Boundary value problem with shift for one partial differential equation containing partial fractional derivative

Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение α uxx - D0+,y u = 0, (y > 0, 0 < α < 1), xuxx + yuyy + pux + quy = 0, (y < 0, q p, 1/2 < p, q < 1), (1) α где D0+,y - частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка α от функции u(x, y) по второй переменной [1, c. 341]: α (D0+,y u)(x, y) = ∂ 1 ∂y Γ(1 - α) y 0 u(x, t)dt (y - t)α (0 < α < 1, y > 0). Ранее [2, 3] для уравнения (1) были рассмотрены нелокальная краевая задача и аналог задачи Трикоми. Данная работа является продолжением исследования отмеченных задач и их обобщением. Уравнение (1) будем рассматривать в области Ω, которая представляет собой объединение квадрата Ω+ = {(x, y) : 0 x, y 1} , ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1318 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: О. А. Р е п и н, “Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 22-32.. 22 Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной области Ω- , лежащей в нижней полуплоскости (y < 0) и ограниченной ха√ √ рактеристиками AC : x + y = 0, BC : x + -y = 1 уравнения (1) и отрезком [0, 1] прямой y = 0, A(0, 0), B(1, 0). α,β,η Введём обозначения: (I0+ f )(x) - оператор обобщённого дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z) в ядре, введенный в [4] (см. также [1, с. 326-327]) и имеющий при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x t  x  (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - f (t) dt (α > 0), α,β,η Γ(α) 0 x (I0+ f )(x) = n  d  (I α+n,β-n,η-n f )(x) (α 0, n = [-α] + 1). dxn 0+ В частности, -α,α,η α,-α,η 0,0,η α α f )(x) = (D0+ f )(x), f )(x) = (I0+ f )(x), (I0+ (I0+ f )(x) = f (x), (I0+ α α где I0+ и D0+ - операторы дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля порядка α > 0 [1, с. 42, 44]. Задача. Найти решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω, удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) = ϕ0 (y), a, q-p+1 , p-q -a q-1 2 2 A I0+ + Cx q-p-1 2 t u(1, y) = ϕ1 (y), 0 < y < 1, a+q- 1 ,0, p-q -a 2 2 u[Θ0 (t)] (x) + B I0+ a-q+ 3 ,q-p,-a- 1 2 2 I0+ t p+q-3 2 (4) u(t, 0) (x)+ lim [(-y)q uy (t, y)] (x) = g(x), 0 < x < 1, (5) y→0-0 а также условиям сопряжения lim y 1-α u(x, y) = lim u(x, y), lim [y y→0+0 y→0+0 1-α 1-α (y u(x, y))y ] = 0 x y→0-0 p-1 x lim (-y)q uy (x, y), y→0-0 1, 0 < x < 1. (6) (7) Здесь A, B, C - действительные константы, на которые ниже будут наложены некоторые условия, a - отрицательный параметр, причём 1 - 2q < a < 0; 4 Θ0 (x) - точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точек (x, 0) (0 < x < 1), с характеристикой AC; ϕ0 (y), ϕ1 (y), g(x) - заданные функции, такие, что y 1-α ϕ0 (y), y 1-α ϕ1 (y) ∈ C([0, 1]), ϕ0 (0) = ϕ1 (0) = 0, g(x) ∈ C 2 ([0, 1]). Будем искать решение поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых в области Ω функций u(x, y), таких, что y 1-α u(x, y) ∈ C(Ω+ ), u(x, y) ∈ C(Ω- ), 23 О. А. Р е п и н y 1-α (y 1-α uy )y ∈ C(Ω+ ∪ {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}), uxx ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ), uyy ∈ C(Ω- ). 1. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введём обозначения lim y→0+0 lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+0 y 1-α (y 1-α u(x, y))y = ν1 (x), lim u(x, y) = τ2 (x), y→0-0 lim (-y)q uy (x, y) = ν2 (x). y→0-0 Известно [5, с. 108], что решение уравнения (1) в области Ω+ , удовлетворяющее условию (4) и lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+0 0 x 1, записывается в виде y y ϕ0 (η)Gξ (x, y; 0; η)dη - u(x, y) = 0 ϕ1 (η)Gξ (x, y; 1; η)dη+ 0 1 τ1 (ξ)Gξ (x, y; ξ; 0)dξ, + Γ(α) 0 где G(x, y; ξ, η) = (y - η)β-1 2 ∞ e1,β - 1,β n=-∞ |x - ξ + 2n| - (y - η)β - e1,β - 1,β ∞ eµ,δ (z) = α,β n=0 zn , Γ(αn + µ)Γ(δ - βn) |x + ξ + 2n| (y - η)β , β= α , 2 α > β, α > 0 - функция типа Райта [5, с. 23]. Также известно [2, 6], что функциональное соотношение между τ1 (x) и ν1 (x), принесённое из параболической области Ω+ на линию y = 0, имеет вид ν1 (x) = 1 τ (x). Γ(1 + α) 1 (10) Найдём функциональное соотношение между τ2 (x) и ν2 (x), принесённое на линию y = 0 из гиперболической части Ω- области Ω. Используя решение задачи Коши [7] u(x, 0) = τ2 (x), 0 x 1, lim (-y)q uy (x, y) = ν2 (x), 0 < x < 1, y→0-0 24 Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной для уравнения (1), в работе [2] найдено u[Θ0 (x)]. В символах обобщённого оператора дробного интегрирования (3) оно имеет вид q- 1 , p-q-1 , p-q 2 2 u[Θ0 (x)] = k1 x1-q I0+ 2 t p+q-3 2 τ2 (t) (x)+ 3 -q, q-p-1 , q-p 2 2 2 + k2 x1-p I0+ t p-q-1 2 ν2 (t) (x), где k1 = 2p-q Γ(2q - 1) , 1 Γ(q - 2 ) k2 = - 2p+3q-3 Γ(2 - 2q) . Γ( 3 - q) 2 Подставляя функцию u[Θ0 (x)] в краевое условие (5) и используя формулы композиций α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ (I0+ ϕ)(t) (x) = (I0+ ϕ)(x), γ > 0, α, β, η, δ ∈ R, (11) α,β,a+b+c+β e a,b,c s ϕ(s) (t) x = I0+ tβ+b I0+ a+α,b+β,c+β e+c t ϕ(t) (x), = xβ I0+ a < 0, α > 0, b, c, β, l ∈ R, (12) полученные соответственно в работах [4, 8], приходим к равенству 1 a+q- 2 ,0, p-q -a 2 (Ak1 + B) I0+ t p+q-3 2 τ2 (t) (x)+ + (Ak2 + C)x q-p-1 2 3 a-q+ 2 ,q-p,-a- 1 2 I0+ Умножив обе части равенства (13) на x полученного соотношения оператор и (12) будем иметь 1 2a+q- 1 , 1+p-q ,-2a- 2 p-1 2 2 (Ak1 + B) I0+ t 1+p-q 2 ν2 (t) (x) = g(x). (13) и применив к обеим частям a, 1+p-q ,-2a- 1 2 , I0+ 2 на основании формул (11) τ2 (t) (x)+ 2a-q+ 3 , 1-p+q ,-2a- 1 2 2 2 + (Ak2 + C) I0+ ν2 (t) (x) = g1 (x), (14) где 1 a, 1+p-q ,-2a- 2 2 g1 (x) = I0+ g(t) (x). Преобразуем функцию g1 (x). Опираясь на формулу (3), с учётом известного соотношения [9, с. 44] xc-1 F (a, b; c; x)dx = xc F (a, b; c + 1; x), c интегрируя по частям, а затем дифференцируя, получим a+1, p-q-1 ,-2a- 1 2 2 g1 (x) = I0+ g (t) (x). 25 О. А. Р е п и н Теперь на обе части (14) подействуем обратным оператором 2a+q- 1 , 1+p-q ,-2a- 1 -1 2 2 2 I0+ 1 -2a-q, q-p-1 ,q-1 2 2 = I0+ . На основании формулы композиции (11) будем иметь 2-2q,q-p,q-1 (Ak1 + B)xp-1 τ2 (x) + (Ak2 + C) I0+ ν2 (t) (x) = g2 (x), (15) где 3 -a-q,-1,q-1 2 g2 (x) = I0+ g (t) (x). 