Discrete and continuous cases for the problem of propagating waves for inhomogeneous medium with memory

Abstract


The article is devoted to the study of the wave equation for medium with memory. This equation is obtained in the process of considering the homogenized models of combined mediums. It describes one-dimensional case of the Kelvin-Voight’s viscoelastic oscillations law of homogenized models. The problem is to find the function which describes the average offset of the material. The formula of propagating waves is used for this purpose. It allows to construct a solution using the general solution of the first order system in which each equation is the equation of the transfer along the corresponding characteristics. The main result consists of two theorems for discrete and continuous modification of the equation. Furthermore the article contains descriptive considerations which lead to the construction of the classical solution of the equations.

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 1. Постановка задачи в дискретном случае. Рассматривается один из вариантов волнового уравнения для среды с памятью [2] n t exp {-λi (t - τ )} uxx (τ, x)dτ, ci utt = kuxx + αutxx + i=1 n 1, (1) 0 полученного при исследовании усредненных моделей комбинированных сред и описывающего одномерный вариант закона Кельвина-Фойгхта вязкоупругих колебаний комбинированных сред. В этом уравнении необходимо по известным постоянным коэффициентам ci , ненулевому параметру α и показателям λi определить среднее смещение материала u(t, x). В данной работе для уравнения (1) делается попытка построить аналог формулы распространяющихся волн. Формула распространяющихся волн позволяет представить решение системы дифференциальных уравнений явным образом через общее решение системы первого порядка, в которой каждое уравнение является уравнением переноса вдоль соответствующей характеристики. Для уравнения (1) при α = 0 и k = h2 в [3] при некоторых дополнительных условиях получено классическое решение в двух случаях: - при S := n (δi /λi ) = -1 функции i=1  - +  u(t, s) = f (t, s) + f (t, s),  (2) v {i} (t, s) = -λi f - (t, s) - λi f + (t, s) + λi f {i} (t, s)-   - f - s (t, s) + f + s (t, s), i = 1, n, где t v {i} (t, s) = h2 exp {-λi (t - τ )} uss (τ, s)dτ, i = 1, n, 0 δ = n δi , а f β (t, s) (β ∈ {+, -,1, . . . , n}) являются классическим реi=1 шением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  n  -  f (t, s) + f - (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1  t δi f {i} (t, s),  s  2 2 2   i=1    n   +  f (t, s) - f + (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1  t δi f {i} (t, s), s 2 2 2 i=1   {i} -   f t (t, s) = (λi + δ) f (t, s) + (λi + δ) f + (t, s) - λi f {i} (t, s)-     n     - δj f {j} (t, s), i = 1, n;   j=1 - при S = -1 функции    u(t, s) = f - (t, s) + f + (t, s) - n δi f {i} (t, s), i=1   v {i} (t, s) = f {i} ss (t, s), (3) i = 1, n, где f β (t, s) (β ∈ {+, -,1, . . . , n}) являются классическим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  n  -  f (t, s) + f - (t, s) = δ f - (t, s) + δ f + (t, s) - 1  δi (λi + δ) f {i} (t, s),  t s  2 2 2   i=1    n  δ δ 1 f + t (t, s) - f + s (t, s) = f - (t, s) + f + (t, s) - δi (λi + δ) f {i} (t, s), 2 2 2   i=1    n   {i} f - + {i}  (t, s) - δj f {j} (t, s), i = 1, n.  t (t, s) = f (t, s) + f (t, s) - λi f  j=1 490 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью Как будет показано ниже, случай α = 0 дает принципиально иное представление решения. 