Stability threshold of modulation and demodulation linear methods

Full Text

Введение Известно, что выбор того или иного критерия качества любой системы, в том числе и связи, является чисто субъективным, поскольку определяется наличием определенных требований со стороны разработчика, потребителя или любого другого субъекта. Однако для систем связи Шенноном введено понятие взаимной информации как меры определенности о сигналах на входе канала связи исходя из наблюдений о сигналах на выходе канала [1]. Причем данная мера имеет фундаментальный смысл, поскольку однозначно определяется лишь вероятностными характеристиками допустимых для передачи сигналов и канала связи, что является следствием несущественности дальнейшей интерпретации и использования переданных сообщений [2]. Кроме того, взаимная информация и производная от неё пропускная способность позволяют указать условия безошибочной передачи данных при наличии дополнительной последовательной обработки в виде кодирования и декодирования [3]. Задача синтеза линейного модулятора и демодулятора Поскольку принципиально вход модулятора и выход демодулятора обладают бесконечным алфавитом, то естественно, что верность передачи характеризуется величиной среднеквадратической ошибки [5-6], которая, по сути, является средним риском для случая квадратической функции потерь. В соответствии с [5] квадрат ошибки между входным x и выходным сигналом x' дискретного канала связи: , где T - оператор транспонирования, есть функция потерь для среднего риска, определяемого выражением: . где - совместная плотность вероятности сигналов на входе x и выходе x' дискретного канала связи. Подстановка совместной плотности вероятности сигналов на входе модулятора и выходе демодулятора и использование фильтрующего свойства дельта-функции преобразует выражение для среднеквадратической ошибки к форме: (1) где trA - след матрицы A; - матрица совместных моментов (i + j)-го порядка сигналов x' и x, определяемая в форме [7]: , (2) , где - i-кратное прямое (декартово) произведение векторов (либо матриц), а символ «×» здесь и далее по тексту обозначает также прямое (декартово) произведение; - (i + 1)-мерная матрица переменного порядка коэффициентов разложения базисных функций модуляции ; - (i + 1)-мерная матрица переменного порядка коэффициентов разложения базисных функций демодуляции ; N - размерность сигналов на входе модулятора (входе дискретного канала связи); N' - размерность сигналов на выходе демодулятора (выходе дискретного канала связи); Nb - степень нелинейности демодулятора. В данной формуле использовано следующее обозначение произведения na-мерной матрицы на nb-мерную одинакового порядка по индексам у первой матрицы A и у второй B: (3) результатом данной операции является матрица с размерностью равной сумме размерностей исходных матриц за вычетом числа индексов, по которым осуществляется произведение для одной из матриц. При этом в качестве аргумента у матриц моментов случайных величин указан оператор модуляции Φ для подчеркивания факта зависимости среднеквадратической ошибки не только от оператора демодуляции, представленного в (1) в явном виде, но и от оператора модуляции. Кроме того, следует указать, что среднеквадратическая ошибка в отличие от взаимной информации, определяется на основе матрицы моментов сигнала на входе демодулятора порядка не выше удвоенной степени нелинейности демодулятора и матрицы совместных моментов сигналов на входе демодулятора и модулятора не выше увеличенного на единицу порядка степени нелинейности демодулятора. Таким образом, задача синтеза детерминированного дискретного отображения непрерывного многопараметрического канала связи заключается в минимизации среднеквадратической ошибки между сигналами на входе и на выходе образуемого дискретного канала: , , . (4) при ограничении на энергию ex передаваемых сигналов [8]: (5) Поставленную задачу синтеза детерминированного дискретного отображения непрерывного канала связи по критерию минимума среднеквадратической ошибки (1); (4)-(5) целесообразно классифицировать как задачу нелинейного программирования [9-10], где в качестве целевой используется скалярная функция среднеквадратической ошибки (1) многомерного аргумента, представляющего собой в общем случае многомерные пространственные матрицы модуляции Φi, и демодуляции Φ'j, . Принципиально важным моментом оказывается нелинейная зависимость целевой функция как от пространственных матриц демодуляции Φ'j, так и модуляции Φi. Причем если степень нелинейности целевой функции от оператора демодуляции определяется только степенью нелинейности его самого, то степень нелинейности целевой функции от оператора модуляции дополнительно задается свойствами исходного непрерывного канала связи, налагающего ограничения на параметры матриц совместных моментов. Наличие ограничения на энергию (5) приводит к задаче на условный экстремум. При этом и само ограничение в общем случае имеет нелинейный характер. Таким образом, задача синтеза дискретного отображения непрерывного многопарамет-рического канала связи для детерминированных операторов модуляции и демодуляции по критерию минимума среднеквадратической ошибки (1); (4)-(5) классифицируется как задача нелинейного программирования с нелинейным ограничением в виде неравенства. В случае линейного фильтрового канала связи с аддитивным шумом сигнал на его выходе x'(t') определяется как сумма свертки сигнала на его входе x(t) и его импульсной характеристики h(t - t') и некоторого шума n(t') [11]: . (6) При этом для линейных операторов модуляции и демодуляции решение рассматриваемой задачи существует в явном виде, что позволяет достаточно просто указать нижнюю границу показателя качества для общего нелинейного