A double inverse problem for Fredholm integro-differential equation of elliptic type

Full Text

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению прямых и обратных задач для уравнений математической физики. Теория начальных, смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных в силу её прикладной важности в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. При исследовании таких задач в теории дифференциальных уравнений применяются различные методы (см., напр. [1-10]). Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной теории дифференциальных уравнений. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1306 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Т. К. Ю л д а ш е в, “Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа” // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 39-49. 39 Т. К. Ю л д а ш е в важных прикладных проблем, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Обратную задачу назовем линейной, если функция восстановления входит в данное уравнение линейно. Линейные обратные задачи для линейных и нелинейных уравнений в частных производных второго, третьего и более высокого порядков рассматривались многими авторами (см., напр. [3, 9, 11-20]). Нелинейные обратные задачи рассматривались в работах [21-25]. В настоящей работе предлагается методика изучения двойной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа с вырожденным ядром. Обратную задачу назовем двойной, если в задачу входит восстановление двух неизвестных функций по заданным дополнительным условиям. Вторая функция восстановления входит в первую функцию восстановления нелинейно. Относительно первой функции восстановления получится неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается методом вариации произвольных постоянных при начальных условиях. Относительно второй функции восстановления получится нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое с помощью специального неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. 1. Постановка задачи. В области Ω ≡ ΩT × R+ рассматривается интегродифференциальное уравнение Фредгольма вида ∞ T ∂ 2 u(t, x) ∂ 2 u(s, x) + K(t, s) ds = f ∂t2 ∂x2 0 с начальными условиями u(0, x) = φ1 (x), x, K0 (y)ϑ(y)dy x ∈ R+ , ut (0, x) = φ2 (x), t2 f (0, γ) - 2 u(t, 0) = h(t, 0) + (2) n N1i qi (t), (3) i=1 n t2 fx (0, γ) - 2 ux (t, 0) = hx (t, 0) + (1) 0 N2i qi (t) (4) i=1 и дополнительными условиями t0 ∈ (0; T ), u(t0 , x) = ψ(x), f (0, γ) = M1 , x ∈ R+ , (5) fx (0, γ) = M2 , (6) C 2 (R2 ) - первая + где f (x, γ) ∈ функция восстановления; ϑ(x) - вторая функция восстановления; φk (x) ∈ C 2 (R+ ), k = 1, 2; n K(t, s) = ai (t)bi (s), 0 < ai (t), bi (s) ∈ C(ΩT ); i=1 Nk , Mk - заданные постоянные, k = 1, 2; ΩT ≡ [0, T ], 0 < T < ∞; R2 ≡R+ ×R+ ; + R+ ≡ [0, ∞); h(t, x) = φ1 (x) + φ2 (x)t; ∞ t (t - s)ai (s)ds, qi (t) = 0 40 γ= K0 (y)ϑ(y)dy 0 0, K0 (y) ∈ C(R+ ). Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. . . Определение. Решением двойной обратной задачи (1)-(6) называется тройка непрерывных функций u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), f (x, γ) ∈ C 2 (R2 ), ϑ(x) ∈ C(R+ ) , + удовлетворяющая уравнению (1) и условиям (2)-(6). Основной подход в данной работе состоит в том, что модифицируется и развивается метод интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром для случая двойной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных с вырожденным ядром более общего вида. Отличительной чертой данной работы является то, что обратная задача носит двойной характер. При решении такой обратной задачи (1)-(6) относительно первой восстанавливаемой функции ∞ f x, K0 (y)ϑ(y)dy 0 получится неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Для однозначного определения решения этого уравнения дополнительно заданы два начальных условия (6). Относительно второй функции восстановления ϑ(x) получится неявное интегральное уравнение, которое с помощью специального неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. 