Model of a stochastic process in the space of random joint events

Full Text

Введение

Построение математической модели физического процесса является принципиально важным для его адекватного описания. Модели стохастических процессов классической физики успешно представляются в рамках теории вероятностей, и широко освещены в литературе. Например, в монографии [1] представлены как оригинальные исследования авторов, так и обзор обширной литературы по теории классических стохастических процессов.

Активное развитие современных технологий стимулируют исследования описания квантовых систем методами теории вероятностей смотри, например, работы [2–6], в которых представлены оригинальные результаты и обзоры в этом направлении. В работах [7–11] предложены модели стохастических процессов в пространстве совместных событий.

В данной работе предлагается дальнейшее развитие модели пространства случайных совместных событий и стохастического процесса в этом пространстве. В предложенной модели пространства совместных событий, в соответствии с аксиоматикой Колмогорова, существует симметричная разность событий. Однако специфика стохастических процессов изучаемых в физике микромира требует ввести для их описания дополнительно совместные случайные события для которых существует симметричная сумма. В предложенном пространстве строится модель стохастического процесса, которая описывается выражением для вероятности перехода между событиями. Показано, что уравнение для случая, когда случайные события лишь попарно совместные, эквивалентно уравнению квантовой механики.

1. Модель пространства совместных случайных событий с симметричными разностью и суммой событий

Рассмотрим пространство \(N\) случайных событий \(S_{n}^{kl}\), где \(n = 1, 2, \dots , N\), символ \(kl\) означает, что события и их вероятности подчиняются действиям в соответствии с аксиомами Колмогорова [12]. В пространстве событий определяется состояние и стохастическое движение некой физической системы.

Для случая, когда данные события \(S_{n}^{kl}\), \(n = 1, 2,\dots, N,\) несовместные, вероятность их объединения определяется формулой [12]
\[ \begin{equation*} P\bigl( \cup^ N_{k=1} S_{n}^{kl}\bigr) = \sum^{N}_{n=1} P(S_{n}^{kl}). \end{equation*} \notag \]

Модель пространства, в которой все случайные события $S_{n}^{kl}$, $n = 1, 2,\dots,N, $ совместны, определяется тем, что вероятности пересечения этих событий отличны от нуля:
\[ \begin{equation} P(S_n^{kl} \cap S_m^{kl})\neq0,\; P(S_n^{kl}\cap S_m^{kl}\cap S_k^{kl})\neq0,\; \ldots, \; P(S_1^{kl}\cap S_2^{kl}\cap\cdots\cap S_N^{kl})\neq0, \end{equation} \tag{1} \]
все индексы $k$, $n$, $m$, $\dots$ принимают значения от 1 до $N$. Вероятность объединения совместных событий $\bigl(S_1^{kl}\cup S_2^{kl}\cup\cdots \cup S_N^{kl}\bigr)$ определяется формулой [13]
\[ \begin{multline} P\bigl(\cup^N_{n=1}S^{kl}_n\bigr) = \sum^N_{n=1}P(S^{kl}_n)- \!\! \sum^{N}_{n < m=1}\!\! P\bigl(S^{kl}_n\cap S^{kl}_m\bigr)+{} \\ {}+ \!\!\!\! \sum^N_{n < m < k=1}\!\!\!\! P\bigl(S^{kl}_n\cap S^{kl}_m\cap S^{kl}_k\bigr)- \cdots + (-1)^{N-1} P \bigl(S^{kl}_1\cap S^{kl}_2\cap \cdots \cap S^{kl}_N\bigr). \end{multline} \tag{2} \]

В пространстве случайных совместных событий $S^{kl}_1$, $S^{kl}_2$, $\dots$, $S^{kl}_N$ построим события $S^{-}_1$, $S^{-}_2$, $\dots$, $S^{-}_N$, каждое из которых значит, что если произойдет событие с соответствующим номером, то не произойдет ни одно другое событие пространства. Из определения следует, что события $S^{-}_1$, $S^{-}_2$, $\dots$, $S^{-}_N$ не совместны.

Для пространства двух совместных событий $S_{1}^{kl}$, $S_{2}^{kl}$ события $S^{-}_1$, $S^{-}_2$ определяются выражениями
\[ S^{-}_1 = S^{kl}_1\setminus(S^{kl}_1\cap S^{kl}_2),\quad S^{-}_2 = S^{kl}_1\setminus(S^{kl}_1\cap S^{kl}_2). \]
Из данных определений, на основании аксиом Колмогорова доказывается
\[\begin{equation}
P\bigl( S^{-}_1 \cup S^{-}_2 \bigr) = \sum^2_{n=1}P(S^{kl}_n) -
2P\bigl(S^{kl}_1\cap S^{kl}_2\bigr).
\end{equation}\tag{3}\]
Выражение (3) называется симметричной разностью двух событий.

