METHOD FOR COMPUTING OF SCINTILLATION INDEX UNDER ANISOTROPIC IRREGULARITIES IN PERTURBED IONOSPHERE

Full Text

Введение Наличие флуктуаций электронной концентрации в неоднородностях ионосферы может вызывать на трассах распространения радиоволн в системах спутниковой связи (ССС) эффект сцинтилляции, то есть случайных изменений амплитуды и фазы принимаемого сигнала [1]. Рост индекса сцинтилляции S4 при возмущениях ионосферы приводит к существенному снижению помехоустойчивости приема сигналов в ССС [1]. Плазменные неоднородности имеют разные масштабы и удлинены вдоль направления силовых линий магнитного поля Земли [2-4]. При распространении радиоволны длиной через слой неоднородностей толщиной , как правило, выполняется условие, когда величина много меньше внешнего масштаба этих неоднородностей L0. В этом случае слой неоднородностей заменяют соответствующим тонким фазовым экраном, размещенным на высоте с максимальной ионизацией [5; 11]. В [5] задача определения S4 решена путем применения алгоритма, предложенного в работе [6] для одномерного фазового экрана, и его адаптации к двумерной автокорреляционной функции флуктуаций фазы [5]. Подобный метод, основанный на алгоритме [6], представлен также в [7]. Более корректным является метод нахождения S4 путем усреднения спектральной плотности интенсивности по возможным значениям ее аргументов [4; 8]. Данная спектральная плотность находится из двумерного преобразования Фурье функции, аргумент которой определяется автокорреляционной функцией флуктуаций фазы и пропорционален интегралу автокорреляционной функции флуктуаций электронной концентрации вдоль линии визирования [2-3]. Задачу вычисления S4 можно существенно упростить, если решить ее для условий слабого рассеяния волн, а затем использовать эмпирическое исправление полученного результата для множественного рассеяния в отсутствии жесткой фокусировки [9-10]. Для условий слабого рассеяния выражения для расчета S4, учитывающие анизотропность неоднородностей и геометрию трассы распространения, известны в явном виде [4]. Данные выражения получены с использованием аппроксимации степенного закона, справедливой для спектрального индекса p не выше 5, при условии, что радиус первой зоны Френеля существенно меньше внешнего масштаба неоднородностей. Это условие может не выполняться, когда высота с максимальной ионизацией (высота фазового экрана) существенно больше толщины слоя неоднородностей, но теория фазового экрана еще применима (). Кроме того, степенным законом со спектральным индексом в пределах до 5 спектральная плотность описывается тогда, когда сцинтилляция является слабой [11]. Когда сцинтилляция становится умеренной интенсивности, для описания спектральной плотности используют гауссовский закон, который ведет себя как степенной с высоким спектральным индексом [6; 11]. Учитывая вышеизложенное, обобщим выражения для расчета S4 в условиях слабого рассеяния на случай произвольной спектральной плотности флуктуаций электронной концентрации для всего диапазона возможных значений отношения радиуса первой зоны Френеля к внешнему масштабу неоднородностей. Полученные выражения для расчета индекса сцинтилляции конкретизируем для спектральной плотности флуктуаций электронной плотности как гауссовской, так и подчиненной степенному закону, в том числе, с большим значением спектрального индекса. Автокорреляционная функция флуктуаций фазы Примем, что волна распространяется от космического аппарата (КА) до земной станции через ионизированную область толщиной с неоднородностями электронной концентрации . Геометрия распространения волны показана на рис. 1. Рис. 1. Геометрия распространения волны Неоднородности в данной области заменим соответствующим двумерным тонким фазовым экраном, который описывает появление флуктуаций в фазовом фронте волны после прохождения экрана [1]. Точка пересечения трассой распространения волны фазового экрана определяет начало системы координат (X; Y; Z), ось X которой направлена по географическому меридиану (на север), ось Y - по параллели (на восток), ось Z - строго вниз. Направление распространения волны длиной , где k - волновое число, зададим вектором, проекция которого на горизонтальную плоскость XY имеет единичный вектор , где - азимут. Угол между вектором распространения волны и горизонтальной плоскостью определяется величиной , где - угол падения. Фазовый экран лежит в горизонтальной плоскости XY и в точке с координатами (x,y) вызывает случайное изменение фазы во фронте волны , которое описывается стационарным процессом с автокорреляционной функцией и дисперсией . Автокорреляционная функция флуктуаций фазы пропорциональна интегралу автокорреляционной функции флуктуаций электронной плотности вдоль линии визирования [3] , (1) где - радиус электрона. Линия визирования с учетом наклонного распространения волны на расстоянии z от фазового экрана проходит через точку с координатами , (2) где - радиальная координата, - угол отклонения