THE AVERAGE MAXIMUM VALUES OF QUEUES IN MASS SERVICE SYSTEMS WITH GROUP POISSON FLOWS

Full Text

Введение Одной из разновидностей ВМАР-потоков [1-3] является неординарный пуассоновский по- ток событий [4]. В таком потоке выполняются свойство стационарности и отсутствия последей- ствия, но не выполняется свойство ординарности. В работе [4] в качестве модели телекоммуни- кационного трафика предлагается использовать групповой неординарный пуассоновский поток. Рассмотрены характеристики средних значений очередей неординарных пуассоновских потоков, и показана перспективность их применения. Максимальные значения очередей Рассмотрим пуассоновский поток независи- мых событий с параметром и интервалами между соседними событиями i Каждое событие заключается в одновременном появлении в момент t1 «пачки» из ni независимых случайно распределенных чисел заявок, как это показано в нижней части рисунка 1. Такой поток называ- ют пуассоновским неординарным (групповым) потоком независимых событий. Выделим некоторый интервал времени . Примем, что - это интервал времени обработки одной заявки в СМО. Пачечный характер поступления заявок Рисунок 1. Изменение числа заявок в системе приводит к возникновению очередей (верхняя 2 i i i 2 часть рисунка 1). Примем, что непосредственно 2si -1 - 2si -1 ni 2 2 ni ni , перед началом i-го участка в СМО имелось si -1 2 заявок и в начале этого участка в систему посту- i i i 2 2si -1 (1 - R) 2 ni (ni ) Dn D , пила пачка заявок размером ni -1 , т. е. в момент начала участка в системе имелось qi -1 заявок. 2 Начиная с момента времени t1-1 число заявок в 2s 1 i (1 - R) i - n D D , системе уменьшается со скоростью одна заявка i - i n за секунд, к концу i-го участка уменьшится на 2 i i 2 величину i / и достигнет размера si . 2si -1 (1 - R) (1 - R) Dn D . si si -1 ni - i , i åñëè si -1 ni - i 0, Откуда (Dn D )R (1 - R) n si 0, åñëè si -1 ni - 0. si -1 s . 2(1 - R) n 2R Случайная переменная i распределена экс- Для экспоненциально распределенной слупоненциально, а случайная переменная ni - чайной величины / дисперсия по закону Пуассона, и они не зависят друг от i 2 2 2 друга. Определим значение si при условии вы- D i 1 n . полнения первого неравенства R i si -1 ni - 0. Подставляя указанные значения при выполне- i Введем следующее обозначение: R n , где нии первого условия: si -1 ni - 0, получим: 1 . R n Dn n R (1 - R) n Возведем в квадрат обе части первого уравнеs ния: s2 s2 2 - 2s i - n i - n 2(1 - R) Dn R2 n n 2R (1 - R) n i i -1 i i i . 2 2(1 - R) R 2R s2 2s i 2sn i - 2 i n n 2 . Среднее значение максимумов чисел заявок в i -1 i i i i i системе, полученное при первом условии, опре- Поскольку в данном рассмотрении все слуделится соотношением чайные величины приняты взаимно независимы- Dn R2 n ми, при усреднении получим q s n n (1 - R) n n. s2 s2 2s i 2(1 - R) R 2R i i -1 i -1 2 При выполнении второго условия: - i 2s n i - 2 i n n 2 , si -1 ni 0, i -1 i 2 i i 318 Лихтциндер Б.Я. где si тождественно равно нулю. Можно покаnR 2 Q (1 R)n. зать, что вероятность выполнения первого услоmax (1 - R) вия равна коэффициенту загрузки системы R. Наконец, в случае обычного пуассоновского С учетом указанной вероятности потока, n 1, 2 n 0, Qmax qR Dn R2 n n 2(1 - R) (1 - R) n Rn 2 R2 Qmax R 1, 2(1 - R ) и Q отличается от среднего значения числа за- Dn R2 n (1 - R)2 n max явок в системе на величину, равную одной заявке. n 2(1 - R) Rn Заключение Dn R2 n n - 2Rn nR2 Анализ соотношения (2) показывает, что при n 2(1 - R) Rn малых значениях коэффициента загрузки R СМО с групповыми пуассоновскими потоками средне- R2 ( Dn n) 2n(1 - R) n Rn 2(1 - R) (n Dn )R2 максимальные размеры очередей существенно превышают средние размеры, что весьма харак- терно для пачечного трафика. Поэтому, для мало загруженных СМО следует n 2(1 - R) (1 R) n. ориентироваться именно на среднемаксимальные размеры очередей. Окончательно получим nR2 (1 2 ) Для обычных пуассоновских потоков из со- отношения (2) следует, что при малых значени- Qmax n (1 R) n, 2(1 - R) (1) ях коэффициента загрузки среднемаксимальные размеры очередей хотя и не превышают 2 заявки, n n где 2 D / (n)2 - коэффициент вариации чисел но также намного превосходят их средние значезаявок в пачках. ния. Например, при R 0, 2 значение Qmax 1, 2 Частные случаи заявки, а среднее значение очереди заявки. q 0, 0225 Рассмотрим частные случаи. Допустим, что число заявок в пачках посто- Однако при больших загрузках средние раз- меры очередей практически сравниваются с их янно n n. Дисперсия Dn 0. Коэффициент васреднемаксимальными значениями. риации равен нулю. С учетом этого среднее зна- Ранее нами было показано [4], что незначение максимумов чисел заявок в системе определяется соотношением nR2 Qmax чительное влияние корреляционных связей в групповом пуассоновском потоке делает его привлекательным в качестве модели телекомму- Qmax (1 R)n. 2(1 - R) (2) никационного трафика. В соответствии с формулой Хинчина - Полла- чека первое слагаемое представляет умноженное на длину пачки среднее значение очереди пуассо- новского потока при коэффициенте загрузки R и постоянном времени обслуживания. Допустим, что значения чисел заявок в пач- ках взаимно независимы, а их вероятности рас- пределены по закону Пуассона. В указанном слу- Полученные соотношения позволяют весьма просто оценить влияние максимальных размеров очередей на характеристики трафика мультсер- висных сетей связи.

About the authors

B. Ya Likhttsinder

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: lixt@psuti.ru
Samara, Russian Federation

References

Supplementary files