# The Dirichlet problem for a mixed-type equation with strong characteristic degeneracy and a singular coefficient

## Abstract

In this paper we consider the first boundary value problem in a rectangular area for a mixed-type equation of the second kind with a singular coefficient. The criterion of the uniqueness of the problem solution is determined. The uniqueness of the problem solution is proved on the basis of completeness of the system of eigenfunctions of the corresponding onedimensional spectral problem. The solution of the problem is built explicitly as a sum of Fourier-Bessel. There is the problem of the small denominators that appears when justifying the uniform convergence of the constructed series. In this regard, an evaluation of separateness from zero with a corresponding small denominator asymptotic behavior is found. This estimate has allowed to prove the convergence of the series and its derivatives up to the second order, and the existence theorem for the class of regular solutions of this equation.

## Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа второго рода с сингулярным коэффициентом Lu ≡ uxx + (sgn y)|y|m uyy + k ux - a2 u = 0 x (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < l, -α < y < β}, где k < 1, k = 0, l, a числа. 0, 1 m < 2, α > 0, β > 0 - заданные действительные Задача Дирихле. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: u(x, y) ∈ C 2 (D+ ∪ D- ) ∩ C(D), lim y y→0+0 m-1 uy (x, y) = - lim (-y) y→0-0 m-1 uy (x, y), (2) 0 < x < l, 1 < m < 2, (3) uy (x, y) uy (x, y) = - lim , 0 < x < l, m = 1, y→0+0 y→0-0 ln(-y) ln y Lu(x, y) ≡ 0, (x, y) ∈ D+ ∪ D- , u(x, β) = ϕ(x), u(x, -α) = ψ(x), 0 x l, u(l, y) = 0, -α y β, u(0, y) = 0, -α y β, lim (4) (5) (6) (7) (8) где ϕ(x) и ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции, ϕ(0) = ϕ(l) = ψ(0) = ψ(l) = 0, D+ = D ∩ {y > 0}, D- = D ∩ {y < 0}. Особое внимание к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа стало проявляться после опубликования работы Ф. И. Франкля [1], где впервые отмечено, что проблемы трансзвуковой газовой динамики сводятся к этой задаче. А. В. Бицадзе [2] показал некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева uxx + sgn yuyy = 0. После этой работы возникла проблема поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа изучалась многими авторами [3-11]. Достаточно полную библиографию работ, посвященных этой тематике, можно найти в монографии [11]. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа второго рода (1) при k = 0 исследована в работах [11, c. 33-49], [12-18]. Данная работа является продолжением исследований автора [19, 20], где первая граничная задача для уравнения (1) в прямоугольной области D изучена при 0 < k < 1, m = 0, a = 0 и k 1, 0 < m < 1 соответственно. В данной работе установлен критерий единственности решения задачи Дирихле при k < 1 и 1 m < 2. Решение построено в виде суммы ряда Фурье-Бесселя. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда возникает проблема малых знаменателей. Найдена оценка отделенности 81 С а ф и н а Р. М. малого знаменателя от нуля с соответствующей асимптотикой, которая позволила обосновать сходимость построенного ряда в классе функций (2)-(4). 2. Критерий единственности решения задачи. Частные решения уравнения (1), не равные нулю на множестве D+ ∪ D- и удовлетворяющие нулевым граничным условиям (7) и (8), ищем в виде u(x, y) = X(x)Y (y). Подставляя данное произведение в уравнение (1) относительно X(x), получим следующую спектральную задачу: X (x) + k X (x) + λ2 X(x) = 0, 0 < x < l, x X(0) = 0, X(l) = 0, (9) (10) где λ2 - постоянная разделения переменных. Решение спектральной задачи (9) и (10) определяется формулой ˜ n (x) = x(1-k)/2 J 1-k (λn x), X λn = 2 µn , l n = 1, 2, 3, . . . , где Jν ( · ) - функция Бесселя первого рода порядка ν, µn - n-ный корень уравнения J 1-k (µn ) = 0. 