2q-2,p-q,1-q , найдем явный вид Применив к обеим частям (15) оператор I0+ функции ν2 (x): 2q-2,p-q,1-q p-1 (Ak2 + C)ν2 (x) = -(Ak1 + B) I0+ t τ2 (t) (x)+ q-a- 1 ,p-q-1,1-q 2 + I0+ g (t) (x). (16) Имеют место следующие утверждения. Лемма 1. Если функция τ1 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1), то ν1 (x0 ) 0 (ν1 (x0 ) 0). Справедливость леммы 1 непосредственно следует из соотношения (10). Далее будем считать, что выполняются следующие условия: Ak2 + C > 0, Ak1 + B < 0, либо Ak2 + C < 0, Ak1 + B > 0. (17) Лемма 2. Если функция τ2 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1), g(x) ≡ 0 и выполняются условия (17), то ν2 (x0 ) > 0 (ν2 (x0 ) < 0). Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что справедливость леммы 2 без условия (17) в виде кратких утверждений установлена в работах [2, 10]. Здесь даётся полное и достаточно подробное её доказательство. На основании (3) имеем d 2q-1,p-q-1,-q p-1 I t τ2 (t) (x) = dx 0+ x 1 d x - t p+q-2 = tp-1 (x - t)q-p × Γ(2q - 1) dx 0 x x-t × F p + q - 2, q; 2q - 1; τ2 (t) dt. x 2q-2,p-q,1-q p-1 I1 (x) = I0+ t τ2 (t) (x) = Пусть I1δ (x) = 26 1 d Γ(2q - 1) dx x tp-1 (x - t)q-p 0 x-t x p+q-2 × Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной × F p + q - 2, q; 2q - 1; x-t τ2 (t) dt. x Воспользовавшись формулой [11, c. 110] d a [z F (a, b; c; z)] = az a-1 F (a + 1, b; c; z) dz и тождеством [12, c. 1058] cF (a, b; c; z) = (c - a)F (a, b + 1; c + 1; z) + a(1 - z)F (1 + a, 1 + b; 1 + c; z), получим I1δ (x) = δ 1 (x - δ)p-1 (δ)q-p Γ(2q - 1) x p+q-2 × F p + q - 2, q; 2q - 1; + 2q - 2 Γ(2q - 1) × δ τ2 (x - δ)+ x x-δ tp-1 (x - t)2q-3 x2-p-q × 0 × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; x-t τ2 (t) dt = I11 δ (x) + I12 δ (x). x Запишем I12 δ (x) следующим образом: I12 δ (x) = x-δ τ2 (x) - τ2 (t) p-1 t × (x - t)3-2q 0 x-t dt+ × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; x x-δ 2q - 2 + τ2 (x)x2-p-q (x - t)2q-3 tp-1 × Γ(2q - 1) 0 2 - 2q 2-p-q x Γ(2q - 1) × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; x-t dt. x Используя формулу автотрансформации [11, c. 76] F (a, b; c; z) = (1 - z)c-a-b F (c - a, c - b; c; z), можно записать x-δ x2-p-q x-t dt = x x-δ x-t (x - t)2q-3 F q - p, q - 1; 2q - 2; dt. (18) x 0 (x - t)2q-3 tp-1 F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; 0 = x1-q Применяя формулу [11, c. 111] d c-1 [z F (a, b; c; z)] = (c - 1)z c-2 F (a, b; c - 1; z), dz 27 О. А. Р е п и н получим соотношение (x - t)2q-3 F q - p, q - 1; 2q - 2; =- d 1 x2q-2 2q - 2 dt x-t = x t x - t 2q-2 F q - p, q - 1; 2q - 1; 1 - x x . Таким образом, (18) принимает вид x-δ x1-q (x - t)2q-3 F q - p, q - 1; 2q - 2; 0 x-t x dt = x-δ d x - t 2q-2 x-t 1 xq-1 F q - p, q - 1; 2q - 1; dt = 2q - 2 dt x x 0 xq-1 δ 2q-2 δ =- - F (q - p, q - 1; 2q - 1; 1) = F q - p, q - 1; 2q - 1; 2q - 2 x x δ xq-1 Γ(2q - 1)Γ(p) xq-1 δ 2q-2 F q - p, q - 1; 2q - 1; + . =- 2q - 2 x x 2q - 2 Γ(p + q - 1)Γ(q) =- Здесь использована формула [11, c. 112] F (a, b; c; 1) = Γ(c)Γ(c - a - b) , Γ(c - a)Γ(c - b) c = 0, -1, -2, . . . , Re(c) > Re(a + b). Итак, с учётом выполненных преобразований I1 δ (x) можно представить следующим образом: I1 δ (x) = I11 δ (x) - - δ 2q-2 δ 1 xq-1 τ2 (x)F q - p, q - 1; 2q - 1; + Γ(2q - 1) x x xq-1 Γ(p) + τ2 (x)- Γ(p + q - 1)Γ(q) 2q - 2 2-p-q x Γ(2q - 1) x-δ 0 τ2 (x) - τ2 (t) p-1 t × (x - t)3-2q × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; С учётом формул [11, c. 76, 118] z , z-1 z -a a 1 a 1 z F , + ;b + ; F (a, b; 2b; z) = 1 - 2 2 2 2 2 2-z F (a, b; c; z) = (1 - z)-b F c - a, b; c; переходя