On a class of nonlocal problems for hyperbolic equations with degeneration of type and order

Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение y 2m uxx + y uyy + αuy = 0, где m - натуральное число, α = const, (1 - 2m)/2 ограниченной характеристиками AC : x - 2m+1 2 (-y) 2 = 0, 2m + 1 BC : x + α < 1 в области Ω, 2m+1 2 (-y) 2 = 1 2m + 1 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 22-32. doi: 10.14498/vsgtu1348. ∗ Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 22 Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . уравнения (1) и отрезком I ≡ [0, 1] прямой y = 0, A(0, 0), B(1, 0). Задача. Найти регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω ∪ I), удовлетворяющее условиям u(x, 0) = τ (x) a A(x)D0x u[Θ0 (x)] + ∀x ∈ I, b B(x)Dx1 u[Θ1 (x)] (2) = C(x) ∀x ∈ I. (3) Здесь τ (x), A(x), B(x), C(x) - заданные функции, причём A2 (x) + B 2 (x) = 0; Θ0 (x), Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих α1 из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC, BC соответственно; D0x f, α1 Dx1 f - операторы дробного интегрирования порядка (-α1 ) при α1 < 0 и обобщённые производные в смысле Лиувилля порядка α1 > 0 [2, с. 7, 8]; a и b действительные числа, на которые далее будут наложены необходимые условия. Уравнение (1) служит моделью гиперболических уравнений второго порядка, тип и порядок которых вырождается на одном и том же (n-1)-мерном континууме [3, с. 274]. Задача (1)-(3) является нелокальной (задачей со смещением по терминологии А. М. Нахушева [4]). Её исследование связано с прикладным характером задач, возникающих, например, при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах. В монографии [5] широко представлено значение теории дробного интегро-дифференцирования при исследовании нелокальных краевых задач и её проникновение в современную физику. О возникновении таких задач, их использовании в физике, биологии, математическом моделировании можно узнать, например, в работах [6-8]. Ранее в работе [9] нами была исследована задача с обобщёнными операторами дробного интегро-дифференцирования (в смысле М. Сайго) для вырождающегося гиперболического уравнения. Данная работа является продолжением и обобщением результатов работы [9] для уравнения (1). В случае α = 1/2 - m, a = b = 1 - β, β= 2m - 1 + 2α 2(2m + 1) существование и единственность решения задачи (1)-(3) доказаны А. В. Бицадзе [10]. 1. Условия однозначной разрешимости задачи. Теорема 1. Пусть b = 1 - β, a 1 - β, B(x) = 0, τ (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), A(x), B(x), C(x) ∈ C 1 (I). Тогда решение задачи (1)-(3) существует и единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. При (1 - 2m)/2 < α < 1 регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям u(x,0) = τ (x), x ∈ I, lim (-y)α uy = ν(x), x ∈ I, y→-0 в предположении, что τ (x) и ν (x) удовлетворяют условию Гёльдера, единственно и имеет вид [3, с. 277] 23 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. 