2 Для удобства дальнейших вычислений данную систему функций ортонормируем: 1 ˜ n (x), X (11) Xn (x) = ˜ Xn L2,ρ (0,l) где ˜n X l L2,ρ (0,l) = 1/2 ˜ 2 (x)dx ρ(x)X n = 0 l xJ 21-k = 2 0 µn x dx l 1/2 l = √ J 3-k (µn ) , 2 2 ρ(x) = xk . Известно [21, Sect. 18.1], что система собственных функций (11) ортогональна и полна в пространстве L2 [0, l] с весом xk . Отметим, что для собственных значений спектральной задачи (9), (10) при больших n справедлива следующая асимптотическая формула (по аналогии с [22, Sect. 6.5]): k 1 µn = λn l = πn - π + O . 4 n (12) Пусть u(x, y) - решение задачи (2)-(8), удовлетворяющее условию lim Xn (x)ux = 0. x→l-0 (13) Следуя работам [17, 20], рассмотрим следующие функции: l u(x, y)xk Xn (x)dx, un (y) = 0 82 n = 1, 2, 3, . . . . (14) Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . На основании (14) введем вспомогательные функции l-ε u(x, y)xk Xn (x)dx, un,ε (y) = (15) ε где ε > 0 - достаточно малое число. Дифференцируя равенство (15) по y дважды при y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β) и учитывая уравнение (1), получим l-ε uyy (x, y)xk Xn (x)dx = un,ε (y) = ε l-ε = (sgn y)|y|-m a2 u - uxx - ε l-ε = (sgn y)|y|-m a2 un,ε (y) - ε = (sgn y)|y|-m a2 un,ε (y) - xk ux Xn (x) k ux xk Xn (x)dx = x ∂ k (x ux )Xn (x)dx ∂x l-ε ε = l-ε xk ux Xn (x)dx - . (16) ε Из равенства (15) в силу уравнения (9) получим un,ε (y) = - l-ε 1 λ2n u(x, y)xk Xn (x) + ε =- 1 λ2n l-ε u(x, y) ε =- k X (x) dx = x n d k x Xn (x) dx = dx 1 xk Xn (x)u λ2n l-ε ε l-ε ux xk Xn (x)dx . (17) - ε Из равенства (17) имеем l-ε ux xk Xn (x)dx = λ2n un,ε (y) + xk Xn (x)u ε l-ε ε . (18) Подставляя (18) в (16), получим un,ε (y) = (sgn y)|y|-m a2 un,ε (y) - xk ux Xn (x) l-ε ε - - λ2n un,ε (y) - xk Xn (x)u l-ε ε . (19) Предварительно заметим, что следующий предел существует и конечен: √ (1-k)/2 2λn 2(k+2)/2 λn k lim x Xn (x) = lim x(k+1)/2 J- k+1 (λn x) = . 2 x→0+0 l|J 3-k (µn )| x→0+0 l|J 3-k (µn )|Γ( 1-k 2 ) 2 2 Переходя в (19) к пределу при ε → 0, с учетом граничных условий (7), (8), (10) и (13) получим, что un (y) удовлетворяет дифференциальному уравнению u n (y) - (sgn y)|y|-m (a2 + λ2n )un (y) = 0, y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β), (20) 83 С а ф и н а Р. М. условиям склеивания un (0 - 0) = un (0 + 0), lim y m-1 un (y) = - lim (-y)m-1 un (y), 1 < m < 2, y→0+0 y→0-0 (21) un (0 - 0) = un (0 + 0), un (y) un (y) = - lim , y→0+0 ln y y→0-0 ln(-y) lim m=1 (22) и граничным условиям l l u(x, β)xk Xn (x)dx = un (β) = ϕ(x)xk Xn (x)dx = ϕn , 0 l l u(x, -α)xk Xn (x)dx = un (-α) = (23) 0 0 ψ(x)xk Xn (x)dx = ψn . (24) 0 Аналогично работам [15, 20] найдем общее решение дифференциального уравнения (20), удовлетворяющее условиям (21) и (22) √ an yI 1 (pn y q ), y > 0, √ 2q un (y) = (25) q bn -yJ 1 (pn (-y) ), y < 0, 2q где Iν ( · ) - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ν, qpn = a2 + λ2n , q= 2-m ∈ 0, 1/2 . 2 Далее, удовлетворяя функции (25) граничными условиями (23) и (24), получим равенства для определения неизвестных коэффициентов an и bn : an I 1 (pn β q ) = ϕn β -1/2 , bn J 1 (pn αq ) = ψn α-1/2 . 2q (26) 2q Единственное решение системы (26) существует и определяется по формуле  √ yϕn I 1 (pn y q )   2q   √ , y > 0,   βI 1 (pn β q ) 2q √ un (y) = (27) -yψn J 1 (pn (-y)q )   2q   √ , y<0   αJ 1 (pn αq ) 2q при условии E(n) = J 1 (pn αq ) = 0, 2q n ∈ N. (28) Пусть теперь ϕ(x) ≡ 0 и ψ(x) ≡ 0. Тогда из равенств (23), (24), (27) и (14) следует l u(x, y)xk Xn (x)dx = 0, n = 1, 2, 3, . . . . 