A double inverse problem for Fredholm integro-differential equation of elliptic type

Abstract


In this paper the double inverse problem for partial differential equations is considered. The method of studying the one value solvability of the double inverse problem for a Fredholm integro-differential equation of elliptic type with degenerate kernel is offered. First the method of degenerate kernel designed for Fredholm integral equations is modified and developed to the case of Fredholm integro-differential equation of elliptic type. The system of differential-algebraic equations is obtained. The inverse problem is called double inverse problem if the problem consisted to restore the two unknown functions by the aid of given additional conditions. The first restore function is nonlinear with respect to the second restore function. In solving the inverse problem with respect to the first restore function the inhomogeneous differential equation of the second order is obtained, which is solved by the method of variation of arbitrary constants with initial value conditions. With respect to the second restore function the nonlinear integral equation of the first kind is obtained, which is reduced by the aid of special nonclassical integral transform into nonlinear Volterra integral equation of the second kind. Further the method of successive approximations is used, combined with the method of compressing maps.

Full Text

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению прямых и обратных задач для уравнений математической физики. Теория начальных, смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных в силу её прикладной важности в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. При исследовании таких задач в теории дифференциальных уравнений применяются различные методы (см., напр. [1-10]). Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной теории дифференциальных уравнений. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1306 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Т. К. Ю л д а ш е в, “Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа” // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 39-49. 39 Т. К. Ю л д а ш е в важных прикладных проблем, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Обратную задачу назовем линейной, если функция восстановления входит в данное уравнение линейно. Линейные обратные задачи для линейных и нелинейных уравнений в частных производных второго, третьего и более высокого порядков рассматривались многими авторами (см., напр. [3, 9, 11-20]). Нелинейные обратные задачи рассматривались в работах [21-25]. В настоящей работе предлагается методика изучения двойной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа с вырожденным ядром. Обратную задачу назовем двойной, если в задачу входит восстановление двух неизвестных функций по заданным дополнительным условиям. Вторая функция восстановления входит в первую функцию восстановления нелинейно. Относительно первой функции восстановления получится неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается методом вариации произвольных постоянных при начальных условиях. Относительно второй функции восстановления получится нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое с помощью специального неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. 