2. Начальная задача (1)-(4). В данной работе развивается методика работы [26]. При помощи обозначения T c(x) = b(s) 0 ∂ 2 u(s, x) ds ∂x2 (7) интегро-дифференциальное уравнение Фредгольма (1) перепишется в виде ∂ 2 u(t, x) + ∂t2 n ∞ ai (t)ci (x) = f x, K0 (y)ϑ(y)dy . 0 i=1 Учёт условия (2) и двукратное интегрирование по t в последнем равенстве дают n u(t, x) = h(t, x) - ci (x)qi (t) + i=1 t2 f 2 ∞ x, K0 (y)ϑ(y)dy . (8) 0 Дифференцируем (8) два раза по x: n uxx (t, x) = hxx (t, x) - ci (x)qi (t) + i=1 t2 fxx x, 2 ∞ K0 (y)ϑ(y)dy . (9) 0 Подставляя (9) в (7), имеем n T b(s) hxx (s, x) - ci (x) = 0 cj (x)qj (s)+ j=1 + s2 fxx x, 2 ∞ K0 (y)ϑ(y)dy ds. (10) 0 41 Т. К. Ю л д а ш е в Примем обозначение ∞ T bi (s)hxx (s, x)ds + fxx x, Bi (x) = T K0 (y)ϑ(y)dy 0 0 0 s2 bi (s) ds. (11) 2 Пусть T Aij = bi (s)qj (s)ds > 0. (12) 0 Тогда уравнение (10) запишется в следующем виде: n ci (x) + Aij cj (x) = Bi (x), i = 1, n. (13) j=1 Соотношения (13) является системой дифференциально-алгебраических уравнений. Она решается при выполнении следующего условия: ci (x) = -λ · ci (x), 0 < λ = const, i = 1, n. (14) Тогда из (13) получается следующая система алгебраических уравнений: n ci (x) - λ · Aij cj (x) = Bi (x), i = 1, n. (15) j=1 Система алгебраических уравнений (15) однозначно разрешима при любых Bi (x), если ∆(λ) = 1 - λA11 -λA12 . . . -λA1n -λA21 1 - λA22 . . . -λA2n . . . .. . . . . . . . -λAn1 -λAn2 . . . 1 - λAnn = 0. (16) При выполнении условия (16) решение системы алгебраических уравнений (15) записывается в виде ci (x) = ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n, (17) где ∆i (λ, x) = 1 - λA11 . . . -λA1(i-1) B1 (x) -λA1(i+1) . . . -λA1n -λA21 . . . -λA2(i-1) B2 (x) -λA2(i+1) . . . -λA2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . -λAn1 . . . -λAn(i-1) Bn (x) -λAn(i+1) . . . 1 - λAnn . С другой стороны, решая дифференциальное уравнение (14), получаем ci (x) = D1i cos νx + D2i sin νx, 42 (18) Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. . . √ где ν = λ, коэффициенты Dki подлежат определению, k = 1, 2. Из (17) и (18) получаем, что решение дифференциально-алгебраической системы уравнений (13) имеет вид ci (x) = D1i cos νx + D2i sin νx + ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n. Для определения коэффициентов D1i , D2i , i = 1, n, (18) подставляем в (8): u(t, x) = h(t, x) + ∞ t2 f 2 K0 (y)ϑ(y)dy - x, 0 n - D1i cos νx + D2i sin νx qi (t). (19) i=1 Здесь используем условия (3), (4). Тогда (19) приобретает вид ci (x) = σi (x) + ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n, (20) где σi (x) = N1i cos νx + N2i sin νx. ν Подставляя (20) в (8), имеем u(t, x) = h(t, x) + ∞ t2 f 2 K0 (y)ϑ(y)dy - x, 0 n - σi (x) + i=1 ∆i (λ, x) qi (t). (21) ∆(λ) Выражение (11) запишем в следующем виде: ∞ K0 (y)ϑ(y)dy · B2i , Bi (x) = B1i (x) + fxx x, 0 где T B1i (x) = T bi (s)hxx (s, x)ds, B2i = 0 0 s2 bi (s) ds. 2 В этом случае, согласно свойству определителя, имеем ∞ K0 (y)ϑ(y)dy · ∆2i (λ), ∆i (λ, x) = ∆1i (λ, x) + fxx x, 0 где ∆1i (λ, x) = 1 - λA11 . . . -λA1(i-1) B11 (x) -λA1(i+1) . . . -λA1n -λA21 . . . -λA2(i-1) B12 (x) -λA2(i+1) . . . -λA2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . -λAn1 . . . -λAn(i-1) B1n (x) -λAn(i+1) . . . 1 - λAnn , 43 Т. К. Ю л д а ш е в 1 - λA11 . . . -λA1(i-1) B21 -λA1(i+1) . . . -λA1n -λA21 . . . -λA2(i-1) B22 -λA2(i+1) . . . -λA2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . -λAn1 . . . -λAn(i-1) B2n -λAn(i+1) . . . 