Description of radiative decays of $V \to P \gamma^{*}$ in different forms of Poincaré-invariant quantum mechanics

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). В последние несколько лет был проведен ряд экспериментов по изучению радиационных распадов векторных мезонов. Так коллаборациями NA 60 [2-4] и KLOE-2 [5], были измерены переходные формфакторы в реакциях ω → πγ ∗ , φ → ηγ и определены соответствующие константы распадов. В радиационном переходе ρ → πγ ∗ изучались вклады пиона в сечение распадов векторных мезонов и получены соответствующие ширины радиационного распада [6]. Указанные процессы дают важную информацию о непертурбативной кварковой динамике на средних и больших расстояниях. Одним из основных теоретических методов описания перечисленных выше процессов является Пуанкаре-инвариантная квантовая механика (ПИКМ), которая может быть сформулирована в различных формах - мгновенная форма, точечная форма и динамика на световом фронте (см, например, [7]). Одним из важных вопросов, возникающих при описании составных систем, остается выбор формы ПИКМ. В работах [8-12] при вычислении электромагнитных формфакторов скалярных и векторных мезонов для основных форм ПИКМ получаются разные результаты. Причина расхождения результатов, по-видимому, связана с различием приближений, используемых при построении матричного элемента тока и, в частности, с учетом условий лоренцковариантности и сохранения [7]. Таким образом, формулировка новых способов построения операторов электромагнитных переходов является в настоящее время актуальной задачей. Отметим, что мгновенная форма ПИКМ была с успехом применена авторами для описания электромагнитной структуры таких систем с сильным взаимодействием, как пион, ρ-мезон, дейтрон, включая области больших переданных импульсов [7, 13]. В этих работах построение тока осуществлялось для случаев диагональных по полному угловому моменту матричных элементов. В настоящей работе для описания процессов радиационных распадов векторных мезонов V → P γ ∗ проводится обобщение методики построения тока на недиагональные по полному угловому моменту матричные элементы и на другие формы ПИКМ. Ядром развитого подхода является процедура построения матричных элементов локальных операторов (см., например, [7]). Эта процедура позволяет выделить из матричного элемента оператора любой тензорной размерности приведенные матричные элементы (формфакторы), которые являются инвариантами при преобразованиях из группы Пуанкаре. В рамках рассматриваемого подхода с использованием модифицированного импульсного приближения была показана эквивалентность основных форм ПИКМ на примере расчета электромагнитного формфактора пиона [14]. В представленной работе показана эквивалентность основных форм ПИКМ при расчете переходного формфактора радиационного перехода ρ → πγ ∗ . Используемый при этом математический аппарат параметризации матричных элементов локальных операторов [15] применен для описания недиагональных по полному угловому моменту матричных элементов тока. В работе произведен также расчет переходного формфактора процесса ρ → πγ ∗ с двумя типами модельных волновых функций. 1. Построение матричного элемента электромагнитного тока перехода для систем невзаимодействующих частиц с квантовыми числами ρ- и π-мезонов. Рассмотрим параметризацию матричного элемента тока между состояниями с квантовыми числами ρ- и π-мезонов, т.е. недиагонального по полному угловому моменту: √ √ 0 W i , s|jµ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m . (1) √ i i Здесь W i = w1 + w2 ; s - инвариантная масса системы двух свободных частиц; wi - трехмерный вектор, различный для разных форм ПИКМ. В мгновенной форме w1 = p - импульс, в точечной w2 = v - 4-скорость и в динамике ˜ на световом фронте - w3 = p, где √ ˜ p = (p⊥ , p+ ), p⊥ = (p1 , p2 ), p+ = (p0 + p3 )/ 2 . 