _{-\infty}^x V(x - t)  [ w_{+} - w(t) ] dt dx + {}
\\
{}
+ \int _{r^*}^R \mu(x) \int _{-\infty}^x V(x - t) \bigl( G(\beta) - G(f(t)) \bigr) dt dx +
{}
\\
\hspace{5cm}
{}+ G(\beta)\int _{r^*}^R (1-\mu(x))\int _{-\infty}^x V(x - t)   dt   dx \leqslant{}
\\
{}\leqslant \int _{r^*}^R \int _{-\infty}^{r^*} V(x - t)  [ w_{+} - w(t) ] dt  dx + 
\int _{r^*}^R \int _{r^*}^x V(x - t)  [ w_{+} - w(t)]  dt  dx + {}
\\
{}
+ \lambda_1 G(\beta) \int _{r^*}^\infty (1 - \mu(x)) dx + \int _{r^*}^R \int _{-\infty}^{r^*} V(x - t) 
\bigl(G(\beta) - G(f(t))\bigr)  dt   dx + {}
\\
{}
+ \int _{r^*}^R \int _{r^*}^x V(x - t) \bigl( G(\beta) - G(f(t)) \bigr) dt  dx \leqslant (w_{+} + \lambda_2) \int _{r^*}^{R}\int _{x-r^*}^\infty V(y)  dy  dx + {}
\\
{}
+ \int _{r^*}^R  [ w_{+} - w(t)  ] \int _{t}^R V(x - t)  dx  dt  + \lambda_1 G(\beta) \int _{r^*}^{\infty} (1 - \mu(x))  dx + {}
\\
{}
+ G(\beta) \int _{r^*}^R \int _{x-r^*}^\infty V(y)  dy  dx + \int _{r^*}^R \bigl(G(\beta) - G(f(t)) \bigr) \int _{t}^R V(x - t) dx  dt  \leqslant {}
\\
{}\leqslant (w_{+} + \lambda_2 + G(\beta)) \int _0^{\infty}\int _t^\infty V(y)  dy   dx + \lambda_1 \int _{r^*}^{\infty} [w_{+} - w(t)]  dt  + {}
\\
{}+ \lambda_1 G(\beta) \int _{r^*}^{\infty} (1 - \mu(x)) dx + \lambda_1 \int _{r^*}^R \bigl(G(\beta) - G(f(t)) \bigr)  dt  ={}
\\
{}= C_0 + \lambda_1 \int _{r^*}^R \bigl(G(\beta) - G(f(t))\bigr)  dt ,
\end{multline*}\]
где
\[\begin{multline}
C_0 := (w_{+} + \lambda_2 + G(\beta)) \int _0^{\infty}y V(y)  dy + \lambda_1 G(\beta) \int _{r^*}^{\infty} (1 - \mu(x))   dx + {}\\
{}+ \lambda_1 \int _{r^*}^{\infty} [w_{+} - w(t)]  dt  < +\infty.
\end{multline}\]

Итак, для любого $ R > r^* $ мы получим следующую априорную оценку:
\[\begin{equation}
0 \leqslant \int _{r^*}^R (\beta - f(x))   dx \leqslant C_0 + \lambda_1 \int _{r^*}^R \bigl(G(\beta) - G(f(x))\bigr)   dx.
\tag{36}
\end{equation}\]

Теперь, используя неравенство (35) для $ t > r^* $, а также условия A), B) и тот факт, что $ f(t) \uparrow \beta $, при $ t \to +\infty $ будем иметь (см. рис. 1)
\[\begin{equation}
G(\beta) - G(f(x)) \leqslant \frac{G(\beta) - G  (  {\beta}/{2}  )}{\beta / 2} (\beta - f(x)), \quad x > r^*.
\tag{37}
\end{equation}\]

С другой стороны, заметим, что имеет место строгое неравенство (см. рис. 1)
\[\begin{equation}
\varkappa := \frac{2 \lambda_1}{\beta} \bigl(G(\beta) - G  (  {\beta}/{2} )\bigr) < 1.
\tag{38}
\end{equation}\]

