On the solvability of nonlocal problem with generalized operators M. Saigo for Bitsadze-Lykov equation

Full Text

1. Введение. Рассмотрим уравнение гиперболического типа LU = y 2 Uxx - Uyy + bUx = 0, |b| < 1, (1) которое принято называть уравнением Бицадзе-Лыкова или уравнением влагопереноса [2, с. 234], в области D, являющейся объединением двух характеристических треугольников ABC1 = D1 с вершинами A(0, 0), B(1, 0), C1 (1/2, -1) и ABC2 = D2 с вершинами A, B, C2 (1/2, 1). Введем следующие обозначения: I ≡ AB, Θ0 (x) и Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0) ∈ I, с характеα,β,η α,β,η ристиками AC1 и BC2 соответственно; (I0+ f )(x) и (I1- f )(x) - операторы © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами М. Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 33-41. doi: 10.14498/vsgtu1363. ∗ Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 33 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. обобщённого дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z), введённые в [3] (см. также [4, с. 326-327]) и имеющие при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x t  x  (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - f (t) dt, α > 0;   Γ(α) x 0 α,β,η n (I0+ f )(x) = d α,β,η α+n,β-n,η-n  (I0+ f )(x) = (I0+ f )(x),   dx  α 0, n = [-α] + 1); α,β,η (I1- f )(x) =   (1 - x)-α-β     Γ(α)  1 (t - x)α-1 F α + β, -η; α; x t-x f (t) dt, 1-x α > 0;  α,β,η d  (I  1- f )(x) = -   dx  n α+n,β-n,η-n f )(x), (I1- α 0, n = [-α] + 1). α,β,η α,β,η Если α + β = 0, то операторы (I0+ f )(x) и (I1- f )(x) сводятся к дробα f )(x), (I α f )(x) и производным (D α f )(x), (D α f )(x) ным интегралам (I0+ 1- 0+ 1- Римана-Лиувилля [4, с. 41-44]; H λ [0, 1] (0 < λ 1) - класс функций, удовлетворяющих на отрезке [0, 1] условию Гёльдера порядка λ. Для уравнения (1) поставим и изучим следующую нелокальную задачу. Задача. Найти функцию U (x, y) со свойствами: LU ≡ 0 в области D = D1 ∪ D2 ; (2) U (x, y) ∈ C(D) ∩ C 1 (D \ I) ∩ C 2 (D \ I); U (x, +0) = U (x, -0) (x ∈ I), 1 a,b1 ,b1 + 2 - 1 2 A1 I0+ t lim Uy (x, y) = lim Uy (x, y), y→0+ y→0- a+ 1-b ,b1 + 1 ,b1 - 1-b 4 2 4 U [Θ0 (t)] (x) + A2 I0+ a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + A3 I0+ 1 a,b1 ,b1 + 2 B1 I1- 1 a+ 1-b ,b1 + 2 ,b1 - 1-b 4 4 1 a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + B3 I1- (3) U (t, -0) (x)+ Uy (t, -0) (x) = ϕ1 (x), (1 - t)- 2 U [Θ1 (t)] (x) + B2 I1- x ∈ I; x ∈ I; (4) U (t, +0) (x)+ Uy (t, +0) (x) = ϕ2 (x), x ∈ I; (5) где Ai , Bi , i = 1, 2, 3 - вещественные константы, на которые ниже будут наложены условия; |b| - 1 1-b 0, α,β,η α,-α-η,-α-β I1- ϕ (x) = (1 - x)-α-β-η I1- ϕ (x), α > 0, α,β,η γ,δ,η-β-γ-δ α+γ,β+δ,η-γ-δ I0+ I0+ ϕ (x) = I0+ ϕ (x), α,β,η γ,δ,η-β-γ-δ α+γ,β+δ,η-γ-δ I1- I1- ϕ (x) = I1- ϕ (x), (9) γ > 0, γ > 0, получим соотношение между τ± (x) и ν± (x), принесенное на I из областей D1 и D2 соответственно: a+ 1-b ,b1 + 1 ,b1 - 1-b 4 2 4 (A1 k1 + A2 ) I0+ τ- (t) (x)+ a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + (A1 k2 + A3 ) I0+ ν- (t) (x) = ϕ1 (x), (10) 35 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. 