1. Постановка задачи. В области Ω ≡ ΩT × R+ рассматривается интегродифференциальное уравнение Фредгольма вида ∞ T ∂ 2 u(t, x) ∂ 2 u(s, x) + K(t, s) ds = f ∂t2 ∂x2 0 с начальными условиями u(0, x) = φ1 (x), x, K0 (y)ϑ(y)dy x ∈ R+ , ut (0, x) = φ2 (x), t2 f (0, γ) - 2 u(t, 0) = h(t, 0) + (2) n N1i qi (t), (3) i=1 n t2 fx (0, γ) - 2 ux (t, 0) = hx (t, 0) + (1) 0 N2i qi (t) (4) i=1 и дополнительными условиями t0 ∈ (0; T ), u(t0 , x) = ψ(x), f (0, γ) = M1 , x ∈ R+ , (5) fx (0, γ) = M2 , (6) C 2 (R2 ) - первая + где f (x, γ) ∈ функция восстановления; ϑ(x) - вторая функция восстановления; φk (x) ∈ C 2 (R+ ), k = 1, 2; n K(t, s) = ai (t)bi (s), 0 < ai (t), bi (s) ∈ C(ΩT ); i=1 Nk , Mk - заданные постоянные, k = 1, 2; ΩT ≡ [0, T ], 0 < T < ∞; R2 ≡R+ ×R+ ; + R+ ≡ [0, ∞); h(t, x) = φ1 (x) + φ2 (x)t; ∞ t (t - s)ai (s)ds, qi (t) = 0 40 γ= K0 (y)ϑ(y)dy 0 0, K0 (y) ∈ C(R+ ). Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. . . Определение. Решением двойной обратной задачи (1)-(6) называется тройка непрерывных функций u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), f (x, γ) ∈ C 2 (R2 ), ϑ(x) ∈ C(R+ ) , + удовлетворяющая уравнению (1) и условиям (2)-(6). Основной подход в данной работе состоит в том, что модифицируется и развивается метод интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром для случая двойной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных с вырожденным ядром более общего вида. Отличительной чертой данной работы является то, что обратная задача носит двойной характер. При решении такой обратной задачи (1)-(6) относительно первой восстанавливаемой функции ∞ f x, K0 (y)ϑ(y)dy 0 получится неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Для однозначного определения решения этого уравнения дополнительно заданы два начальных условия (6). Относительно второй функции восстановления ϑ(x) получится неявное интегральное уравнение, которое с помощью специального неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. 2. Начальная задача (1)-(4). В данной работе развивается методика работы [26]. При помощи обозначения T c(x) = b(s) 0 ∂ 2 u(s, x) ds ∂x2 (7) интегро-дифференциальное уравнение Фредгольма (1) перепишется в виде ∂ 2 u(t, x) + ∂t2 n ∞ ai (t)ci (x) = f x, K0 (y)ϑ(y)dy . 0 i=1 Учёт условия (2) и двукратное интегрирование по t в последнем равенстве дают n u(t, x) = h(t, x) - ci (x)qi (t) + i=1 t2 f 2 ∞ x, K0 (y)ϑ(y)dy . (8) 0 Дифференцируем (8) два раза по x: n uxx (t, x) = hxx (t, x) - ci (x)qi (t) + i=1 t2 fxx x, 2 ∞ K0 (y)ϑ(y)dy . (9) 0 Подставляя (9) в (7), имеем n T b(s) hxx (s, x) - ci (x) = 0 cj (x)qj (s)+ j=1 + s2 fxx x, 2 ∞ K0 (y)ϑ(y)dy ds. (10) 0 41 Т. К. Ю л д а ш е в Примем обозначение ∞ T bi (s)hxx (s, x)ds + fxx x, Bi (x) = T K0 (y)ϑ(y)dy 0 0 0 s2 bi (s) ds. (11) 2 Пусть T Aij = bi (s)qj (s)ds > 0. (12) 0 Тогда уравнение (10) запишется в следующем виде: n ci (x) + Aij cj (x) = Bi (x), i = 1, n. (13) j=1 Соотношения (13) является системой дифференциально-алгебраических уравнений. Она решается при выполнении следующего условия: ci (x) = -λ · ci (x), 0 < λ = const, i = 1, n. (14) Тогда из (13) получается следующая система алгебраических уравнений: n ci (x) - λ · Aij cj (x) = Bi (x), i = 1, n. (15) j=1 Система алгебраических уравнений (15) однозначно разрешима при любых Bi (x), если ∆(λ) = 1 - λA11 -λA12 . . . -λA1n -λA21 1 - λA22 . . . -λA2n . . . .. . . . . . . . -λAn1 -λAn2 . . . 1 - λAnn = 0. (16) При выполнении условия (16) решение системы алгебраических уравнений (15) записывается в виде ci (x) = ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n, (17) где ∆i (λ, x) = 1 - λA11 . . . -λA1(i-1) B1 (x) -λA1(i+1) . . . -λA1n -λA21 . . . -λA2(i-1) B2 (x) -λA2(i+1) . . . -λA2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . -λAn1 . . . -λAn(i-1) Bn (x) -λAn(i+1) . . . 