2. Основной результат в дискретном случае. Для получения формулы распространяющихся волн уравнения (1) преобразуем его для простоты к дифференциальной форме. Для этого обозначим t v {i} (t, x) = exp {-λi (t - τ )} uxx (τ, x)dτ, i = 1, n, 0 после чего (1) оказывается эквивалентно системе  n n  k + αλi {i} {i} u - α  tt vtt = vt + n n i=1 i=1    {i} uss = vt + λi v {i} , i ∈ {1, n} n δi v {i} , i=1 (4) в предположении u(t, s) ∈ C 3 (R × R), v {i} (0, s) = 0 и обозначении δi = ci + + kλi /n, i = 1, n. Теорема 1. Если функции f 1,2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s) i = 1, n являются классическим решением  1   f 1 s (t, s) = f 2 (t, s),   α   n n   k k 1  2 j   f s (t, s) - f 1 t (t, s) = - f 1 (t, s) - g (t, s) - rj (t, s),   α αn α   j=1 j=1    n k k g i t (t, s) = - + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)-  α αn   j=1     n  1    - rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, n,   α   j=1    i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, n, (5) удовлетворяющим дополнительному условию f 1 (t, s) ∈ C 2 (R × R), g i (t, s) ∈ C 2 (R × R), i = 1, n, (6) то функции u(t, s) = αf 1 (t, s), v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g i (t, s), i = 1, n (7) являются классическим решением (4). Обратно: если функции u(t, s), v {i} (t, s), i = 1, n являются классическим 491 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. решением (4), то функции   f 1 (t, s) = 1 u(t, s),    α    f 2 (t, s) = u (t, s),  s  1  g i (t, s) = v {i} - u(t, s), i = 1, n,   α   t   i   r (t, s) = δi v {i} (τ, s)dτ + Ci (s), i = 1, n, (8) 0 где Ci (s) ∈ C 1 (R) таковы, что n Ci (s) = ut (0, s) - i=1 α n n {i} vt (0, s) - i=1 k + αλi n n v {i} (0, s), i=1 являются классическим решением (5) и удовлетворяют дополнительному условию (6). Система (5) описывает перенос и перераспределение между собой 2n + 2 волн f 1 (t, s), f 2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s) (i = 1, n). В отличие от (2) и (3), уравнения которых имели гиперболический вид, первые два уравнения в (5) имеют параболический вид. Действительно, если из первых двух уравнений исключить функцию f 2 (t, s), то в левой части уравнения получим оператор теплопроводности. 3. Доказательство теоремы 1. Непосредственной подстановкой выражений (7) в (4) убеждаемся в том, что (7) с функциями f 1,2 (t, s), g i (t, s), ri (t, s), i = = 1, n, являющимися классическим решением (5), удовлетворяет системе (4). Кроме того, если выполняются условия (6), то в соответствии с (7) u(t, s), v {i} (t, s) ∈ C 2 (R × R). Таким образом, функции (7) являются классическим решением (4), и первая часть теоремы доказана. Покажем справедливость второго утверждения теоремы. Рассмотрим произвольное решение (4). Данное решение при каждом t однозначно определяет значения u(t, s), v {i} (t, s). (9) Построим решение системы переноса (5) так, чтобы функции (7) удовлетворяли (9): αf 1 (t, s) = u(t, s), f 1 (t, s) + g i (t, s) = v {i} (t, s), i = 1, n. Входящие в эти условия функции f 1 (t, s), g i (t, s), i = 1, n, удовлетворяющие (5), определяются однозначно, а из системы (5) однозначно (с точностью до аддитивных функций Ci (s)) определяются остальные функции f 2 (t, s), ri (t, s), имеющие вид (8). Непосредственная подстановка подтверждает, что определенные в (8) функции удовлетворяют системе (5). А ввиду того, что u(t, s), v {i} (t, s), i = 1, n являются классическим решением (4), согласно выражениям (8), дополнительное условие (6) выполняется, что и завершает доказательство теоремы. 