The Dirichlet problem for a mixed-type equation with strong characteristic degeneracy and a singular coefficient

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа второго рода с сингулярным коэффициентом Lu ≡ uxx + (sgn y)|y|m uyy + k ux - a2 u = 0 x (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < l, -α < y < β}, где k < 1, k = 0, l, a числа. 0, 1 m < 2, α > 0, β > 0 - заданные действительные Задача Дирихле. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: u(x, y) ∈ C 2 (D+ ∪ D- ) ∩ C(D), lim y y→0+0 m-1 uy (x, y) = - lim (-y) y→0-0 m-1 uy (x, y), (2) 0 < x < l, 1 < m < 2, (3) uy (x, y) uy (x, y) = - lim , 0 < x < l, m = 1, y→0+0 y→0-0 ln(-y) ln y Lu(x, y) ≡ 0, (x, y) ∈ D+ ∪ D- , u(x, β) = ϕ(x), u(x, -α) = ψ(x), 0 x l, u(l, y) = 0, -α y β, u(0, y) = 0, -α y β, lim (4) (5) (6) (7) (8) где ϕ(x) и ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции, ϕ(0) = ϕ(l) = ψ(0) = ψ(l) = 0, D+ = D ∩ {y > 0}, D- = D ∩ {y < 0}. Особое внимание к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа стало проявляться после опубликования работы Ф. И. Франкля [1], где впервые отмечено, что проблемы трансзвуковой газовой динамики сводятся к этой задаче. А. В. Бицадзе [2] показал некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева uxx + sgn yuyy = 0. После этой работы возникла проблема поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа изучалась многими авторами [3-11]. Достаточно полную библиографию работ, посвященных этой тематике, можно найти в монографии [11]. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа второго рода (1) при k = 0 исследована в работах [11, c. 33-49], [12-18]. Данная работа является продолжением исследований автора [19, 20], где первая граничная задача для уравнения (1) в прямоугольной области D изучена при 0 < k < 1, m = 0, a = 0 и k 1, 0 < m < 1 соответственно. В данной работе установлен критерий единственности решения задачи Дирихле при k < 1 и 1 m < 2. Решение построено в виде суммы ряда Фурье-Бесселя. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда возникает проблема малых знаменателей. Найдена оценка отделенности 81 С а ф и н а Р. М. малого знаменателя от нуля с соответствующей асимптотикой, которая позволила обосновать сходимость построенного ряда в классе функций (2)-(4). 2. Критерий единственности решения задачи. Частные решения уравнения (1), не равные нулю на множестве D+ ∪ D- и удовлетворяющие нулевым граничным условиям (7) и (8), ищем в виде u(x, y) = X(x)Y (y). Подставляя данное произведение в уравнение (1) относительно X(x), получим следующую спектральную задачу: X (x) + k X (x) + λ2 X(x) = 0, 0 < x < l, x X(0) = 0, X(l) = 0, (9) (10) где λ2 - постоянная разделения переменных. Решение спектральной задачи (9) и (10) определяется формулой ˜ n (x) = x(1-k)/2 J 1-k (λn x), X λn = 2 µn , l n = 1, 2, 3, . . . , где Jν ( · ) - функция Бесселя первого рода порядка ν, µn - n-ный корень уравнения J 1-k (µn ) = 0. 