Том 25, № 4 (2021)

В пространстве H₁ = L₂(H, [0, 1]), где H — сепарабельное гильбертово пространство, изучается асимптотическое поведение собственных значений краевой задачи для операторного уравнения Шредингера для случая, когда один и тот же спектральный параметр участвует в уравнении линейно, а в граничном условии — квадратично. Получены асимптотические формулы для собственных значений рассматриваемой краевой задачи.

Изучается последовательность дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. Рассматривается один из видов разделённых граничных условий. В точках разрыва потенциала необходимо изучить условия склейки для корректного определения решений соответствующих дифференциальных уравнений. При больших значениях спектрального параметра методом Наймарка выписаны асимптотические решения дифференциальных уравнений. Изучены условия склейки, исследованы граничные условия, выведено уравнение на собственные значения рассматриваемого дифференциального оператора. Методом последовательных приближений найдена асимптотика спектра изучаемых дифференциальных операторов, предел которой задаёт спектр оператора с потенциалом дельта-функцией.

Проведено исследование ползучести и длительного разрушения узкой прямоугольной мембраны в стесненных условиях (внутри высокой жесткой матрицы) при пропорциональной зависимости величины поперечного давления от времени.

Деформирование мембраны рассматривается как последовательность трех стадий. На первой стадии мембрана деформируется в свободных условиях вплоть до касания продольных сторон жесткой матрицы. На второй стадии она деформируется при касании продольных стенок матрицы вплоть до касания ее поперечной стенки. На третьей стадии она уже деформируется при одновременном касании продольных и поперечной стенок матрицы. Деформирование мембраны происходит в условиях ползучести при двух видах контактных условий: скольжение мембраны вдоль стенок матрицы и прилипание мембраны к стенкам матрицы.

Для анализа постепенного длительного разрушения мембраны используется кинетическая теория ползучести Ю. Н. Работнова, при этом параметр поврежденности материала в данной задаче имеет скалярный характер. Решение системы, состоящей из определяющего и кинетического уравнений, показало, что во время деформирования мембраны на первой стадии в ней независимо от вида контактных условий накапливается поврежденность, близкая к ее предельному значению. В связи с этим процессы ползучести мембраны на второй и третьей стадиях деформирования при обоих рассматриваемых видах контактных условий практически совпадают. Получена зависимость времени до разрушения мембраны при различных скоростях возрастания величины поперечного давления.

Полученные уравнения использованы для анализа ползучести и длительного разрушения мембраны, изготовленной из хромомолибденовой стали 2.15Cr-1Mo steel, деформируемой при переменном поперечном давлении при температуре 600 \(^\circ)C.

Рассматривается задача математического моделирования процесса идентификации коэффициентов уравнения в частных производных в моделях конвективно-диффузионного переноса по результатам зашумленных измерений значений искомой функции с применением нового метода, относящегося к классу рекуррентных методов параметрической идентификации на основе алгоритмов оптимальной дискретной фильтрации калмановского типа. Рассматриваются одномерные модели с постоянными коэффициентами, граничными условиями первого рода или смешанными граничными условиями первого и третьего рода.

Предлагаемый метод решения задачи основан на переходе от исходной непрерывной модели с уравнением в частных производных к модели, описываемой линейной дискретной динамической системой в пространстве состояний, и применении к ней метода максимального правдоподобия с построением критерия идентификации (функции правдоподобия) на основе величин, вычисляемых SVD-модификацией фильтра Калмана. Данный фильтр основан на сингулярном разложении ковариационной матрицы ошибок оценивания вектора состояния и устойчиво работает даже в тех случаях, когда она близка к вырожденной. SVD-фильтр хорошо зарекомендовал себя при решении различных задач дискретной фильтрации и параметрической идентификации и обладает целым рядом преимуществ по сравнению с традиционно используемым стандартным фильтром Калмана, главным из которых является устойчивость к ошибкам машинного округления.

Приводятся результаты компьютерного моделирования процессов параметрической идентификации в системе MATLAB с использованием специализированного программного комплекса. Результаты численных экспериментов подтверждают работоспособность предложенного метода и его преимущества по сравнению с аналогичным методом на основе стандартного фильтра Калмана.

Найдено точное решение, описывающее установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости с учетом перекрестного влияния конвективного и диффузионного эффектов (перекрестное влияние диссипативных эффектов Соре и Дюфора). Для исследования сдвигового потока жидкости была решена переопределенная краевая задача. Переопределенность краевой задачи обусловлена тем, что количество уравнений в нелинейной системе уравнений Обербека–Буссинеска больше, чем количество неизвестных функций (две компоненты вектора скорости, давление, температура и концентрация растворенного вещества). Нетривиальное точное решение системы, состоящей из уравнений Обербека–Буссинеска, уравнения непрерывности, уравнения теплопроводности и уравнения концентрации, было построено в классе точных решений Бириха–Остроумова. Разрешимость переопределенной системы уравнений обусловлена тем, что точное решение автоматически удовлетворяет уравнению непрерывности. Показано существование застойных точек как в общем течении, так и во вторичном движении жидкости без завихренности. Найдены условия, при которых возможны противотечения.

Строится модель пространства случайных совместных событий, в котором дополнительно к симметричной разности событий вводится понятие симметричной суммы событий. В пространстве формулируются модель стохастического процесса и соответствующее выражение для вероятности перехода системы между двумя событиями. Показано, что для попарно совместных событий оно эквивалентно уравнению квантовой механики.