Discrete and continuous cases for the problem of propagating waves for inhomogeneous medium with memory

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 1. Постановка задачи в дискретном случае. Рассматривается один из вариантов волнового уравнения для среды с памятью [2] n t exp {-λi (t - τ )} uxx (τ, x)dτ, ci utt = kuxx + αutxx + i=1 n 1, (1) 0 полученного при исследовании усредненных моделей комбинированных сред и описывающего одномерный вариант закона Кельвина-Фойгхта вязкоупругих колебаний комбинированных сред. В этом уравнении необходимо по известным постоянным коэффициентам ci , ненулевому параметру α и показателям λi определить среднее смещение материала u(t, x). В данной работе для уравнения (1) делается попытка построить аналог формулы распространяющихся волн. Формула распространяющихся волн позволяет представить решение системы дифференциальных уравнений явным образом через общее решение системы первого порядка, в которой каждое уравнение является уравнением переноса вдоль соответствующей характеристики. Для уравнения (1) при α = 0 и k = h2 в [3] при некоторых дополнительных условиях получено классическое решение в двух случаях: - при S := n (δi /λi ) = -1 функции i=1  - +  u(t, s) = f (t, s) + f (t, s),  (2) v {i} (t, s) = -λi f - (t, s) - λi f + (t, s) + λi f {i} (t, s)-   - f - s (t, s) + f + s (t, s), i = 1, n, где t v {i} (t, s) = h2 exp {-λi (t - τ )} uss (τ, s)dτ, i = 1, n, 0 δ = n δi , а f β (t, s) (β ∈ {+, -,1, . . . , n}) являются классическим реi=1 шением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  n  -  f (t, s) + f - (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1  t δi f {i} (t, s),  s  2 2 2   i=1    n   +  f (t, s) - f + (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1  t δi f {i} (t, s), s 2 2 2 i=1   {i} -   f t (t, s) = (λi + δ) f (t, s) + (λi + δ) f + (t, s) - λi f {i} (t, s)-     n     - δj f {j} (t, s), i = 1, n;   j=1 - при S = -1 функции    u(t, s) = f - (t, s) + f + (t, s) - n δi f {i} (t, s), i=1   v {i} (t, s) = f {i} ss (t, s), (3) i = 1, n, где f β (t, s) (β ∈ {+, -,1, . . . , n}) являются классическим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  n  -  f (t, s) + f - (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1  δi (λi + δ) f {i} (t, s),  t s  2 2 2   i=1    n  δ δ 1 f + t (t, s) - f + s (t, s) = f - (t, s) + f + (t, s) - δi (λi + δ) f {i} (t, s), 2 2 2   i=1    n   {i} f - + {i}  (t, s) - δj f {j} (t, s), i = 1, n.  t (t, s) = f (t, s) + f (t, s) - λi f  j=1 490 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью Как будет показано ниже, случай α = 0 дает принципиально иное представление решения. 2. Основной результат в дискретном случае. Для получения формулы распространяющихся волн уравнения (1) преобразуем его для простоты к дифференциальной форме. Для этого обозначим t v {i} (t, x) = exp {-λi (t - τ )} uxx (τ, x)dτ, i = 1, n, 0 после чего (1) оказывается эквивалентно системе  n n  k + αλi {i} {i} u - α  tt vtt = vt + n n i=1 i=1    {i} uss = vt + λi v {i} , i ∈ {1, n} n δi v {i} , i=1 (4) в предположении u(t, s) ∈ C 3 (R × R), v {i} (0, s) = 0 и обозначении δi = ci + + kλi /n, i = 1, n. Теорема 1. Если функции f 1,2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s) i = 1, n являются классическим решением  1   f 1 s (t, s) = f 2 (t, s),   α   n n   k k 1  2 j   f s (t, s) - f 1 t (t, s) = - f 1 (t, s) - g (t, s) - rj (t, s),   α αn α   j=1 j=1    n k k g i t (t, s) = - + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)-  α αn   j=1     n  1    - rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, n,   α   j=1    i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, n, (5) удовлетворяющим дополнительному условию f 1 (t, s) ∈ C 2 (R × R), g i (t, s) ∈ C 2 (R × R), i = 