1 - λAnn . С другой стороны, решая дифференциальное уравнение (14), получаем ci (x) = D1i cos νx + D2i sin νx, 42 (18) Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. . . √ где ν = λ, коэффициенты Dki подлежат определению, k = 1, 2. Из (17) и (18) получаем, что решение дифференциально-алгебраической системы уравнений (13) имеет вид ci (x) = D1i cos νx + D2i sin νx + ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n. Для определения коэффициентов D1i , D2i , i = 1, n, (18) подставляем в (8): u(t, x) = h(t, x) + ∞ t2 f 2 K0 (y)ϑ(y)dy - x, 0 n - D1i cos νx + D2i sin νx qi (t). (19) i=1 Здесь используем условия (3), (4). Тогда (19) приобретает вид ci (x) = σi (x) + ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n, (20) где σi (x) = N1i cos νx + N2i sin νx. ν Подставляя (20) в (8), имеем u(t, x) = h(t, x) + ∞ t2 f 2 K0 (y)ϑ(y)dy - x, 0 n - σi (x) + i=1 ∆i (λ, x) qi (t). (21) ∆(λ) Выражение (11) запишем в следующем виде: ∞ K0 (y)ϑ(y)dy · B2i , Bi (x) = B1i (x) + fxx x, 0 где T B1i (x) = T bi (s)hxx (s, x)ds, B2i = 0 0 s2 bi (s) ds. 2 В этом случае, согласно свойству определителя, имеем ∞ K0 (y)ϑ(y)dy · ∆2i (λ), ∆i (λ, x) = ∆1i (λ, x) + fxx x, 0 где ∆1i (λ, x) = 1 - λA11 . . . -λA1(i-1) B11 (x) -λA1(i+1) . . . -λA1n -λA21 . . . -λA2(i-1) B12 (x) -λA2(i+1) . . . -λA2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . -λAn1 . . . -λAn(i-1) B1n (x) -λAn(i+1) . . . 1 - λAnn , 43 Т. К. Ю л д а ш е в 1 - λA11 . . . -λA1(i-1) B21 -λA1(i+1) . . . -λA1n -λA21 . . . -λA2(i-1) B22 -λA2(i+1) . . . -λA2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . -λAn1 . . . -λAn(i-1) B2n -λAn(i+1) . . . 1 - λAnn ∆2i (λ) = . Тогда (21) приобретает вид u(t, x) = h0 (t, x) + t2 f 2 ∞ K0 (y)ϑ(y)dy - x, 0 n ∞ - fxx x, K0 (y)ϑ(y)dy 0 где i=1 n h0 (t, x) = h(t, x) - qi (t) σi (x) + i=1 ∆2i (λ) , (22) ∆(λ) ∆1i (λ, x) qi (t). ∆(λ) Таким образом, нами доказано, что справедлива следующая лемма. Лемма 1. Пусть 1) выполняются условия (12), (14) и (16); 2) max φk (x) : x ∈ R+ < ∞, k = 1, 2. Тогда в области Ω существует единственное решение начальной задачи (1)-(4) при любой ограниченной функции f (x, γ) ∈ C 2 (R2 ) вместе со сво+ ей производной второго порядка. Это решение представимо в виде функции (22). 3. Первая функция восстановления f (x, γ). Примем обозначение n g(x) = h0 (t0 , x) - ψ(x) i=1 ∆2i (λ) qi (t0 ) ∆(λ) -1 . Пусть t2 ω= 0 2 n i=1 -1 ∆2i (λ) qi (t0 ) ∆(λ) > 0. (23) Тогда, используя условие (5), из (22) имеем дифференциальное уравнение относительно f (x, · ): ∞ ∞ K0 (y)ϑ(y)dy - ω · f fxx x, 0 x, K0 (y)ϑ(y)dy = g(x). (24) 0 Решая уравнения (24) методом вариации произвольных постоянных и используя условия в (6), получаем ∞ f x, K0 (y)ϑ(y)dy 0 где µ= 44 √ ω, = p(x) + 1 2µ x g(y)G(x, y)dy, 0 G(x, y) = exp{µ(x - y)} - exp{-µ(x - y)}, (25) Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. . . p(x) = µM1 - M2 µM1 + M2 exp{µx} + exp{-µx}. 2µ 2µ Таким образом, справедлива следующая лемма. Лемма 2. Пусть 1) выполняются условия леммы 1 и (23); x |g(y)| · |G(x, y)|dy < ∞, x ∈ R+ . 2) 0 Тогда в R2 существует единственное решение дифференциального урав+ нения (24) при начальных условиях (6). Это решение представимо в виде функции (25). 