492 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью 4. Вывод основного результата в дискретном случае. Несмотря на то, что доказательство теоремы кажется довольно простым, главная сложность при получении результата заключается в нахождении уравнений (5) и (7). Для того чтобы пояснить, откуда и как появились данные соотношения, мы приведем их вывод. Для нахождения характеристик системы (4) и применения формулы распространяющихся волн приведем её к системе уравнений с частными производными первого порядка   us = p,   n n n   k + αλi {i}  {i}  ut - α  vt = v + q {i} , n n (10) i=1 i=1 i=1  {i}   q = δ v {i} , i ∈ {1, n},  t i     {i} ps = vt + λi v {i} , i ∈ {1, n}. 4.1. Случай n = 1. Первоначально рассмотрим случай n = 1, в котором применение метода распространяющихся волн, опирающегося на представление функций u(t, s), p(t, s), v {1} (t, s), q {1} (t, s) в виде комбинации четырех волн, соответствующих характеристикам системы (10) (две t = const и две s = const), дает анзац   u(t, s) = a11 f 1 (t, s) + a12 f 2 (t, s) + a13 g 1 (t, s) + a14 r1 (t, s),     p(t, s) = a21 f 1 (t, s) + a22 f 2 (t, s) + a23 g 1 (t, s) + a24 r1 (t, s), (11)  v {1} (t, s) = b11 f 1 (t, s) + b12 f 2 (t, s) + b13 g 1 (t, s) + b14 r1 (t, s),     {1} q (t, s) = d11 f 1 (t, s) + d12 f 2 (t, s) + d13 g 1 (t, s) + d14 r1 (t, s), где функции f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  1  f s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 r1 (t, s),    2  f (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 r1 (t, s), s (12)  g 1 t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r1 (t, s),    1  r t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r1 (t, s). К сожалению, подстановка (11), в которой функции f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы (12), в систему (10) дает только нулевое решение, поэтому мы модифицируем форму (12) к виду  f 1 s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 r1 (t, s),     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 r1 (t, s), s t (13) 1  g t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r1 (t, s),     r1 t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r1 (t, s). 493 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. Подставляя выражения из (11) в систему (4), используя равенства (13) и затем упрощая, получаем  21 11 11 1 22 11 12 2 23 11 13 1  -a + a c f + -a + a c f + -a + a c g +     + -a24 + a11 c14 r1 + a12 f 2 s + a13 g 1 s + a14 r1 s = 0,      (k + αλ ) b11 + d11 + a11 c21 - αb11 c21 - a13 c31 + αb13 c31 - a14 c41 +  1      + αb14 c41 f 1 + (k + αλ1 ) b12 + d12 + a11 c22 - αb11 c22 - a13 c32 +      + αb13 c32 - a14 c42 + αb14 c42 f 2 + (k + αλ1 ) b13 + d13 + a11 c23 -       - αb11 c23 - a13 c33 + αb13 c33 - a14 c43 + αb14 c43 g 1 +      + (k + αλ1 ) b14 + d14 + a11 c24 - αb11 c24 - a13 c34 + αb13 c34 -   (14) - a14 c44 + αb14 c44 r1 - a12 - αb12 f 2 t - a11 - αb11 f 2 s = 0,    δ b11 + d11 c21 - d13 c31 - d14 c41 f 1 + δ b12 + d11 c22 - d13 c32 - d14 c42 f 2 +  1 1      + δ1 b13 + d11 c23 - d13 c33 - d14 c43 g 1 +      + δ1 b14 + d11 c24 - d13 c34 - d14 c44 r1 - d12 f 2 t - d11 f 2 s = 0,      λ b11 - a21 c11 - b11 c21 + b13 c31 + b14 c41 f 1 + λ b12 - a21 c12 - b11 c22 +  1 1     13 32 14 42 2 