Exact analytical solution for the stationary two-dimensional heat conduction problem with a heat source

Full Text

Получение аналитических решений двумерных краевых задач на основе уравнения Пуассона представляет значительный практический интерес изза их широкого применения при анализе различных физических процессов (теплопроводности, течения жидкостей, теории упругости, термоупругости, кручения призматических тел и др.) [1–5]. Трудность их решения объясняется двумерностью краевой задачи и неоднородностью исходного дифференциального уравнения. Известное точное аналитическое решение представляет сложный бесконечный функциональный ряд, содержащий гиперболические функции [5]. Из приближенных аналитических методов решения краевых задач теплопроводности большое распространение получил интегральный метод теплового баланса, относящийся к группе ортогональных методов взвешенных невязок [6–14, 19]. С его помощью можно получать приближенные аналитические решения краевых задач, получение точных решений которых не предоставляется возможным (нелинейные краевые задачи с переменными физическими свойствами среды и др.). Однако основным недостатком этих методов является низкая точность, объясняемая тем, что при их использовании требуется выполнение осредненного исходного уравнения (интеграла теплового баланса). Применение дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий позволяет удовлетворить исходное дифференциальное уравнение в зависимости от числа приближений искомого решения с заданной степенью точности. Отметим, что методы, основанные на выполнении уравнения в граничных точках, рассмотрены также в работах [15–18]. В настоящей работе точное аналитическое решение получено на основе метода Бубнова—Галеркина с использованием ортогональных систем тригонометрических координатных функций, что позволяет существенно упростить как процесс получения решения, так и окончательное выражение для него из-за возможности сведения решения бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к интегрированию одного обобщенного дифференциального уравнения. Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для бесконечного бруса квадратного сечения с источником теплоты в следующей математической постановке: 2 (, ) 2 (, ) + = , 0 < < , 0 < < ; 2 2 (, ) (, ) (, ) = , = 0, = 0, (, ) = , =0 =0 (1) (2) где — температура, К; , — координаты, м; — мощность внутреннего источника теплоты, Вт/м3 ; — коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К); — температура стенки, К; — половина стороны сечения бруса, м. Ввиду симметрии температурного поля рассматривается только четверть поперечного сечения бруса. В работе [7] на основе определения дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий получено приближенное аналитическое решение задачи (1), (2) (второе приближение). Однако нахождение решения для большего числа приближений затруднительно в виду громоздкости получаемых выражений, что связано с использованием сложного вида дополнительных граничных условий. С целью упрощения процесса получения точного аналитического решения введём следующие безразмерные переменные и параметры: = , = , = , = 2 , (3) где — безразмерная температура; , — безразмерные координаты ( [0, 1], [0, 1]); — безразмерный параметр. С учетом обозначений (3) задача (1), (2) запишется следующим образом: 2 (, ) 2 (, ) + + = 0, 0 < < 1, 0 < < 1; 2 2 (, ) = 0, =0 (1, ) = 0, (, ) = 0, =0 (, 1) = 0. (4) (5) (6) (7) (8) Решение задачи (4)—(8) принимается в виде (, ) = () (), (9) =1 ( ) где () — неизвестные коэффициенты; = cos 21 2 — координатные функции, = 1, 2, . . . . Соотношение (9) благодаря принятой системе координатных функций точно удовлетворяет граничным условиям (7), (8). Для определения неизвестных функций (), следуя методу Бубнова–Галеркина, составим невязку уравнения (4) (и потребует ее ортогональности ко всем координатным функциям ) = cos 21 : 2 1 [ 2] (, ) 2 (, ) + + () = 0, = 1, 2, . . . . (10) 2 2 0 Подставляя (9) в (10), находим [ 1 0 =1 '' () () ( 2 1 )2 2 ] 2 () () ()+ + 1 () = 0, = 1, 2, . . . . (11) 0 Соотношение (11) представляет бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций (). Но из-за ортогональности введенных тригонометрических функций (11) распадается на следующие дифференциальные уравнения: ( 2 1 )2 (1)+1 4 '' () 2 () + = 0, = 1, 2, . . . . (12) 2 (2 1) Интегрируя уравнение (12), находим ( 2 1 ) ( 2 1 ) (1)+1 16 () = 1 exp + 2 exp + , 2 2 (2 1)3 3 (13) где 1 , 2 — постоянные интегрирования, = 1, 2, . . . . Подставляя (13) в (9), получаем (, ) = [ =1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) + 2 exp + 1 exp 2 2 + (1)+1 16 ] (). (14) (2 1)3 3 Для определения постоянных интегрирования 1 и 2 составим невязку граничных условий (5), (6) и потребуем ортогональности невязки ко всем координатным функциям (): 0 1 (, ) () = 0, =0 1 (1, ) () = 0, = 1, 2, . . . . (15) 0 После подстановки (14) в (15) получим систему относительно неизвестных 1 и 2 : 2 1 = 0; ( 2 1 ) 16(1)1 ( 2 1 ) + 2 exp + = 0, 1 exp 2 2 (2 1)3 3 решение которой имеет вид (1) 1 = 2 = ( )3 ( 21 ) . 21 ch 2 2 (16) Ряд (14) с учетом найденных значений (16) представляет собой точное аналитическое решение задачи (4)—(8). Анализ результатов расчетов позволяет заключить, что ряд (14) «быстро» сходится. Максимальная относительная погрешность в чебышевской норме от точного решения находится по формуле (, ) (, ) ex max = · 100%, ex (, ) где ex (, ) — точное решение, представленное в [5]. При использовании одного члена ряда (14) (штриховые линии на рисунке) погрешность max не превышает 6 %, при использовании двух членов — не более 1.5 %, а при использовании трех членов ряда (сплошные линии на рисунке) — менее 1 %. Точное решение на рисунке не приведено, поскольку визуально оно неотличимо от решения при трех членах. Распределение температуры в различных сечениях бруса. Расчеты по формуле (14): штриховые линии — = 1, сплошные линии — = 3, где — число членов ряда (14), = 1 [Temperature distribution in different cross-sections of the bar. Calculations are made by Eq. (14): dashed lines for = 1, solid lines for = 3, where is the number of terms in the series (14), = 1] Отметим, что полученные по формуле (14) результаты в различных точках сечения бруса при любом количестве членов ряда (14) численно полностью совпадают с решением, приведенным в [5], однако отличаются простотой получения с безразмерным диапазоном изменения пространственных переменных ( [0, 1], [0, 1]) и возможностью изменения величины внутреннего источника теплоты . Выводы 1. На основе ортогонального метода Бубнова–Галеркина при использовании тригонометрических координатных функций получено точное аналитическое решение стационарной двумерной задачи теплопроводности для бесконечно-протяженного бруса квадратного сечения с объемным источником теплоты. 2. Благодаря ортогональности тригонометрических координатных функций, неизвестные функции () в бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых в результате применения метода Бубнова–Галеркина, расщепляются, что позволяет получить решение, точно удовлетворяющее дифференциальному уравнению и всем граничным условиям краевой задачи.

About the authors

Igor Vasilievich Kudinov

Samara State Technical University

Email: igor-kudinov@bk.ru
Candidate of technical sciences, no status

Olga Yuryevna Kurganova

Samara State Technical University

without scientific degree, no status

Vasily K. Tkachev

Samara State Technical University

References

Supplementary files