1, n, (6) то функции u(t, s) = αf 1 (t, s), v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g i (t, s), i = 1, n (7) являются классическим решением (4). Обратно: если функции u(t, s), v {i} (t, s), i = 1, n являются классическим 491 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. решением (4), то функции   f 1 (t, s) = 1 u(t, s),    α    f 2 (t, s) = u (t, s),  s  1  g i (t, s) = v {i} - u(t, s), i = 1, n,   α   t   i   r (t, s) = δi v {i} (τ, s)dτ + Ci (s), i = 1, n, (8) 0 где Ci (s) ∈ C 1 (R) таковы, что n Ci (s) = ut (0, s) - i=1 α n n {i} vt (0, s) - i=1 k + αλi n n v {i} (0, s), i=1 являются классическим решением (5) и удовлетворяют дополнительному условию (6). Система (5) описывает перенос и перераспределение между собой 2n + 2 волн f 1 (t, s), f 2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s) (i = 1, n). В отличие от (2) и (3), уравнения которых имели гиперболический вид, первые два уравнения в (5) имеют параболический вид. Действительно, если из первых двух уравнений исключить функцию f 2 (t, s), то в левой части уравнения получим оператор теплопроводности. 3. Доказательство теоремы 1. Непосредственной подстановкой выражений (7) в (4) убеждаемся в том, что (7) с функциями f 1,2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s), i = = 1, n, являющимися классическим решением (5), удовлетворяет системе (4). Кроме того, если выполняются условия (6), то в соответствии с (7) u(t, s), v {i} (t, s) ∈ C 2 (R × R). Таким образом, функции (7) являются классическим решением (4), и первая часть теоремы доказана. Покажем справедливость второго утверждения теоремы. Рассмотрим произвольное решение (4). Данное решение при каждом t однозначно определяет значения u(t, s), v {i} (t, s). (9) Построим решение системы переноса (5) так, чтобы функции (7) удовлетворяли (9): αf 1 (t, s) = u(t, s), f 1 (t, s) + g i (t, s) = v {i} (t, s), i = 1, n. Входящие в эти условия функции f 1 (t, s), g i (t, s), i = 1, n, удовлетворяющие (5), определяются однозначно, а из системы (5) однозначно (с точностью до аддитивных функций Ci (s)) определяются остальные функции f 2 (t, s), ri (t, s), имеющие вид (8). Непосредственная подстановка подтверждает, что определенные в (8) функции удовлетворяют системе (5). А ввиду того, что u(t, s), v {i} (t, s), i = 1, n являются классическим решением (4), согласно выражениям (8), дополнительное условие (6) выполняется, что и завершает доказательство теоремы. 492 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью 4. Вывод основного результата в дискретном случае. Несмотря на то, что доказательство теоремы кажется довольно простым, главная сложность при получении результата заключается в нахождении уравнений (5) и (7). Для того чтобы пояснить, откуда и как появились данные соотношения, мы приведем их вывод. Для нахождения характеристик системы (4) и применения формулы распространяющихся волн приведем её к системе уравнений с частными производными первого порядка   us = p,   n n n   k + αλi {i}  {i}  ut - α  vt = v + q {i} , n n (10) i=1 i=1 i=1  {i}   q = δ v {i} , i ∈ {1, n},  t i     {i} ps = vt + λi v {i} , i ∈ {1, n}. 4.1. Случай n = 1. Первоначально рассмотрим случай n = 1, в котором применение метода распространяющихся волн, опирающегося на представление функций u(t, s), p(t, s), v {1} (t, s), q {1} (t, s) в виде комбинации четырех волн, соответствующих характеристикам системы (10) (две t = const и две s = const), дает анзац   u(t, s) = a11 f 1 (t, s) + a12 f 2 (t, s) + a13 g 1 (t, s) + a14 r1 (t, s),     p(t, s) = a21 f 1 (t, s) + a22 f 2 (t, s) + a23 g 1 (t, s) + a24 r1 (t, s), (11)  v {1} (t, s) = b11 f 1 (t, s) + b12 f 2 (t, s) + b13 g 1 (t, s) + b14 r1 (t, s),     {1} q (t, s) = d11 f 1 (t, s) + d12 f 2 (t, s) + d13 g 1 (t, s) + d14 r1 (t, s), где функции f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  1  f s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 r1 (t, s),    2  f (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 r1 (t, s), s (12)  g 1 t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r1 (t, s),    1  r t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r1 (t, s). К сожалению, подстановка (11), в которой функции f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы (12), в систему (10) дает только нулевое решение, поэтому мы модифицируем форму (12) к виду  f 1 s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 r1 (t, s),     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 r1 (t, s), s t (13) 1  g t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r1 (t, s),     r1 t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r1 (t, s). 493 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. Подставляя выражения из (11) в систему (4), используя равенства (13) и затем упрощая, получаем  21 11 11 1 22 11 12 2 23 11 13 1  -a + a c f + -a + a c f + -a + a c g +     + -a24 + a11 c14 r1 + a12 f 2 s + a13 g 1 s + a14 r1 s = 0,      (k + αλ ) b11 + d11 + a11 c21 - αb11 c21 - a13 c31 + αb13 c31 - a14 c41 +  1      + αb14 c41 f 1 + (k + αλ1 ) b12 + d12 + a11 c22 - αb11 c22 - a13 c32 +      + αb13 c32 - a14 c42 + αb14 c42 f 2 + (k + αλ1 ) b13 + d13 + a11 c23 -       - αb11 c23 - a13 c33 + αb13 c33 - a14 c43 + αb14 c43 g 1 +      + (k + αλ1 ) b14 + d14 + a11 c24 - αb11 c24 - a13 c34 + αb13 c34 -   (14) - a14 c44 + αb14 c44 r1 - a12 - αb12 f 2 t - a11 - αb11 f 2 s = 0,    δ b11 + d11 c21 - d13 c31 - d14 c41 f 1 + δ b12 + d11 c22 - d13 c32 - d14 c42 f 2 +  1 1      + δ1 b13 + d11 c23 - d13 c33 - d14 c43 g 1 +      + δ1 b14 + d11 c24 - d13 c34 - d14 c44 r1 - d12 f 2 t - d11 f 2 s = 0,      λ b11 - a21 c11 - b11 c21 + b13 c31 + b14 c41 f 1 + λ b12 - a21 c12 - b11 c22 +  1 1     13 32 14 42 2 13 21 13 11 23  + b c + b c f + λ1 b - a c - b c + b13 c33 + b14 c43 g 1 +      + λ1 b14 - a21 c14 - b11 c24 + b13 c34 + b14 c44 r1 - a22 - b11 f 2 s -     - a23 g 1 s - a24 r1 s + b12 f 2 t = 0. Рассмотрим систему (14). Равенства, входящие в нее, должны выполняться тождественно для всех (t, s) и любых решений f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) системы (13). Для того чтобы, пользуясь этой произвольностью, получить уравнения на коэффициенты, зафиксируем на время произвольный момент времени t и произвольную точку пространства s. Тогда равенства (14) превратятся в алгебраические, выполненные тождественно для всех f 1,2 , g 1 , r1 , f 1,2 s , g 1 s , r1 s , f 1,2 t , g 1 t , r1 t . Причем эти величины независимы между собой и могут принимать произвольные значения (для любого набора этих величин найдутся функции f 1,2 (s), g 1 (s), r1 (s), имеющие в зафиксированной нами точке эти значения и значения производных, а взяв её в качестве начального условия системы (13) при выбранном нами t, мы получим решение (13), имеющее в (t, s) соответствующие значения функций f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) и их производных), поэтому коэффициенты при этих величинах должны обращаться в 0. Исходя из этого получаем следующие соотношения:  12 13 14 23 24  a = 0, a = 0, a = 0, a = 0, a = 0,   12  b = 0, d11 = 0, d12 = 0,     11   a - αb11 = 0, a22 - b11 = 0,   A2 - C · G · A1 = 0,   (k + αλ ) B + D - C · F (A - αB ) = 0,  1 1 1 1 1     δ1 B1 - C · F · D1 = 0,    λ1 B1 - C · G · A2 + C · F · B1 = 0, 494 (15) Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью где введены обозначения  11   21  a a a12  a22  A1 :=  13  , A2 :=  23  , a  a  14 a a24  11   d 0 0 0 d12  -1 0 0 D1 : =  13  , F :=  d  0 0 1 0 0 0 d14    11 21 b11 c c b12  c12 c22 B1 :=  13  , C :=  13 23 b  c c 14 b c14 c24    0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , G :=  . 