Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний, и особенности его приложения в теории идеальной пластичности

Аннотация

Рассматривается особенность построения решения краевых задач в теории плоской деформации идеального жёсткопластического тела при условии пластичности, связанном с линиями уровня поверхности деформационных состояний упрочняющегося несжимаемого жёсткопластического тела.

Полный текст

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 199-206 УДК 539.379 УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ, СВЯЗАННОЕ С ЛИНИЯМИ УРОВНЯ ПОВЕРХНОСТИ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ, И ОСОБЕННОСТИ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ А. А. Буханько Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С. П. Королeва (национальный исследовательский университет), 443086, Россия, Самара, Московское ш., 34. E-mail: abukhanko@mail.ru Рассматривается особенность построения решения краевых задач в теории плоской деформации идеального жёсткопластического тела при условии пла- стичности, связанном с линиями уровня поверхности деформационных состоя- ний упрочняющегося несжимаемого жёсткопластического тела. Ключевые слова: пластичность, поверхность деформационных состояний, жёсткопластическое тело. Введение. Традиционно приложением теории пластичности считаются за- дачи обработки материалов давлением. С другой стороны, приложение тео- рии пластического течения к задачам механики разрушения остается недо- статочно изученным. С точки зрения механики разрушения процесс разру- шения пластических тел состоит из двух этапов: достижения материалом предельного состояния (зарождение трещины) и образования новых свобод- ных поверхностей (распространение трещины) [1]. Если первый процесс обу- словлен рассеянием работы внутренних сил на пластических деформациях, связанных с упрочнением материала, вызывающих его повреждение, то вто- рой процесс происходит без упрочнения материала в связи с исчерпанием его пластических свойств. Условия второго этапа разрушения позволяют поста- вить задачу об определении пластического течения материала в условиях его предельного упрочнения при идеально пластических свойствах. 1. Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности де- формационных состояний. Если рассматривать несжимаемое упрочняющееся изотропное жёсткопластическое тело, то все его деформационные состояния будут лежать на гиперболической поверхности третьего порядка в простран- стве главных деформаций, рис. 1, а [2, 3]. Все деформационные процессы описываются линиями L на этой поверхности или их проекциями l на де- виаторной плоскости, рис. 1, б. Вид линий на поверхности зависит от исто- рии нагружения. В частности, ортогональным линиям будет соответствовать одноосное деформирование цилиндрического образца. Наиболее простой линией, характеризующей предельное состояние ма- териала, является сечение поверхности плоскостями, параллельными де- виаторной плоскости. Далее будем называть эти линии линиями уровня , рис. 1, б. Эти линии имеют вид замкнутого криволинейного треугольника с тремя осями симметрии [4-6]. Связь между поверхностью нагружения и предельным состоянием мате- Анастасия Андреевна Буханько (к.ф.-м.н., доцент), докторант, каф. высшей математики. 199 А. А. Б у х а н ь к о а б Рис. 1. Поверхности деформационных состояний и нагружения (а) и линии уровня (б) Рис. 2. Диаграмма нагружения для сплава ЭК79 Рис. 3. Проекции поверхности нагружения на девиаторную плоскость для сплава ЭК79 в пространстве главных напряжений 200 Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний . . . риала определяется гипотезой [7]: предельным состоянием материала счита- ется состояние исчерпания его пластических свойств, т.е. состояние предель- ного упрочнения. Предполагаем, что при определенном уровне деформирова- ния условие пластичности определяется формой линии уровня, размер кото- рой соответствует диаграмме нагружения для конкретного материала. Для того чтобы связать поверхность деформационных состояний и поверхность нагружения , необходимо перестроить диаграмму нагружения (см. рис. 2): предполагается использование гипотезы единой кривой, но построенной не в традиционных координатах интенсивностей касательных напряжений и де- формаций сдвига, а в виде зависимости текущего значения предела текучести S(IE), определяемого значением параметра упрочнения, который совпадает с модулем первого инварианта IE тензора конечных деформаций Альманси. Точке A предельного состояния материала на диаграмме нагружения соот- ветствует некоторая линия M на предельной поверхности или m на девиатор- ной плоскости. Причем, если материал монотонно однократно деформировал- ся, то положение предельной линии будет максимально удалено от точки O недеформированного состояния. Если же материал испытывал сложное на- гружение (включая циклическое с произвольной формой циклов), то линия предельного состояния примет другое положение, ближе к недеформирован- ному состоянию, согласно известной формуле Коффина Мэнсона [8]. Если рассматривать последовательность сечений поверхности деформа- ционных состояний плоскостями, параллельными девиаторной плоскости, то форма кривой текучести изменяется следующим образом: при приближении к недеформированному состоянию она будет стремиться к окружности, т.е. к условию пластичности Мизеса. При удалении от этой точки она будет при- нимать все более треугольнообразную форму, которая в пределе будет стре- миться к треугольнику. Переход с одной линии уровня на другую происходит при одной и той же мощности работы внутренних сил для всех ортогональ- ных процессов деформирования, которая совпадает с удельной мощностью работы внутренних сил при одноосном растяжении цилиндрического образ- ца. На рис. 3 представлены проекции поверхности нагружения на девиатор- ную плоскость для сплава ЭК79 в пространстве главных напряжений. Таким образом, при рассмотрении задач деформирования упрочняющего- ся жёсткопластического тела на каждом уровне деформаций для определения компонент тензора скорости деформации ij может быть поставлена задача теории идеальной пластичности при заданном параметре упрочнения, харак- теризующем положение поверхности нагружения. За параметр упрочнения выбирается модуль первого инварианта тензора конечных деформаций Аль- манси h = |IE|. 2. Формы записи условия пластичности. В работах [2, 3] уравнение линий уровня было представлено в виде системы уравнений, геометрически пред- ставляющей собой пересечение двух поверхностей: C1C2C3 = 1, H = 1