13 21 13 11 23  + b c + b c f + λ1 b - a c - b c + b13 c33 + b14 c43 g 1 +      + λ1 b14 - a21 c14 - b11 c24 + b13 c34 + b14 c44 r1 - a22 - b11 f 2 s -     - a23 g 1 s - a24 r1 s + b12 f 2 t = 0. Рассмотрим систему (14). Равенства, входящие в нее, должны выполняться тождественно для всех (t, s) и любых решений f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) системы (13). Для того чтобы, пользуясь этой произвольностью, получить уравнения на коэффициенты, зафиксируем на время произвольный момент времени t и произвольную точку пространства s. Тогда равенства (14) превратятся в алгебраические, выполненные тождественно для всех f 1,2 , g 1 , r1 , f 1,2 s , g 1 s , r1 s , f 1,2 t , g 1 t , r1 t . Причем эти величины независимы между собой и могут принимать произвольные значения (для любого набора этих величин найдутся функции f 1,2 (s), g 1 (s), r1 (s), имеющие в зафиксированной нами точке эти значения и значения производных, а взяв её в качестве начального условия системы (13) при выбранном нами t, мы получим решение (13), имеющее в (t, s) соответствующие значения функций f 1,2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) и их производных), поэтому коэффициенты при этих величинах должны обращаться в 0. Исходя из этого получаем следующие соотношения:  12 13 14 23 24  a = 0, a = 0, a = 0, a = 0, a = 0,   12  b = 0, d11 = 0, d12 = 0,     11   a - αb11 = 0, a22 - b11 = 0,   A2 - C · G · A1 = 0,   (k + αλ ) B + D - C · F (A - αB ) = 0,  1 1 1 1 1     δ1 B1 - C · F · D1 = 0,    λ1 B1 - C · G · A2 + C · F · B1 = 0, 494 (15) Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью где введены обозначения  11   21  a a a12  a22  A1 :=  13  , A2 :=  23  , a  a  14 a a24  11   d 0 0 0 d12  -1 0 0 D1 : =  13  , F :=  d  0 0 1 0 0 0 d14    11 21 b11 c c b12  c12 c22 B1 :=  13  , C :=  13 23 b  c c 14 b c14 c24    0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , G :=  . 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c31 c32 c33 c34  c41 c42  , c43  c44 (16) Воспользуемся тем, что анзац (11), (13) в некотором смысле избыточен: одно и то же решение (u, p, v {1} , q {1} ) можно представить в виде (11), (13) ˆ разными способами. Очевидно, что при замене s = -s, p = -p, f 1 = -f 1 ˆ ˆ получится такая же система (10) и представление (11), (13), только с другими коэффициентами: a12 = -a12 , ˆ a21 = -a21 , ˆ a23 = -a23 , ˆ a24 = -a24 , ˆ ˆ12 = -b12 , b ˆ d12 = -d12 , c11 = -c11 , ˆ c13 = -c13 , ˆ c14 = -c14 , ˆ c22 = -c22 , ˆ c32 = -c32 , ˆ c42 = -c42 . ˆ Поэтому, не ограничивая общности, данные коэффициенты можно занулить. Кроме того, замена ˆ f 1 (t, s) = wf 1 (t, s), ˆ f 2 (t, s) = wf 2 (t, s) также оставляет (11), (13) в таком виде, но с другими коэффициентами: a11 , a22 , b11 , d11 , c31 , c41 (они умножаются на w), c23 , c24 (они делятся на w). Поэтому, если a11 = 0, то его для наиболее простой формы представления окончательного результата предпочтительнее задать a11 = α. Также при замене ˆ f 2 (t, s) = f 2 (t, s) + wf 1 (t, s) и дальнейшем вычитании из второго уравнения системы (13) первого, умноженного на w, получится такое же представление (11), (13), только с другими коэффициентами: a11 , a21 , b11 , d11 , c11 , c31 , c41 (к ним прибавится w, умноженный на коэффициент при функции f 2 в соответствующем уравнении), c22 , c23 , c24 и c21 = c21 +w(c22 -c12 ). Поэтому, не ограничивая общности, можˆ но сразу задать значение c21 . Хотя на первый взгляд