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c31 c32 c33 c34  c41 c42  , c43  c44 (16) Воспользуемся тем, что анзац (11), (13) в некотором смысле избыточен: одно и то же решение (u, p, v {1} , q {1} ) можно представить в виде (11), (13) ˆ разными способами. Очевидно, что при замене s = -s, p = -p, f 1 = -f 1 ˆ ˆ получится такая же система (10) и представление (11), (13), только с другими коэффициентами: a12 = -a12 , ˆ a21 = -a21 , ˆ a23 = -a23 , ˆ a24 = -a24 , ˆ ˆ12 = -b12 , b ˆ d12 = -d12 , c11 = -c11 , ˆ c13 = -c13 , ˆ c14 = -c14 , ˆ c22 = -c22 , ˆ c32 = -c32 , ˆ c42 = -c42 . ˆ Поэтому, не ограничивая общности, данные коэффициенты можно занулить. Кроме того, замена ˆ f 1 (t, s) = wf 1 (t, s), ˆ f 2 (t, s) = wf 2 (t, s) также оставляет (11), (13) в таком виде, но с другими коэффициентами: a11 , a22 , b11 , d11 , c31 , c41 (они умножаются на w), c23 , c24 (они делятся на w). Поэтому, если a11 = 0, то его для наиболее простой формы представления окончательного результата предпочтительнее задать a11 = α. Также при замене ˆ f 2 (t, s) = f 2 (t, s) + wf 1 (t, s) и дальнейшем вычитании из второго уравнения системы (13) первого, умноженного на w, получится такое же представление (11), (13), только с другими коэффициентами: a11 , a21 , b11 , d11 , c11 , c31 , c41 (к ним прибавится w, умноженный на коэффициент при функции f 2 в соответствующем уравнении), c22 , c23 , c24 и c21 = c21 +w(c22 -c12 ). Поэтому, не ограничивая общности, можˆ но сразу задать значение c21 . Хотя на первый взгляд кажется, что его удобнее взять нулем, для наиболее простой формы представления окончательного результата предпочтительнее задать следующее значение: c21 = -k/α. Решая с учетом вышеизложенного систему алгебраических уравнений (15) (с помощью программы Maple 18), получаем   u(t, s) = αf 1 (t, s),     p(t, s) = f 2 (t, s), (17)  v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g 1 (t, s),     {i} q (t, s) = r1 (t, s), 495 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. где функции f 1 (t, s), f 2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  1   f 1 s (t, s) = f 2 (t, s),   α   n n   1  2 j  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - k  g (t, s) - rj (t, s), t  s  α αn α   j=1 j=1    n k k + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)- g i t (t, s) = -  α αn   j=1     n  1    - rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, n,   α   j=1    i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, n. (18) 4.2. Случай n = 2. В этом случае решение системы (10) ищется в виде, подобном (11)-(13):  11 1 12 2 13 1 14 2  u(t, s) = a f (t, s) + a f (t, s) + a g (t, s) + a g (t, s)+     + a15 r1 (t, s) + a16 r2 (t, s),      p(t, s) = a21 f 1 (t, s) + a22 f 2 (t, s) + a23 g 1 (t, s) + a24 g 2 (t, s)+       + a25 r1 (t, s) + a26 r2 (t, s),    {1}   v (t, s) = b11 f 1 (t, s) + b12 f 2 (t, s) + b13 g 1 (t, s) + b14 g 2 (t, s)+      + b15 r1 (t, s) + b16 r2 (t, s),  v {2} (t, s) = b21 f 1 (t, s) + b22 f 2 (t, s) + b23 g 1 (t, s) + b24 g 2 (t, s)+      + b25 r1 (t, s) + b26 r2 (t, s),     {1}  q (t, s) = d11 f 1 (t, s) + d12 f 2 (t, s) + d13 g 1 (t, s) + d14 g 2 (t, s)+       + d15 r1 (t, s) + d16 r2 (t, s),     {2}  q (t, s) = d21 f 1 (t, s) + d22 f 2 (t, s) + d23 g 1 (t, s) + d24 g 2 (t, s)+     + d25 r1 (t, s) + d26 r2 (t, s), (19) где функции f 1,2 (t, s), g 1,2 (t, s), r1,2 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка 496 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью  f 1 s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 g 2 (t, s)+       + c15 r1 (t, s) + c16 r1 (t, s),    2   f s (t, s) - f 1 t (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 g 2 (t, s)+      + c25 