Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью
- Авторы: Царицанский А.Н.1
-
Учреждения:
- Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
- Выпуск: Том 19, № 3 (2015)
- Страницы: 489-503
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 14.02.2020
- Статья опубликована: 15.09.2015
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20456
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1362
- ID: 20456
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В работе рассматривается волновое уравнение для среды с памятью, полученное при исследовании усредненных моделей комбинированных сред и описывающее одномерный вариант закона Кельвина-Фойгхта вязкоупругих колебаний комбинированных сред. Задача состоит в определении функции, с физической точки зрения отвечающей за среднее смещение материала. Для этого с помощью формулы распространяющихся волн строится решение через общее решение системы первого порядка, в которой каждое уравнение является уравнением переноса вдоль соответствующей характеристики. Основной результат сформулирован в виде двух теорем для дискретной и непрерывной модификации уравнения. В работе также содержатся наглядные соображения, приводящие к построению классического решения уравнений.
Полный текст
Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 1. Постановка задачи в дискретном случае. Рассматривается один из вариантов волнового уравнения для среды с памятью [2] n t exp {-λi (t - τ )} uxx (τ, x)dτ, ci utt = kuxx + αutxx + i=1 n 1, (1) 0 полученного при исследовании усредненных моделей комбинированных сред и описывающего одномерный вариант закона Кельвина-Фойгхта вязкоупругих колебаний комбинированных сред. В этом уравнении необходимо по известным постоянным коэффициентам ci , ненулевому параметру α и показателям λi определить среднее смещение материала u(t, x). В данной работе для уравнения (1) делается попытка построить аналог формулы распространяющихся волн. Формула распространяющихся волн позволяет представить решение системы дифференциальных уравнений явным образом через общее решение системы первого порядка, в которой каждое уравнение является уравнением переноса вдоль соответствующей характеристики. Для уравнения (1) при α = 0 и k = h2 в [3] при некоторых дополнительных условиях получено классическое решение в двух случаях: - при S := n (δi /λi ) = -1 функции i=1 - + u(t, s) = f (t, s) + f (t, s), (2) v {i} (t, s) = -λi f - (t, s) - λi f + (t, s) + λi f {i} (t, s)- - f - s (t, s) + f + s (t, s), i = 1, n, где t v {i} (t, s) = h2 exp {-λi (t - τ )} uss (τ, s)dτ, i = 1, n, 0 δ = n δi , а f β (t, s) (β ∈ {+, -,1, . . . , n}) являются классическим реi=1 шением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка n - f (t, s) + f - (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1 t δi f {i} (t, s), s 2 2 2 i=1 n + f (t, s) - f + (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1 t δi f {i} (t, s), s 2 2 2 i=1 {i} - f t (t, s) = (λi + δ) f (t, s) + (λi + δ) f + (t, s) - λi f {i} (t, s)- n - δj f {j} (t, s), i = 1, n; j=1 - при S = -1 функции u(t, s) = f - (t, s) + f + (t, s) - n δi f {i} (t, s), i=1 v {i} (t, s) = f {i} ss (t, s), (3) i = 1, n, где f β (t, s) (β ∈ {+, -,1, . . . , n}) являются классическим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка n - f (t, s) + f - (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1 δi (λi + δ) f {i} (t, s), t s 2 2 2 i=1 n δ δ 1 f + t (t, s) - f + s (t, s) = f - (t, s) + f + (t, s) - δi (λi + δ) f {i} (t, s), 2 2 2 i=1 n {i} f - + {i} (t, s) - δj f {j} (t, s), i = 1, n. t (t, s) = f (t, s) + f (t, s) - λi f j=1 490 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью Как будет показано ниже, случай α = 0 дает принципиально иное представление решения. 