The energy levels and eigen wave functions of electrons in quantum rings in the magnetic field

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 326-333 УДК 51:530.145 УРОВНИ ЭНЕРГИИ И СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ СИСТЕМ КВАНТОВЫХ КОЛЕЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Е. В. Антропова, А. А. Брызгалов, Ф. И. Карманов Обнинский институт атомной энергетики - филиал НИЯУ МИФИ (национальный исследовательский ядерный университет МИФИ ), Россия, 249040, Обнинск, ул. Студгородок, 1. E-mails: antrolen@yandex.ru, sandro185@mail.ru, fikarm@yandex.ru Предложен вид потенциала, создаваемого квантовым кольцом, для которого можно получить аналитическое решение стационарного уравнения Шрёдингера. Найдено решение соответствующей задачи на собственные значения в терми- нах функций Хойна. Получено выражение для энергетических уровней невзаимо- действующих электронов в квантовом кольце в присутствии магнитного поля. Рассмотрены возможные сферы применения данной модели. Ключевые слова: квантовое кольцо, магнитное поле, квазиточнорешаемые мо- дели квантовой механики. Введение. В связи с развитием электроники и нанотехнологий возрос ин- терес к моделированию квантовых низкоразмерных систем с целью их изу- чения и дальнейшего использования. Поскольку создаваемые на практике наноструктуры обладают очень широким многообразием форм и размеров, определить вид потенциала, ограничивающего движение в них заряженных частиц (электронов), чрезвычайно трудно, поэтому нужны математические модели, позволяющие получать точные (или почти точные) решения. Тогда, сравнивая результаты эксперимента и модельного расчета, можно получить значения параметров модельного потенциала для конкретных структур и применять их в дальнейшем. К числу почти точно или квазиточнорешаемых задач относятся такие за- дачи, в которых в явном замкнутом виде удается получить не весь спектр ис- следуемой системы, а только его некоторую часть [1]. Часто это выражается в том, что для исследуемого спектра системы получается некоторое рекур- рентное соотношение, позволяющее вычислить требуемый участок точно или асимптотически точно, решая численно некоторые трансцендентные уравне- ния. Точно решаемые модели в квантовой физике важны сами по себе как модели реальных систем. Эти модели позволяют провести проверку точности численных процедур решения соответствующих дифференциальных уравне- ний и качества используемых приближений. Кроме того, они важны для оценки вкладов и поправок, вносимых в процессе аналитических расчетов методами теории возмущений. В работах [2, 3] предложены точно решаемые модели, которые могут быть использованы для изучения свойств квантовых колец и квантовых точек, находящихся в магнитном поле. В некоторых подходах к решению нестационарного уравнения Шрёдинге- ра требуется базис из собственных функций, являющихся решениями стаци- Елена Викторовна Антропова, магистрант, каф. общей и специльной физики. Александр Анатольевич Брызгалов, аспирант, каф. общей и специльной физики. Фёдор Иванович Карманов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. общей и специльной физики. 326 Уровни энергии и собственные волновые функции электронов . . . онарной задачи [4]. Однако существует не так много типов потенциалов, для которых можно получить аналитическое решение. В данной работе предла- гается следующая параметризация потенциала квантового кольца: V (r) = a-2 r2 + a-1 r + a1r + a2r2 + V0, (1) где a-2, a-1, a1, a2, V0 некоторые константы. 1. Постановка задачи. Рассматривается модель невзаимодействующих элек- тронов, движущихся в аксиально-симметричном квантовом кольце, характе- ризуемом внутренним и внешним радиусами R1 и R2, в присутствии посто- янного магнитного поля B, перпендикулярного плоскости кольца (рис. 1). Задана цилиндрическая система координат с началом отсчёта в центре коль- ца. Считается, что высота кольца достаточно мала, чтобы кольцо можно было считать плоским и не учитывать зависимость поля от переменной z. Ставится задача на собственные значения для стационарного уравнения Шрёдингера H(r, ) = E(r, ) (2) с гамильтонианом следующего вида: H = 2 2 - 1 r r r r - 1 r2 2 2 - i qB + q2B2 4 2 r2 + V (r), где постоянная Планка, эффективная масса электрона, B индук- ция магнитного поля, V (r) модельный потенциал. -функция должна удо- влетворять граничным условиям для радиальной составляющей (0, ) = = (, ) = 0, условию периодичности (r, ) = (r, + 2) и условию Рис. 1. Модель квантового кольца 327 Е. В. А н т р о п о в а, А. А. Б р ы з г а л о в, Ф. И. К а р м а н о в нормировки (r, )|(r, ) = 2 0 0 (r, )(r, )rdrd = 1. 2. Переход к уравнению Хойна. Волновая функция ищется в виде про- изведения функции, зависящей от r, и фазового множителя, зависящего от угла : (r, ) = eim f(r)/

About the authors

Elena Viktorovna Antropova

Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering of the National Research Nuclear University MEPhI

Email: antrolen@yandex.ru

Alexander Anatolievich Bryzgalov

Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering of the National Research Nuclear University MEPhI

Email: sandro185@mail.ru

Fedor Ivanovich Karmanov

Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering of the National Research Nuclear University MEPhI

Email: fikarm@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files