В пространстве совместных событий $S^{kl}_1$, $S^{kl}_2$, $\dots$, $S^{kl}_N$, $N\geqslant 3$, симметричная разность $N$ событий представляется выражением [14]
\[\begin{multline} P\bigl(\cup^N_{n=1} S^{-}_n\bigr) =\sum^N_{n=1}P(S^{kl}_n) - 2 \!\! \sum^N_{n < m=1}\!\! P\bigl(S^{kl}_n\cap S^{kl}_m\bigr)+{} \\ {} +4\!\!\!\! \sum^N_{n < m < k=1} \!\!\!\! P\bigl(S^{kl}_n\cap S^{kl}_m\cap S^{kl}_k\bigr)- \cdots + 2^{N-1}(-1)^{N-1}P(S^{kl}_1\cap S^{kl}_2\cap \cdots \cap S^{kl}_N). \end{multline} \tag{4} \]
Выражение (4) доказывается методом математической индукции с использованием формулы (3).

Анализ экспериментов показывает, что соотношения (1)–(4) успешно описывают совместные события в физике макромира и большой класс событий в физике микромира. Однако в физике микромира существуют совместные случайные события (например, в опытах по дифракции электронов), описание которых на базе соотношений (1)–(4) невозможно. Для их описания требуются дополнительные положения.

Постулируем, что в физике микромира, наряду с событиями $S^{kl}_n$, существуют совместные события $S^{qv}_n$, вероятность объединения которых $P\bigl(S^{qv}_1\cup S^{qv}_2\cup\cdots \cup S^{qv}_N\bigr)$ описывается выражением
\[\begin{multline} P\bigl(\cup^N_{n=1}S^{qv}_n\bigr)= \sum^N_{n=1}P(S^{qv}_n)+ \!\! \sum^N_{n < m=1}\!\! P\bigl(S^{qv}_n\cap S^{qv}_m\bigr)- {}\\ {}-\!\!\! \sum^N_{n < m < k=1} \!\!\! P\bigl(S^{qv}_n\cap S^{qv}_m\cap S^{qv}_k\bigr)- \cdots +(-1)^{N'} P(S^{qv}_1\cap S^{qv}_2\cap\cdots \cap S^{qv}_N), \end{multline}\tag{5}\]
где символ $qv$ значит, что случайное событие относится к физике микромира (к процессам в квантовой механике); знак перед первым слагаемым "+", перед остальными слагаемыми знаки определяются множителями $(-1)^{N'}$, где $N'$ — порядковый номер слагаемого.

В пространстве случайных совместных событий $S^{qv}_1$, $S^{qv}_2$, $\dots$, $S^{qv}_N$ построим события $S^{+}_1$, $S^{+}_2$, $\dots$, $S^{+}_N$, каждое из которых значит, что при реализации этого события реализуются все события $S^{kl}_n$ с соответствующими вероятностями.

Для пространства двух совместных событий $S_{1}^{qv}$, $S_{2}^{qv}$ события $S^{+}_1$, $S^{+}_2$ определяются выражениями
\[ S^{+}_1 = S^{qv}_1 \cup (S^{qv}_1\cap S^{qv}_2),\quad S^{+}_2 = S^{qv}_2 \cup (S^{qv}_1\cap S^{qv}_2). \]
Из данных определений следует, что
\[ \begin{equation} P\bigl( S^{+}_1 \cup S^{+}_2 \bigr) = \sum^2_{n=1}P(S^{qv}_n) + 2P\bigl(S^{qv}_1\cap S^{qv}_2\bigr). \end{equation} \tag{6} \]
Выражение (6) естественно называть симметричной суммой двух событий.