4. Вторая функция восстановления ϑ(x). Правую часть (25) обозначим через α(x). Тогда (25) принимает вид ∞ f x, K0 (y)ϑ(y)dy = α(x). (26) 0 Соотношение (26) запишем в следующем виде: x ϑ(x)+ ∞ x H(y)ϑ(y)dy = ϑ(x)+ 0 H(y)ϑ(y)dy-f x, K0 (y)ϑ(y)dy +α(x), 0 0 где H(x) > 0 такая, что x exp{-η(x)} 1, x H(y) exp{-η(x - y)}dy 2 1, η(x) = 0 H(y)dy. 0 Отсюда получим следующее специальное интегральное уравнение Вольтерра второго рода (см. [21-25]): ϑ(x) = Θ(x; ϑ) ≡ ∞ x ≡ ϑ(x) + H(y)ϑ(y)dy - f x, K0 (y)ϑ(y)dy + α(x) exp{-η(x)}+ 0 0 x + ∞ x H(y)ϑ(y)dy - f H(y) exp{-η(x-y)} ϑ(x) + 0 x, K0 (y)ϑ(y)dy + 0 0 ∞ y +α(x) - ϑ(y) - H(z)ϑ(z)dz + f 0 y, K0 (z)ϑ(z)dz - α(y) dy. (27) 0 Лемма 3. Пусть выполняются условия леммы 2 и 1) f (x, γ) ∈ Bnd(δ) ∩ Lip L | γ , где 0 < L = const; 2) ρ = 1 + β1 + Lβ2 + β3 max P (x) : x ∈ R+ < 1, где ∞ β1 = max η(x) : x ∈ R+ , |K0 (x)|dx, β2 = 0 β3 = max |α(x)| : x ∈ R+ , x P (x) = e-η(x) + 2 H(y)e-η(x-y) dy. 0 45 Т. К. Ю л д а ш е в Тогда линейное интегральное уравнение (27) имеет единственное решение на полуоси R+ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс Пикара: ϑ0 (x) = 0, ϑ1 (x) = α(x) - f (x, 0) exp{-η(x)}+ x H(y) exp{-η(x - y)} [-f (x,0) + α(x) + f (y,0) - α(y)] dy, (28) + 0 ϑk (t) = Θ(x; ϑk-1 ), k = 2, 3, 4, . . . . (29) В силу условий леммы из последовательных приближений (28) и (29) получаем ϑ1 (x) - ϑ0 (x) ϑk (x) - ϑk-1 (x) δ + β3 max P (x) : x ∈ R+ ; (30) ρ · ϑk-1 (x) - ϑk-2 (x) < ϑk-1 (x) - ϑk-2 (x) . (31) Из оценок (30) и (31) следует, что оператор в правой части (27) является сжимающим. Следовательно, интегральное уравнение (27) имеет единственное решение на полуоси R+ . 5. Обратная задача (1)-(6). Подставляя решение интегрального уравнения (27) в (26), получим тождество. Так как (26) дважды непрерывно дифференцируемая функция, подстановка (26) в (22) даёт искомую функцию u(t, x). Из справедливости доказанных выше трёх лемм следует, что справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть выполняются все условия леммы 3. Тогда существует единственная тройка решений двойной обратной задачи (1)-(6): u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), f (x, γ) ∈ C 2 (R2 ), ϑ(x) ∈ C(R+ ) .

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. А. А. Андреев, Ю. О. Яковлева, “Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 31-36. doi: 10.14498/vsgtu1182.
  2. М. Х. Бештоков, “Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 4(33). С. 15-24 doi: 10.14498/vsgtu1238.
  3. В. А. Золотар¨в, “Прямая и обратная задачи для оператора с нелокальным потенциаeлом” // Матем. сб., 2012. Т. 203, № 12. С. 105-128. doi: 10.4213/sm7929.
  4. V. A. Zolotarev, “Direct and inverse problems for an operator with nonlocal potential” // Sb. Math., 2012. vol. 203, no. 12. pp. 1785-1807. doi: 10.1070/SM2012v203n12ABEH004287.
  5. В. В. Карачик, “Об условиях разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре” // Сиб. журн. индустр. матем., 2013. Т. 16, № 4. С. 61-74.
  6. М. О. Корпусов, “О разрушении решений класса параболических уравнений с двойной нелинейностью” // Матем. сб., 2013. Т. 204, № 3. С. 19-42. doi: 10.4213/sm8097.
  7. M. O. Korpusov, “Solution blow-up for a class of parabolic equations with double nonlinearity” // Sb. Math., 2013. vol. 204, no. 3. pp. 323-346. doi: 10.1070/SM2013v204n03ABEH004303.
  8. Л. С. Пулькина, “Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями I рода с ядрами, зависящими от времени” // Изв. вузов. Матем., 2012. № 10. С. 32-44.
  9. L. S. Pul'kina, “A nonlocal problem for a hyperbolic equation with integral conditions of the 1st kind with time-dependent kernels” // Russian Math. (Iz. VUZ), 2012. vol. 56, no. 10. pp. 26-37. doi: 10.3103/S1066369X12100039.