от азимута в полярной системе координат; - матрица вращения вокруг оси Z на угол . Для анизотропной среды аргумент автокорреляционной функции в системе координат (S,T,R) имеет величину , определяемую из следующего выражения [2-3]: , (3) где a - параметр, характеризующий степень удлинения неоднородности вдоль магнитного поля; b - параметр, характеризующий степень удлинения неоднородности поперек магнитного поля; - матрица, имеющая следующий вид: . (4) Неоднородности удлинены вдоль осей S и T. В системе координат (Xp,Yp,Zp), в которой ось Xp направлена на геомагнитный север, ось Yp - на геомагнитный восток, ось Zp - вниз, плоскость XpZp содержит ось S [3]. Угол между этой осью и осью Xp определяется углом магнитного наклонения , угол между осями X и Xp в плоскости XY - углом магнитного склонения . Наклонение поперечной оси неоднородностей T примем равным нулю. Переход от системы (X,Y,Z) к системе (Xp,Yp,Zp) выполним путем поворота системы координат на угол вокруг оси Z , а затем к системе координат (S,T,R) - путем поворота на угол вокруг оси Yp, так что с учетом выражения (2) , (5) где . (6) Подставив (5) в (3), получим , (7) где . (8) Матрица , как следует из (8), является симметрической, а ее собственными значениями являются диагональные элементы матрицы . Выражение (8) после раскрытия его правой части примет следующий вид: . (9) где F - матрица, элементы которой, как следует из (9), определяются через элементы матрицы R следующим образом: ; ; . (10) Матрица F имеет собственные значения и , которые являются корнями уравнения [12], где I - единичная матрица, и определяются выражениями ; . (11) Матрицу F можно выразить в виде [9] , (12) где , (13) , (14) . (15) Это позволяет представить выражение (7) следующим образом: . (16) В (16) учтено, что для ортогональной матрицы выполняется равенство . С учетом (16) автокорреляционная функция (1) примет следующий вид: . (17) Введем обозначение . (18) Интеграл в правой части (17) представляет собой преобразование Радона подынтегральной функции , где . Преобразование Радона данной функции также может быть выражено следующим образом [13]: , (19) где - дельта-функция Дирака. Сделаем в выражении (19) замену переменных , (20) где ; (21) , (22) с учетом того, что , (23) а якобиан преобразования . (24) Тогда после математических преобразований получим . (25) Сделав в выражении (25) замену переменной , для которой при справедливо , , (26) получим .(27) В выражении (27) автокорреляционная функция зависит от скалярного аргумента, как при изотропных неоднородностях. Известно, что в этом случае трехмерные автокорреляционная функция и спектральная плотность связаны следующим образом [14]: . (28) Как следует из (28), спектральная плотность должна удовлетворять условию , (29) где - дисперсия флуктуаций электронной концентрации. С учетом (28) выражение (27) после преобразований примет следующий вид: . (30) Второй интеграл является синус-преобразованием функции . Используя табличный интеграл [15] , (31) где v = 0, , получим . (32) Выражение (17) с учетом (32) примет вид: . (33) Интеграл в правой части (33) с точностью до коэффициента представляет двумерное преобразование Фурье спектральной плотности электронной концентрации, справедливое для изотропного случая [1]. Аргументом автокорреляционной функции флуктуаций фазы является отношение . Умножим числитель и знаменатель этого отношения на величину и учтем, что . (34) Подставив в правую часть выражения (34) значения элементов матрицы F, заданных выражением (10), после математических преобразований получим , (35) где Q - матрица, элементы которой определяются следующим выражениями: ; ; . (36) Определим геометрический фактор усиления G по аналогии с введенным в работе [3] следующим образом: . (37) В случая изотропных неоднородностей значение G = 1 [3-4]. Используя обозначение , (38) а также (37), получим вместо выражения (33) следующее: , (39) где . Выражение (39) аналогично полученному в [3] с учетом того, что интеграл в его правой части с точностью до коэффициента представляет двумерную автокорреляционную функцию флуктуаций электронной концентрации. Для нормированной автокорреляционной функции (39), основываясь на результатах [3], запишем . (40) Из сопоставления выражений (37) и (40) следует, что величина не зависит от величины . Индекс сцинтилляции Используя обозначения, принятые в данной работе, выразим спектральную плотность интенсивности I поля волны в точке приема за пределами двумерного экрана следующим образом [2]: , (41) где , (42) , (43) , (44) где dF - радиус первой зоны Френеля. Обозначим через R1 расстояние между КА и верхней частью области ионизации, через R2 - расстояние между нижней частью области ионизации и земной станцией. Рассматривая только КА на высокой орбите, будем предполагать, что . В радиолиниях «вниз» и «вверх» с учетом введенных обозначений dF определяется следующим образом [7]: , (45) где Hps - высота фазового экрана. Автокорреляционная