Том 18, № 1 (2014)

На примере кинематических граничных условий (левый край жестко закреплен, правый край свободен) рассматривается задача о вычислении разветвляющихся решений нелинейной задачи на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающего прогиб удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа, сжимаемой (растягиваемой) внешними усилиями. Вычисления основываются на представлении бифуркационных параметров через корни характеристического уравнения соответствующего линеаризованного оператора. Такое представление позволяет исследовать задачу в точной постановке и найти критические бифуркационные поверхности и кривые, в окрестности точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам рядов. Наибольшие трудности возникают при исследовании линеаризованной спектральной задачи, фредгольмовость которой доказывается построением соответствующей функции Грина, которое для задач такого типа выполнено впервые.

Рассматривается редуцированная спектральная задача для оператора Коши-Римана с нелокальными краевыми условиями к линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Соответствующий детерминант Фредгольма определён при всех спектральных параметрах $\lambda$, кроме $\lambda = 2$, ${\rm Re} \lambda = 1$. Нахождение нулей определителя Фредгольма, записанного в такой форме, неэффективно, поскольку он не является целой функцией от спектрального параметра, а его главная часть не выделена. Исследована структура ядра оператора. Для приближённого решения интегрального уравнения применены результаты работ И. Акбергенова, где даны оценки абсолютной величины разности между точным и приближенным решениями интегрального уравнения. Охарактеризованы спектральные параметры, при которых неоднородная краевая задача со смещением для уравнений Коши-Римана всюду разрешима в классе непрерывных функций на единичном круге. Показана явная конструкция, аппроксимирующая решение неоднородной краевой задачи.

Рассматривается полное уравнение гиперболического типа третьего порядка с переменными коэффициентами в области, представляющей бесконечную треугольную призму, ограниченную характеристическими плоскостями $z = 0$, $x = h$ данного уравнения и двумя нехарактеристическими плоскостями $y = x$, $y = -x$. Решены две краевые задачи с данными на гранях призмы, являющимися как характеристическими, так и нехарактеристическими плоскостями данного уравнения. В связи с трудностями склейки решений рассматриваемого типа гиперболических уравнений и заданием условий сопряжения на характеристике в условия сопряжения были введены интегралы и производные дробного порядка. На внутренней характеристической плоскости заданы условия сопряжения, содержащие производные дробного порядка искомой функции, различные для обеих задач. Для данного уравнения авторами получено решение задачи Дарбу методом Римана, взятое за основу решения обеих поставленных задач, которые сводятся к однозначно разрешимым уравнениям Вольтерры и Фредгольма соответственно, что позволило получить решения задач в явном виде.

Рассматривается теоретико-полевая модель нелинейного термоупругого континуума с «тонкой» (в частности, микрополярной) микроструктурой. Построение модели осуществляется в терминах 4-ковариантного полевого лагранжева формализма. «Тонкая» микроструктура континуума задается микроструктурными d-векторами и d-тензорами произвольно высоких рангов. d-тензоры вводятся в теоретико-полевую схему как экстра-полевые переменные (d-переменные). Микроструктурные векторные и тензорные экстра-полевые переменные могут быть подчинены уравнениям связей (кинематическим ограничениям). Указывается «естественная» плотность вариационного интегрального функционала термоупругого действия и сформулирован соответствующий вариационный принцип наименьшего действия. При этом выполнен учет инерционности микроструктурной «составляющей» поля. Ковариантные уравнения термоупругого поля в континууме с микроструктурой получаются в канонической форме Эйлера-Лагранжа. Кинематические ограничения учтены с помощью правила множителей Лагранжа. Вариационные симметрии интегрального функционала термоупругого действия применяются для построения ковариантных канонических тензоров термомеханики и 4-токов. Даны канонические формы дивергентных законов сохранения термоупругого поля в плоском 4-пространстве-времени. Рассматриваются вопросы, касающиеся инвариантности интегрального функционала действия относительно сдвигов эйлеровых полевых переменных, времени и температурного смещения, а также трехмерных вращений эйлеровой координатной системы. Исследуется проблема ротационной инвариантности «естественной» плотности микрополярного термоупругого действия. Получены функциональные условия ротационной инвариантности действия и плотности действия, независимые ротационно инвариантные аргументы и удовлетворяющая принципу объективности форма свободной энергии Гельмгольца. Указанная форма содержит явные вхождения ротационноинвариантных векторов и тензоров экстра-деформации.