1 - λAnn ∆2i (λ) = . Тогда (21) приобретает вид u(t, x) = h0 (t, x) + t2 f 2 ∞ K0 (y)ϑ(y)dy - x, 0 n ∞ - fxx x, K0 (y)ϑ(y)dy 0 где i=1 n h0 (t, x) = h(t, x) - qi (t) σi (x) + i=1 ∆2i (λ) , (22) ∆(λ) ∆1i (λ, x) qi (t). ∆(λ) Таким образом, нами доказано, что справедлива следующая лемма. Лемма 1. Пусть 1) выполняются условия (12), (14) и (16); 2) max φk (x) : x ∈ R+ < ∞, k = 1, 2. Тогда в области Ω существует единственное решение начальной задачи (1)-(4) при любой ограниченной функции f (x, γ) ∈ C 2 (R2 ) вместе со сво+ ей производной второго порядка. Это решение представимо в виде функции (22). 3. Первая функция восстановления f (x, γ). Примем обозначение n g(x) = h0 (t0 , x) - ψ(x) i=1 ∆2i (λ) qi (t0 ) ∆(λ) -1 . Пусть t2 ω= 0 2 n i=1 -1 ∆2i (λ) qi (t0 ) ∆(λ) > 0. (23) Тогда, используя условие (5), из (22) имеем дифференциальное уравнение относительно f (x, · ): ∞ ∞ K0 (y)ϑ(y)dy - ω · f fxx x, 0 x, K0 (y)ϑ(y)dy = g(x). (24) 0 Решая уравнения (24) методом вариации произвольных постоянных и используя условия в (6), получаем ∞ f x, K0 (y)ϑ(y)dy 0 где µ= 44 √ ω, = p(x) + 1 2µ x g(y)G(x, y)dy, 0 G(x, y) = exp{µ(x - y)} - exp{-µ(x - y)}, (25) Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. . . p(x) = µM1 - M2 µM1 + M2 exp{µx} + exp{-µx}. 2µ 2µ Таким образом, справедлива следующая лемма. Лемма 2. Пусть 1) выполняются условия леммы 1 и (23); x |g(y)| · |G(x, y)|dy < ∞, x ∈ R+ . 2) 0 Тогда в R2 существует единственное решение дифференциального урав+ нения (24) при начальных условиях (6). Это решение представимо в виде функции (25). 4. Вторая функция восстановления ϑ(x). Правую часть (25) обозначим через α(x). Тогда (25) принимает вид ∞ f x, K0 (y)ϑ(y)dy = α(x). (26) 0 Соотношение (26) запишем в следующем виде: x ϑ(x)+ ∞ x H(y)ϑ(y)dy = ϑ(x)+ 0 H(y)ϑ(y)dy-f x, K0 (y)ϑ(y)dy +α(x), 0 0 где H(x) > 0 такая, что x exp{-η(x)} 1, x H(y) exp{-η(x - y)}dy 2 1, η(x) = 0 H(y)dy. 0 Отсюда получим следующее специальное интегральное уравнение Вольтерра второго рода (см. [21-25]): ϑ(x) = Θ(x; ϑ) ≡ ∞ x ≡ ϑ(x) + H(y)ϑ(y)dy - f x, K0 (y)ϑ(y)dy + α(x) exp{-η(x)}+ 0 0 x + ∞ x H(y)ϑ(y)dy - f H(y) exp{-η(x-y)} ϑ(x) + 0 x, K0 (y)ϑ(y)dy + 0 0 ∞ y +α(x) - ϑ(y) - H(z)ϑ(z)dz + f 0 y, K0 (z)ϑ(z)dz - α(y) dy. (27) 0 Лемма 3. Пусть выполняются условия леммы 2 и 1) f (x, γ) ∈ Bnd(δ) ∩ Lip L | γ , где 0 < L = const; 2) ρ = 1 + β1 + Lβ2 + β3 max P (x) : x ∈ R+ < 1, где ∞ β1 = max η(x) : x ∈ R+ , |K0 (x)|dx, β2 = 0 β3 = max |α(x)| : x ∈ R+ , x P (x) = e-η(x) + 2 H(y)e-η(x-y) dy. 0 45 Т. К. Ю л д а ш е в Тогда линейное интегральное уравнение (27) имеет единственное решение на полуоси R+ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс Пикара: ϑ0 (x) = 0, ϑ1 (x) = α(x) - f (x, 0) exp{-η(x)}+ x H(y) exp{-η(x - y)} [-f (x,0) + α(x) + f (y,0) - α(y)] dy, (28) + 0 ϑk (t) = Θ(x; ϑk-1 ), k = 2, 3, 4, . . . . (29) В силу условий леммы из последовательных приближений (28) и (29) получаем ϑ1 (x) - ϑ0 (x) ϑk (x) - ϑk-1 (x) δ + β3 max P (x) : x ∈ R+ ; (30) ρ · ϑk-1 (x) - ϑk-2 (x) < ϑk-1 (x) - ϑk-2 (x) . (31) Из оценок (30) и (31) следует, что оператор в правой части (27) является сжимающим. Следовательно, интегральное уравнение (27) имеет единственное решение на полуоси R+ . 5. Обратная задача (1)-(6). Подставляя решение интегрального уравнения (27) в (26), получим тождество. Так как (26) дважды непрерывно дифференцируемая функция, подстановка (26) в (22) даёт искомую функцию u(t, x). Из справедливости доказанных выше трёх лемм следует, что справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть выполняются все условия леммы 3. Тогда существует единственная тройка решений двойной обратной задачи (1)-(6): u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), f (x, γ) ∈ C 2 (R2 ), ϑ(x) ∈ C(R+ ) .

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

References

Supplementary files