2. Основной результат в дискретном случае. Для получения формулы распространяющихся волн уравнения (1) преобразуем его для простоты к дифференциальной форме. Для этого обозначим t v {i} (t, x) = exp {-λi (t - τ )} uxx (τ, x)dτ, i = 1, n, 0 после чего (1) оказывается эквивалентно системе n n k + αλi {i} {i} u - α tt vtt = vt + n n i=1 i=1 {i} uss = vt + λi v {i} , i ∈ {1, n} n δi v {i} , i=1 (4) в предположении u(t, s) ∈ C 3 (R × R), v {i} (0, s) = 0 и обозначении δi = ci + + kλi /n, i = 1, n. Теорема 1. Если функции f 1,2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s) i = 1, n являются классическим решением 1 f 1 s (t, s) = f 2 (t, s), α n n k k 1 2 j f s (t, s) - f 1 t (t, s) = - f 1 (t, s) - g (t, s) - rj (t, s), α αn α j=1 j=1 n k k g i t (t, s) = - + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)- α αn j=1 n 1 - rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, n, α j=1 i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, n, (5) удовлетворяющим дополнительному условию f 1 (t, s) ∈ C 2 (R × R), g i (t, s) ∈ C 2 (R × R), i = 1, n, (6) то функции u(t, s) = αf 1 (t, s), v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g i (t, s), i = 1, n (7) являются классическим решением (4). Обратно: если функции u(t, s), v {i} (t, s), i = 1, n являются классическим 491 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. решением (4), то функции f 1 (t, s) = 1 u(t, s), α f 2 (t, s) = u (t, s), s 1 g i (t, s) = v {i} - u(t, s), i = 1, n, α t i r (t, s) = δi v {i} (τ, s)dτ + Ci (s), i = 1, n, (8) 0 где Ci (s) ∈ C 1 (R) таковы, что n Ci (s) = ut (0, s) - i=1 α n n {i} vt (0, s) - i=1 k + αλi n n v {i} (0, s), i=1 являются классическим решением (5) и удовлетворяют дополнительному условию (6). Система (5) описывает перенос и перераспределение между собой 2n + 2 волн f 1 (t, s), f 2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s) (i = 1, n). В отличие от (2) и (3), уравнения которых имели гиперболический вид, первые два уравнения в (5) имеют параболический вид. Действительно, если из первых двух уравнений исключить функцию f 2 (t, s), то в левой части уравнения получим оператор теплопроводности. 3. Доказательство теоремы 1. Непосредственной подстановкой выражений (7) в (4) убеждаемся в том, что (7) с функциями f 1,2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s), i = = 1, n, являющимися классическим решением (5), удовлетворяет системе (4). Кроме того, если выполняются условия (6), то в соответствии с (7) u(t, s), v {i} (t, s) ∈ C 2 (R × R). Таким образом, функции (7) являются классическим решением (4), и первая часть теоремы доказана. Покажем справедливость второго утверждения теоремы. Рассмотрим произвольное решение (4). Данное решение при каждом t однозначно определяет значения u(t, s), v {i} (t, s). (9) Построим решение системы переноса (5) так, чтобы функции (7) удовлетворяли (9): αf 1 (t, s) = u(t, s), f 1 (t, s) + g i (t, s) = v {i} (t, s), i = 