r1 (t, s) + c26 r2 (t, s),      g 1 t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r2 (t, s)+      + c35 r1 (t, s) + c36 r2 (t, s), (20)  g 2 t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r2 (t, s)+      + c45 r1 (t, s) + c46 r2 (t, s),       r1 t (t, s) = c51 f 1 (t, s) + c52 f 2 (t, s) + c53 g 1 (t, s) + c54 r2 (t, s)+      + c55 r1 (t, s) + c56 r2 (t, s),      r2 t (t, s) = c61 f 1 (t, s) + c62 f 2 (t, s) + c63 g 1 (t, s) + c64 r2 (t, s)+     + c65 r1 (t, s) + c66 r2 (t, s), Аналогично случаю n = 1, данный случай сводится к системе алгебраических уравнений, являющейся естественным обобщением (15):  12  a = 0, a13 = 0, a14 = 0, a15 = 0, a16 = 0,    23  a = 0, a24 = 0, a25 = 0, a26 = 0,     12  b = 0, b22 = 0,     11   d = 0, d12 = 0, d21 = 0, d22 = 0,     11 α 11 α 21   a - b - b = 0, a22 - b11 = 0, a22 - b21 = 0, 2 2  A2 - C · G · A1 = 0,     2  2 2   k + αλi α   Bi + Di - C · F A1 - Bi = 0,   2 2  i=1  i=1 i=1     δi Bi - C · F · Di = 0, i = 1,2,     λi Bi - C · G · A2 + C · F · Bi = 0, i = 1,2, (21) где, подобно (16), введены обозначения  i1   11   21   11 b a a c i2  12 22 b a  a  c12    13   23   13 bi3  a  a  c A1 :=  14 , A2 :=  24 , Bi :=  i4 , C :=  14 b  a  a  c  i5  a15  a25  c15 b  16 26 i6 a a c16 b c21 c22 c23 c24 c25 c26 c31 c32 c33 c34 c35 c36 c41 c42 c43 c44 c45 c46 c51 c52 c53 c54 c55 c56  c61 62 c   c63  , c64  c65  c66 497 Ц а р и ц а н с к и й А. Н.    di1 0 di2  -1    di3   i4  , F :=  0 Di :=   0  di5  0 d  0 di6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0   1 0 0 0   0 0 , G :=  0  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 . 0   0 0 Избегая избыточности представления (19)-(20) (аналогично случаю n = 1), решаем систему (21) (с помощью программы Maple 18), в результате чего получаем единственное решение   u(t, s) = αf 1 (t, s),     p(t, s) = f 2 (t, s), (22)  v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g i (t, s), i = 1, 2,     {i} q (t, s) = ri (t, s), i = 1, 2, где функции f 1,2 (t, s), g 1,2 (t, s), r1,2 (t, s) являются общим решением системы переноса  1   f 1 s (t, s) = f 2 (t, s),   α    2 2   2 1  j  f s (t, s) - f 1 t (t, s) = - k f 1 (t, s) - k g (t, s) - rj (t, s),    α 2α α  j=1 j=1     2 k k (23) g i t (t, s) = - + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)-   α 2α  j=1     2   1    rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, 2, -   α   j=1    i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, 2. Замечаем, что в случаях n = 1 и n = 2 системы (17)-(18) и (22)-(23) имеют схожий вид, что и дает основания для анзаца (5)-(7). 5. Основной результат в непрерывном случае. Рассмотрим непрерывное (при n → ∞) обобщение уравнения (1): ∞ t exp {-λ(t - τ )} uxx (τ, x) dτ dσ(λ), utt = kuxx + αutxx + 0 α = 0. (24) 0 Введение функции t exp {-λ(t - τ )} uxx (τ, x)dτ v(t, x, λ) = 0 сводит (24) к эквивалентной системе 498 (25) Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью   u - αv = (k + αλ) v + kλv + tt tt t  uss = vt + λv, ∞ vdσ(λ), 0 (26) в предположении u(t, s) ∈ C 3 (R × R) и v(0, s, λ) = 0. Введем обозначение ∞ dσ(λ). ∆= 0 Теорема 2. Если функции f 1,2 (t, s), g(t, s, λ), r(t, s, λ) являются классическим решением   f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s),  s   α     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - k g(t, s, λ) - 1 r(t, s, λ),  s  t α α α k k 1   + λ f 1 (t, s) - + λ g(t, s, λ) - r(t, s, λ),  gt (t, s, λ) = -  α α α    ∞    rt (t, s, λ) = (kλ + ∆) f 1 (t, s) + kλg(t, s, λ) + g(t, s, λ)dσ(λ),  (27) 0 удовлетворяющим дополнительному условию f 1 (t, s) ∈ C 2 (R × R), g(t, s, λ) ∈ C 2 (R × R × R), (28) то функции u(t, s) = αf 1 (t, s), v(t, s, λ) = f 1 (t, s) + g(t, s, λ) являются классическим решением (26). Обратно: если функции u(t, s), v(t, s, λ) являются классическим решением (26), то функции   f 1 (t, s) = 1 u(t, s),    α   2   f (t, s) = us (t, s),     1 g(t, s, λ) = v(t, s, λ) - u(t, s), (29) α    t t ∞    r(t, s, λ) = kλ  v(τ, s, λ)dτ + v(τ, s, λ)dσ(λ)dτ +    0 0 0   + ut (0, s) - αvt (0, s) - (k + αλ) v(0, s) являются классическим решением (27) и удовлетворяют дополнительному условию (28). Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1. 499 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. 6. Основной результат. Переформулировка условия. Анализируя анзац (27), можно заметить, что в уравнениях с частными производными относительно функций f 1,2 (t, s), не зависящих от переменной λ, присутствуют функции g(t, s, λ) и r(t, s, λ), зависящие от λ. По существу, это бесконечная система уравнений с частными производными первого порядка. На самом деле её можно свести к конечной системе из трех уравнений первого порядка и одного интегрального уравнения Вольтерра и бесконечному (зависящему от параметра λ) набору квадратур. Чтобы показать это, перепишем (27), введя новые обозначения:   f 1 s (t, s) = 1 f 2 (t, s),    α    2   f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s, λ),  s t   α α     k2 1 k  h (t, s, λ) = ∆ - f (t, s) - h(t, s, λ) + w(t, s), t α α (30)   k 1  g (t, s, λ) = -  t + λ f 1 (t, s) - λg(t, s, λ) - h(t, s, λ),   α α    ∞   w(t, s) =  g(t, s, λ)dσ(λ),    0   r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ). Здесь ∞ h(t, s, λ) = kg(t, s, λ) + r(t, s, λ), w(t, s) = g(t, s, λ)dσ(λ). 0 Решая отдельно третье и четвертое уравнения системы (30) относительно функций h(t, s, λ) и g(t, s, λ), получаем   f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s),  s   α     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s),  s t   α α   k   h(t, s, λ) = h(0, s, λ)e- α t +      t  k k2 1   + ∆- f (τ, s) + w(τ, s) e- α (t-τ ) dτ, α 0 (31)   g(t, s, λ) = g(0, s, λ))e-λt -     t   k 1   - + λ f 1 (τ, s) + h(τ, s, λ) e-λ(t-τ ) dτ,   α α  0   ∞    w(t, s) =  g(t, s, λ)dσ(λ),    0   r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ), где начальные условия h(0, s, λ), g(0, s, λ) ∈ C 2 (R × R). Предположим, что начальные условия функций h(t, s, λ) и g(t, s, λ) не зависят от переменной λ 500 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью (что и имеет место в нашем случае в силу (25) и (29)). Тогда из третьего уравнения системы (31) следует, что и сама функция h(t, s, λ) не зависит от λ. Поэтому можем переобозначить h(t, s) := h(t, s, λ), h(0, s) := h(0, s, λ), g(0, s) := g(0, s, λ). Также примем, что мера dσ(λ) такова, что допускает перестановку интегралов, т.е. ∞ t ∞ t p(τ, λ)dσ(λ)dτ = 0 0 p(τ, λ)dτ dσ(λ). 0 0 После этого (31) будет эквивалентно   f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s),  s   α     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s),  s  t  α α    2    ht (t, s) = ∆ - k f 1 (t, s) - k h(t, s) + w(t, s),    α α   t 1 (32) σ σ  w(t, s) = g(0, s)ˆ (t) + 0 f (τ, s)ˆ (t - τ )dτ     t  k 1 1   - f (τ, s) + h(τ, s) σ (t - τ )dτ, ˆ    α 0 α    t  k 1   g(t, s, λ) = g(0, s)e-λt - -  + λ f 1 (τ, s) + h(τ, s) e-λ(t-τ ) dτ,   α α  0   r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ), где σ (t) - преобразование Лапласа меры σ(λ). Таким образом, получена сиˆ стема (32), эквивалентная (27), но в которой первые четыре уравнения, определяющие функции f 1,2 (t, s), не зависят от переменной λ, а зависят только от переменных t и s, а пятое и шестое уравнения выражают оставшиеся функции g(t, s, λ) и r(t, s, λ).

About the authors

Anatoly N Tsaritsanskiy

M. V. Lomonosov Moscow State University

Email: TsaritsanskiiAN@gmail.com
Postgraduate Student, Dept. of Differential Equations Vorob'evy gory, Moscow, 119899, Russian Federation

References

Supplementary files