260 Описание радиационных распадов V → P γ ∗ . . . Для инвариантной параметризации матричного элемента (1) выполним преобразование Лоренца из исходной (лабораторной) системы координат в систему Брейта (БС): w(j 0 w) ˜ 0 0 0 ˜ - w j0 , j 0 0 = j0 w0 - (j 0 w) = jµ wµ , j0 = j0 + 1 + w0 √ где wµ = Kµ / K 2 - 4-скорость, соответствующая указанному преобразова˜ нию Лоренца; j 0 µ - 4-вектор оператора электромагнитного тока в БС. Связь между матричными элементами токов в лабораторной системе (1) и системе Брейта имеет следующий вид: W i, √ √ 0 s|jµ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m = 0 ∗1 D0,m (W i , w)Dm ,m (W i , w)× ˜ ˜ m,m ˜ ˜ ˜ √ j0 ˜ √ × W i , s|˜µ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m , (2) ˜ ˜ W i0 = ˜ ˜ W i = (W i 0 , q), ˜ s + (q)2 , W i 0 = ˜ ˜ W i = (W i 0 , -q), √ s + (q)2 Kµ = ( K 2 , 0, 0, 0), (3) где q - трехмерный вектор с модулем q= 2 2 2 2 λ(M1 , M2 , Q2 )/[8(M1 + M2 ) + 4Q2 ], Q2 - квадрат переданного импульса. Раскладывая нулевую компоненту матричного элемента оператора тока в БС (2) по сферическим углам вектора q и применяя теорему Вигнера- Эккарта [16], получим W i, √ s|j0 (0)|W i , √ s , 1, 0, 1, m = 0 1 D0m (W i , w)Dm m (W i , w)× ˜ ˜ = m ,m,l ,k ˜ ˜ × 1m l k |0m · Yl k (q) · G0,l (s, Q2 , s ), (4) ˜ ˜ 01 где G0,l (s, Q2 , s ) представляет собой набор скаляров или свободных электро01 магнитных формфакторов. Перейдем теперь к рассмотрению трехмерной части матричного элемента оператора тока √ √ W i , s|j 0 t (0)|W i , s , 1, 0, 1, m , t = 1, 2, 3. (5) Трехмерную часть оператора мы можем описать в терминах тензорного оператора первого ранга. Для этого достаточно перейти к каноническому базису, т.е. от декартовых компонент тока к базису сферических гармоник [17]. 261 К р у т о в А. Ф., П о л е ж а е в Р. Г. Раскладывая матричный элемент (5) по сферическим углам вектора q в БС и применяя теорему Вигнера-Эккарта, получим √ √ 1 W i , s|j 0 M (0)|W i , s , 1, 0, 1, m = 0 1 D0m (W i , w)Dm m (W i , w)× ˜ ˜ = m ,m,M,k,l,j,n ˜ ˜ × 1m jn|0m · 1M lk|jn · Ylk (q) · G1,l,j (s, Q2 , s ). (6) ˜ ˜ 01 С другой стороны, матричный элемент тока (1) можно записать в базисе индивидуальных переменных частиц системы: W i, √ √ 0 s|jµ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m = = × W i, √ i d3 w1 i 2w10 i d3 w2 i 2w20 i d3 w1 i 2w10 i d 3 w2 × i 2w20 0 i i i i i i s|w1 , m1 ; w2 , m2 · w1 , m1 ; w2 , m2 |jµ (0)|w1 , m1 ; w2 , m2 × √ i i × w1 , m1 ; w2 , m2 |W i , s , 1, 0, 1, m , (7) где 0 i i i i w1 , m1 ; w2 , m2 |jµ (0)|w1 , m1 ; w2 , m2 = 0 i i i i = w1 , m1 |j1µ (0)|w1 , m1 · δ(w2 - w2 )δm2 m2 + 0 i i i i + w2 , m2 |j2µ (0)|w2 , m2 δ(w1 - w1 )δm1 m1 . Приравнивая покомпонентно выражение (7) с (4) и (6), используя разложение по каноническому базису и выполняя интегрирование в (БС) в системе отсчета q = (0, 0, q), получим аналитические выражения для свободных двухчастичных формфакторов. В силу громоздкости данных выражений выпишем только один формфактор, который в дальнейшем будет использоваться: √ 2 · Θ(s, Q2 , s )(s + s + Q2 )2 111 2 G01 (s, Q , s ) = √ × √ 2 s - 4M 2 s - 4M 2 4M 2 + Q2 [λ(s, -Q2 , s )]1/2 s (s - s + 3Q2 ) ¯ × cos[(ω1 + ω2 )/2] Gu (Q2 ) + Gd (Q2 ) + M M 2 , s )]1/2 [λ(s, -Q s - s - Q2 ξ(s, s , Q2 ) u ¯ √ + sin[(ω1 + ω2 )/2] GM (Q2 ) + Gd (Q2 ) - M s + s + Q2 s 4M ¯ 2 - sin[(ω1 + ω2 )/2] ξ(s, s , Q ) Gu (Q2 ) + Gd (Q2 ) , (8) E s + s + Q2 E где Θ(s, Q2 , s ) = ϑ(s - s1 ) - ϑ(s - s2 ), ξ(s, s , Q2 ) = 262 ss Q2 - M 2 λ(s, -Q2 , s ), Описание радиационных распадов V → P γ ∗ . . . 1 1 Q2 (Q2 + 4M 2 )s(s - 4M 2 ), (2M 2 + Q2 )(s - 2M 2 ) 2 2M 2M 2 ξ(s, s , Q2 ) √ √ √ , ω1 = arctan √ √ M [( s + s )2 + Q2 ] + ss ( s + s ) √ √ ξ(s, s , Q2 )(2M + s + s ) √ √ ω2 = arctan , √ M (s + s + Q2 )(2M + s + s ) + ss (4M 2 + Q2 ) s1,2 = 2M 2 + ϑ - ступенчатая функция. Отметим, что аналитическое выражение (8) полностью совпадает с перечисленными выше основными формами ПИКМ. 2. Построение матричного элемента тока составной системы. Матричный элемент электромагнитного тока перехода ρ → πγ ∗ для основных форм ПИКМ можно записать следующим образом [18]: i i iσ iδ Wπ |jµc (0)|Wρ , 1, mρ = ni Fπρ (Q2 )εµνσδ η ν (mρ )Wπ Wρ , c (9) i i где Wπ и Wρ - 4-векторы π- и ρ-мезонов для основных форм ПИКМ; η ν (mρ ) - 4-вектор поляризации; εµνσδ - антисимметричный тензор четвертого ранга; Fπρ (Q2 ) - формфактор, соответствующий данному переходу; ni - нормироc вочный множитель разный для разных форм ПИКМ (n1 = 1, n2 = 1/Mπ Mρ , c c n3 = 1); Mπ и Mρ - массы π- и ρ-мезонов. c Для дальнейшей работы с матричным элементом (9) перейдем в брейтовскую систему отсчета (3). В выбранной системе отсчета вектор поляризации имеет следующий вид: 1 η ν (mρ ) = - √ (0, 0, 1, i). 