1, n. Входящие в эти условия функции f 1 (t, s), g i (t, s), i = 1, n, удовлетворяющие (5), определяются однозначно, а из системы (5) однозначно (с точностью до аддитивных функций Ci (s)) определяются остальные функции f 2 (t, s), ri (t, s), имеющие вид (8). Непосредственная подстановка подтверждает, что определенные в (8) функции удовлетворяют системе (5). А ввиду того, что u(t, s), v {i} (t, s), i = 1, n являются классическим решением (4), согласно выражениям (8), дополнительное условие (6) выполняется, что и завершает доказательство теоремы. 492 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью 4. Вывод основного результата в дискретном случае. Несмотря на то, что доказательство теоремы кажется довольно простым, главная сложность при получении результата заключается в нахождении уравнений (5) и (7). Для того чтобы пояснить, откуда и как появились данные соотношения, мы приведем их вывод. Для нахождения характеристик системы (4) и применения формулы распространяющихся волн приведем её к системе уравнений с частными производными первого порядка us = p, n n n k + αλi {i} {i} ut - α vt = v + q {i} , n n (10) i=1 i=1 i=1 {i} q = δ v {i} , i ∈ {1, n}, t i {i} ps = vt + λi v {i} , i ∈ {1, n}. 4.1. Случай n = 1. Первоначально рассмотрим случай n = 1, в котором применение метода распространяющихся волн, опирающегося на представление функций u(t, s), p(t, s), v {1} (t, s), q {1} (t, s) в виде комбинации четырех волн, соответствующих характеристикам системы (10) (две t = const и две s = const), дает анзац u(t, s) = a11 f 1 (t, s) + a12 f 2 (t, s) + a13 g 1 (t, s) + a14 r1 (t, s), p(t, s) = a21 f 1 (t, s) + a22 f 2 (t, s) + a23 g 1 (t, s) + a24 r1 (t, s), (11) v {1} (t, s) = b11 f 1 (t, s) + b12 f 2 (t, s) + b13 g 1 (t, s) + b14 r1 (t, s), {1} q (t, s) = d11 f 1 (t, s) + d12 f 2 (t, s) + d13 g 1 (t, s) + d14 r1 (t, s), где функции f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка 1 f s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 r1 (t, s), 2 f (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 r1 (t, s), s (12) g 1 t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r1 (t, s), 1 r t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r1 (t, s). К сожалению, подстановка (11), в которой функции f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы (12), в систему (10) дает только нулевое решение, поэтому мы модифицируем форму (12) к виду f 1 s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 r1 (t, s), 2 f (t, s) - f 1 (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 r1 (t, s), s t (13) 1 g t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r1 (t, s), r1 t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r1 (t, s). 493 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. Подставляя выражения из (11) в систему (4), используя равенства (13) и затем упрощая, получаем 21 11 11 1 22 11 12 2 23 11 13 1 -a + a c f + -a + a c f + -a + a c g + + -a24 + a11 c14 r1 + a12 f 2 s + a13 g 1 s + a14 r1 s = 0, (k + αλ ) b11 + d11 + a11 c21 - αb11 c21 - a13 c31 + αb13 c31 - a14 c41 + 1 + αb14 c41 f 1 + (k + αλ1 ) b12 + d12 + a11 c22 - αb11 c22 - a13 c32 + + αb13 c32 - a14 c42 + αb14 c42 f 2 + (k + αλ1 ) b13 + d13 + a11 c23 - - αb11 c23 - a13 c33 + αb13 c33 - a14 c43 + αb14 c43 g 1 + + (k + αλ1 ) b14 + d14 + a11 c24 - αb11 c24 - a13 c34 + αb13 c34 - (14) - a14 