1 a+ 1+b ,b1 + 2 ,b1 - 1+b 4 4 (B1 k3 + B2 ) I1- τ+ (t) (x)- a+ 3+b ,b1 ,b1 - 1+b 4 4 - (B1 k4 - B3 ) I1- ν+ (t) (x) = ϕ2 (x). (11) 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 2 4 Применив к обеим частям (10) оператор I0+ , а к обеим 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 2 I1- 4 частям (11) оператор , и используя свойства операторов дробного интегрирования и дифференцирования [4, с. 327] α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ I0+ ϕ (x) = I0+ ϕ (x), γ > 0, α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I1- I1- ϕ (x) = I1- ϕ (x), γ > 0, α,-α,η α ϕ (x) = I0+ ϕ (x), I0+ α > 0, α,-α,η ϕ I1- -α,α,η ϕ I0+ -α,α,η I1- ϕ α > 0, α (x) = I1- ϕ (x), (x) = α D0+ ϕ (x), α > 0, α (x) = D1- ϕ (x), α > 0, а также полагая τ+ (x) = τ- (x) = τ (x), получаем равенства ν- (x) = - ν+ (x) = 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x)+ A1 k 2 + A3 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 ϕ1 (t) (x), (12) + I0+ 4 A1 k2 + A3 1 B1 k 3 + B2 2 D1- τ (t) (x)- B1 k 4 - B3 - 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 I1- 4 ϕ2 (t) (x), (13) B1 k 4 - B3 При ϕ1 (x) = ϕ2 (x) ≡ 0 равенства (12) и (13) примут вид 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x), A1 k2 + A3 1 B1 k3 + B2 2 ν+ (x) = D1- τ (t) (x). B1 k4 - B3 Потребуем теперь, чтобы выполнялись следующие условия: ν- (x) = - A1 , A2 > 0, A1 k 2 + A3 < 0 или A1 , A2 < 0, A1 k2 + A3 > 0; (14) B1 , B2 > 0, B3 - B1 k4 > 0 или B1 , B2 < 0, B3 - B1 k4 < 0. (15) В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [9] положительный максимум (отрицательный минимум) функции U (x, y) достигается в областях D1 и D2 в точке (x0 , 0) ∈ I. 36 О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами. . . Пользуясь тем, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [10, с. 123], и учитывая (14), (15), получаем неравенства ν- (x0 ) > 0 (ν- (x0 ) < 0) и ν- (x0 ) < 0 (ν- (x0 ) > 0). Эти неравенства противоречат условию сопряжения (3). Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи для уравнения (1), если |b| < 1. 3. Существование решения задачи. Подействуем на обе части равенства -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 4 2 (10) оператором I0+ , а на обе части равенства (11) - опера- -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- 4 тором . На основании двух последних формул из (9) получим τ (x) = - 1 1 A1 k2 + A3 2 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 ϕ1 (t) (x), I0+ ν- (t) (x) + I0+ 4 A1 k1 + A2 A1 k1 + A2 1 B1 k 4 - B3 2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- ν+ (t) (x) + I1- 4 ϕ2 (t) (x), B1 k 3 + B2 B1 k 3 + B2 откуда вытекает равенство τ (x) = 1 1 2 2 γ1 I0+ ν(t) (x) + γ2 I1- ν(t) (x) = f1 (x), (16) где A1 k 2 + A3 B3 - B1 k4 , γ2 = , ν(x) = ν- (x) = ν+ (x), A1 k 1 + A2 B1 k3 + B2 1 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 ϕ1 (t) (x)+ f1 (x) = - I0+ 4 A1 k1 + A2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 + I1- 4 ϕ2 (t) (x). B1 k3 + B2 γ1 = - 1 2 Применяя к обеим частям (16) оператор D0+ и учитывая соотношения [4, с. 50-51] α α D0+ I0+ f = f, α > 0, α α Da+ Ib- ϕ = cos(πα)ϕ(x) + sin(πα) π b a τ -a x-a α ϕ(τ )dτ , τ -x приходим к уравнению γ1 ν(x) + γ2 π 1 0 t x 1 2 1 ν(t)dt 2 = D0+ f1 (t) (x). t-x (17) Исследуем вопрос разрешимости интегрального уравнения (17). Произведя в (17) замену 1 µ(x) = x 2 ν(x), 1 1 2 f (x) = x 2 D0+ f1 (t) (x), 37 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. получим характеристическое особое интегральное уравнение с ядром Коши [11] γ2 1 µ(t)dt γ1 µ(x) + = f (x), x ∈ I. (18) π 0 t-x Для выяснения гладкости правой части f (x) интегрального уравнения (18) нам потребуется две леммы из работы [12]. 