2 Для удобства дальнейших вычислений данную систему функций ортонормируем: 1 ˜ n (x), X (11) Xn (x) = ˜ Xn L2,ρ (0,l) где ˜n X l L2,ρ (0,l) = 1/2 ˜ 2 (x)dx ρ(x)X n = 0 l xJ 21-k = 2 0 µn x dx l 1/2 l = √ J 3-k (µn ) , 2 2 ρ(x) = xk . Известно [21, Sect. 18.1], что система собственных функций (11) ортогональна и полна в пространстве L2 [0, l] с весом xk . Отметим, что для собственных значений спектральной задачи (9), (10) при больших n справедлива следующая асимптотическая формула (по аналогии с [22, Sect. 6.5]): k 1 µn = λn l = πn - π + O . 4 n (12) Пусть u(x, y) - решение задачи (2)-(8), удовлетворяющее условию lim Xn (x)ux = 0. x→l-0 (13) Следуя работам [17, 20], рассмотрим следующие функции: l u(x, y)xk Xn (x)dx, un (y) = 0 82 n = 1, 2, 3, . . . . (14) Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . На основании (14) введем вспомогательные функции l-ε u(x, y)xk Xn (x)dx, un,ε (y) = (15) ε где ε > 0 - достаточно малое число. Дифференцируя равенство (15) по y дважды при y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β) и учитывая уравнение (1), получим l-ε uyy (x, y)xk Xn (x)dx = un,ε (y) = ε l-ε = (sgn y)|y|-m a2 u - uxx - ε l-ε = (sgn y)|y|-m a2 un,ε (y) - ε = (sgn y)|y|-m a2 un,ε (y) - xk ux Xn (x) k ux xk Xn (x)dx = x ∂ k (x ux )Xn (x)dx ∂x l-ε ε = l-ε xk ux Xn (x)dx - . (16) ε Из равенства (15) в силу уравнения (9) получим un,ε (y) = - l-ε 1 λ2n u(x, y)xk Xn (x) + ε =- 1 λ2n l-ε u(x, y) ε =- k X (x) dx = x n d k x Xn (x) dx = dx 1 xk Xn (x)u λ2n l-ε ε l-ε ux xk Xn (x)dx . (17) - ε Из равенства (17) имеем l-ε ux xk Xn (x)dx = λ2n un,ε (y) + xk Xn (x)u ε l-ε ε . (18) Подставляя (18) в (16), получим un,ε (y) = (sgn y)|y|-m a2 un,ε (y) - xk ux Xn (x) l-ε ε - - λ2n un,ε (y) - xk Xn (x)u l-ε ε . (19) Предварительно заметим, что следующий предел существует и конечен: √ (1-k)/2 2λn 2(k+2)/2 λn k lim x Xn (x) = lim x(k+1)/2 J- k+1 (λn x) = . 2 x→0+0 l|J 3-k (µn )| x→0+0 l|J 3-k (µn )|Γ( 1-k 2 ) 2 2 Переходя в (19) к пределу при ε → 0, с учетом граничных условий (7), (8), (10) и (13) получим, что un (y) удовлетворяет дифференциальному уравнению u n (y) - (sgn y)|y|-m (a2 + λ2n )un (y) = 0, y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β), (20) 83 С а ф и н а Р. М. условиям склеивания un (0 - 0) = un (0 + 0), lim y m-1 un (y) = - lim (-y)m-1 un (y), 1 < m < 2, y→0+0 y→0-0 (21) un (0 - 0) = un (0 + 0), un (y) un (y) = - lim , y→0+0 ln y y→0-0 ln(-y) lim m=1 (22) и граничным условиям l l u(x, β)xk Xn (x)dx = un (β) = ϕ(x)xk Xn (x)dx = ϕn , 0 l l u(x, -α)xk Xn (x)dx = un (-α) = (23) 0 0 ψ(x)xk Xn (x)dx = ψn . (24) 0 Аналогично работам [15, 20] найдем общее решение дифференциального уравнения (20), удовлетворяющее условиям (21) и (22) √ an yI 1 (pn y q ), y > 0, √ 2q un (y) = (25) q bn -yJ 1 (pn (-y) ), y < 0, 2q где Iν ( · ) - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ν, qpn = a2 + λ2n , q= 2-m ∈ 0, 1/2 . 2 Далее, удовлетворяя функции (25) граничными условиями (23) и (24), получим равенства для определения неизвестных коэффициентов an и bn : an I 1 (pn β q ) = ϕn β -1/2 , bn J 1 (pn αq ) = ψn α-1/2 . 