c44 + αb14 c44 r1 - a12 - αb12 f 2 t - a11 - αb11 f 2 s = 0, δ b11 + d11 c21 - d13 c31 - d14 c41 f 1 + δ b12 + d11 c22 - d13 c32 - d14 c42 f 2 + 1 1 + δ1 b13 + d11 c23 - d13 c33 - d14 c43 g 1 + + δ1 b14 + d11 c24 - d13 c34 - d14 c44 r1 - d12 f 2 t - d11 f 2 s = 0, λ b11 - a21 c11 - b11 c21 + b13 c31 + b14 c41 f 1 + λ b12 - a21 c12 - b11 c22 + 1 1 13 32 14 42 2 13 21 13 11 23 + b c + b c f + λ1 b - a c - b c + b13 c33 + b14 c43 g 1 + + λ1 b14 - a21 c14 - b11 c24 + b13 c34 + b14 c44 r1 - a22 - b11 f 2 s - - a23 g 1 s - a24 r1 s + b12 f 2 t = 0. Рассмотрим систему (14). Равенства, входящие в нее, должны выполняться тождественно для всех (t, s) и любых решений f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) системы (13). Для того чтобы, пользуясь этой произвольностью, получить уравнения на коэффициенты, зафиксируем на время произвольный момент времени t и произвольную точку пространства s. Тогда равенства (14) превратятся в алгебраические, выполненные тождественно для всех f 1,2 , g 1 , r1 , f 1,2 s , g 1 s , r1 s , f 1,2 t , g 1 t , r1 t . Причем эти величины независимы между собой и могут принимать произвольные значения (для любого набора этих величин найдутся функции f 1,2 (s), g 1 (s), r1 (s), имеющие в зафиксированной нами точке эти значения и значения производных, а взяв её в качестве начального условия системы (13) при выбранном нами t, мы получим решение (13), имеющее в (t, s) соответствующие значения функций f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) и их производных), поэтому коэффициенты при этих величинах должны обращаться в 0. Исходя из этого получаем следующие соотношения: 12 13 14 23 24 a = 0, a = 0, a = 0, a = 0, a = 0, 12 b = 0, d11 = 0, d12 = 0, 11 a - αb11 = 0, a22 - b11 = 0, A2 - C · G · A1 = 0, (k + αλ ) B + D - C · F (A - αB ) = 0, 1 1 1 1 1 δ1 B1 - C · F · D1 = 0, λ1 B1 - C · G · A2 + C · F · B1 = 0, 494 (15) Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью где введены обозначения 11 21 a a a12 a22 A1 := 13 , A2 := 23 , a a 14 a a24 11 d 0 0 0 d12 -1 0 0 D1 : = 13 , F := d 0 0 1 0 0 0 d14 11 21 b11 c c b12 c12 c22 B1 := 13 , C := 13 23 b c c 14 b c14 c24 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , G := . 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c31 c32 c33 c34 c41 c42 , c43 c44 (16) Воспользуемся тем, что анзац (11), (13) в некотором смысле избыточен: одно и то же решение (u, p, v {1} , q {1} ) можно представить в виде (11), (13) ˆ разными способами. Очевидно, что при замене s = -s, p = -p, f 1 = -f 1 ˆ ˆ получится такая же система (10) и представление (11), (13), только с другими коэффициентами: a12 = -a12 , ˆ a21 = -a21 , ˆ a23 = -a23 , ˆ a24 = -a24 , ˆ ˆ12 = -b12 , b ˆ d12 = -d12 , c11 = -c11 , ˆ c13 = -c13 , ˆ c14 = -c14 , ˆ c22 = -c22 , ˆ c32 = -c32 , ˆ c42 = -c42 . ˆ Поэтому, не ограничивая общности, данные коэффициенты можно занулить. Кроме того, замена ˆ f 1 (t, s) = wf 1 (t, s), ˆ f 2 (t, s) = wf 2 (t, s) также оставляет (11), (13) в таком виде, но с другими коэффициентами: a11 , a22 , b11 , d11 , c31 , c41 (они умножаются на w), c23 , c24 (они делятся на w). Поэтому, если a11 = 0, то его для наиболее простой формы представления окончательного результата предпочтительнее задать a11 = α. Также при замене ˆ f 2 (t, s) = f 2 (t, s) + wf 1 (t, s) и дальнейшем вычитании из второго уравнения системы (13) первого, умноженного на w, получится такое же представление (11), (13), только с другими коэффициентами: a11 , a21 , b11 , d11 , c11 , c31 , c41 (к ним прибавится w, умноженный на коэффициент при функции f 2 в соответствующем уравнении), c22 , c23 , c24 и c21 = c21 +w(c22 -c12 ). Поэтому, не ограничивая общности, можˆ но сразу задать значение c21 . Хотя на первый взгляд кажется, что его удобнее взять нулем, для наиболее простой формы представления окончательного результата предпочтительнее задать следующее значение: c21 = -k/α. Решая с учетом вышеизложенного систему алгебраических уравнений (15) (с помощью программы Maple 18), получаем u(t, s) = αf 1 (t, s), p(t, s) = f 2 (t, s), (17) v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g 1 (t, s), {i} q (t, s) = r1 (t, s), 495 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. где функции f 1 (t, s), f 2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка 1 f 1 s (t, s) = f 2 (t, s), α n n 1 2 j f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - k g (t, s) - rj (t, s), t s α αn α j=1 j=1 n k k + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)- g i t (t, s) = - α αn j=1 n 1 - rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, n, α j=1 i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, n. (18) 4.2. Случай n = 2. В этом случае решение системы (10) ищется в виде, подобном (11)-(13): 11 1 12 2 13 1 14 2 u(t, s) = a f (t, s) + a f (t, s) + a g (t, s) + a g (t, s)+ + a15 r1 (t, s) + a16 r2 (t, s), p(t, s) = a21 f 1 (t, s) + a22 f 2 (t, s) + a23 g 1 (t, s) + a24 g 2 (t, s)+ + a25 r1 (t, s) + a26 r2 (t, s), {1} v (t, s) = b11 f 1 (t, s) + b12 f 2 (t, s) + b13 g 1 (t, s) + b14 g 2 (t, s)+ + b15 r1 (t, s) + b16 r2 (t, s), v {2} (t, s) = b21 f 1 (t, s) + b22 f 2 (t, s) + b23 g 1 (t, s) + b24 g 2 (t, s)+ + b25 r1 (t, s) + b26 r2 (t, s), {1} q (t, s) = d11 f 1 (t, s) + d12 f 2 (t, s) + d13 g 1 (t, s) + d14 g 2 (t, s)+ + d15 r1 (t, s) + d16 r2 (t, s), {2} q (t, s) = d21 f 1 (t, s) + d22 f 2 (t, s) + d23 g 1 (t, s) + d24 g 2 (t, s)+ + d25 r1 (t, s) + d26 r2 (t, s), (19) где функции f 1,2 (t, s), g 1,2 (t, s), r1,2 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка 496 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью f 1 s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 g 2 (t, s)+ + c15 r1 (t, s) + c16 r1 (t, s), 2 f s (t, s) - f 1 t (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 g 2 (t, s)+ + c25 r1 (t, s) + c26 r2 (t, s), g 1 t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r2 (t, s)+ + c35 r1 (t, s) + c36 r2 (t, s), (20) g 2 t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r2 (t, s)+ + c45 r1 (t, s) + c46 r2 (t, s), r1 t (t, s) = c51 f 1 (t, s) + c52 f 2 (t, s) + c53 g 1 (t, s) + c54 r2 (t, s)+ + c55 r1 (t, s) + c56 r2 (t, s), r2 t (t, s) = c61 f 1 (t, s) + c62 f 2 (t, s) + c63 g 1 (t, s) + c64 r2 (t, s)+ + c65 r1 (t, s) + c66 r2 (t, s), Аналогично случаю n = 1, данный случай сводится к системе алгебраических уравнений, являющейся естественным обобщением (15): 12 a = 0, a13 = 0, a14 = 0, a15 = 0, a16 = 0, 23 a = 0, a24 = 0, a25 = 0, a26 = 0, 12 b = 0, b22 = 0, 11 d = 0, d12 = 0, d21 = 0, d22 = 0, 11 α 11 α 21 a - b - b = 0, a22 - b11 = 0, a22 - b21 = 0, 2 2 A2 - C · G · A1 = 0, 2 2 2 k + αλi α Bi + Di - C · F A1 - Bi = 0, 2 2 i=1 i=1 i=1 δi Bi - C · F · Di = 0, i = 1,2, λi