 

Рис. 1. Пересечение графика функции $y=G(u)$ с прямой проходящей через точки $(\beta, G(\beta))$ и $( {\beta}/{2}, G({\beta}/{2}))$
[Figure 1. Intersection of the graph of the function $y=G(u)$ with the line passing through the points $(\beta, G(\beta))$ and $({\beta}/{2}, G({\beta}/{2}))$]

 

Действительно, учитывая условия A), B), из (31) будем иметь
\[
\frac{2 \lambda_1}{\beta} G  ( {\beta}/{2} ) > \frac{\lambda_1 G(\beta)}{\beta}= \frac{\beta - \lambda_1 w_{+}}{\beta},
\]
откуда
\[
\lambda_1 G ( {\beta}/{2} ) > \frac{1}{2} (\beta - \lambda_1 w_{+}).
\]

Следовательно,
\[
\lambda_1  \bigl( G(\beta) - G  (  {\beta}/{2}  ) \bigr) < 
\lambda_1 G(\beta) - \frac{\beta}{2} + \frac{\lambda_1 w_{+}}{2} = \frac{\beta}{2} - \frac{\lambda_1 w_{+}}{2} \leqslant \frac{\beta}{2}.
\]

Учитывая (37) и (38) из (36), приходим к следующему неравенству:
\[\begin{equation}
0 \leqslant \int _{r^*}^R (\beta - f(x)) \, dx \leqslant \frac{C_0}{1 - \varkappa}.
\tag{39}
\end{equation}\]

В (39), устремляя число $ R $ к бесконечности, получаем, что
\[\begin{equation}
0 \leqslant \int _{r^*}^{\infty} (\beta - f(x)) \, dx \leqslant \frac{C_0}{1 - \varkappa}.
\end{equation}\]

Так как $ f \in C(\mathbb{R}^+) $,  из доказанного выше следует, что $ \beta - f \in L_1(0, +\infty) $.

Совершая аналогичные рассуждения, можно доказать, что при условии $ \Omega_2$) имеет место также включение (33).

Таким образом, имеет место следующая

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Тогда, если выполняется дополнительное условие $ \Omega_1$), то $\beta - f \in L_1(0, +\infty).$ Если же выполняется условие $ \Omega_2$), то $f - \alpha \in L_1(-\infty, 0).$

3. Единственность решения. Примеры

Перейдем теперь к вопросу единственности решения уравнения (1). Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть выполняются условия I), II), a), b), 1)–3), A)–C), (28) и уравнение $G(u) = \dfrac{u}{\lambda_1 \varepsilon_0}$ имеет положительное решение. Тогда уравнение (1), кроме решения $f,$ построенного при помощи последовательных приближений (4) в следующем классе функций
\[
\mathfrak{M} := \{ f \in L_{\infty}(\mathbb{R}): \text{существует } \varepsilon > 0 \text{ такое, что } f(x) \geqslant \varepsilon \mu(x), x \in \mathbb{R} \}
\]
других решений не имеет.