Предложена методика решения краевой задачи оценки кинетики напряжённо-деформированного состояния поверхностно упрочнённого сплошного цилиндрического образца в условиях ползучести для трёх видов напряжённого состояния (растяжение, чистое кручение, совместное действие растягивающей нагрузки и крутящего момента). В качестве базовой реологической модели используется энергетический вариант теории ползучести и длительной прочности. Разработан алгоритм численного решения задачи, позволяющий оценить релаксацию остаточных напряжений в упрочнённом слое на фоне ползучести цилиндрического образца для всех трёх видов напряжённого состояния. Выполнено детальное исследование влияния касательных напряжений на релаксацию остаточных напряжений при растяжении образца. Показано, что приложение крутящего момента к растягиваемому осевой нагрузкой образцу интенсифицирует процесс релаксации всех компонент тензора остаточных напряжений. Наблюдается существенное перераспределение напряжённого состояния по радиусу в зависимости от времени. Приводятся результаты вариативных расчётов.

Проведён анализ разностной схемы краевой задачи для аналога волнового уравнения. Исследованы явные и неявные разностные схемы для численного решения первой краевой задачи аналога волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования Капуто. Методом гармоник Фурье доказаны критерии устойчивости этих разностных схем. Получены оценки собственных значений оператора перехода с одного временного слоя на другой. На примере проведён вычислительный эксперимент по анализу предложенной разностной схемы. Построены графики численного решения краевой задачи для волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования при различных значениях параметров дробного дифференцирования $\alpha$ и $\beta$. Установлено изменение периода колебаний при переходе к дробной производной. На примере показано, что параметры $\alpha$ и $\beta$ становятся управляющими.

Рассматривается дискретно-непрерывная модель, разработанная для исследования формирования и эксплуатации биоресурсов. Выбранный подход позволил учесть особые факторы при описании убыли численности поколения системой обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени. Метод реализации в вычислительной среде рассчитан на задачи моделирования разнообразных видов антропогенного влияния, и в том числе при интродукции новых видов в среду. В статье анализируются логически обусловленные модельные сценарии изменения состояния популяций при различных стратегиях организации промысла. Обсуждаются примеры нерациональной эксплуатации популяций рыб бассейна Волги. Отмечено, что неблагоприятные последствия могут резко проявляться после постоянного незначительного превышения допустимой квоты изъятия промыслом.

Сформулирована задача теплопроводности для слоистых оболочек, состоящих из термочувствительных анизотропных неоднородных слоёв, при граничных условиях общего вида. Термочувствительность материалов слоёв описывается линейной зависимостью их теплофизических характеристик от температуры. Проведено обезразмеривание уравнения теплопроводности, граничных условий и условий теплового сопряжения на границах контакта между слоями. Выделены два малых параметра в безразмерных соотношениях: теплофизический, характеризующий степень термочувствительности материалов слоёв, и геометрический, характеризующий относительную толщину оболочки. Проведена последовательная рекурсия безразмерных соотношений сначала по теплофизическому малому параметру, а затем по геометрическому. Первый тип рекурсии позволил линеаризовать задачу теплопроводности, а на основе второго типа рекурсии построено внешнее асимптотическое разложение решения задачи нестационарной теплопроводности слоистых анизотропных неоднородных оболочек при граничных условиях первого рода на лицевых поверхностях. Проанализированы получающиеся двумерные разрешающие уравнения и исследованы асимптотические свойства решений задачи теплопроводности.

К. Шеннон в 40-х годах XX века ввел понятие совершенного шифра, обеспечивающего наилучшую защиту открытых текстов. Такой шифр не дает криптоаналитику никакой дополнительной информации об открытом тексте на основе перехваченной криптограммы. В работе исследуется задача построения совершенных шифров по заданному множеству открытых текстов $X$, ключей $K$ и распределению вероятностей $P (K)$ на множестве ключей. Приводится критерий, позволяющий однозначно определить, существует ли для заданных $X$, $K$, $P (K)$ совершенный шифр. Показано, что данная задача сводится к построению набора разбиений множества $K$ с определёнными условиями. Так как одним из недостатков вероятностной модели шифра являются ограничения, накладываемые на мощности множеств открытых текстов, ключей и шифрованных текстов, в работе также рассматривается задача построения совершенного шифра замены с неограниченным ключом по заданному множеству шифрвеличин, ключей и распределению вероятностей на множестве ключей.