2m+1 2(1 - 2t) Γ(2β) 1 τ x+ (-y) 2 [t(1 - t)]β-1 dt- 2 (β) Γ 2m + 1 0 1 2m+1 2 Γ(1 - 2β) 2(1 - 2t) - ν x+ (-y)1-α (-y) 2 [t(1 - t)]-β dt. (5) 2 (1 - β) 2m + 1 Γ 2m + 1 0 u(x, y) = Используя формулу (5), находим -β β-1 u[Θ0 (x)] = k1 x1-2β D0x xβ-1 τ (x) + k2 D0x x-β ν(x), -β β-1 u[Θ1 (x)] = k1 (1 - x)1-2β Dx1 (1 - x)β-1 τ (x) + k2 Dx1 (1 - x)-β ν(x), (6) где k1 = Γ(2β) , Γ(β) k2 = - Γ(1 - 2β) 2m + 1 2Γ(1 - β) 4 -2β . Подставляя (6) в краевое условие (3), учитывая свойства операторов дробного интегро-дифференцирования [11, с. 50, 51] -l -l l l D0x D0x f (x) = Dx1 Dx1 f (x) = f (x), l+m l m D0x D0x f (x) = D0x f (x), l+m l m Dx1 Dx1 f (x) = Dx1 f (x), l > 0, m < 0 при выполнении условий теоремы 1, получим a+β-1 -β k2 B(x)(1 - x)-β ν(x) + k2 A(x)D0x x ν(x) = γ(x), (7) где -β a γ(x) = C(x) - k1 A(x)D0x x1-2β D0x xβ-1 τ (x)- -β 1-β - k1 B(x)Dx1 (1 - x)1-2β Dx1 (1 - x)β-1 τ (x). Или, что то же самое, при a < 1 - β x ν(x) + a1 (x) 0 t-β ν(t)dt = f1 (x), (x - t)a+β где a1 (x) = A(x) (1 - x)β , B(x) f1 (x) = γ(x) (1 - x)β . k2 B(x) Исследуем правую часть f1 (x) уравнения (8). Воспользуемся формулой композиции для операторов дробного интегродифференцирования, доказанной в [12], 1-β -β 1-2β I1 (x) = Dx1 (1 - x)1-2β Dx1 (1 - x)β-1 τ (x) = (1 - x)-β Dx1 τ (x). Рассмотрим два случая изменения параметра a: 1) a 0, 2) 0 < a 1 - β. 24 (10) Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . Исследуем -β a I2 (x) = D0x x1-2β D0x xβ-1 τ (x). (11) В результате ряда преобразований (11) примет вид I2 (x) = Γ(β - a)x-a Γ2 (β)Γ2 (-a) 1 0 (1 - z)β-1-a τ (xz) F (2β - 1, -a; β - a; 1 - z)dz. (12) z 1-β При a < 0 в силу (9), (10), (11), (12) и условий теоремы 1 (1 - x)β I1 (x) ∈ C[0,1), а при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - 2β; (1 - x)β I2 (x) ∈ C(I), а при x = 0 и x = 1 обращается в ноль. При a = 0 (1 - x)β 1 τ (xz)dz (1 - x)β I2 (x) = . 1-β Γ(β) 0 [z(1 - z)] Следовательно, (1 - x)β I2 (x) ∈ C(I). Рассмотрим случай, когда 0 < a 1 - β. Так как параметр a в I1 (x) ∗ отсутствует, исследуем только I2 (x) = (1 - x)β I2 (x): ∗ I2 (x) = (1 - x)β d Γ(β)Γ(1 - a) dx x 0 t1-β dt (x - t)a t 0 ξ β-1 τ (ξ)dξ . (t - ξ)1-β Поменяв порядок интегрирования, а затем продифференцировав, будем иметь ∗ I2 (x) = (1 - x)β Γ(1 - a + β) 1 0 (1 - a)x-a τ (xz) + x1-a zτ (xz) × z 1-β (1 - z)a-β × F (2β - 1, 1 - a; 1 - a + β; 1 - z)dz. Поскольку a 1 - β, справедливы неравенства a - β 1 - 2β, 0 < 1 - ∗ - 2β < 1. Следовательно, I2 (x) ∈ C(0, 1] и при x = 0 может обращаться в бесконечность порядка a. Таким образом, при выполнении условий теоремы 1 вопрос существования решения задачи (1)-(3) редуцирован к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре x ν(x) + 0 a1 (x)ν(t)dt = f1 (x), tβ (x - t)a+β где f1 (x) ∈ C 1 (I) и при x = 0 может обращаться в бесконечность порядка a, если 0 < a < 1 - β, а при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - 2β. Единственное решение уравнения (13) может быть построено методом последовательных приближений. Замечание. Если a = 1 - β, то из (7) сразу находим ν(x) = γ(x) k2 [(1 - x)-β B(x) + x-β A(x)] и решение u(x, y) записываем по формуле (5). 25 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. 2. Случаи неединственности решения задачи. Теорема 2. Пусть выполнены условия b = 1 - β, 1 - β < a 2 - β; ν(x) = xa+2β-2 ν1 (x), ν1 (0) = 0, ν1 (x) ∈ C 1 (I); τ (x) = xσ τ1 (x), σ a, 2 (I) ∩ C 4 (I); B(x) = (1 - x)β b (x); A(x), b (x) ∈ C(I) ∩ C 1 (I); τ1 (x) ∈ C 2 2 A(x) · b2 (x) = 0 ∀x ∈ I. Тогда задача (1)-(3) имеет более одного решения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случай, когда b = 1 - β, a = 2 - β. Из (7) при A(x) = 0 имеем ν (x) + B(x) x A(x) 1 - x β - xβ γ(x) β ν(x) = . x k2 A(x) Уравнение (14) является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка и решение его, содержащее произвольную постоянную, можно выписать согласно общей теории. В силу этого решение задачи (1)-(3) не единственно. Теперь рассмотрим случай, когда b = 1 - β, 1 - β < a < 2 - β, A(x) = 