  10. О. А. Репин, С. К. Кумыкова, “Задача со смещением для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 4(29). С. 17-25. doi: 10.14498/vsgtu1123.
  11. К. Б. Сабитов, Г. Ю. Удалова, “Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 3(32). С. 29-45. doi: 10.14498/vsgtu1220.
  12. Г. А. Свиридюк, С. А. Загребина, “Неклассические модели математической физики” // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 2012. № 14. С. 7-18.
  13. Т. К. Юлдашев, “О разрешимости одной смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных высокого порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 4(33). С. 46-57. doi: 10.14498/vsgtu1040.
  14. Н. В. Бейлина, “О разрешимости обратной задачи для гиперболического уравнения с интегральным условием переопределения” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 2(23). С. 34-39. doi: 10.14498/vsgtu957.
  15. А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 285 с.
  16. А. М. Денисов, С. И. Соловьева, “Обратная задача для уравнения диффузии в случае сферической симметрии” // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2013. Т. 53, № 11. С. 1784-1790. doi: 10.7868/S0044466913110033.
  17. A. M. Denisov, S. I. Solov'eva, “Inverse problem for the diffusion equation in the case of spherical symmetry” // Comput. Math. Math. Phys., 2013. vol. 52, no. 11. pp. 1607-1613. doi: 10.1134/S0965542513110031.
  18. М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев, Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1999. 330 с.
  19. M. M. Lavrent'ev, L. Ya. Savel'ev, Linear operators and ill-posed problems, New York, Consultants Bureau, 1995, xiv+382 pp.
  20. В. А. Попова, А. В. Глушак, “Обратная задача для сингулярного эволюционного уравнения с нелокальным граничным условием” // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физ. Матем., 2012. № 1. С. 182-186.
  21. В. Г. Романов, Обратные задачи для математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.
  22. V. G. Romanov, Inverse Problems of Mathematical Physics, Utrecht, VNU Science Press, 1987, vii+224 pp.
  23. К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова, “Обратная задача для уравнения эллиптикогиперболического типа с нелокальным граничным условием” // Сиб. матем. журн., 2012. Т. 53, № 3. С. 633-647.
  24. K. B. Sabitov, N. V. Martem'yanova, “An inverse problem for an equation of elliptic-hyperbolic type with a nonlocal boundary condition” // Siberian Math. J., 2012. vol. 53, no. 3. pp. 507-519. doi: 10.1134/S0037446612020310.
  25. Г. Хенкин, В. Мишель, “Обратная задача Дирихле-Неймана для нодальных кривых” // УМН, 2012. Т. 67, № 6(408). С. 101-124. doi: 10.4213/rm9501.
  26. G. Henkin, V. Michel, “Inverse Dirichlet-to-Neumann problem for nodal curves” // Russian Math. Surveys, 2012. vol. 67, no. 6. pp. 1069-1089. doi: 10.1070/RM2012v067n06ABEH004818.
  27. T. K. Юлдашев, “Обратная задача для одного нелинейного интегродифференциального уравнения третьего порядка” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2013. № 9/1(110). С. 58-66.
  28. Т. К. Юлдашев, “Об обратной задаче для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высшего порядка” // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физ. Матем., 2014. № 1. С. 145-155.
  29. Т. К. Юлдашев, “Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка” // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2012. № 2. С. 56-62.
  30. Т. К. Юлдашев, “Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка” // Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 2012. № 6, 11(270). С. 35-41.
  31. Т. К. Юлдашев, “Обратная задача для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокого порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 3(28). С. 17-29. doi: 10.14498/vsgtu1041.
  32. Т. К. Юлдашев, “Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с гиперболическим оператором высокой степени” // Вестн. Южно-Ур. Ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 2013. Т. 5, № 1. С. 69-75.
  33. Т. К. Юлдашев, А. И. Середкина, “Обратная задача для квазилинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 3(32). С. 46-55. doi: 10.14498/vsgtu1133.
  34. Т. К. Юлдашев, “О разрешимости смешанной задачи для линейного парабологиперболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма” // Журнал СВМО, 2013. Т. 15, № 3. С. 158-163.

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies