METHOD FOR ANALYSIS OF MICROSTRIP ANTENNA BASED ON CHIRAL SUBSTRATE

Full Text

Введение В современной электродинамике значительный интерес представляет, особенно в диапазонах СВЧ и КВЧ, исследование композитных искусственных сред, обладающих пространственной дисперсией. В диапазонах СВЧ и КВЧ, в отличие от оптически-активных сред, такая среда является искусственной и представляет собой диэлектрическую среду с макроскопическими проводящими включениями различных параметров (геометрическая форма элемента, линейные размеры и т.д.) [1]. Такие среды часто называют метаматериалами. Примером такой среды является киральная среда, представляющая собой совокупность равномерно распределенных и хаотически ориентированных в изотропной диэлектрической среде проводящих элементов зеркально-ассиметричной формы [2]. В качестве проводящих включений (киральных элементов) обычно используются лево- и правовинтовые спирали, разомкнутые кольца с выступающими концами, плоские S-образные полоски и т.д. В связи с этим, существуют объемные модели киральной среды, состоящие из совокупности трехмерных киральных элементов (лево- и правовинтовые спирали и т.д.) и, соответственно, планарные, состоящие из плоских киральных элементов (плоские S-образные полоски) [2-4]. Причем последние обладают меньшим значением параметра киральности , чем модели, состоящие из совокупности трехмерных киральных элементов [5]. Для того чтобы киральная среда обладала пространственной дисперсией необходимо чтобы линейные размеры киральных элементов l были меньше длины волны , а расстояние между ними было соизмеримо с ней. В оптически-активных средах, состоящих из молекул зеркально-ассиметричной формы, размер этих молекул соизмерим с длинной волны. Как известно [4], параметр киральности пропорционален отношению линейного размера элемента к длине волны, следовательно, эффект киральности в СВЧ диапазоне будет значительно больше, чем в естественных оптически-активных средах (кристаллах), таких как, кристалл кварца или исландский шпат. Концепция электромагнитной киральности объединяет как оптическую активность, которая вызывает поворот плоскости поляризации плоских оптических волн, так и циркулярный дихроизм, проявляющийся в изменении вида поляризации волны. В настоящее время существует множество работ по микрополосковым антеннам (МПА), посвященных вопросам анализа, синтеза, функциональным разновидностям и т.д. Это связано с тем, что МПА обладают несомненными преимуществами, такими как, небольшие габариты и вес, относительно недорогая себестоимость и т.д. Обычно МПА представляет собой подложку из диэлектрика, на поверхности которого располагаются плоские излучатели различной формы. В данном случае диэлектрик служит для выполнения конструктивных функций и обеспечения требуемых характеристик излучения. В данной статье в качестве подложки рассматривается киральная структура. Киральный слой в данном случае представляет собой диэлектрик с проводящими включениями в виде правовинтовых спиралей (это принципиальный момент, так как в дальнейшем от этого будет зависеть вид материальных уравнений [2]). В большинстве работ внутренняя электродинамическая задача анализа микрополосковых антенн сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, численное решение которых относится к классу некорректных задач по Адамару [6]. В статье использован самосогласованный метод решения анализа внутренней задачи для микрополоского вибратора, ширина которого значительно меньше его длины и длины волны [7]. Суть данного метода заключается в получении сингулярного интегрального представления (СИП) электромагнитного поля, которое при подстановке в него граничных условий на излучающей поверхности переходит в СИУ, численное решение которого является математически корректной задачей. Данная статья посвящена описанию самосогласованного метода решения электродинамической задачи о распределении тока на поверхности узкого МПВ, расположенного на киральной подложке. Постановка задачи. Физическая модель излучателя Пусть на подложке киральной структуры, металлизированной с одной стороны, толщиной d, расположена бесконечно тонкая и идеально проводящая полоска с зазором шириной 2b, длина которой равна 2l, а ширина 2a (см. рис. 1). К зазору приложен сторонний источник ЭДС, благодаря которому на поверхности полоски возникают электрические токи, распределенные так, что создаваемое этими токами электромагнитное поле (ЭМП) удовлетворяет уравнениям Максвелла, граничным условиям на идеально проводящей бесконечной металлической плоскости и условию излучения на бесконечности. Рис. 1. Геометрия задачи В данной работе используется физическая модель микрополоскового электрического вибратора, аналогичная трубчатому вибратору [8-10], при этом: - как уже было сказано, предполагается, что микрополосковый вибратор представляет собой бесконечно тонкий и идеально проводящий проводник; - на микрополосок накладывается ограничение по ширине, то есть он должен быть достаточно узким чтобы поперечной составляющей поверхностной плотности электрического тока можно было пренебречь; - приложенный к зазору микрополоска сторонний источник ЭДС является гармоническим; - микрополосковый вибратор возбуждается так, что функция , является непрерывной в области зазора; - предполагается выполнение следующих граничных условий на поверхности микрополоскового вибратора: (1а) при ,; (1б) при , , (1в) где - тангенциальная составляющая напряженности стороннего электрического поля в зазоре вибратора; - предполагается, что тангенциальная составляющая напряженности стороннего электрического поля в зазоре вибратора имеет лишь одну составляющую . Элементы матрицы поверхностных импедансов Разложим векторы напряженности электрического поля , магнитного поля и поверхностной плотности тока на вибраторе по координатам x и y в интегралы Фурье [11]: (2) где (3) где , , , - единичные векторы (орты) на координатных осях, - единичный вектор нормали к границе раздела первой и второй сред, направленный из первой среды во вторую; , - векторы напряженностей магнитного поля в плоскости областей и соответственно. , , - составляющие векторов Фурье-образов напряженности электрического поля , напряженности магнитного поля и поверхностной плотности тока соответственно. , , - составляющие векторов напряженности электрического поля , напряженности магнитного поля и поверхностной плотности тока соответственно. В (3) учтено, что поверхностная плотность электрического тока отлична от нуля только на поверхности вибратора: , , . На плоскости Фурье-образ тангенциальной составляющей напряженности электрического поля и Фурье-образ поверхностной плотности тока на вибраторе связаны через матрицу поверхностных импедансов плоскости следующим образом [12, 13]: (4) где - элементы матрицы поверхностных импедансов есть функции переменных , h Фурье-пространства: . Для определения матрицы поверхностных импедансов проще сначала найти матрицу поверхностных адмитансов : (5) где - элементы матрицы поверхностных адмитансов , которые также являются функциями переменных и h. Так как из матричных соотношений (4)-(5) следует, что матрица есть обратная матрице , то связь между элементами этих матриц выглядит следующим образом: (6) где Элементы матрицы поверхностных адмитансов плоскости определяются через матрицу входных адмитансов области (диэлектрический слой) и матрицу области (киральный слой) [12-13]: . (7) Матрицы входных адмитансов вводятся следующим образом [12-13]: (8) где , , , - Фурье-образы тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей в плоскости области , а , , , - Фурье-образы тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей в плоскости области . Запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд в области , то есть для кирального слоя , в декартовой системе координат: (9) где - циклическая частота; и - электрическая и магнитная постоянные; , - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости кирального слоя; - параметр киральности; - волновое число. Заметим, что уравнения (9) справедливы только для киральной среды, состоящей из правовинтовых спиралей. Это обусловлено знаками между и в материальных уравнениях [2]. Запишем систему уравнений для данной структуры [2]: (10) Подставляя (2) в (10), предварительно взяв в (2) производные по x и y, определим и из решения уравнений (10) с учетом граничных условий , , , : (11) где (12) Так как при (на поверхности металла) , то (13) где - некоторая неизвестная константа. Затем, выражая составляющие , через , в (9) и подставляя (13) в полученные выражения, с помощью формулы (8), получаем значения элементов матрицы входных адмитансов плоскости области , то есть для кирального слоя. Нахождение значений элементов матрицы входных адмитансов плоскости области (диэлектрический слой) подробно описаны в [7]. Воспользуемся готовыми выражениями элементов матрицы входных адмитансов для диэлектрика. (14) где , - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрического слоя. Таким образом, подставляя выражения входных адмитансов для кирального слоя и (14) в (7), а затем полученные выражения в (6), можно получить выражения для элементов матрицы поверхностных импедансов . В данной работе определяется лишь элемент , который является коэффициентом пропорциональности между фурье-компонентами продольного тангенциального продольного поля и плотностью продольного электрического тока , который будет использоваться в дальнейшем. Ввиду громоздкости выражений для входных и поверхностных адмитансов, а также для элемента матрицы поверхностных импедансов , в явном виде здесь они не приводятся. Сингулярное интегральное представление поля Как было уже сказано, предполагается, что тангенциальная составляющая напряженности стороннего электрического поля имеет только продольную компоненту и учитывается только продольная составляющая поверхностной плотности тока , поэтому первое векторное соотношение из (2) с учетом матричного соотношения (4) переходит в скалярное: (15) где (16) Асимптотическое представление при (17) Из (17) следует, что интеграл по h в (16) является расходящимся. Для устранения этой расходимости, в подынтегральном выражении (16) прибавляются и вычитаются слагаемые с асимптотическим сомножителем . Учитывая то, что ширина микрополоскового вибратора много меньше длины волны, поперечное распределение поверхностной плотности тока (относительно полоски, т.е. по координате x) описывается функцией [13-14]. Следовательно, функцию двух переменных, описывающую распределение поверхностной плотности тока , можно представить в виде произведения двух функций одной переменной, одна из которых описывает поперечное распределение, а другая продольное. (18) где - неизвестная функция, характеризующая продольное распределение поверхностной плотности тока. Подставляя (18) в (15), с помощью интегрирования по по частям в (15) и с учетом граничных условий перейдем к новой неизвестной функции . Взяв следующие интегралы [15-17]: (19) где = - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, и учитывая условие сходимости интеграла в (15), в результате получаем следующее СИУ с особенностью Коши для на плоскости : (20) где Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши При подстановке (20) в граничное условие (1в), получается следующее сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши относительно неизвестной функции : (21) где где - напряженность стороннего электрического поля в зазоре. При выводе данного уравнения было положено , так как граничное условие (1в) справедливо для любой точки области , , . Главной особенностью СИУ (21) является то, что оно справедливо для любого способа возбуждения микрополоскового вибратора при учете только одной составляющей поверхностной плотности тока. В зависимости от способа возбуждения меняется только в левой части данного СИУ. Это обусловлено тем, что в соответствии с физической моделью излучателя, поверхностная плотность тока в области зазора остается непрерывной функцией.

About the authors

Dmitriy Sergeevich Klyuev

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: klyuevd@yandex.ru

Anatoly Mihaylovich Neshcheret

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: neshceret_a@list.ru

Oleg Vladimirovich Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: o.osipov@psuti.ru

References

Supplementary files