0 Отсюда в силу полноты системы (11) в пространстве L2 [0, l] с весом xk следует, что u(x, y) = 0 для всех x ∈ [0, l] и при любом y ∈ [-α, β]. В силу (2) функция u(x, y) непрерывна на D, следовательно, u(x, y) ≡ 0 на D. 84 Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . Пусть при некоторых α, q, a, k, l и n = s ∈ N нарушено условие (28), то есть E(s) = 0. Тогда однородная задача (2)-(8), где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0, имеет нетривиальное решение us (x, y) = us (y)Xs (x), (29) где us (y) = 0, √ y 0, J 1 ps (-y)q -y, y < 0, 2q Xs (x) находятся по формуле (11). Действительно, функция (29) в силу условия J 1 (ps αq ) = 0 2q удовлетворяет однородным граничным условиям (6), где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0. Нетрудно доказать, что функция (29) также удовлетворяет условиям (2)-(5) и (7), (8). Поскольку функция Бесселя J 1 (pn αq ) имеет счетное множество нулей от2q носительно αq = αq /q при фиксированном n, приходим к следующему утверждению. Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(8), удовлетворяющее условию (13), то оно единственно только тогда, когда выполняются условия (28) при всех n ∈ N. 3. Обоснование существования решения задачи. Для обоснования существования решения задачи Дирихле необходимо показать существование чисел α, q, a, k, l, таких, что при достаточно больших n выражение E(n) отделено от нуля с соответствующей асимптотикой. Лемма 1. Если αq = p αq = , ql t p, t ∈ N, (p, t) = 1 и выполнено условие k= 1 q-1 4r + t - 4td , p q d ∈ Z, r ∈ N0 ∩ [0, t - 1], то существуют положительные постоянные C0 и n0 , n0 ∈ N, такие, что при всех n > n0 справедлива оценка √ | nE(n)| C0 > 0. (30) Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании асимптотической формулы [23, Eq. 7.13(3)] для функции Jν (z) = 2 π 1 π cos z - ν - + O 5/2 , πz 2 4 z z → ∞, 85 С а ф и н а Р. М. при достаточно больших n > n1 имеем J 1 (pn αq ) = J 1 (αq µn pn ) = 2q 2q 2 q-1 sin αq µn pn + π + O(n-5/2 ), (31) παq µn pn 4q = где pn α q = αq q a2 + λ2n = αq q µn l a2 + 2 = αq µn ql 1+ al µn 2 = α q µn p n . При этом натуральное число n1 выбирается настолько большим, что при всех n > n1 выполняется равенство (31) и при любых фиксированных a 0 имеет место неравенство al 0 < 1. µn Тогда pn = 1 + al µn 2 1/2 =1+ 1 al 2 µn 2 - 1 al 8 µn 4 + · · · = 1 + θn , где для θn справедлива оценка 0 θn < 1 al 2 µn 2 . (32) Отсюда на основании формулы (12) µn pn αq = πnαq (1 + θn ) - π 1 kαq (1 + θn ) + O . 4 n (33) Тогда из соотношения (31) с учетом (33) получим √ √ nJ 1 (pn αq ) = nJ 1 (µn pn αq ) = 2q 2q = Bn sin πnα˜q (1 + θn ) - π 1 q-1 k α˜q (1 + θn ) + O +π + 4 n 4q 1 + O 2 = B1n + B2n , n где 2 Bn = π α q 1 + θn - k 4n (1 . + θn ) + O(n-2 ) Поскольку последовательность Bn имеет конечный положительный предел B∞ , она ограничена и отделена от нуля. Пусть теперь αq = p/t - рациональное число, p, t ∈ N, (p, t) = 1. Разделим np на t с остатком: np = st + r, 86 r, s ∈ N0 , 0 r t - 1. Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . В силу оценки (32) существует конечный предел lim |B1n | = B∞ sin n→∞ πr π p q-1 - k +π t 4 t 4q = A1 0. Тогда существует натуральное число n2 такое, что при всех n > n2 1 A1 2 |B1n | 0. Теперь потребуем, чтобы постоянная A1 была больше нуля, а это возможно только тогда, когда πr π p q-1 - k +π = dπ t 4 t 4q или r kp q-1 - + =d t 4t 4q (34) при всех d ∈ Z и r ∈ N0 ∩ [0, t - 1]. Из (34) имеем k= 1 q-1 4r + t - 4td . p q (35) Из неравенства (35) видно, что если k принимает иррациональные значения, а q рациональные значения и наоборот, то неравенство (34) всегда выполнено. При рациональных k и q условие (34) может нарушаться, поэтому потребуем, чтобы постоянные k, q и αq удовлетворяли условию (35). Таким образом, при выполнении условия (35) при всех n max{n1 , n2 } |B1n | A1 > 0. 