2 В системе Брейта выражение (9) имеет вид W i i π|j1 (0)|Wρ , 1, mρ q =- 2 Mπ + q 2 + √ 2 2 Mρ + q 2 Fπρ (Q2 ). (10) Следует отметить, что компоненты матричного элемента тока (9) j0 , j2 , j3 и соответствующие формфакторы оказываются равными нулю в ходе математических преобразований (3). Таким образом, для радиационного перехода ρ → πγ ∗ существует единственный формфактор, выраженный через первую трехмерную компоненту матричного элемента электромагнитного тока: 1 i i Wπ |j1 (0)|Wρ , 1, mρ = - √ G111 (Q2 ), 01 3 (11) где G111 (Q2 ) - формфактор составной системы, полученный при недиаго01 нальной параметризации. Приравняв выражения (10) и (11), получим Fπρ (Q2 ) = 2 3q G111 (Q2 ) 01 2 Mπ + q 2 + , (12) 2 Mρ + q 2 263 К р у т о в А. Ф., П о л е ж а е в Р. Г. Используя модифицированное импульсное приближение [7], можно показать, что √ √ G1,l,1 (s, Q2 , s )ϕ(s)ϕJ (s ) d s d s , S 01 G1,l,1 (Q2 ) = 01 где ϕ(s) = √ 4 skψ(k), ϕJ (s ) = S √ 4 (13) sk ψ(k ); ψ(k) и ψ(k ) - волновые функции, удовлетворяющие условию нормировки +∞ ψ 2 (k)k 2 dk = 1. -∞ Поставляя (13) в (12), получим окончательное выражение для расчета переходного формфактора Fπρ (Q2 ): Fπρ (Q2 ) = 2 3q 1 2 Mπ + q2 × + 2 Mρ + q 2 × √ √ G111 (s, Q2 , s )ϕ(s)ϕJ (s ) d s d s . (14) 01 S 3. Расчет переходного формфактора Fπρ (Q2 ). Для расчета формфактора (14) используем волновую функцию основного состояния гармонического осциллятора и волновую функцию степенного типа [19]: 2 k2 exp - 2 , 2a π 1/4 a3/2 9 1 2 , ψ(k) = 3 (1 + k 2 /b2 )3 7πb ψ(k) = (15) (16) где a и b - параметры волновых функций, которые фиксируются из требования описания среднеквадратичных радиусов π- и ρ-мезонов [20]. Для расчета переходного формфактора выберем саксовские формфакторы кварков в виде GE (Q2 ) = eq fq (Q2 ), GM (Q2 ) = (eq + κq )fq (Q2 ), где eq - заряд кварка, κq - аномальный магнитный момент кварка в естественных единицах [21]. Для расчета функции fq (Q2 ) будем использовать выражение, введенное в [22]: fq (Q2 ) = 1 , 2 1 + rq Q2 /6 2 где rq = 0.3/M 2 - среднеквадратичный радиус кварка [22]. Результаты расчета переходного формфактора (14) представлены на рисунке. 264 Описание радиационных распадов V → P γ ∗ . . . Результаты расчета переходного формфактора (14) для разных типов волновых функций: сплошная линия - расчет с использованием волновой функции (15); штриховая линия - расчет с использованием волновой функции (16) (online в цвете) [The results of the calculation of the transition form factor (14) for different types of wave functions. Solid line is the results of the calculation using the wave function (15); dashed line is the results of a calculation using the wave function (16) (color online)] Заключение. В рамках подхода ПИКМ проведена процедура построения матричного элемента тока перехода недиагонального по полному угловому моменту. Изложение данной методики проводилось на примере радиационного перехода ρ → πγ ∗ . Для решения задачи в модифицированном релятивистском импульсном приближении проведено построение оператора электромагнитного тока для составной двухчастичной системы с учетом условий лоренц-ковариантности и сохранения. Получено аналитическое выражение для формфактора указанного перехода, которое совпадает с основными формами ПИКМ. Произведен численный расчет переходного формфактора с волновыми функциями двух видов.

About the authors

Alexander F Krutov

Samara State University

Email: krutov@samsu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; krutov@samsu.ru), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Roman G Polezhaev

Samara State University

Email: polezaev@list.ru
(polezaev@list.ru; Corresponding Author), Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

References

Supplementary files