1 и β < min[0, η + 1]. Если ϕ(x) ∈ H λ [0, 1], Лемма 1. Пусть 0 < -α < λ то α,β,η I0+ ϕ (x), α,β,η I1- ϕ (x) ∈ H min[α+λ,-β] [0, 1]. 1 и η > β - 1. Если ϕ(x) ∈ H λ [0, 1], то (x) ∈ H α+λ [0, 1]. Лемма 2. Пусть 0 < -α < λ xβ α,β,η I0+ ϕ (x), (1 - α,β,η I1- ϕ x)β Так как 0 получим соотношение между τ± (x) и ν± (x), принесенное на I из областей D1 и D2 соответственно: a+ 1-b ,b1 + 1 ,b1 - 1-b 4 2 4 (A1 k1 + A2 ) I0+ τ- (t) (x)+ a+ 3-b ,b1 ,b1 - 1-b 4 4 + (A1 k2 + A3 ) I0+ ν- (t) (x) = φ1 (x), (10) 35 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. 1 a+ 1+b ,b1 + 2 ,b1 - 1+b 4 4 (B1 k3 + B2 ) I1- τ+ (t) (x)- a+ 3+b ,b1 ,b1 - 1+b 4 4 - (B1 k4 - B3 ) I1- ν+ (t) (x) = φ2 (x). (11) 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 2 4 Применив к обеим частям (10) оператор I0+ , а к обеим 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 2 I1- 4 частям (11) оператор , и используя свойства операторов дробного интегрирования и дифференцирования [4, с. 327] α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ I0+ φ (x) = I0+ φ (x), γ > 0, α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I1- I1- φ (x) = I1- φ (x), γ > 0, α,-α,η α > 0, α φ (x) = I0+ φ (x), I0+ α,-α,η α > 0, φ I1- -α,α,η φ I0+ -α,α,η I1- φ α (x) = I1- φ (x), (x) = α D0+ φ (x), α > 0, α α > 0, (x) = D1- φ (x), а также полагая τ+ (x) = τ- (x) = τ (x), получаем равенства ν- (x) = - ν+ (x) = 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x)+ A1 k 2 + A3 1 -a- 3-b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 φ1 (t) (x), (12) + I0+ 4 A1 k2 + A3 1 B1 k 3 + B2 2 D1- τ (t) (x)- B1 k 4 - B3 - 1 -a- 3+b ,-b1 ,a+b1 + 1 2 I1- 4 φ2 (t) (x), (13) B1 k 4 - B3 При φ1 (x) = φ2 (x) ≡ 0 равенства (12) и (13) примут вид 1 A1 k1 + A2 2 D0+ τ (t) (x), A1 k2 + A3 1 B1 k3 + B2 2 ν+ (x) = D1- τ (t) (x). B1 k4 - B3 Потребуем теперь, чтобы выполнялись следующие условия: ν- (x) = - A1 , A2 > 0, или A1 , A2 < 0, (14) A1 k 2 + A3 < 0 A1 k2 + A3 > 0; B1 , B2 > 0, или B1 , B2 < 0, (15) B3 - B1 k4 > 0 B3 - B1 k4 < 0. В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [9] положительный максимум (отрицательный минимум) функции U (x, y) достигается в областях D1 и D2 в точке (x0 , 0) ∈ I. 36 О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами. . . Пользуясь тем, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [10, с. 123], и учитывая (14), (15), получаем неравенства ν- (x0 ) > 0 (ν- (x0 ) < 0) и ν- (x0 ) < 0 (ν- (x0 ) > 0). Эти неравенства противоречат условию сопряжения (3). Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи для уравнения (1), если |b| < 1. 