2 √ Тем самым показана отделимость от нуля выражения nE(n) при больших n. Если E(n) = 0 при n = 1, n0 для указанных αq из леммы 1 и выполнена оценка (30) при n > n0 , то решение задачи (2)-(8) на основании частных решений (11) и (27) можно представить в виде суммы ряда Фурье-Бесселя: +∞ u(x, y) = un (y)Xn (x). (36) n=1 Теперь покажем, что при определенных условиях относительно функций ψ(x) и ϕ(x) (см. (6)) ряд (36) сходится равномерно на замкнутой области D, в которой его можно почленно дифференцировать по x и y дважды. Рассмотрим следующие отношения: Vn (y) = q y I 2q1 (pn y ) , β I 1 (pn β q ) y ∈ [0, β]; (37) 2q 87 С а ф и н а Р. М. q -y J 2q1 pn (-y) , α J 1 (pn αq ) Wn (y) = y ∈ [-α, 0]. (38) 2q Лемма 2. Для (37), (38) при достаточно больших n справедливы следующие оценки: |Vn (y)| 1, |Wn (y)| C1 , |Vn (y)| |Wn (y)| C2 n, C3 n 2 , |Vn (y)| |Wn (y)| C4 n, y ∈ [0, β]; y ∈ [-α, 0]; 2 ε y -α C5 n , β; -ε, y где Ci - здесь и далее положительные постоянные, ε > 0 - достаточное малое число. Лемма 3. Если выполнена оценка (30) при n > n0 , то для таких n справедливы следующие оценки: |un (y)| |un (y)| C6 (|ϕn | + |ψn |), C7 n(|ϕn | + |ψn |), |un (y)| y ∈ [-α, β]; 2 C8 n (|ϕn | + |ψn |), y ∈ [-α, -ε] ∪ [ε, β]. Д о к а з а т е л ь с т в о следует из леммы 2. Лемма 4. При достаточно больших n и при всех x ∈ [δ, l], где δ - достаточно малое число, справедливы следующие оценки: |Xn (x)| C9 , |Xn (x)| C10 n, |Xn (x)| C11 n2 . где Ci - положительные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работам [20, 24]. Лемма 5. Если ϕ(x) ∈ C 4 [0, l] и ψ(x) ∈ C 4 [0, l] и выполняются условия ϕ(0) = ψ(0) = ϕ (0) = ψ (0) = ϕ (0) = ψ (0) = 0, ϕ(l) = ψ(l) = ϕ (l) = ψ (l) = ϕ (l) = ψ (l) = 0, то справедливы оценки |ϕn | C12 , n4 |ψn | C13 . n4 Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работам [20, 24]. Формально из ряда (36) почленным дифференцированием составим ряды +∞ uy (x, y) = un (y)Xn (x), n=1 88 +∞ ux (x, y) = un (y)Xn (x). n=1 (39) Задача Дирихле для уравнения смешанного. . . +∞ uyy (x, y) = +∞ un (y)Xn (x), uxx (x, y) = n=1 un (y)Xn (x). (40) n=1 Тогда на основании лемм 3 и 4 ряд (36) при любом (x, y) ∈ Dδ мажорируется рядом +∞ (|ϕn | + |ψn |), C14 (41) n=n0 + - а ряды (39) и (40) при любом (x, y) ∈ Dδ,ε ∪ Dδ,ε - соответственно рядами +∞ +∞ n(|ϕn | + |ψn |), C15 n2 (|ϕn | + |ψn |), C16 n=n0 (42) n=n0 + = D+ ∩ {x > δ} ∩ {y > ε > 0}, Dε- = D- ∩ {x < δ} ∩ {y < -ε < 0}. где Dδ,ε Согласно лемме 5 ряды (41) и (42) оцениваются соответственно рядами +∞ C17 +∞ n -4 , C18 n=n0 +∞ n -3 , n-2 . C19 n=n0 (43) n=n0 Поскольку числовые ряды из (43) сходятся, на основании признака Вейерштрасса ряд (36) и ряды (39) и (40) сходятся равномерно соответственно + - и Dδ,ε . Поэтому функция u(x, y), определяемая равенством (36), на D, Dδ,ε удовлетворяет условиям (2)-(8). Если для указанных в лемме 1 чисел αq при некоторых n = s = r1 , r2 , . . . , rh , где 1 r1 < r2 < · · · < rh n0 , ri , i = 1, h, и h - заданные натуральные числа, то E(s) = 0. Тогда для разрешимости задачи (2)-(8) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ψs = 0, s = r1 , r2 , ...rh . (44) В этом случае решение задачи (2)-(8) определяется в виде суммы ряда rh -1 r1 -1 +··· + u(x, y) = n=1 +∞ + n=rh-1 +1 un (y)Xn (x) + n=rh +1 us (x, y), (45) s здесь в последней сумме s принимает значения r1 , r2 , . . . , rh , функция us (x, y) определяются по следующей формуле:  √ ϕs yI 1 (ps y q )   2q  √ Xs (x), y 0, βI 1 (ps β q ) us (x, y) = 2q  √   Cs J 1 ps (-y)q -yXs (x), y < 0, 2q где Cs - произвольные постоянные, конечные суммы в (45) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего. 89 С а ф и н а Р. М. Нетрудно проверить, что найденные решения (36) и (45) удовлетворяют условиям (13). Таким образом, доказана следующая Теорема 2. Пусть ϕ(x), ψ(x) ∈ C 4 [0, l] и выполнены условия ϕ (0) = ψ (0) = ϕ (0) = ψ (0) = 0, ϕ(l) = ψ(l) = ϕ (l) = ψ (l) = 0, а также условия (30) при n > n0 . Тогда если E(n) = 0 при n = 1, n0 , то задача (2)-(8) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (36). Если же E(n) = 0 при некоторых n = s = r1 , r2 , . . . , rh n0 , то задача (2)-(8) разрешима только тогда, когда выполняются условия (44) и решение в этом случае определяется рядом (45). Конкурирующие интересы. Я заявляю, что не имею конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
