GENERALIZED SPATIALLY MATRIX REPRESENTATION OF SIGNAL POWER AT NONLINEAR MODULATOR OUTPUT

Abstract

Representation of signal power at nonlinear modulator output is deduced. It is proved that signal power is explicitly evaluated modulation construction and ordinary moment matrixes of signal at its output from first order to double modulator nonlinearity scale order.

Full Text

Введение Известна проблема введения энергетического ограничения на входы канала связи или выходы модулятора. Для операции демодуляции характерно стремление приблизить векторы на его выходе к исходным передаваемым векторам, что выливается в локализацию выходных сигналов вблизи области определения передаваемых сигналов. При этом степень локализации, определяющая точность воспроизведения информации, напрямую связана с соотношением между неопределенностью, вносимой каналом связи, и неопределенностью, обусловленной стохастич-ной природой самой информации. Поскольку оператор модуляции позволяет формировать сигналы на его выходе в общем случае произвольным образом, то естественно, что оптимальное решение будет соответствовать произвольно большому разнесению между различными передаваемыми сигналами. Данное обстоятельство приводит к необходимости использования бесконечно большой мощности (энергии) для фор мирования сигналов на выходе модулятора, что приводит к невозможности реализации подобных преобразований на практике. В результате следует рассматривать дополнительное ограничение на мощность (энергию) передаваемых сигналов по каналу связи. Функциональная форма выражения энергии сигнала на выходе нелинейного модулятора Энергию сигнала на выходе модулятора возможно представить в виде разности Ех = IJ (х; t, r)dxdtdr trx _ (1) - \ \(ox{x',t,v)dxdtdr, t T X где ю,с(3(@,г) - одномерная плотность распределения вероятностей значений сигнала на выходе модулятора x(t,r), задающая вероятностную меру в некоторой точке пространства r в определенный момент времени t; Mx{t,r) - среднее значение сигнала на выходе модулятора определяется как первый начальный момент определенного сечения данного случайного поля x(t,r): Mx(t,r)= ^XG)X(х;t,r)cà. (2) X В соответствии с условием нормировки плотностей вероятности вычитаемое в (1) преобразуется в интеграл лишь по переменным времени «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 10 Батенков К. А. и пространственным координатам. Детерминированность разложения в обобщенный ряд Фурье выходного сигнала модулятора позволяет представить условную плотность его сечений по времени и пространственным координатам относительно сечений по множеству координатных функций \|/(f,r)=[^0(f,r), y/x(t,г), ..]т, где Т означает операцию транспонирования как дельтафункцию, а на основании формулы полной вероятности плотность распределения пространственно-временных сечений принимает форму юДх;ґ,г)= Jô[^ - хг\|/(ґ,г)]со.,.(х)<^х. (3) X Для устранения неоднозначности обозначение плотности распределения выходного сигнала в виде пространственно-временных сечений Ш.Дх;^,г) дополнительно используют в качестве аргументов соответствующие координаты t и г, а в форме коэффициентов разложения ©Дх) -только случайные переменные х. В дальнейшем, если не возникает противоречий, указание на тип сечений не производится, в формулах же отсутствие аргументов с пространственными и временными координатами однозначно идентифицирует сечения как коэффициенты разложения. Математическое ожидание выходного сигнала модулятора имеет вид скалярного произведения бесконечномерных векторов: Mx(t,r)= |юДх)-хгй?