Bi - C · G · A2 + C · F · Bi = 0, i = 1,2, (21) где, подобно (16), введены обозначения i1 11 21 11 b a a c i2 12 22 b a a c12 13 23 13 bi3 a a c A1 := 14 , A2 := 24 , Bi := i4 , C := 14 b a a c i5 a15 a25 c15 b 16 26 i6 a a c16 b c21 c22 c23 c24 c25 c26 c31 c32 c33 c34 c35 c36 c41 c42 c43 c44 c45 c46 c51 c52 c53 c54 c55 c56 c61 62 c c63 , c64 c65 c66 497 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. di1 0 di2 -1 di3 i4 , F := 0 Di := 0 di5 0 d 0 di6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 , G := 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 Избегая избыточности представления (19)-(20) (аналогично случаю n = 1), решаем систему (21) (с помощью программы Maple 18), в результате чего получаем единственное решение u(t, s) = αf 1 (t, s), p(t, s) = f 2 (t, s), (22) v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g i (t, s), i = 1, 2, {i} q (t, s) = ri (t, s), i = 1, 2, где функции f 1,2 (t, s), g 1,2 (t, s), r1,2 (t, s) являются общим решением системы переноса 1 f 1 s (t, s) = f 2 (t, s), α 2 2 2 1 j f s (t, s) - f 1 t (t, s) = - k f 1 (t, s) - k g (t, s) - rj (t, s), α 2α α j=1 j=1 2 k k (23) g i t (t, s) = - + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)- α 2α j=1 2 1 rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, 2, - α j=1 i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, 2. Замечаем, что в случаях n = 1 и n = 2 системы (17)-(18) и (22)-(23) имеют схожий вид, что и дает основания для анзаца (5)-(7). 5. Основной результат в непрерывном случае. Рассмотрим непрерывное (при n → ∞) обобщение уравнения (1): ∞ t exp {-λ(t - τ )} uxx (τ, x) dτ dσ(λ), utt = kuxx + αutxx + 0 α = 0. (24) 0 Введение функции t exp {-λ(t - τ )} uxx (τ, x)dτ v(t, x, λ) = 0 сводит (24) к эквивалентной системе 498 (25) Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью u - αv = (k + αλ) v + kλv + tt tt t uss = vt + λv, ∞ vdσ(λ), 0 (26) в предположении u(t, s) ∈ C 3 (R × R) и v(0, s, λ) = 0. Введем обозначение ∞ dσ(λ). ∆= 0 Теорема 2. Если функции f 1,2 (t, s), g(t, s, λ), r(t, s, λ) являются классическим решением f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s), s α 2 f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - k g(t, s, λ) - 1 r(t, s, λ), s t α α α k k 1 + λ f 1 (t, s) - + λ g(t, s, λ) - r(t, s, λ), gt (t, s, λ) = - α α α ∞ rt (t, s, λ) = (kλ + ∆) f 1 (t, s) + kλg(t, s, λ) + g(t, s, λ)dσ(λ), (27) 0 удовлетворяющим дополнительному условию f 1 (t, s) ∈ C 2 (R × R), g(t, s, λ) ∈ C 2 (R × R × R), (28) то функции u(t, s) = αf 1 (t, s), v(t, s, λ) = f 1 (t, s) + g(t, s, λ) являются классическим решением (26). Обратно: если функции u(t, s), v(t, s, λ) являются классическим решением (26), то функции f 1 (t, s) = 1 u(t, s), α 2 f (t, s) = us (t, s), 1 g(t, s, λ) = v(t, s, λ) - u(t, s), (29) α t t ∞ r(t, s, λ) = kλ v(τ, s, λ)dτ + v(τ, s, λ)dσ(λ)dτ + 0 0 0 + ut (0, s) - αvt (0, s) - (k + αλ) v(0, s) являются классическим решением (27) и удовлетворяют дополнительному условию (28). Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1. 499 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. 