Вероятность объединение событий $P\bigl(S^{+}_1 \cup S^{+}_2 \cup \cdots \cup S^{+}_N\bigr)$ выражается через вероятности событий $S^{qv}_{n}$, $n = 1, 2, \dots , N,$ и вероятности их пересечений выражением
\[ \begin{multline} P\bigl(\cup^N_{n=1}S^{+}_n\bigr)=\sum\limits^N_{n=1}P(S_n)+ 2\!\!\sum\limits^N_{n < m=1}\!\! P\bigl(S^{qv}_n\cap S^{qv}_m\bigr)-{} \\ {} -4 \!\!\!\!\sum\limits^N_{n < m < k=1}\!\!\!\! P\bigl(S^{qv}_n\cap S^{qv}_m\cap S^{qv}_k\bigr)- \cdots + 2^{N-1}(-1)^{N'}P\bigl(S^{qv}_1\cap S^{qv}_2\cap\cdots\cap S^{qv}_N), \end{multline} \tag{7} \]
где знак перед слагаемым определяется так же, как и в формуле (5). Формула (7) доказывается методом математической индукции с использованием (6). Выражение (7) является симметричной суммой случайных событий $ S^{+}_n$. Заметим, что интерпретация событий в уравнениях (5)–(7) множествами, как это предусмотрено аксиоматикой Колмогорова, недопустима, она приводит к противоречию.

Выражения (4), (7) можно записать в виде одного. С этой целью введем случайные события $\tilde{S}_{n}$ каждое из которых принимает значение или $S^{-}_n$ или $S^{+}_n$. Вероятность объединения событий $\tilde{S}_{n}$ представляется формулой, которая является объединением (4) и (7):
\[ \begin{multline} P\bigl(\cup^N_{n=1}\tilde{S}_{n}\bigr)=\sum^N_{n=1}P(S_{n})+2\!\!\sum^N_{n < m=1}\!\! g_{nm}P(S_{n}\cap S_{m})+ {} \\ {} + 4 \!\!\!\!\sum^N_{n < m < k=1} \!\!\!\! g_{nmk}P(S_{n}\cap S_{m}\cap S_{k})+\cdots +2^{N-1} g_{12\dots N}P \bigl(S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{N}\bigr), \end{multline} \tag{8} \]
где множители $g_{nm}$, $g_{nkm}$ и другие принимают одно из значений 0, $+1$, $-1$ в зависимости от событий ${S}_{n}$. Индексы $kl$, $qv$ у событий $S^{kl}_{n}$, $S^{qv}_n$ в (8) опущены, так как они учитываются знаками коэффициентов $g_{nm}$, $g_{nkm}$, $\dots$.

В построенном пространстве случайных совместных событий реализуются как симметричная разность, так и симметричная сумма событий. Пространство описывает более широкий круг систем и стохастических процессов нежели пространства в которых реализуется только симметричная разность событий.

2. Вероятность перехода между состояниями системы при стохастическом процессе в пространстве совместных случайных событий

Рассмотрим систему, которая описывается набором случайных совместных событий $S_{n}$, $n = 1, 2,\dots, N$, в пространстве, представленным в предыдущем пункте данной работы. Движение системы представляется ее переходом в пространстве случайных событий с некой вероятностью из состояния, характеризуемого событием $a$ в момент времени $t_1$, в состояние с событием $b$ в момент $t_2>t_1$. Переход системы характеризуется вероятностью
\[ \begin{equation} P(b\cap a)= P(b|a)P(a), \end{equation} \tag{9} \]
где $P(b|a)$ — условная вероятность перехода системы из состояния $a$ в состояние $b$ за интервал времени $(t{_2}- t_{1})$; $P(a)$ — вероятность реализации состояния $a$ в начальный момент времени $t_1$. Будем полагать $P(a)= 1$.

Для нахождения явного вида вероятности перехода $ P(b|a)$, построим стохастическую модель движения системы в пространстве случайных совместных событий. Будем полагать
\[ \begin{equation} b\cap a = \bigcup^N_{n=1} \bigl(b \cap \tilde{S}_{n}\cap a\bigr)= \bigcup^N_{n=1} \tilde{S}[b, n, a], \end{equation} \tag{10} \]
где $ \bigl(b \cap \tilde{S}_{n}\cap a \bigr)= \tilde{S}[b, n, a]$, поскольку здесь события $a$ и $b$ фиксированные, мы их представляем как индексы. Формула (10) означает, что переход физической системы из некого состояния $a$ в другое состояние $b$ осуществляется через промежуточные состояния $\tilde{S}_{n}$.

Искомая вероятность перехода системы, с учетом (9), (10) определяется формулой
\[ \begin{equation} P( b | a) = P\Bigl( \bigcup^N_{n=1} \tilde{S}[b,n, a]\Bigr). \end{equation} \tag{11} \]

Учитывая (8), формулу (11) можно представить в виде
\[ \begin{multline} P(b|a)=\sum^N_{n=1}P \bigl(S[b,n,a]\bigr)+2\sum^N_{n < m=1}g_{nm}P \bigl(S[b,n,a]\cap S[b,m,a]\bigr)+{} \\ {} +4 \!\!\!\! \sum^N_{n < m < k=1} \!\!\!\! g_{nmk}P \bigl(S[b,n,a]\cap S[b,m,a]\cap S[b,k,a]\bigr)+\ldots+{} \\ {}+2^{N-1} g_{12\dots N}P\bigl(S[b,1,a]\cap S[b,2,a]\cap \cdots \cap S[b,N,a]\bigr), \end{multline} \tag{12} \]

Представим уравнения (12) в форме, более удобной для описания стохастических процессов. Объединяя первые два слагаемых в соответствии с принципами теории вероятностей, уравнение (12) представим в виде
\[ \begin{multline} P(b|a)=\sum^N_{n,m=1} g_{nm}P\bigl(S[b,n,a]\cap S[b,m,a]\bigr)+ \\ +4 \!\!\!\!\sum^N_{n < m < k=1}\!\!\!\! g_{nmk}P\bigl(S[b,n,a]\cap S[b,m,a]\cap S[b,k,a]\bigr)+\ldots+ {} \\ {} +2^{N-1} g_{12\dots N}P\bigl(S[b,1,a]\cap S[b,2,a]\cap \cdots \cap S[b,N,a]\bigr), \end{multline} \tag{13} \]
где $g_{n,m} = +1, -1$, $n \neq m$; $g_{n,n} = +1$, $n = m$; $g_{nmk} = +1, -1$; $\dots$.

Для выражения (12), описывающего процесс в пространстве совместных событий, выполняется принцип соответствия: когда события несовместны вероятности пересечения событий в правой части уравнения равны нулю, остается лишь первая сумма, то есть оно переходит в уравнение Марковских процессов в пространстве несовместных событий.

Для проведения конкретных численных вычислений вероятностей перехода на основании формулы (13) требуется конкретизация вероятностей и коэффициентов в правой части выражения на основании изучаемой модели.

3. Физическая интерпретация уравнения для вероятности перехода системы в пространстве случайных совместных событий

Для описания физической системы на основании уравнения (13) необходимо случайным событиям сопоставить случайные числа характеризующие систему. Рассмотрим систему в которой каждому событию с номером $n$ соответствует случайное число с тем же порядковым номером. Например, электрон в атоме пребывает в квантовых состояниях c энергиями $E_{n}$, $n = 1, 2, \dots$.

В предлагаемой модели событиям $b$, $a$ соответствуют числа $n_{f}$, $n_{in}$. Переход системы из состояния $ n_ {in} $ в момент времени $ t_ {in} $ в состояние $ n_ {f} $ в момент времени $ t_ {f}> t_ {in} $ осуществляется по некоторой случайной траектории, определяемой либо одним числом $ n $, либо множеством чисел $n_{in}$, $n_1$, $n_2$, $\dots$, $n_ {f}$. Событиям $ \bigl(b \cap {S}_{n}\cap a \bigr)= {S}[b, n, a]$ сопоставляются безразмерные (т.е. в единицах $\hbar$) действия системы $ S[n_ {f}, n, n_ {in}]$, вдоль случайных траекторий между состояниями $n_{f}$, $n_{in}$ (числа $n$ нумеруют траектории вдоль которых рассматриваются действия и в ряде моделей могут быть мультииндексами).

Вероятность $P(n_{f} | n_{in})$ перехода системы между состояниями $n_{f}$, $n_{in}$ определяется формулой (13), в которой случайные события заменяются соответствующими случайными числами, характеризующие систему:
\[ \begin{multline} P(n_{f} | n_{in})= \sum^N_{n,m=1}g_{nm}P \bigl(S[n_{f}, n, n_{in}], S[n_{f}, m, n_{in}]\bigr)+{} \\ {} +4\!\!\!\!\sum^N_{n < m < k=1}\!\!\!\! g_{nmk}P(S[n_{f}, n, n_{in} ],S[n_{f}, m, n_{in} ], S[n_{f}, k, n_{in}])+\ldots+ \\ +2^{N-1} g_{12\dots N}P \bigl(S[n_{f}, 1, n_{in}],S[n_{f}, 2, n_{in} ], \dots ,S[n_{f}, N, n_{in}] \bigr). \end{multline} \tag{14} \]