Доказательство. Сперва для корректности докажем, что построенное нами решение $f$ принадлежит классу $\mathfrak{M}$. Действительно, из теоремы 1 и условий I), a), 1) немедленно следует, что $f(x) \geqslant \tau^* G(\xi) \mu(x)$, $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leqslant \xi$, $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, $f \in \mathfrak{M}$. Пусть теперь уравнение (1), кроме решения $f$, обладает другим решением $\tilde{f} \in \mathfrak{M}$. Сначала убедимся, что тогда имеет место неравенство
\[\begin{equation}
\tilde{f}(x) \leqslant \xi, \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{40}
\end{equation}\]
Обозначим через $\tilde{c} := \sup\limits_{x \in \mathbb{R}} \tilde{f}(x) < +\infty$. Тогда из (1) с учетом условий I), a), b), A), B) и обозначений (3) имеем
\[
\tilde{f}(x) \leqslant \int _{0}^{x} V(x-t)(G (\tilde{c}) + \lambda_2) dt = \lambda_1 G (\tilde{c}) + \lambda_1\lambda_2, \quad x \in \mathbb{R},
\]
откуда следует, что
\[\begin{equation}
\tilde{c} \leqslant \lambda_1 G(\tilde{c}) + \lambda_1 \lambda_2.
\tag{41}
\end{equation}\]
Заметим, что $\tilde{c} < \xi$. Действительно, в противном случае в силу того, что функция ${G(u)}/{u}$  убывает на $(0, +\infty)$, получим
\[\begin{equation}
\frac{\lambda_1 G(\tilde{c})}{\tilde{c}} < \frac{\lambda_1 G(\xi)}{\xi}.
\tag{42}
\end{equation}\]
Однако $\lambda_1 G(\xi) = \xi - \lambda_1 \lambda_2$. Следовательно, из (42) имеем
\[\begin{equation}
\frac{\lambda_1 G(\tilde{c})}{\tilde{c}} < \frac{\xi - \lambda_1 \lambda_2}{\xi}.
\tag{43}
\end{equation}\]
С другой стороны, если использовать неравенство (41), то из (43) будем иметь
\[
\frac{\tilde{c} - \lambda_1 \lambda_2}{\tilde{c}} < \frac{\xi - \lambda_1 \lambda_2}{\xi}
\]
или, что то же самое,
\[
(\tilde{c} - \xi) \lambda_1 \lambda_2 < 0.
\]
Последнее неравенство невозможно. Следовательно, оценка (40) доказана. 
Используя (40) и применяя индукцию по $n$, легко убедиться в достоверности следующих неравенств:
\[\begin{equation}
\tilde{f}(x) \leqslant f_n(x), \quad n = 0, 1, 2, \ldots, x \in \mathbb{R}.
\tag{44}
\end{equation}\]
В (44), устремляя число $n$ к бесконечности, приходим к неравенству
\[\begin{equation}
\tilde{f}(x) \leqslant f(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{45}
\end{equation}\]
Так как $f(x) \leqslant \xi$, $ x \in \mathbb{R}$,  из (1) и соотношения $\xi = \lambda_1 G(\xi) + \lambda_1 \lambda_2$ сразу следует, что
\[\begin{equation}
f(x) \leqslant \xi  \mu(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{46}
\end{equation}\]
Поскольку $\tilde{f}\in \mathfrak{M}$,  существует число $\tilde{\varepsilon }\in (0, \xi)$ такое, что
\[\begin{equation}
\tilde{f}(x) \geqslant \tilde{\varepsilon} \mu(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{47}
\end{equation}\]
Полагая $\tilde{\sigma} :=  {\tilde{\varepsilon}}/{\xi}$ и учитывая (46) и (47), получим
\[\begin{equation}
\tilde{f}(x) \geqslant \tilde{\sigma}  \xi\mu(x) \geqslant \tilde{\sigma} f(x), \quad x \in \mathbb{R}.
\tag{48}
\end{equation}\]
Итак, в силу (45) и (48) мы получили следующую двустороннюю оценку:
\[\begin{equation}
\tilde{\sigma} f(x) \leqslant \tilde{f}(x) \leqslant f(x), \quad x \in \mathbb{R},
\tag{49}
\end{equation}\]
где $\tilde{\sigma} :=  {\tilde{\varepsilon}}/{\xi} \in (0, 1)$. Далее, совершая рассуждения, как при доказательстве равномерной сходимости последовательных приближений (4), из (49) получаем, что существуют константы $C^*>0$ и $k_* \in (0, 1)$ такие, что
\[\begin{equation}
0 \leqslant f(x) - \tilde{f}(x) \leqslant C^* k_*^n, \quad n = 1, 2, \ldots, \; x \in \mathbb{R}.
\tag{50}
\end{equation}\]
В (50), устремив $n \to \infty$, получаем, что $f(x) = \tilde{f}(x)$, $ x \in \mathbb{R}$. Таким образом, теорема полностью доказана. $\square$