кажется, что его удобнее взять нулем, для наиболее простой формы представления окончательного результата предпочтительнее задать следующее значение: c21 = -k/α. Решая с учетом вышеизложенного систему алгебраических уравнений (15) (с помощью программы Maple 18), получаем   u(t, s) = αf 1 (t, s),     p(t, s) = f 2 (t, s), (17)  v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g 1 (t, s),     {i} q (t, s) = r1 (t, s), 495 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. где функции f 1 (t, s), f 2 (t, s), g 1 (t, s), r1 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка  1   f 1 s (t, s) = f 2 (t, s),   α   n n   1  2 j  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - k  g (t, s) - rj (t, s), t  s  α αn α   j=1 j=1    n k k + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)- g i t (t, s) = -  α αn   j=1     n  1    - rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, n,   α   j=1    i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, n. (18) 4.2. Случай n = 2. В этом случае решение системы (10) ищется в виде, подобном (11)-(13):  11 1 12 2 13 1 14 2  u(t, s) = a f (t, s) + a f (t, s) + a g (t, s) + a g (t, s)+     + a15 r1 (t, s) + a16 r2 (t, s),      p(t, s) = a21 f 1 (t, s) + a22 f 2 (t, s) + a23 g 1 (t, s) + a24 g 2 (t, s)+       + a25 r1 (t, s) + a26 r2 (t, s),    {1}   v (t, s) = b11 f 1 (t, s) + b12 f 2 (t, s) + b13 g 1 (t, s) + b14 g 2 (t, s)+      + b15 r1 (t, s) + b16 r2 (t, s),  v {2} (t, s) = b21 f 1 (t, s) + b22 f 2 (t, s) + b23 g 1 (t, s) + b24 g 2 (t, s)+      + b25 r1 (t, s) + b26 r2 (t, s),     {1}  q (t, s) = d11 f 1 (t, s) + d12 f 2 (t, s) + d13 g 1 (t, s) + d14 g 2 (t, s)+       + d15 r1 (t, s) + d16 r2 (t, s),     {2}  q (t, s) = d21 f 1 (t, s) + d22 f 2 (t, s) + d23 g 1 (t, s) + d24 g 2 (t, s)+     + d25 r1 (t, s) + d26 r2 (t, s), (19) где функции f 1,2 (t, s), g 1,2 (t, s), r1,2 (t, s) являются общим решением системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка 496 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью  f 1 s (t, s) = c11 f 1 (t, s) + c12 f 2 (t, s) + c13 g 1 (t, s) + c14 g 2 (t, s)+       + c15 r1 (t, s) + c16 r1 (t, s),    2   f s (t, s) - f 1 t (t, s) = c21 f 1 (t, s) + c22 f 2 (t, s) + c23 g 1 (t, s) + c24 g 2 (t, s)+      + c25 r1 (t, s) + c26 r2 (t, s),      g 1 t (t, s) = c31 f 1 (t, s) + c32 f 2 (t, s) + c33 g 1 (t, s) + c34 r2 (t, s)+      + c35 r1 (t, s) + c36 r2 (t, s), (20)  g 2 t (t, s) = c41 f 1 (t, s) + c42 f 2 (t, s) + c43 g 1 (t, s) + c44 r2 (t, s)+      + c45 r1 (t, s) + c46 r2 (t, s),       r1 t (t, s) = c51 f 1 (t, s) + c52 f 2 (t, s) + c53 g 1 (t, s) + c54 r2 (t, s)+      + c55 r1 (t, s) + c56 r2 (t, s),      r2 t (t, s) = c61 f 1 (t, s) + c62 f 2 (t, s) + c63 g 1 (t, s) + c64 r2 (t, s)+     + c65 r1 (t, s) + c66 r2 (t, s), Аналогично случаю n = 1, данный случай сводится к системе алгебраических уравнений, являющейся естественным обобщением (15):  12  a = 0, a13 = 0, a14 = 0, a15 = 0, a16 = 0,    23  a = 0, a24 = 0, a25 = 0, a26 = 0,     12  b = 0, b22 = 0,     11   d = 0, d12 = 0, d21 = 0, d22 = 0,     11 α 11 α 21   a - b - b = 0, a22 - b11 = 0, a22 - b21 = 0, 2 2  A2 - C · G · A1 = 0,     2  2 2   k + αλi α   Bi + Di - C · F A1 - Bi = 0,   2 2  i=1  i=1 i=1     δi Bi - C · F · Di = 0, i = 1,2,     λi Bi - C · G · A2 + C · F · Bi = 0, i = 1,2, (21) где, подобно (16), введены обозначения  i1   11   21   11 b a a c i2  12 22 b a  a  c12    13   23   13 bi3  a  a  c A1 :=  14 , A2 :=  24 , Bi :=  i4 , C :=  14 b  a  a  c  i5  a15  a25  c15 b  16 26 i6 a a c16 b c21 c22 c23 c24 c25 c26 c31 c32 c33 c34 c35 c36 c41 c42 c43 c44 c45 c46 c51 c52 c53 c54 c55 c56  c61 62 c   c63  , c64  c65  c66 497 Ц а р и ц а н с к и й А. Н.    di1 0 di2  -1    di3   i4  , F :=  0 Di :=   0  di5  0 d  0 di6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0   1 0 0 0   0 0 , G :=  0  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 . 