х-У|/(ґ,г). (4) X Использование (3)-(4) и фильтрующего свойства дельта-функции в (1) преобразует энергию выходного сигнала модулятора в форму: Е* = \ ЖхГ^г)}2 ®Д*)dxdtdr t Г X Линейность операции интегрирования дает возможность представления формулы энергии в виде разности квадратичных форм: Ех = |хГ 11 j\|/(/, r)v|/r(/, Г y^rjxQj. (x)rfx -- |сОх (х)хГ(й| І r)\|/r (t, r)c/ifc/r| X (6) X |<вДх)х& X Поскольку полная система координатных функций Y|/(V,r) произвольна, то без потери общности она может быть выбрана ортонормиро-ванной: Е, (7) t г где E - единичная матрица. В результате энергия выходного сигнала демодулятора определяется в виде разности сумм вторых начальных моментов коэффициентов разложения сигнала и квадратов первых, то есть сумм дисперсий коэффициентов разложения сигнала в системе координатных функций (8) где tr(A) - след двумерной матрицы A, являющийся, по сути, суммой ее диагональных элементов [1]; мх,г ={M*h xt. }ti kt =i^ - /-мерная матрица порядка œ начальных моментов /-го порядка сигнала на выходе модулятора х, элементы которой определяются как математические ожидания соответствующих произведений [2]: х„ =Ы^П^Л- (9) X у=1 Матрицу начальных моментов можно представить в виде Mx,i = (10) X где х' = XX...XX - /-кратное прямое (декарто- І _ во) произведение векторов X [3-4], задающее пространственную матрицу со всевозможными комбинациями элементов, входящих в данные векторы, то есть для произвольных пространственных матриц А={Дь t } и В={в* к } их прямое произведение формирует матрицу АхВ={41 кВКх Кь}, размерность которой равна сумме размерностей исходных матриц A и B. В дальнейшем для устранения неоднозначности в описании прямого произведения и произведения двумерных матриц для двумерных матриц символ «х» используется только при переносе формулы с одной строки на другую, о чем обязательно упоминается по тексту. Тип операции возведения в степень оговаривается непосредственно до или после первого применения этой операции в выражении и последующих его мо- «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 Батенков К. А. 11 дификаций. Для векторов и многомерных матриц (размерности большей двух) возведение в степень всегда соответствует кратному прямому произведению. Матричная форма выражения энергии сигнала на выходе нелинейного модулятора Коэффициенты разложения базисных функций модуляции целесообразно представить в виде (i + 1)-мерной матрицы переменного порядка Фі = {ф^ kу которой только элементы с неубывающими индексами, за исключением последнего, могут быть отличны от нуля, то есть фкх k.j =0 3kl<kv, I <l', 1,1'= 1 ,i. Соответственно, размер (порядок) матрицы Ф, есть дг X X N х оо Фі есть v ^' . Тогда бесконечномерная і плотность распределения вероятности сигнала на выходе модулятора имеет вид Ґ N“ Л й\(х) = Ы ї-2]Ф,{і,-,ї}х й>х(х)</х, (11) X V i=l J где введено упрощенное описание произведения пространственной матрицы Ф; на вектор х: N N N Фг{1,...,;}х = ХЕ- £ Щх*. К . (12) ij=U2=ij *,=*,_! [у=1 J Одномерная же плотность вероятности сигнала на выходе модулятора задается в форме ( N“ ^ ®*fo)= Js Ät-Z°a{w}x Юж(х)^> (13) X V *=1 y где фа = {фі, *,Д к_^, к - l,oo - сечение ориентации k (i + 1)-мервдй матрицы Фг, по сути являющееся совокупностью элементов матрицы Ф* при фиксированном значении последнего индекса к, то есть i-мерной матрицей. Математическое ожидание сигнала на выходе модулятора определяется как МхЛ = |х|</х-^Ф,.{і,...,г}х 0>х(х)<Й£й&. (14) X X \ г=1 J Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, внешний интеграл сокращается, а линейность суммирования и интегрирования приводит к следующему виду математического ожидания сигнала на выходе модулятора: N“ г мхЛ=Х1фАь...,^-^(^. (15) «■=1 X Нелинейность оператора модуляции позволяет представить (15) в форме сумм произведения пространственных матриц: (16) и где Х-ХД к, к, к х (17) х Д kna+l*'">kna+lb-l&ta ’Ka+lb+l’'-'>Ka+lb'-l>kla' >кпа+ІЬ’+1’'-'>кпа+пь ) произведение n^-мерной матрицы А=|Aki ^ | на пь-мерную В=|й^ к j одинакового порядка по индексам 1а,...,1а, =\,па у первой матрицы A и 1Ь,...,1Ь, =1 ,пь у второй B, результатом данной операции является матрица с размерностью, равной сумме размерностей исходных матриц за вычетом числа индексов, по которым осуществляется произведение для одной из матриц; Мх,г = \^xh xt. \U tk.