3. Существование решения задачи. Подействуем на обе части равенства -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 4 2 (10) оператором I0+ , а на обе части равенства (11) - опера- -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- 4 тором . На основании двух последних формул из (9) получим τ (x) = - 1 1 A1 k2 + A3 2 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 φ1 (t) (x), I0+ ν- (t) (x) + I0+ 4 A1 k1 + A2 A1 k1 + A2 1 B1 k 4 - B3 2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- ν+ (t) (x) + I1- 4 φ2 (t) (x), B1 k 3 + B2 B1 k 3 + B2 откуда вытекает равенство τ (x) = 1 1 2 2 γ1 I0+ ν(t) (x) + γ2 I1- ν(t) (x) = f1 (x), (16) где A1 k 2 + A3 B3 - B1 k4 , γ2 = , ν(x) = ν- (x) = ν+ (x), A1 k 1 + A2 B1 k3 + B2 1 -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 φ1 (t) (x)+ f1 (x) = - I0+ 4 A1 k1 + A2 1 -a- 1+b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 + I1- 4 φ2 (t) (x). B1 k3 + B2 γ1 = - 1 2 Применяя к обеим частям (16) оператор D0+ и учитывая соотношения [4, с. 50-51] α α D0+ I0+ f = f, α > 0, α α Da+ Ib- φ = cos(πα)φ(x) + sin(πα) π b a τ -a x-a α φ(τ )dτ , τ -x приходим к уравнению γ1 ν(x) + γ2 π 1 0 t x 1 2 1 ν(t)dt 2 = D0+ f1 (t) (x). t-x (17) Исследуем вопрос разрешимости интегрального уравнения (17). Произведя в (17) замену 1 μ(x) = x 2 ν(x), 1 1 2 f (x) = x 2 D0+ f1 (t) (x), 37 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. получим характеристическое особое интегральное уравнение с ядром Коши [11] γ2 1 μ(t)dt γ1 μ(x) + = f (x), x ∈ I. (18) π 0 t-x Для выяснения гладкости правой части f (x) интегрального уравнения (18) нам потребуется две леммы из работы [12]. 1 и β < min[0, η + 1]. Если φ(x) ∈ H λ [0, 1], Лемма 1. Пусть 0 < -α < λ то α,β,η I0+ φ (x), α,β,η I1- φ (x) ∈ H min[α+λ,-β] [0, 1]. 1 и η > β - 1. Если φ(x) ∈ H λ [0, 1], то (x) ∈ H α+λ [0, 1]. Лемма 2. Пусть 0 < -α < λ xβ α,β,η I0+ φ (x), (1 - α,β,η I1- φ x)β Так как 0<a+ b+1 <λ 4 1 < min[0, 1 + a + b1 ], 2 -b1 - 1, -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 4 2 а φ1 (x), φ2 (x) ∈ H λ [0, 1], на основании леммы 1 I0+ -a- 1-b ,-b1 - 1 ,a+b1 2 I1- 4 φ2 (t) φ1 (t) (x), (x) ∈ H λ0 [0, 1], где λ0 = min λ - a - b+1 1 , b1 + . 4 2 Следовательно, f1 (x) ∈ H λ0 [0, 1]. В силу условий (6) λ0 = λ - a - b+1 . 4 Далее, поскольку 1/2 < λ0 < 1, а 1 1 1 - 1 , 2 ,η 1 2 2 x 2 D0+ f1 (x) = x 2 I0+ 1 f1 (x), 1 2 используя лемму 2, имеем f (x) = x 2 D0+ f1 (x) ∈ H λ1 [0, 1], где λ1 = λ - a - b-1 . 4 2 2 Так как γ1 + γ2 = 0, уравнение (18) является уравнением нормального типа. Его индекс равен нулю в классе функций, которые при x → 0 ограничены, а при x → 1 могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы. Используя известную теорию сингулярных интегральных уравнений (см., например, формулу (30.16) из [4, с. 444]), можно выписать единственное решение уравнения (10) в яном виде. Справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть |b| < 1, 38 |b| - 1 1-b <a< , 4 4 a+ b-1 3+b < b1 < a + ; 4 4 О разрешимости нелокальной задачи с обобщенными операторами. . . Ai , Bi , i = 1, 2, 3 - такие действительные константы, что выполняются условия (14), (15); функции φ1 (x) и φ2 (x) удовлетворяют условиям (7). Тогда 1 задача (2)-(5) для уравнения (1) при ν(x) = x- 2 μ(x) имеет единственное решение.

About the authors

Anna V Tarasenko

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; tarasenko.a.v@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation

Irina P Egorova

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: ira.egorova81@yandex.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; ira.egorova81@yandex.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation

References

Supplementary files