Рассмотрим частный случай нашей модели, когда события только попарно совместны:
\[ \begin{equation} P(S_n \cap S_m)\neq0,\; P(S_n\cap S_m\cap S_k)= 0,\; \ldots, \; P(S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_N)= 0. \end{equation} \tag{15} \]
Соответственно выражение (14), с учетом (15), для вероятности перехода системы в пространстве состояний принимает вид
\[ \begin{equation} P(n_{f} | n_{in})= \sum^N_{n,m=1}g_{nm}P \bigl(S[n_{f},n,n_{in}], S[n_{f},m,n_{in}]\bigr), \end{equation} \tag{16} \]
где $g_{n,m} = +1, -1$, $n \neq m$; $g_{n,n} = +1$, $n = m$.

Формула (16) для вероятностей переходов системы между состояниями совпадает с соответствующими выражениями квантовой механики, что позволяет утверждать, что предложенная модель стохастических процессов в пространстве попарно совместных событий описывает квантовые процессы.

Для квантовых систем определяем
\[ \begin{equation} P \bigl( S[n_{f},n,n_{in} ], S[n_{f},m,n_{in}]\bigr) = P_0 \bigl| \cos\bigr[S[n_{f},n,n_{in} ]-S[n_{f},m,n_{in} ] \bigr] \bigr|, \end{equation} \tag{17} \]
\[ \begin{equation} g_{nm}= \cos \bigl[ S[n_{f},n,n_{in} ]-S[n_{f},m,n_{in} ] \bigr] \bigl|\cos\bigl[S[n_{f},n,n_{in}]-S[n_{f},m,n_{in} ]\bigr] \bigr|^{-1}, \end{equation} \tag{18} \]
где $P_0$ — нормировочная постоянная. Подставляя (17), (18) в (16), получаем
\[ \begin{equation} P(n_{f} | n_{in})= \sum^N_{n,m=1} P_0 \cos\bigl[S[n_{f},n,n_{in} ]- S[n_{f},m,n_{in}]\bigr]. \end{equation} \tag{19} \]

Выражение (19) описывает квантовые процессы, например, дифракцию частиц при прохождении через дифракционную решетку с $N$ щелями. Вероятность $P(n_{f} | n_{in}) $ описывает плотность распределения частиц на экране наблюдения дифракции. В этой модели $n_{in}$ означает эмиссионное состояние частицы с импульсом $\mathbf{p}$; $n_f$ — состояние частицы на регистрирующем экране, параллельном плоскости дифракционной решетки; $S[n_{f},n,n_{in}]=\mathbf{k}\, \mathbf{r}_{n_f,n} + \mathbf{k}\, \mathbf{r}_{n,n_{in}}$ — действие частицы по траектории от состояния $n_{in}$ до точки $n_f$, проходящей через щель с номером $n$. Здесь $\mathbf{k}= \mathbf{p} /\hbar $ — волновое число частицы; $\mathbf{r}_{n_f,n}$, $\mathbf{r}_{n,n_{in}}$ — векторы между точками.

Квантовая система с дискретным энергетическим спектром $E_n$, $n=1, 2,$ $ \dots$, описана методом функционального интегрирования в работе [15]. Система совершает переходы между квантовыми состояниями $n$ под действием поляризованной монохроматической электромагнитной волны, $n=1, 2, \dots, N$. Вероятность квантового перехода $ P (n_f, t_f | n_ {in}, t_ {in}) $ между состояниями $ n_ {in}$, $n_f $ за интервал времени $ (t_f - t_ {in}) $ получена в виде (19), где действие определено в соответствии с моделью системы.

Заключение

Построена модель пространства случайных совместных событий с определенными симметричной разностью и симметричной суммой событий. Вероятность перехода системы между состояниями, в процессе ее стохастического движения в пространстве, определяется уравнением, учитывающим совместность событий. Для уравнения выполняется принцип соответствия, то есть если события не совместные, оно переходит в уравнение Марковского процесса.

Для случая, когда события лишь попарно совместные уравнение идентично уравнению квантовой механики, описывающего эволюцию квантовой системы. Представляет интерес исследовать вероятность перехода системы между состояниями, на основании предложенного уравнения, с учетом совместности трех, четырех и более событий.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Alexandr A. Biryukov

Author for correspondence.
Email: biryukov_1@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3955-1726
SPIN-code: 8103-9438
Scopus Author ID: 7006918751
http://www.mathnet.ru/person25619

Cand. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Natural Sciences

References

Supplementary files