функция интенсивности определяется как [2] , (46) а индекс сцинтилляции находится из выражения [2] . (47) В радиолинии «вверх» (47) сводится к известному [2] выражению . (48) Определим выражение для для линии «вниз». Известно эмпирическое уточнение результата слабого рассеяния, чтобы приблизительно объяснить множественное рассеяние в отсутствии жесткой фокусировки [9]: . (49) где - индекс сцинтилляции в условиях слабого рассеяния, когда . Для этих условий справедливо приближение , так что выражение (44) можно аппроксимировать следующим образом: . (50) Тогда выражение (41) с учетом приближения (50) примет вид . (51) Матрица Q имеет собственные значения и , которые являются корнями уравнения , где I - единичная матрица, и определяются выражениями, аналогичными (11): , . (52) Выразим матрицу Q аналогично матрице F (12) как , (53) где , (54) , (55) . (56) Cделаем в в (51) замены переменных , (57) , (58) и получим c учетом того, что , (59) , (60) , (61) где , , (62) а якобиан преобразования . (63) Правая часть (61) получена с использованием известных тригонометрических равенств , . (64) С учетом (57)-(63) после преобразований выражение (51) примет следующий вид: . (65) Двумерные автокорреляционная функция и спектральная плотность флуктуаций связаны известным соотношением [1-4]: . (66) Сделаем в выражении (65) замену переменной , а затем учтем выражение (66). Тогда . (67) Выражение (47) для условий слабого рассеяния () после замены переменной (60) с учетом того, что якобиан преобразования , (68) примет следующий вид: . (69) Подставим (66) в (69), сделаем замену переменной и воспользуемся табличными интегралами [16]: , , (70) где , (71) n = 0, а также тем, что по определению , (72) где . Тогда выражение (69) с учетом обозначений (62) примет следующий вид: . (73) Таким образом, как следует из выражения (73), индекс сцинтилляции определяется интегралом от произведения спектральной плотности флуктуаций фазы и фильтрующих функций. Фильтрующие функции в выражении (73) имеют аргументы, учитывающие наклонное распространение волны θ, а также анизотропию этих неоднородностей через геометрический коэффициент усиления G и элементы матрицы Q. Геометрический коэффициент усиления G и наклонный характер распространения волны θ также определяют величину дисперсии флуктуаций фазы . В «дальней» зоне значение интеграла в правой части (73) становится пренебрежимо малым. В этом можно убедиться, подставив (73) в (49) и сопоставив полученное выражение с выражением (48). В результате будем иметь , что подтверждает достоверность полученного выражения (73). Гауссовская спектральная плотность флуктуаций Конкретизируем (73) для случая, когда спектральная плотность флуктуаций электронной плотности является гауссовской и подчинена следующему закону [1]: , (74) где - величина, которая определяется из условия (33), . Используя табличный интеграл [16] , (75) где , n = 1, из (29) для гауссовской спектральной плотности (74) получим . (76) Подставив (76) в выражение (74), а последнее - в выражение (39) и воспользовавшись табличным интегралом [15] , (77) где , v = 0, найдем, что . (78) Полагая в выражении (78) x = 0, получим . (79) Данный результат для случая изотропных неоднородностей, когда G = 1, совпадает с известным [17]. Тогда спектральная плотность флуктуаций фазы при подстановке (78) в выражение (66) и учете табличного интеграла (77), где , , а также выражения (79) определится следующим выражением: . (80) Подставив (80) в выражение (73) и воспользовавшись табличным интегралом [16] , (81) где ; , , (82) получим после преобразований , (83) где , . (84) Таким образом, выражение (73) для при гауссовской спектральной плотности флуктуаций возможно представить в замкнутом виде (83)-(84). Степенная спектральная плотность флуктуаций Рассмотрим случай, когда спектральная плотность подчинена степенному закону [3-4]: , (85) где - коэффициент, который должен быть определен из условия (29), p - спектральный индекс. Поскольку согласно [16] , (86) при условии, что , то при , , из уравнения (29) для p > 3 получим . (87) Подставим (87) в выражение (85), а последнее - в выражение (39) и воспользуемся табличным интегралом [15] , (88) где , . После математических преобразований найдем . (89) Поскольку двумерная нормированная автокорреляционная функция должна удовлетворять соотношению [18] , (90) из сопоставления (89) и (90) следует, что . (91) Данное выражение совпадает с результатом, полученным в работе [4]. При подстановке (90) в выражение (66) спектральная плотность флуктуации фазы c учетом значения интеграла [15] , (92) где , , определится следующим выражением: . (93) Подставив выражение (93) в (73), получим , (94) где a и c определяются (82), а также . (95) При использовании интегрального представления функции Бесселя (70) и изменении порядка интегрирования выражение (94) примет после преобразований следующий вид: . (96) Рассмотрим интегралы вида , (97) . (98) Интегрируя по частям правую часть выражений (97)-(98), получим , (99) . (100) Формулы (99) и (100) являются рекуррентными. Выражение (96) с учетом соотношений (99)-(100), (82) и (95) для p = 4 примет вид: . (101) где , (102) а для p = 6 - следующий вид: . (103) Величины и в выражениях (101) и (103) определяются табличными интегралами [15] ,(104) , (105) где Ci(x) и Si(x) - интегральные косинус и синус соответственно, под которыми подразумевают функции [19] , (106) , (107) - постоянная Эйлера-Маскерони. Для p = 5 выражение (96) с учетом рекуррентных формул (99) и (100) примет следующий вид: . (108) При этом , определяются табличными интегралами [20] , (109) , (110) где C(x) и S(x) - интегралы Френеля, под которыми подразумевают функции [19]: , (111) . (112) Таким образом, когда спектральная плотность флуктуаций подчинена степенному закону, индекс определяется из выражений (101), (108), (103), для значений спектрального индекса p = 4, p = 5, p = 6 соответственно. Получить эти выражения в замкнутом виде затруднительно, но для их расчета можно воспользоваться численными методами интегрирования. Результаты расчета индекса сцинтилляции Анализ (101), (103), (108) для с учетом (91), а также (83) с учетом (79) показывает на их прямо пропорциональную зависимость от величины . Это позволяет упростить вычисления и перейти к расчету нормированного индекса сцинтилляции . (113) Кроме того, в указанных выражениях имеется зависимость от аргумента , параметра и угла . При этом величина , как следует из выражения (45), также зависит от величины . Рис. 2. Зависимость нормированного индекса от отношения радиуса первой зоны Френеля к внешнему масштабу неоднородностей для изотропных (a=1, b=1) и анизотропных неоднородностей (a=5, b=2) для гауссовской и степенной (при различных значениях индекса p) спектральной плотности флуктуаций Учитывая данное обстоятельство, сравнение значений для различных спектральных плотностей флуктуации электронной концентрации при различных значениях параметра G и угла целесообразно проводить в зависимости от произведения радиуса первой зоны Френеля для случая вертикального падения волны (114) и величины , выраженной в градусах , (115) то есть от отношения радиуса первой зоны Френеля к внешнему масштабу неоднородностей . На рис. 2 в соответствии с указанными выше выражениями построены для изотропных и анизотропных неоднородностей зависимости индекса от отношения . Анализ графиков на рис. 2 для случая, когда азимут совпадает с углом магнитного склонения , указывает на следующее. 1. Когда спектральная плотность флуктуаций электронной концентрации подчинена степенному закону, величина увеличивается с ростом спектрального индекса p. Это объяснимо, поскольку спектральный индекс показывает степень возмущения ионосферы. 2. Величина для гауссовского и степенного законов распределения спектральной плотности флуктуаций ожидаемо возрастает при увеличении радиуса первой зоны Френеля относительно внешнего масштаба неоднородностей L0. 3. Индекс увеличивается по мере усиления вытянутости неоднородностей (роста a и b) по сравнению с изотропным случаем (). 4. При гауссовской спектральной плотности флуктуаций электронной концентрации график зависимости от отношения ведет себя примерно как при степенном законе с высоким спектральным индексом (). Заключение Разработан метод вычисления индекса сцинтилляции на трассах распространения радиоволн в ССС при наличии анизотропных неоднородностей в возмущенной ионосфере. Метод основан на приведении квадратичной формы в аргументах автокорреляционных функции флуктуаций электронной концентрации и фазы к скалярному значению и учете этого при выполнении преобразования Радона и Фурье. С использованием данного метода получено выражение (73) для расчета индекса сцинтилляции при наличии анизотропных неоднородностей в ионосфере в виде интеграла от произведения спектральной плотности флуктуаций фазы и фильтрующих функций. Последние имеют аргументы, учитывающие анизотропию этих неоднородностей, а также наклонное распространение волны. Полученное выражение конкретизировано для гауссовской спектральной плотности флуктуаций в виде (83) и для спектральной плотности, подчиненной степенному закону со спектральным индексом в пределах от 4 до 6 в виде (101), (108), (103). Выражение (83) для гауссовской спектральной плотности имеет замкнутый вид. Для степенного закона выражения (101), (108), (103) представлены в виде, удобном для использования одного из численных методов интегрирования. В отличие от известных, полученные выражения позволяют оценить влияние сцинтилляций с высоким значением спектрального индекса (), а также во всем диапазоне возможных значений отношения радиуса первой зоны Френеля к внешнему масштабу неоднородностей.

About the authors

Vyatchaslav Anatolievich Shevchenko

General Directorate of Information and Telecommunication Technologies of the Ministry of Defence of the Russian Federation

Email: shevv67@mail.ru

References

Supplementary files