Том 20, № 3 (2016)

Изучена граничная задача Шварца для J-аналитических функций. Они представляют собой решения линейной комплексной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Рассмотрен тот случай, когда действительная и мнимая части матрицы J приводятся к треугольному виду одним и тем же комплексным преобразованием. В основной теореме доказан критерий для собственных чисел матрицы J, при выполнении которого в плоских областях, ограниченных контуром Ляпунова, решение задачи Шварца существует и единственно. Так же получена равносильная форма данного критерия, которая во многих случаях более удобна для проверки. При доказательстве теоремы используются известные факты о граничных свойствах λ-голоморфных функций. Само доказательство основано на методе прямой и обратной редукции задачи Шварца к задаче Дирихле для вещественных эллиптических систем в частных производных второго порядка. Построены примеры матриц, для которых указанный критерий выполнен.

Построена математическая модель, описывающая основное напряженно-деформированное состояние монолитной крепи вертикальной горной выработки для материалов с пористой структурой, сжатый скелет которой обладает упрочняющимися упругопластическими свойствами. Деформирование пористой среды под действием заданных радиальных сжимающих нагрузок разделяется на два взаимосвязанных этапа: упругое деформирование пористой среды и неупругое деформирование сжатой матрицы. Задача определения полей напряжений и перемещений крепи вертикальной выработки на каждом этапе деформирования решается в рамках плоского деформированного состояния. При этом не учитываются эффекты, связанные с тем, что выработка имеет конечную глубину. Получены соотношения, определяющие поля напряжений и перемещений на первом и втором этапах деформирования. В качестве условий совместности выбирались условия непрерывности компонент напряжений и перемещений на упругопластической границе, а также равенство нулю пластических деформаций на ней. В рамках точных трехмерных уравнений устойчивости исследована устойчивость основного состояния монолитной крепи вертикальной горной выработки в массивах горных пород со сжатыми порами. Дана оценка влияния на величину границы раздела сред упругого и пластического деформирования начальной пористости и предела текучести материала. Построены графики зависимостей компонент основного напряженного состояния от координаты при различных значениях величины начального раствора пор и других физико-механических и геометрических параметров материала и конструкции.

Для уравнений равновесия и совместности, описывающих ползущие плоские течения несжимаемой среды со степенной реологией, рассмотрен класс решений в форме произведения произвольной степени радиальной координаты на произвольную функцию угловой координаты полярной системы координат, покрывающей плоскость. Данный класс решений представляет асимптотику полей вблизи особой точки области, занятой рассматриваемой средой. Показана трансформация друг в друга точечными преобразованиями двух задач для плоскости с клиновидным вырезом, в одной из которых на границах выреза исчезают компоненты вектора поверхностных сил, а в другой - компоненты вектора скоростей. В ходе таких преобразований уравнения равновесия и совместности системы полевых уравнений переходят друг в друга, граничные условия одной задачи переходят в граничные условия другой задачи, а показатель степени реологического уравнения обращается. Для указанных двойственных нелинейных задач на собственные значения были изучены собственные решения и асимптотика полей вблизи вершины выреза в зависимости от показателя степени реологического уравнения и угла раствора выреза. При этом исследовалась ветвь собственных значений, связанная с собственным числом Хатчинсона-Райса-Розенгрена, известным по задаче о распределении напряжений в плоскости с разрезом для степенной среды. Двойственная задача дает распределение скоростей перемещений при течении степенной среды вблизи вершины жесткого клина. Найдены аналитические выражения для еще двух собственных чисел и установлено, что каждое из этих чисел отвечает за определенную простую структуру полей скоростей перемещений или напряжений в каждой из двойственных задач. Одно из этих собственных значений соответствует радиальному характеру течения среды и было обнаружено В. В. Соколовским, а в двойственной задаче отсутствует окружная компонента напряжений. Другое собственное значение соответствует одной ненулевой радиальной компоненте напряжений, а в двойственной задаче поле скоростей тривиально.

Исследуется нелинейное определяющее соотношение типа Максвелла для вязкоупругопластичных материалов с двумя произвольными материальными функциями одного аргумента с целью выявления арсенала его возможностей и области применимости, в частности, возможности подключения к нему критериев для описания разрушения при ползучести с постоянным или кусочно-постоянным напряжением. При минимальных первичных ограничениях на материальные функции выведены уравнения теоретических кривых длительной прочности, порожденных соотношением типа Максвелла в сочетании с деформационными и энергетическим (диссипативным) критериями разрушения, а также с интегральными критериями, учитывающими историю деформирования. Аналитически изучены и сопоставлены общие свойства этих кривых. Показано, что они адекватно описывают типичные свойства экспериментальных кривых длительной прочности вязкоупругопластических материалов. Для найденных зависимостей времен разрушения от напряжения проверено выполнение правила линейного накопления поврежденности при ступенчатом нагружении и выведены формулы для величины (и знака) отклонений от него. В частности доказано, что для нелинейного соотношения типа Максвелла в сочетании с диссипативным критерием разрушения всегда в точности выполняется правило линейного накопления поврежденности при любом ступенчатом нагружении, а для деформационного критерия оно, наоборот, никогда не выполняется, но дает оценку сверху или снизу для времени разрушения в зависимости от знака скачка напряжения.

Представлены результаты численного исследования динамического поведения деформируемой пластины, которая взаимодействует одновременно с внешним сверхзвуковым потоком газа и внутренним потоком жидкости. Основные уравнения, описывающие поведение идеальной сжимаемой жидкости в случае малых возмущений, записываются в терминах потенциала возмущенных скоростей и преобразуются с использованием метода Бубнова-Галеркина. Аэро- и гидродинамическое давления вычисляются согласно квазистатической аэродинамической теории и формуле Бернулли. Деформации пластины определяются с помощью теории, основанной на гипотезах Тимошенко. Математическая постановка задачи динамики упругой конструкции выполнена с использованием вариационного принципа возможных перемещений, в который включаются выражения для работы аэро- и гидродинамических сил. Вычисление комплексных собственных значений связанной системы двух уравнений осуществляется с помощью алгоритма на основе неявно перезапускаемого метода Арнольди. Оценка устойчивости основана на анализе комплексных собственных значений системы уравнений, полученной при последовательно возрастающей скорости течения жидкости или газа. Достоверность решения задачи подтверждена сравнением с известными численными и аналитическими результатами. Продемонстрировано существование различных видов неустойчивости в зависимости от скорости течения обоих потоков, задаваемых на краях пластины комбинаций кинематических граничных условий и высоты слоя жидкости. Установлено, что нарушение гладкости полученных зависимостей и диаграмм устойчивости обусловлено либо сменой моды флаттера, либо сменой типа потери устойчивости.