2q (26) 2q Единственное решение системы (26) существует и определяется по формуле  √ yϕn I 1 (pn y q )   2q   √ , y > 0,   βI 1 (pn β q ) 2q √ un (y) = (27) -yψn J 1 (pn (-y)q )   2q   √ , y<0   αJ 1 (pn αq ) 2q при условии E(n) = J 1 (pn αq ) = 0, 2q n ∈ N. (28) Пусть теперь ϕ(x) ≡ 0 и ψ(x) ≡ 0. Тогда из равенств (23), (24), (27) и (14) следует l u(x, y)xk Xn (x)dx = 0, n = 1, 2, 3, . . . . 0 Отсюда в силу полноты системы (11) в пространстве L2 [0, l] с весом xk следует, что u(x, y) = 0 для всех x ∈ [0, l] и при любом y ∈ [-α, β]. В силу (2) функция u(x, y) непрерывна на D, следовательно, u(x, y) ≡ 0 на D. 84 Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . Пусть при некоторых α, q, a, k, l и n = s ∈ N нарушено условие (28), то есть E(s) = 0. Тогда однородная задача (2)-(8), где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0, имеет нетривиальное решение us (x, y) = us (y)Xs (x), (29) где us (y) = 0, √ y 0, J 1 ps (-y)q -y, y < 0, 2q Xs (x) находятся по формуле (11). Действительно, функция (29) в силу условия J 1 (ps αq ) = 0 2q удовлетворяет однородным граничным условиям (6), где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0. Нетрудно доказать, что функция (29) также удовлетворяет условиям (2)-(5) и (7), (8). Поскольку функция Бесселя J 1 (pn αq ) имеет счетное множество нулей от2q носительно αq = αq /q при фиксированном n, приходим к следующему утверждению. Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(8), удовлетворяющее условию (13), то оно единственно только тогда, когда выполняются условия (28) при всех n ∈ N. 3. Обоснование существования решения задачи. Для обоснования существования решения задачи Дирихле необходимо показать существование чисел α, q, a, k, l, таких, что при достаточно больших n выражение E(n) отделено от нуля с соответствующей асимптотикой. Лемма 1. Если αq = p αq = , ql t p, t ∈ N, (p, t) = 1 и выполнено условие k= 1 q-1 4r + t - 4td , p q d ∈ Z, r ∈ N0 ∩ [0, t - 1], то существуют положительные постоянные C0 и n0 , n0 ∈ N, такие, что при всех n > n0 справедлива оценка √ | nE(n)| C0 > 0. (30) Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании асимптотической формулы [23, Eq. 7.13(3)] для функции Jν (z) = 2 π 1 π cos z - ν - + O 5/2 , πz 2 4 z z → ∞, 85 С а ф и н а Р. М. при достаточно больших n > n1 имеем J 1 (pn αq ) = J 1 (αq µn pn ) = 2q 2q 2 q-1 sin αq µn pn + π + O(n-5/2 ), (31) παq µn pn 4q = где pn α q = αq q a2 + λ2n = αq q µn l a2 + 2 = αq µn ql 1+ al µn 2 = α q µn p n . При этом натуральное число n1 выбирается настолько большим, что при всех n > n1 выполняется равенство (31) и при любых фиксированных a 0 имеет место неравенство al 0 < 1. µn Тогда pn = 1 + al µn 2 1/2 =1+ 1 al 2 µn 2 - 1 al 8 µn 4 + · · · = 1 + θn , где для θn справедлива оценка 0 θn < 1 al 2 µn 2 . (32) Отсюда на основании формулы (12) µn pn αq = πnαq (1 + θn ) - π 1 kαq (1 + θn ) + O . 4 n (33) Тогда из соотношения (31) с учетом (33) получим √ √ nJ 1 (pn αq ) = nJ 1 (µn pn αq ) = 2q 2q = Bn sin πnα˜q (1 + θn ) - π 1 q-1 k α˜q (1 + θn ) + O +π + 4 n 4q 1 + O 2 = B1n + B2n , n где 2 Bn = π α q 1 + θn - k 4n (1 . + θn ) + O(n-2 ) Поскольку последовательность Bn имеет конечный положительный предел B∞ , она ограничена и отделена от нуля. Пусть теперь αq = p/t - рациональное число, p, t ∈ N, (p, t) = 1. Разделим np на t с остатком: np = st + r, 86 r, s ∈ N0 , 0 r t - 1. Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . В силу оценки (32) существует конечный предел lim |B1n | = B∞ sin n→∞ πr π p q-1 - k +π t 4 t 4q = A1 0. Тогда существует натуральное число n2 такое, что при всех n > n2 1 A1 2 |B1n | 0. Теперь потребуем, чтобы постоянная A1 была больше нуля, а это возможно только тогда, когда πr π p q-1 - k +π = dπ t 4 t 4q или r kp q-1 - + =d t 4t 4q (34) при всех d ∈ Z и r ∈ N0 ∩ [0, t - 1]. Из (34) имеем k= 1 q-1 4r + t - 4td . p q (35) Из неравенства (35) видно, что если k принимает иррациональные значения, а q рациональные значения и наоборот, то неравенство (34) всегда выполнено. При рациональных k и q условие (34) может нарушаться, поэтому потребуем, чтобы постоянные k, q и αq удовлетворяли условию (35). Таким образом, при выполнении условия (35) при всех n max{n1 , n2 } |B1n | A1 > 0. 2 √ Тем самым показана отделимость от нуля выражения nE(n) при больших n. Если E(n) = 0 при n = 1, n0 для указанных αq из леммы 1 и выполнена оценка (30) при n > n0 , то решение задачи (2)-(8) на основании частных решений (11) и (27) можно представить в виде суммы ряда Фурье-Бесселя: +∞ u(x, y) = un (y)Xn (x). (36) n=1 Теперь покажем, что при определенных условиях относительно функций ψ(x) и ϕ(x) (см. (6)) ряд (36) сходится равномерно на замкнутой области D, в которой его можно почленно дифференцировать по x и y дважды. Рассмотрим следующие отношения: Vn (y) = q y I 2q1 (pn y ) , β I 1 (pn β q ) y ∈ [0, β]; (37) 2q 87 С а ф и н а Р. М. q -y J 2q1 pn (-y) , α J 1 (pn αq ) Wn (y) = y ∈ [-α, 0]. (38) 2q Лемма 2. Для (37), (38) при достаточно больших n справедливы следующие оценки: |Vn (y)| 1, |Wn (y)| C1 , |Vn (y)| |Wn (y)| C2 n, C3 n 2 , |Vn (y)| |Wn (y)| C4 n, y ∈ [0, β]; y ∈ [-α, 0]; 2 ε y -α C5 n , β; -ε, y где Ci - здесь и далее положительные постоянные, ε > 0 - достаточное малое число. Лемма 3. Если выполнена оценка (30) при n > n0 , то для таких n справедливы следующие оценки: |un (y)| |un (y)| C6 (|ϕn | + |ψn |), C7 n(|ϕn | + |ψn |), |un (y)| y ∈ [-α, β]; 2 C8 n (|ϕn | + |ψn |), y ∈ [-α, -ε] ∪ [ε, β]. Д о к а з а т е л ь с т в о следует из леммы 2. Лемма 4. При достаточно больших n и при всех x ∈ [δ, l], где δ - достаточно малое число, справедливы следующие оценки: |Xn (x)| C9 , |Xn (x)| C10 n, |Xn (x)| C11 n2 . где Ci - положительные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работам [20, 24]. Лемма 5. Если ϕ(x) ∈ C 4 [0, l] и ψ(x) ∈ C 4 [0, l] и выполняются условия ϕ(0) = ψ(0) = ϕ (0) = ψ (0) = ϕ (0) = ψ (0) = 0, ϕ(l) = ψ(l) = ϕ (l) = ψ (l) = ϕ (l) = ψ (l) = 0, то справедливы оценки |ϕn | C12 , n4 |ψn | C13 . n4 Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работам [20, 24]. Формально из ряда (36) почленным дифференцированием составим ряды +∞ uy (x, y) = un (y)Xn (x), n=1 88 +∞ ux (x, y) = un (y)Xn (x). n=1 (39) Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . +∞ uyy (x, y) = +∞ un (y)Xn (x), uxx (x, y) = n=1 un (y)Xn (x). (40) n=1 Тогда на основании лемм 3 и 4 ряд (36) при любом (x, y) ∈ Dδ мажорируется рядом +∞ (|ϕn | + |ψn |), C14 (41) n=n0 + - а ряды (39) и (40) при любом (x, y) ∈ Dδ,ε ∪ Dδ,ε - соответственно рядами +∞ +∞ n(|ϕn | + |ψn |), C15 n2 (|ϕn | + |ψn |), C16 n=n0 (42) n=n0 + = D+ ∩ {x > δ} ∩ {y > ε > 0}, Dε- = D- ∩ {x < δ} ∩ {y < -ε < 0}. где Dδ,ε Согласно лемме 5 ряды (41) и (42) оцениваются соответственно рядами +∞ C17 +∞ n -4 , C18 n=n0 +∞ n -3 , n-2 . C19 n=n0 (43) n=n0 Поскольку числовые ряды из (43) сходятся, на основании признака Вейерштрасса ряд (36) и ряды (39) и (40) сходятся равномерно соответственно + - и Dδ,ε . Поэтому функция u(x, y), определяемая равенством (36), на D, Dδ,ε удовлетворяет условиям (2)-(8). Если для указанных в лемме 1 чисел αq при некоторых n = s = r1 , r2 , . . . , rh , где 1 r1 < r2 < · · · < rh n0 , ri , i = 1, h, и h - заданные натуральные числа, то E(s) = 0. Тогда для разрешимости задачи (2)-(8) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ψs = 0, s = r1 , r2 , ...rh . (44) В этом случае решение задачи (2)-(8) определяется в виде суммы ряда rh -1 r1 -1 +··· + u(x, y) = n=1 +∞ + n=rh-1 +1 un (y)Xn (x) + n=rh +1 us (x, y), (45) s здесь в последней сумме s принимает значения r1 , r2 , . . . , rh , функция us (x, y) определяются по следующей формуле:  √ ϕs yI 1 (ps y q )   2q  √ Xs (x), y 0, βI 1 (ps β q ) us (x, y) = 2q  √   Cs J 1 ps (-y)q -yXs (x), y < 0, 2q где Cs - произвольные постоянные, конечные суммы в (45) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего. 89 С а ф и н а Р. М. Нетрудно проверить, что найденные решения (36) и (45) удовлетворяют условиям (13). Таким образом, доказана следующая Теорема 2. Пусть ϕ(x), ψ(x) ∈ C 4 [0, l] и выполнены условия ϕ (0) = ψ (0) = ϕ (0) = ψ (0) = 0, ϕ(l) = ψ(l) = ϕ (l) = ψ (l) = 0, а также условия (30) при n > n0 . Тогда если E(n) = 0 при n = 1, n0 , то задача (2)-(8) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (36). Если же E(n) = 0 при некоторых n = s = r1 , r2 , . . . , rh n0 , то задача (2)-(8) разрешима только тогда, когда выполняются условия (44) и решение в этом случае определяется рядом (45). Конкурирующие интересы. Я заявляю, что не имею конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

About the authors

Rimma M Safina

Volga Region State Academy of Physical Culture, Sport and Tourism

Email: rimma77705@mail.ru
Senior Lecturer; Dept. of Physical and Mathematical Disciplines and Information Technologies 35, Universiade Village, Kazan, 420010, Russian Federation

References

Supplementary files