0. С учетом условий теоремы 2 уравнение (7) принимает вид b2 (x)ν(x) + a2 (x) d dx x 0 t-β ν(t)dt 1 = γ(x), a+β-1 k2 (x - t) где a2 (x) = A(x) . Γ(2 - a - β) Исследуем гладкость γ(x) - правой части уравнения (15). Нетрудно показать, что 1-2β I1 (x) = (1 - x)-β Dx1 τ (x) = = (1 - x)-β 1 τ (1) - Γ(2β) Γ(2β)(1 - x)1-2β 1 x τ (t)dt ; (t - x)1-2β d2 a-2 1-2β -β β-1 D x D0x x τ (x) = dx2 0x τ (xz) F (2β-1, 2-a; 2-a+β; 1-z)dz. 1-β (1 - z)a-β+1 z -β a I2 (x) = D0x x1-2β D0x xβ-1 τ (x) = = d2 2-a 1 x Γ(2 - a + β) dx2 1 0 Дифференцируя дважды I2 (x), в результате несложных преобразований с учетом условий теоремы 2 можно заключить, что I1 (x) ∈ C[0,1) ∩ C 1 (I) и при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - β, I2 (x) ∈ C(I) ∩ C (1,µ) (I), 0 < µ 1. Итак, правая часть уравнения (15) γ(x) ∈ C[0,1)∩C 1 (I) и при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - β. 26 Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . Для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что однородное уравнение, соответствующее (15), b2 (x)ν(x) + a2 (x) x d dx 0 t-β ν(t)dt =0 (x - t)a+β-1 имеет нетривиальное решение. Аналогично [9] введем новую неизвестную функцию x ϕ(x) = 0 t-β ν(t)dt (x - t)a+β-1 и применим формулу обращения f (x) = x sin(πµ) d π dx 0 F (t)dt (x - t)1-µ интегрального уравнения Абеля [11, с. 38, 39] x 0 f (t)dt = F (x), (x - t)µ 0<µ<1 к уравнению (17). В результате получим ν(x) = xβ sin(π[a + β - 1]) d π dx x 0 ϕ(t)dt . (x - t)2-a-β Подставляя ν(x) в (16), после преобразований будем иметь a2 (x) xβ-1 b2 (x) sin(π[a + β - 1]) d ϕ(x) + × dx π x ϕ(z)dz × (a + β - 1) + (x - z)2-a-β 0 x 0 zϕ (z)dz = 0. (19) (x - z)2-a-β Из (17) с учетом условий теоремы 2 следует 1 z a+β-2 (1 - z)1-β-a ν1 (xz)dz ϕ(x) = 0 и ϕ(0) = B(a + β - 1, 2 - β - a)ν1 (0) = c0 = const = 0. Обозначив ψ(x) = d ϕ(x), dx будем иметь (20) x ϕ(x) = c0 + ψ(t)dt. (21) 0 27 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. Подставляя (20) и (21) в (19), после некоторых преобразований получим x ψ(x) + a∗ (x) 0 ψ(t)dt = xa+2β-2 h(x), (x - t)2-a-β (22) где a∗ (x) = sin(π[a + β - 1])xβ b2 (x) , πa2 (x) h(x) = - c0 sin(π[a + β - 1])xa+2β-2 b2 (x) . πa2 (x) Уравнение (22) - уравнение Вольтерра второго рода. Методом последовательных приближений можно показать, что оно имеет решение в классе функций ψ(x) = xa+2β-2 ψ1 (x), где ψ1 (x) ∈ C(I) ∩ C 2 (I). Следовательно, существует нетривиальное решение уравнения (22) и делается заключении о неединственности решения задачи (1)-(3). Докажем существование решения задачи. Уравнение (15), с учетом замен (17) и (20), примет вид x ψ(x) + 0 k(x, a)ψ(t)dt = f2 (x), (x - t)2-a-β (23) где k(x, a) = a∗ (x), f2 (x) = h(x)xa+2β-2 + γ(x) . k2 a2 (x) Учитывая условия теоремы 2 и проведенные вычисления, заметим, что f2 (x) представимо в виде f2 (x) = xa+2β-2 (1 - x)β-1 f2 (x), где f2 (x) ∈ C(I). Уравнение (23) - уравнение Вольтерра второго рода. Оно имеет нетривиальное решение в классе функций, к которому принадлежит правая часть f2 (x). По найденному ψ(x) определяется ϕ(x) из (21) и ν(x) из (18), а следовательно, и решение задачи (1))-(3) по формуле (5). Далее регулярным решением уравнения (1) в области Ω назовем функцию u(x, y) ∈ C(I) ∩ C 2 (Ω), удовлетворяющую уравнению (1) и такую, что uy (x, 0) = xa+2β-2 ν1 (x), а ν1 (x) - достаточное число раз дифференцируемая функция в некоторой окрестности (0, δ) точки x = 0 и ν1 (0) = 0. Теорема 3. Пусть b = 1 - β, 1 - β + k < a < 2 - β + k, k = 1, 2, . . . ; τ (x) = xσ τ1 (x), σ a, τ1 (x) ∈ C k+1 (I); B(x) = x(1 - x)1-β b3 (x), A(x), b3 (x) ∈ C(I), A(x)b3 (x) = 0 ∀x ∈ I. Тогда задача (1)-(3) имеет бесчисленное множество линейно независимых регулярных решений. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что теорема 3 справедлива при k = 1. В этом случае уравнение (7) примет вид x(1 - x)1-2β b3 (x) + a3 (x) 28 d2 dx2 x 0 t-β ν(t)dt = γ(x), (x - t)a+β-2 Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . где a3 (x) = Γ(3 - a - β)A(x). Для доказательства теоремы 3 достаточно показать, что соответствующее (24) однородное уравнение имеет нетривиальное решение. Как и ранее, обозначая x ϕ(x) = 0 t-β ν(t)dt (x - t)a+β-2 и применяя формулу обращения интегрального уравнения Абеля, получим a3 (x) sin(π[a + β - 2]) d2 ϕ(x) + xβ (1 - x)1-2β b3 (x)× dx2 π x x ϕ(t)dt tϕ (t)dt × (a + β - 2) + = 0. (26) 3-a-β 3-a-β 0 (x - t) 0 (x - t) Из (25) легко видеть, что ϕ(0) = 0, ϕ (0) = B(a + β - 1, 3 - a - β)ν1 (0) = c1 = 0. Пологая d2 ϕ(x) = ψ(x) dx2 и интегрируя дважды, будем иметь x (x - ξ)ψ(ξ)dξ + c1 x, ϕ(x) = c1 = const. (27) 0 Пусть a3 (x) = 0. Учитывая (27), уравнению (26) можно придать вид x ψ(x) + ψ(ξ)K1 (x, ξ)dξ = γ1 (x), 0 где K1 (x, ξ) = γ1 (x) = - sin(π[a + β - 2]) b3 (x) 1+β x (1 - x)1-2β , π(a + β - 2) a3 (x) sin(π[a + β - 2]) b3 (x) a+2β-1 x (1 - x)1-2β . π a3 (x) Так как 2 - β - a < 0, уравнение (28) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром K1 (x, ξ) ∈ C(I × I) и непрерывной правой частью γ1 (x). Известно [13], что уравнение (28) имеет на I единственное непрерывное решение, которое определяется по формуле x ψ(x) = γ1 (x) + R(x, t)γ1 (t)dt, 0 где R(x, t) - резольвента ядра K1 (x, t). 29 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. Следовательно, при k = 1 решение задачи (1)-(3) не единственно. Для доказательства существования решения задачи вернемся к уравнению (24) и, проделывая те же вычисления, получим уравнение Вольтерра второго рода x γ(x) ψ(x) + ψ(ξ)K1 (x, ξ)dξ = γ1 (x) + a3 (x) 0 с непрерывным ядром и непрерывной правой частью, которое имеет единственное непрерывное решение в классе непрерывных функций. Применяя метод математической индукции, аналогично [9], можно доказать теорему 3, если k - 1 < a + β - 1 < k. Принадлежность ν(x) классу C 1 (I) обеспечивается гладкостью известных функций. Нетрудно доказать справедливость следующего утверждения. Теорема 4. Если a = n+1-β, b = 1-β, n = 1, 2, . . . ; B(x) = (1 - x)1-β b(x), n + 1 - β, A(x), b(x), γ(x) ∈ C(I), A(x) = 0 ∀x ∈ I; τ (x) = xσ τ1 (x), σ τ1 (x) ∈ C n+1 (I), где n - целая часть a, то при ν1 (0) = 0 задача (1)-(3) имеет более одного регулярного решения. Таким образом, установлены промежутки изменения порядков операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, входящих в краевое условие и связанных с параметрами рассматриваемого уравнения, при которых исследуемые задачи либо однозначно разрешимы, либо доказана неединственность их решений.

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; matstat@mail.ru; Corresponding Author), Head of Department, Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics 141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation

Svetlana K Kumykova

Kabardino-Balkarian State University

Email: bsk@rect.kbsu.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; bsk@rect.kbsu.ru), Associate Professor, Dept. of Function Theory 173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russian Federation

References

Supplementary files