Приведем примеры функций $\mu$, $V$, $w$ и $G,$ удовлетворяющих, всем условиям доказанных теорем. Сперва приведем примеры для функций $\mu$ и $w$:

• $\mu_1$) $\mu(x) = \dfrac{1 - \varepsilon_0}{2} \operatorname{th} x + \dfrac{1 + \varepsilon_0}{2}$, $x \in \mathbb{R}$, $\varepsilon_0 \in (0, 1)$;
• $\mu_2$) $\mu(x) = \begin{cases}
  \varepsilon_0 + \varepsilon_1 e^x, & \text{при } x \in (-\infty, 0), \\
  1 - (1 - (\varepsilon_0 + \varepsilon_1)) e^{-x}, & \text{при } x \in [0, +\infty), \quad x\in\mathbb{R},
  \end{cases}$
  где $\varepsilon_0 \in (0,1)$, $\varepsilon_1 \in (\varepsilon_0, 1)$  — произвольные числа;
• $w_1$) $ w(x) = \operatorname{th} x + 2$, $x \in \mathbb{R}$;
• $w_2)$ $ w(x) = \begin{cases}
  e^x, & x \in (-\infty, 0), \\
  2 - e^{-x}, & x \in [0, +\infty).
  \end{cases}$

Теперь приведем примеры вида функции $V$:

• $V_1)$ $ V(x) = \displaystyle \int _a^b e^{-xs}   d B(s)$, $x \in [0, +\infty)$,
  где $B(s)$ — возрастающая непрерывная функция на  $ [a, b]$, $0 < a < b \leqslant +\infty$,
  причем
  \[
  \int _a^b \frac{d B(s)}{s} < +\infty;
  \]
• $V_2$) $ V(x) = d e^{-x^2}$, $x \in [0, +\infty)$, $d > 0 $ — числовой параметр.

Наконец, приведем конкретные примеры для нелинейности $ G $:

• $ g_1$) $ G(u) = u^{\alpha}$, $u \in [0, +\infty)$, $\alpha \in (0, 1) $ — числовой параметр;
• $ g_2$) $ G(u) = \gamma (1 - e^{-u^{\alpha}})$, $u \in [0, +\infty)$, $\gamma > 1$, $\alpha \in (0, 1) $ — числовые параметры.

Следует отметить, что для примеров $g_1$) и $g_2$) в качестве отображения $ \varphi $ можно выбрать функцию $ \varphi(\sigma) = \sigma^{\alpha}$, $\sigma\in [{0, 1}]$, $\alpha \in (0, 1) $.

Заключение

В статье исследовано нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна-Вольтерра на всей прямой. Доказаны теоремы существования и единственности неотрицательного непрерывного и ограниченного решения (см. Теоремы 1 и 3). Установлена равномерная сходимость соответствующих последовательных приближений. Исследована интегральная асимптотика построенного решения (см. Теорему 2) и приведены конкретные примеры ядра и нелинейности удовлетворяющих всем ограничениям доказанных результатов.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование первого автора выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 23RL–1A027.
Благодарность. Авторы выражают благодарность рецензентам за полезные замечания.

About the authors

Khachatur A. Khachatryan

Yerevan State University

Author for correspondence.
Email: khachatur.khachatryan@ysu.am
ORCID iD: 0000-0002-4835-943X
Scopus Author ID: 24461615400
http://www.mathnet.ru/person27540

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Theory of Functions and Differential Equations

Armenia, 0025, Yerevan, A. Manukyan str., 1

Aram H. Muradyan

Armenian State University of Economics

Email: muradyan.aram@asue.am
ORCID iD: 0009-0007-3529-9283
https://www.mathnet.ru/rus/person230809

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept of Higher Mathematics

Armenia, 0025, Yerevan, Nalbandyan str., 128

References

Supplementary files