6. Основной результат. Переформулировка условия. Анализируя анзац (27), можно заметить, что в уравнениях с частными производными относительно функций f 1,2 (t, s), не зависящих от переменной λ, присутствуют функции g(t, s, λ) и r(t, s, λ), зависящие от λ. По существу, это бесконечная система уравнений с частными производными первого порядка. На самом деле её можно свести к конечной системе из трех уравнений первого порядка и одного интегрального уравнения Вольтерра и бесконечному (зависящему от параметра λ) набору квадратур. Чтобы показать это, перепишем (27), введя новые обозначения: f 1 s (t, s) = 1 f 2 (t, s), α 2 f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s, λ), s t α α k2 1 k h (t, s, λ) = ∆ - f (t, s) - h(t, s, λ) + w(t, s), t α α (30) k 1 g (t, s, λ) = - t + λ f 1 (t, s) - λg(t, s, λ) - h(t, s, λ), α α ∞ w(t, s) = g(t, s, λ)dσ(λ), 0 r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ). Здесь ∞ h(t, s, λ) = kg(t, s, λ) + r(t, s, λ), w(t, s) = g(t, s, λ)dσ(λ). 0 Решая отдельно третье и четвертое уравнения системы (30) относительно функций h(t, s, λ) и g(t, s, λ), получаем f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s), s α 2 f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s), s t α α k h(t, s, λ) = h(0, s, λ)e- α t + t k k2 1 + ∆- f (τ, s) + w(τ, s) e- α (t-τ ) dτ, α 0 (31) g(t, s, λ) = g(0, s, λ))e-λt - t k 1 - + λ f 1 (τ, s) + h(τ, s, λ) e-λ(t-τ ) dτ, α α 0 ∞ w(t, s) = g(t, s, λ)dσ(λ), 0 r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ), где начальные условия h(0, s, λ), g(0, s, λ) ∈ C 2 (R × R). Предположим, что начальные условия функций h(t, s, λ) и g(t, s, λ) не зависят от переменной λ 500 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью (что и имеет место в нашем случае в силу (25) и (29)). Тогда из третьего уравнения системы (31) следует, что и сама функция h(t, s, λ) не зависит от λ. Поэтому можем переобозначить h(t, s) := h(t, s, λ), h(0, s) := h(0, s, λ), g(0, s) := g(0, s, λ). Также примем, что мера dσ(λ) такова, что допускает перестановку интегралов, т.е. ∞ t ∞ t p(τ, λ)dσ(λ)dτ = 0 0 p(τ, λ)dτ dσ(λ). 0 0 После этого (31) будет эквивалентно f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s), s α 2 f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s), s t α α 2 ht (t, s) = ∆ - k f 1 (t, s) - k h(t, s) + w(t, s), α α t 1 (32) σ σ w(t, s) = g(0, s)ˆ (t) + 0 f (τ, s)ˆ (t - τ )dτ t k 1 1 - f (τ, s) + h(τ, s) σ (t - τ )dτ, ˆ α 0 α t k 1 g(t, s, λ) = g(0, s)e-λt - - + λ f 1 (τ, s) + h(τ, s) e-λ(t-τ ) dτ, α α 0 r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ), где σ (t) - преобразование Лапласа меры σ(λ). Таким образом, получена сиˆ стема (32), эквивалентная (27), но в которой первые четыре уравнения, определяющие функции f 1,2 (t, s), не зависят от переменной λ, а зависят только от переменных t и s, а пятое и шестое уравнения выражают оставшиеся функции g(t, s, λ) и r(t, s, λ).×
Об авторах
Анатолий Николаевич Царицанский
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Email: TsaritsanskiiAN@gmail.com
аспирант, каф. дифференциальных уравнений Россия, 119899, Москва, Воробьёвы горы
Список литературы
- Царицанский А. Н. Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.м.н., проф. В. П. Радченко. СамГТУ: Самара, 2014. С. 370-371.
- Гавриков А. А., Шамаев А. С. Некоторые вопросы акустики эмульсий / Тр. сем. им. И. Г. Петровского, Т. 28. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 114-146.
- Царицанский А. Н. Задача о распространии волн в неоднородной среде с памятью // Матем. заметки, 2015. Т. 98, № 3. С. 436-447. doi: 10.4213/mzm10598.