=î^ - i-мерная матрица порядка N начальных моментов i-го порядка сигнала на входе модулятора х, элементы которой аналогично (9) определяются как математические ожидания соответствующих произведений [2]: мъ = fcwrï**,*- (18) 7=1 Соответственно, саму матрицу начальных моментов возможно представить в виде, аналогичном (10): (19) Для произвольных пространственных матриц A, B и С возможно показать выполнимость аналога ассоциативного свойства: (а {&! \к2 }в ){Лг3 |ä:4 }с = «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 12 Батенков К. А. (20) dimA+dimC-3) к3 < dim А, к3<кх, [(a{A3 +l|A4jcX>t1|A:2}B](dimA-1 dimA+dimC-3) _ к3< dim А, к3> к, a{^ Iк2 - і)(в{^з - dim А + і|А4 Je) к3 > dim А, к3 - dim А +1 < к2, a{ä:i \к2 }(в{&3 - dim А + 2\к4 }с), к3 > dim А, к3 - dim А +1 > к2, где dim A - размерность произвольной матрицы А . (*4.....к.) A; А ’ *■' - оператор транспонирования пространственной матрицы А={а^ * } соответственно перестановке индексов fc. на последние позиции, то есть *J_ Vl’^+l kn }’ п < dim A. (21) Следует отметить, что если C является вектором (dim C = 1), то в (20) для к3 < dim A операция транспонирования не выполняется, так как единственное измерение C сокращается при выполнении пространственного произведения. Кроме того, справедливо и дистрибутивное свойство а{^|^2 )(В + С) = А{^\к2 }В + А{^\к2 }С . (22) Для двумерных матриц A и B справедливы следующие тождества: А {2 |1 }В = AB, (23) A {l |1 }В = А т В, (24) А{і,2|і,2}в = tr(AB), (25) для одномерного случая векторов a и b: a{l|l}b = a{l}b = arb , (26) а для одномерного вектора a и двумерной матрицы A: A{2|l}a = А{2}а = Аа, A{l|l}a = A{l}a = Ага. (27) (28) Для операции транспонирования двумерной матрицы A выполняются следующие равенства: aW = a^ А^А^А. Аг, (29) (30) Операция же транспонирования, примененная к некоторому вектор-столбцу a = {at}, по сути, преобразует его в матрицу А={д4} с одной строкой, число столбцов которой соответствует числу элементов вектора a: = {аё}(1) = {4Л}=аг. (31) Отсюда следует, что пространственное произведение оказывается частным случаем (17) при условии одномерности матрицы, на которую производится умножение. Таким образом, вектор математических ожиданий сигнала на выходе модулятора M полностью определяется структурой модулятора Ф„ i = l,Na и матрицами начальных моментов сигнала на его входе Mx i от первого до порядка, соответствующего степени нелинейности модулятора N Сумма начальных моментов второго порядка сигнала на выходе модулятора trMx,2 вычисляется как = Г г I N" I = ІУхГб х-^Фг{і,...,г}х &Jx)dxdx. ї і V >=1 у (32) Применение фильтрующего свойства дельтафункции позволяет сократить внешний интеграл, а линейность операций интегрирования и суммирования преобразует (32) к виду 1гМх>2=£Х(фД; + і|./ + і)фу) i=i j=і + jjlj-j* + jVv+r (33) Аналогичным образом получается вычитаемое в формуле энергии выходного сигнала модулятора (8) на основе (16): мі1мхД=|;|;(фг.{і,...,/|і,..і}мх,) і=1 7=1 (34) {і|і}(фу{і,...,7|і„.../-}МХ;,). Аналог ассоциативного свойства и скаляр-ность (8) приводит к следующему результату: м"дмхд-ЕЕ(ф.{г'+1Ь'+1К)г'=і M (35) {і * + + 7ХМж,/Мж,у)- Подстановка (33) и (35) в (8) и использование свойства дистрибутивности трансформирует вы- «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 13 соответствующего удвоенной степени нелинейности модулятора N