случая. Так, в данной ситуации Na = Nb =1, то выражение для оптимальной матрицы демодуляции получается путем соответствующего дифференцирования: , (7) где H - матрица коэффициентов разложения импульсной характеристики; - матрица вторых начальных моментов аддитивного шума в канале связи. В результате среднеквадратическое отклонение и ограничение на энергию передаваемых сигналов принимают следующие формы: . В данной формуле оператор , обобщающий оператор векторизации на случай двумерной результирующей матрицы, элементы которой равны соответствующим элементам исходной матрицы : (8) осуществляет, по сути, процедуру перехода от нумерации элементов исходной матрицы A в многомерном виде к нумерации в двумерной форме. При этом верхние индексы оператора k1, …, kp задают нумерацию строк результирующей матрицы, нижние kp+1, …, kp' - нумерацию столбцов. Кроме того, при условии существования соответствующих либо обратных, либо псевдообратных матриц и среднеквадратическое отклонение и ограничение на энергию представимо в более компактном виде: , (9) . (10) Составление лагранжиана: где a - множитель Лагранжа, с последующим его дифференцированием по матрице модуляции Φ1 согласно правил дифференцирования скалярной функции матричного аргумента [12-13] приводит к следующей форме необходимого условия оптимальности: (11) Последующее применение методов теории матриц позволяет получить в явном виде линейные дискретные отображения непрерывных линейных фильтровых каналов связи с аддитивным шумом, оптимальные по критерию минимума среднеквадратической ошибки, в форме матриц демодуляции (7) и модуляции: , (12) где - матрица размером Nс×N, составленная из собственных векторов матрицы , соответствующих ее минимальным собственным числам; - ортогональная матрица в каноническом разложении матрицы ; V - ортогональная матрица из канонического разложения матрицы ; U - неособенная матрица, преобразующая матрицу к канонической жордановой форме ; a - множитель Лагранжа, вычисляемый на основе предположения о среднеквадратической ошибке, то есть . При этом в результате вычисления матриц модуляции (12) и демодуляции (7) рассчитывается величина энергии сигнала на выходе модулятора в форме: , (13) где - усеченная до размера N × N диагональная матрица, полученная из диагональной матрицы в каноническом разложении матрицы ; - диагональная матрица в каноническом разложении матрицы . Чувствительность линейных методов модуляции С целью оценки технического эффекта от применения полученных линейных операторов модуляции и демодуляции проведено вычисление матриц модуляции и демодуляции для линейного фильтрового канала связи с аддитивным гауссовским шумом с использованием пакета MathCad. В качестве канала связи рассматривался канал с импульсной характеристикой идеального фильтра высоких частот в диапазоне от 1 кГц до 100 МГц и аддитивным гауссовским шумом с неравномерной спектральной плотностью мощности. При этом рассматривалось три типа шумовых сценариев. В первом дисперсия шума по каждому из измерений варьировалась в диапазоне от 0,9 мкВ2 до 1 мкВ2, во втором - от 0,5 мкВ2 до 1 мкВ2, а в третьем - от 0,25 мкВ2 до 1 мкВ2 (единицы измерения приведены из расчета на один подканал). Длительность тактового интервала составляет 100 мкс при количестве отсчетов равном 128. В качестве аналога использовались несущие, описанные в [14] и представляющие собой собственные колебания автокорреляционной функции канала, позволяющие представить исходный аналоговый канал в виде совокупности независимых подканалов. Подобный тип модуляции в литературе именуется модальной, а его базисом является ортонормальный набор собственных функций канала связи, имеющих наибольшие собственные числа [14]. При демодуляции использовался оптимальный линейный демодулятор, представленный в настоящей статье. Рис. 1. Зависимость среднеквадратической ошибки от относительной погрешности измерения дисперсий аддитивного белого гауссовского шума при третьем шумовом сценарии ( мкВ2) и отношении сигнал-шум γ ≈ 22 дБ в условиях оптимальной линейной демодуляции для случая передачи одномерных двухпозиционных амплитудно-модулированных сигналов Проведенный в работе анализ устойчивости получаемых оптимальных линейных операций модуляции и демодуляции показал их сопоставимость с известными методами. На рис. 1-2 представлены зависимости среднеквадратической ошибки от относительной погрешности измерения дисперсий аддитивного белого гауссовского шума при третьем шумовом сценарии ( мкВ2) и отношении сигнал-шум γ ≈ 22 дБ и 21 дБ для одномерных двухпозиционных и двумерных четырехпозиционных сигнальных созвездий соответственно. При этом относительная погрешность измерения дисперсий аддитивного белого гауссовского шума задавалась в следующем виде: , (14) где - октаэдрическая норма матрицы A [15]; -измеренная матрица вторых моментов аддитивного шума; - истинная матрица вторых моментов аддитивного шума. Рис. 2. Зависимость среднеквадратической ошибки от относительной погрешности измерения дисперсий аддитивного белого гауссовского шума при третьем шумовом сценарии ( мкВ2) и отношении сигнал-шум γ ≈ 21 дБ в условиях оптимальной линейной демодуляции для случая передачи двумерных четырехпозиционных амплитудно-модулированных сигналов Выводы Анализ полученных зависимостей показывает наличие некоторого порога устойчивости (примерно около -25 дБ), после которого рост среднеквадратического отклонения происходит по экспоненте. Однако как в отсутствии подобного лавинообразного роста ( дБ), так и при его наличии ( дБ) модальная схема модуляции проигрывает оптимальной.

About the authors

Kirill Aleksandrovivh Batenkov

Academy of Federal Guard Service

Email: pustur@yandex.ru

References

Supplementary files