0   0 0 Избегая избыточности представления (19)-(20) (аналогично случаю n = 1), решаем систему (21) (с помощью программы Maple 18), в результате чего получаем единственное решение   u(t, s) = αf 1 (t, s),     p(t, s) = f 2 (t, s), (22)  v {i} (t, s) = f 1 (t, s) + g i (t, s), i = 1, 2,     {i} q (t, s) = ri (t, s), i = 1, 2, где функции f 1,2 (t, s), g 1,2 (t, s), r1,2 (t, s) являются общим решением системы переноса  1   f 1 s (t, s) = f 2 (t, s),   α    2 2   2 1  j  f s (t, s) - f 1 t (t, s) = - k f 1 (t, s) - k g (t, s) - rj (t, s),    α 2α α  j=1 j=1     2 k k (23) g i t (t, s) = - + λi f 1 (t, s) - g j (t, s)-   α 2α  j=1     2   1    rj (t, s) - λi g i (t, s), i = 1, 2, -   α   j=1    i r t (t, s) = δi f 1 (t, s) + δi g i (t, s), i = 1, 2. Замечаем, что в случаях n = 1 и n = 2 системы (17)-(18) и (22)-(23) имеют схожий вид, что и дает основания для анзаца (5)-(7). 5. Основной результат в непрерывном случае. Рассмотрим непрерывное (при n → ∞) обобщение уравнения (1): ∞ t exp {-λ(t - τ )} uxx (τ, x) dτ dσ(λ), utt = kuxx + αutxx + 0 α = 0. (24) 0 Введение функции t exp {-λ(t - τ )} uxx (τ, x)dτ v(t, x, λ) = 0 сводит (24) к эквивалентной системе 498 (25) Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью   u - αv = (k + αλ) v + kλv + tt tt t  uss = vt + λv, ∞ vdσ(λ), 0 (26) в предположении u(t, s) ∈ C 3 (R × R) и v(0, s, λ) = 0. Введем обозначение ∞ dσ(λ). ∆= 0 Теорема 2. Если функции f 1,2 (t, s), g(t, s, λ), r(t, s, λ) являются классическим решением   f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s),  s   α     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - k g(t, s, λ) - 1 r(t, s, λ),  s  t α α α k k 1   + λ f 1 (t, s) - + λ g(t, s, λ) - r(t, s, λ),  gt (t, s, λ) = -  α α α    ∞    rt (t, s, λ) = (kλ + ∆) f 1 (t, s) + kλg(t, s, λ) + g(t, s, λ)dσ(λ),  (27) 0 удовлетворяющим дополнительному условию f 1 (t, s) ∈ C 2 (R × R), g(t, s, λ) ∈ C 2 (R × R × R), (28) то функции u(t, s) = αf 1 (t, s), v(t, s, λ) = f 1 (t, s) + g(t, s, λ) являются классическим решением (26). Обратно: если функции u(t, s), v(t, s, λ) являются классическим решением (26), то функции   f 1 (t, s) = 1 u(t, s),    α   2   f (t, s) = us (t, s),     1 g(t, s, λ) = v(t, s, λ) - u(t, s), (29) α    t t ∞    r(t, s, λ) = kλ  v(τ, s, λ)dτ + v(τ, s, λ)dσ(λ)dτ +    0 0 0   + ut (0, s) - αvt (0, s) - (k + αλ) v(0, s) являются классическим решением (27) и удовлетворяют дополнительному условию (28). Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1. 