к пределу при δ → 0, имеем I1 (x) = xq-1 28 Γ(p)τ2 (x) + Γ(p + q - 1)Γ(q) 2 , x-t dt. x Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной + x (2 - 2q)2q-p 1-p x Γ(2q - 1) τ2 (x) - τ2 (t) (t + x)p-q × (x - t)3-2q 0 q-p q-p+1 1 t-x ×F , ;q - ; 2 2 2 t+x 2 dt. Используя формулу автотрансформации F (a, b; c; z) = (1 - z)c-a-b F (c - a, c - b; c; z), окончательно получим I1 (x) = Γ(p) xq-1 τ2 (x)+ Γ(p + q - 1)Γ(q) (2 - 2q)2p+q-2 x τ2 (x) - τ2 (t) + (t + x)2-p-q tp-1 × Γ(2q - 1) (x - t)3-2q 0 p+q-1 p+q-2 1 t-x ×F , ;q - ; 2 2 2 t+x 2 dt. (19) В работе [2] доказано, что I1 (x0 ) > 0, если x = x0 - точка положительного максимума, и I1 (x0 ) < 0, если x = x0 - точка отрицательного минимума. Учитывая условия (17), соотношения (16) и (19), заключаем, что лемма 2 справедлива. Теорема 1. Пусть выполняются условия (17), 1 < p, 2 q < 1, q p, 1 - 2q < a < 0. 4 Тогда, если существует решение исследуемой задачи для уравнения (1), то оно единственно. Доказательство теоремы 1 следует из лемм 1 и 2, принципа экстремума для нелокального параболического уравнения [13, c. 47] и условия сопряжения (7). 2. Существование решения задачи. Существование решения исходной задачи проведем для случая p = q. Из равенства (15) имеем 2-2p,0,p-1 τ2 (x) = m1 x1-p I0+ ν2 (t) (x) + m2 g2 (x), (20) где Ak2 + C 1 , m2 = . Ak1 + B Ak1 + B В силу легко проверяемых равенств m1 = - α,β,η α,-α-η,-α-β xα+β+η I0+ ϕ(t) (x) = I0+ ϕ(t) (x), α,β,η I0+ ϕ(t) (x) = α,γ,δ I0+ tγ-δ ϕ(t) (x), α > 0, β, η ∈ R, α > 0, γ, δ ∈ R, получим 29 О. А. Р е п и н 2-2p,0,p-1 2-2p,p-1,2p-2 x1-p I0+ ν2 (t) (x) = I0+ ν2 (t) (x) = 2-2p,2p-2,p-1 p-1 2-2p = I0+ t ν2 (t) (x) = I0+ tp-1 ν2 (t) (x). Следовательно, (20) принимает вид 2-2p τ2 (x) = m1 I0+ tp-1 ν2 (t) (x) + m2 g2 (x). (21) Дифференцируя дважды обе части (21) по x, учитывая (3) и равенство d2 2-2p 2p I ϕ(t) (x) = D0+ ϕ(t) (x), dx2 0+ имеем 2p τ2 (x) = m1 D0+ tp-1 ν2 (t) (x) + m2 g2 (x). Согласно (6), τ1 (x) = τ2 (x) при 0 x 1, ν1 (x) = xp-1 ν2 (x) при 0 < x < 1. Обозначив τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x) и ν1 (x) = xp-1 ν2 (x) = ν(x) и учитывая соотношение (10), придём к дифференциальному уравнению дробного порядка 2p, 1 < 2p < 2: 2p D0+ ν(t) (x) - λν(x) = g2 (x) , Ak2 + C λ= Γ(1 + α) . m1 (22) На основании результатов монографий [1, с. 302; 14, с. 226-227] общее решение уравнения (22) имеет вид ν(x) = c1 x2p-1 E2p,2p (λx2p ) + c2 x2p-2 E2p,2p-1 (λx2p )+ x g2 (t) (x - t)2p-1 E2p,2p λ(x - t)2p dt, + Ak2 + C 0 где c1 и c2 - произвольные постоянные, ∞ zm Γ(αm + β) Eα,β (z) = m=0 (α > 0, β ∈ R) - функция Миттаг-Леффлера [1, с. 33; 15, с. 117]. Используя результаты работы [2], запишем явное решение поставленной задачи: y u(x, y) = 0 ∂G ∂ξ y ξ=0 ϕ1 (η)dη - 0 ∂G ∂ξ ξ=1 ϕ2 (η)dη+ 1 G(x, y; t, 0)E2p,2 (λt2p )dt- + c1 m1 0 1 - 1 0 1 (x - s)E2p,2 λ(t - s)2p g2 (s)ds dt + G(x, y; t, 0) 0 G(x, y; t, 0)g2 (t)dt, 0 где c1 = - 1 m1 E2p,2 (λ) 1 (1 - t)E2p,2 λ(1 - t)2p g2 (t)dt . g2 (1) + 0 Это завершает доказательство существования решения исследуемой задачи. 30 Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Mathematical Statistics and Econometri 141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation

References

Supplementary files