×

### Rimma M Safina

Volga Region State Academy of Physical Culture, Sport and Tourism

Email: rimma77705@mail.ru
Senior Lecturer; Dept. of Physical and Mathematical Disciplines and Information Technologies 35, Universiade Village, Kazan, 420010, Russian Federation

## References

1. Франкль Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1945. Т. 9, № 2. С. 121-143.
2. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1953. Т. 122, № 2. С. 167-170.
3. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР, 1957. Т. 112, № 3. С. 386-389.
4. Вахания Н. Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа // Тр. АН Груз. ССР, 1963. Т. 3. С. 69-80.
5. Cannon J. R. A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient // Annali di Matematica, 1963. vol. 61, no. 1. pp. 371-377. doi: 10.1007/BF02410656.
6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения, 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.
7. Хачев М. М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике // Дифференц. уравнения, 1975. Т. 11, № 1. С. 151-160.
8. Хачев М. М. paper О задаче Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 1. С. 137-143.
9. Солдатов А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности // Докл. РАН, 1993. Т. 332, № 6. С. 696-698.
10. Солдатов А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II. Теоремы существования // Докл. РАН, 1993. Т. 333, № 1. С. 16-18.
11. Хачев М. М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.
12. Сохадзе Р. С. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения // Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 1. С. 150-156.
13. Сохадзе Р. С. О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 1. С. 127-134.
14. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
15. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2007. № 4. С. 45-53.
16. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2009. № 11. С. 43-52.
17. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 1. С. 68-78.
18. Хайруллин Р. С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 4. С. 528-534. doi: 10.1134/S0374064113040122.
19. Сафина Р. М. Задача Дирихле для уравнения Пулькина в прямоугольной области // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2014. № 10(121). С. 91-101.
20. Сафина Р. М. Задача Келдыша для уравнения смешанного типа второго рода с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения, 2015. Т. 51, № 10. С. 1354-1366. doi: 10.1134/S0374064115100106.
21. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1944. viii+804 pp.
22. Olver F. W. J. Differential equations with irregular singularities; Bessel and confluent hypergeometric functions (Chapter 7) / Asymptotics and Special Functions. Boston: Academic Press, Inc., 1974. pp. 229-278. doi: 10.1016/B978-0-12-525850-0.50012-2.
23. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. vol. II / Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Co., Inc., 1953. xvii+396 pp.
24. Сафина Р. М. Задача Келдыша для уравнения Пулькина в прямоугольной области // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2015. № 3(125). С. 53-63.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University