Том 21, № 4 (2017)

Рассматривается многомерное уравнение смешанного типа первого рода второго порядка с некоторыми условиями, накладываемыми на его коэффициенты. Для этого уравнения доказываются однозначная разрешимость и гладкость решения нелокальной краевой задачи с постоянными коэффициентами в пространствах С. Л. Соболева $W_{2}^{l}(Q)$, ($2\le l $ - целое число). Сначала изучена однозначная разрешимость обобщённого решения из пространства $W_{2}^{2}(Q)$. Единственность обобщённого решения для поставленной задачи доказывается методом априорных оценок. Для доказательства существования обобщённого решения задачи использован метод ε-регуляризации в сочетании с методом Галеркина. Использование полученных априорных оценок и применение теоремы о слабой компактности позволило с помощью предельного перехода получить решение рассматриваемого уравнения. Далее изучен вопрос гладкости обобщенного решения поставленной задачи.

Исследуются пространства конформной связности без кручения размерности 4, матрица связности которых удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса. Здесь мы обобщаем и усиливаем результаты, полученные нами в предыдущих статьях, где угловая метрика этих пространств имела сигнатуру Минковского. Обобщение состоит в том, что здесь мы исследуем пространства всех возможных сигнатур метрики, а усиление связано с тем, что дополнительное внимание уделяется вычислению матрицы кривизны и установлению свойств ее компонент. Показано, что уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения при произвольной сигнатуре угловой метрики сводятся к уравнениям Эйнштейна, уравнениям Максвелла и равенству тензора Баха угловой метрики и тензора энергии-импульса кососимметричного тензора заряда. Доказано, что в случае равенства нулю тензора Вейля уравнения Янга-Миллса имеют только автодуальные или антиавтодуальные решения, т.е. матрица кривизны конформной связности состоит из автодуальных или антиавтодуальных внешних 2-форм. При сигнатуре Минковского (анти)автодуальные внешние 2-формы могут быть лишь нулевыми. Вычислены компоненты матрицы кривизны в случае, когда угловая метрика произвольной сигнатуры является эйнштейновой, а связность удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса. В евклидовом и псевдоевклидовом 4-пространствах приведены некоторые частные автодуальные и антиавтодуальные решения уравнений Максвелла, к которым сводятся в данном случае все уравнения Янга-Миллса.

Рассматривается трехмерное уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами, для которого в параллелепипеде исследуется задача Дирихле. Исследование поставленной задачи проводится с помощью метода разделения переменных Фурье и спектрального анализа. Для поставленной задачи с помощью метода Фурье получены две одномерные спектральные задачи. На основании свойства полноты систем собственных функций этих задач доказана теорема единственности. Решение исследуемой задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя. В обосновании равномерной сходимости построенного ряда использовались асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, которые позволили доказать сходимость полученного ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.

Разработана математическая модель деформирования гибридных деревянных брусьев. Под гибридными понимаются брусья, образованные путем жесткого соединения (склеивания) по определенным контактным поверхностям набора слоев различных форм поперечных сечений и разных пород древесины. В общем случае брусья находятся в условиях сложного изгиба с растяжением-сжатием. Учитывается физическая нелинейность древесины, а также разное сопротивление растяжению и сжатию. В общем случае задача сводится либо к решению системы трех нелинейных алгебраических уравнений третьей степени относительно обобщенных деформаций поперечного сечения либо к системе трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент вектора перемещения точек оси стержня. Для решения полученных алгебраических уравнений используется метод Ньютона, решение дифференциальных уравнений производится с помощью метода галеркинского типа. Предложена аналитическая аппроксимация опытных диаграмм растяжения-сжатия древесины вдоль волокон в виде многочленов второй и третьей степени. Коэффициенты аппроксимирующих функций определяются двумя способами: с помощью метода наименьших квадратов, используя опытные диаграммы деформирования; с помощью наложения определенных требований на диаграммы, используя основные механические характеристики древесины (максимальные напряжения и деформации, модули упругости). Даны численные значения коэффициентов аппроксимации для 15-ти различных пород древесины. Приведенные примеры расчетов гибридных деревянных брусьев показали возможность возникновения скрытых механизмов разрушения (когда предельные деформации достигаются во внутренних слоях стержня). Установлено существенное влияние перестановки материалов слоев на напряженно-деформированное состояние конструкции. Разработанный в статье метод расчета гибридных стержневых деревянных конструкций открывает большие возможности для решения задач оптимизации при проектировании и позволяет рациональным способом использовать различные породы древесины.

Изучается новое точное решение переопределенной системы уравнений Обербека-Буссинеска, которое описывает стационарное сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном слое. Приведенное точное решение является обобщением класса Остроумова-Бириха для слоистого однонаправленного потока. В предложенном решении горизонтальные скорости зависят только от поперечной координаты z. Поле температуры и поле давление являются трехмерными. В отличие от решения Остроумова-Бириха, в представленном в статье решении горизонтальные градиенты температуры являются линейными функциями от координаты z. Такая структура точного решения позволяет найти нетривиальное решение уравнений Обербека-Буссинеска посредством тождественного равенства нулю уравнения несжимаемости. Данное точное решение пригодно для исследования крупномасштабных течений вязкой несжимаемой жидкости квазидвумерными уравнениями. Конвективное движение жидкости обусловлено заданием касательных напряжений на свободной границе слоя. Неоднородные тепловые источники заданы на обеих границах. Давление в жидкости на верхней границе совпадает с атмосферным давлением. В статье основное внимание уделяется исследованию полей температуры и давления, которые описываются многочленами трех переменных. Детально обсуждаются особенностей распределения профилей температуры и давления, которые являются многочленами седьмой и восьмой степени соответственно. Для анализа свойств температуры и давления используются алгебраические методы для исследования числа корней на отрезке. Показано, что фоновая температура и фоновое давление являются немонотонными функциями. Температурное поле расслаивается на зоны, которые формируют термоклин и тепловой пограничный слой около границ слоя жидкости. Исследование свойств поля давления показали, что оно расслаивается на одну, две или три зоны относительно отсчетного значения (атмосферного давления).

На основе континуальной модели геометрически нерегулярной пластинки в рамках модели типа Рейснера решается задача динамической устойчивости нагретой ребристой пластинки под действием периодических по временной координате тангенциальных усилий. Тангенциальные усилия в уравнениях динамической устойчивости нагретой пластины конкретизируются на основании решения неоднородной краевой задачи безмоментной термоупругости в перемещениях. Система сингулярных уравнений динамической устойчивости записана в функции прогиба и дополнительных функциях, характеризующих закон изменения касательных напряжений в вертикальных плоскостях по переменным x и y. Решение сводится к уравнению Матье, параметры которого представлены в терминах классической теории пластин и содержат поправки от температуры, поперечных сдвигов и подкрепляющих ребер. Определяются первые три области динамической устойчивости термоупругой системы. Проводится количественный анализ влияния температуры, деформации сдвига в вертикальных плоскостях и относительной высоты ребер на конфигурацию областей динамической устойчивости.