499 Ц а р и ц а н с к и й А. Н. 6. Основной результат. Переформулировка условия. Анализируя анзац (27), можно заметить, что в уравнениях с частными производными относительно функций f 1,2 (t, s), не зависящих от переменной λ, присутствуют функции g(t, s, λ) и r(t, s, λ), зависящие от λ. По существу, это бесконечная система уравнений с частными производными первого порядка. На самом деле её можно свести к конечной системе из трех уравнений первого порядка и одного интегрального уравнения Вольтерра и бесконечному (зависящему от параметра λ) набору квадратур. Чтобы показать это, перепишем (27), введя новые обозначения:   f 1 s (t, s) = 1 f 2 (t, s),    α    2   f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s, λ),  s t   α α     k2 1 k  h (t, s, λ) = ∆ - f (t, s) - h(t, s, λ) + w(t, s), t α α (30)   k 1  g (t, s, λ) = -  t + λ f 1 (t, s) - λg(t, s, λ) - h(t, s, λ),   α α    ∞   w(t, s) =  g(t, s, λ)dσ(λ),    0   r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ). Здесь ∞ h(t, s, λ) = kg(t, s, λ) + r(t, s, λ), w(t, s) = g(t, s, λ)dσ(λ). 0 Решая отдельно третье и четвертое уравнения системы (30) относительно функций h(t, s, λ) и g(t, s, λ), получаем   f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s),  s   α     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s),  s t   α α   k   h(t, s, λ) = h(0, s, λ)e- α t +      t  k k2 1   + ∆- f (τ, s) + w(τ, s) e- α (t-τ ) dτ, α 0 (31)   g(t, s, λ) = g(0, s, λ))e-λt -     t   k 1   - + λ f 1 (τ, s) + h(τ, s, λ) e-λ(t-τ ) dτ,   α α  0   ∞    w(t, s) =  g(t, s, λ)dσ(λ),    0   r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ), где начальные условия h(0, s, λ), g(0, s, λ) ∈ C 2 (R × R). Предположим, что начальные условия функций h(t, s, λ) и g(t, s, λ) не зависят от переменной λ 500 Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью (что и имеет место в нашем случае в силу (25) и (29)). Тогда из третьего уравнения системы (31) следует, что и сама функция h(t, s, λ) не зависит от λ. Поэтому можем переобозначить h(t, s) := h(t, s, λ), h(0, s) := h(0, s, λ), g(0, s) := g(0, s, λ). Также примем, что мера dσ(λ) такова, что допускает перестановку интегралов, т.е. ∞ t ∞ t p(τ, λ)dσ(λ)dτ = 0 0 p(τ, λ)dτ dσ(λ). 0 0 После этого (31) будет эквивалентно   f 1 (t, s) = 1 f 2 (t, s),  s   α     2  f (t, s) - f 1 (t, s) = - k f 1 (t, s) - 1 h(t, s),  s  t  α α    2    ht (t, s) = ∆ - k f 1 (t, s) - k h(t, s) + w(t, s),    α α   t 1 (32) σ σ  w(t, s) = g(0, s)ˆ (t) + 0 f (τ, s)ˆ (t - τ )dτ     t  k 1 1   - f (τ, s) + h(τ, s) σ (t - τ )dτ, ˆ    α 0 α    t  k 1   g(t, s, λ) = g(0, s)e-λt - -  + λ f 1 (τ, s) + h(τ, s) e-λ(t-τ ) dτ,   α α  0   r(t, s, λ) = h(t, s, λ) - kg(t, s, λ), где σ (t) - преобразование Лапласа меры σ(λ). Таким образом, получена сиˆ стема (32), эквивалентная (27), но в которой первые четыре уравнения, определяющие функции f 1,2 (t, s), не зависят от переменной λ, а зависят только от переменных t и s, а пятое и шестое уравнения выражают оставшиеся функции g(t, s, λ) и r(t, s, λ).

About the authors

Anatoly N Tsaritsanskiy

M. V. Lomonosov Moscow State University

Email: TsaritsanskiiAN@gmail.com
Vorob'evy gory, Moscow, 119899, Russian Federation
Postgraduate Student, Dept. of Differential Equations

References

  1. Царицанский А. Н. Дискретный и непрерывный случаи в задаче о распространении волн в среде с памятью / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.м.н., проф. В. П. Радченко. СамГТУ: Самара, 2014. С. 370-371.
  2. Гавриков А. А., Шамаев А. С. Некоторые вопросы акустики эмульсий / Тр. сем. им. И. Г. Петровского, Т. 28. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 114-146.
  3. Царицанский А. Н. Задача о распространии волн в неоднородной среде с памятью // Матем. заметки, 2015. Т. 98, № 3. С. 436-447. doi: 10.4213/mzm10598.

Statistics

Views

Abstract - 15

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies