THEORETICAL ANALYSIS OF THE MODE structure IN AN OPTICAL FIBER WITH AXISYMMETRIC REFRACTIVE INDEX PROFILE

Full Text

В [1] предлагается применять для локальных сетей небольшой протяженности, а также для рефлектометрии абонентских участков оптических сетей доступа излучение видимого и ближнего инфракрасного диапазонов. Преимущественно используемые в сетях доступа оптические волокна (ОВ) стандартов G.652 и G.657 в этих диапазонах работают в маломодовом режиме. В данной работе предложена методика и проведен анализ модового состава видимого и ближнего инфракрасного излучения, проходящего по данным ОВ, а также приведены результаты расчетов хроматической дисперсии. Скалярный волновой анализ Поля мод в слабо направляющем ОВ круглого поперечного сечения с осесимметричным профилем показателя преломления (ППП) можно представить в виде [2]. , , (1) где r, φ, z - цилиндрические координаты; Emax - амплитуда напряженности электрического поля; Ψ(r, φ) - функция, описывающая изменение напряженности электрического поля в поперечном сечении ОВ; β - постоянная распространения; l ≥ 0 - целое число, представляющее собой азимутальный порядок моды; n10 - показатель преломления ОВ на оптической оси; e0 = 8.85×10-12 Ф/м - электрическая постоянная; m0 = 1.257×10-6 Гн/м - магнитная постоянная; i - мнимая единица. Таким образом, для расчета полей мод достаточно найти функцию R(r). Функция R(r) является решением скалярного волнового уравнения, которое для рассматриваемого ОВ имеет вид [2]: , (2) где k = 2π / λ - волновое число; λ - длина волны; n(r) - осесимметричный ППП. В общем случае для каждого значения l > 1 уравнение (2) описывает четыре гибридных моды с постоянными распространения βlm, где m - радиальный порядок моды (m ≥ 0): четную и нечетную HE(l+1)m, четную и нечетную EH(l-1)m. Четная и нечетная моды имеют взаимно перпендикулярные направления поляризации. Моды, имеющие одинаковые l и m, имеют одинаковое распределение амплитуд напряженностей полей в поперечном сечении ОВ. Случаи l = 0 и l = 1 являются особыми. При l = 0 уравнение (2) описывает две гибридные моды: четную и нечетную HE1m. При l = 1 уравнение (2) описывает четыре моды: четную и нечетную HE2m, а также E0m и H0m. Для каждой пары значений l и m распространяющиеся в слабо направляющем ОВ моды интерферируют, образуя линейно поляризованное излучение, которое называют линейно-поляризованной модой LPlm. Мода LP01, являющаяся результатом интерференции четной и нечетной моды HE11, называется основной или фундаментальной. Упрощенная методика анализа мод В общем случае дифференциальное уравнение (2) не имеет аналитического решения, поэтому представляют интерес упрощенные методики анализа ОВ, основанные на представлении реального ППП эквивалентным ступенчатым профилем или комбинацией ступенчатых профилей. В данной работе предлагается методика, основанная на представлении реального слабо направляющего ОВ с произвольным осесимметричным ППП структурой из N концентрических слоев, в которой каждый слой имеет постоянный показатель преломления ni и характеризуется своим радиусом ri [3]. Для такого ОВ уравнение (2) сводится к каноническому уравнению Бесселя и имеет для i-го слоя решение вида: ; (3) где (4) (5) (6) где Jl и Yl - функции Бесселя первого и второго рода; Il и Kl - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, соответственно; Ai и Bi - амплитудные коэффициенты (B1 = 0, AN = 0); k - волновое число. Для расчета βlm, Ai и Bi запишем граничные условия, которые для слабо направляющего ОВ сводятся к непрерывности Ψ(r, φ) и ∂Ψ(r, φ) / ∂r: - граница 1 и 2 слоев: - граница 2 и 3 слоев: … - граница N - 2 и N - 1 слоев: - граница n - 1 и n слоев: Систему граничных условий можно записать в матричной форме: , (7) где M - матрица, представленная на рис. 1; AB - вектор неизвестных амплитудных коэффициентов , (8) T - операция транспонирования. Система (7) имеет нетривиальное решение только в том случае, если определитель матрицы М равен 0. Выражение , (9) представляет собой характеристическое уравнение, которое позволяет найти все βlm. Затем, решив систему (7), можно определить для каждой моды амплитудные коэффициенты. Поскольку общее число неизвестных в (7) превышает число уравнений на единицу, один из коэффициентов нужно задать. Для хроматической дисперсии направляемой моды LPlm справедливо [4]: , (10) где l - длина волны; c - скорость света в вакууме. Хроматическая дисперсия фундаментальной моды является одним из основных нормируемых параметров одномодового ОВ. Волокно со ступенчатым ППП Соотношения (3)-(9) существенно упрощаются для ОВ, имеющего ступенчатый ППП. Характеристическое уравнение данного ОВ имеет вид [2]: , (11) где U и W - безразмерные параметры моды в сердцевине и оболочке ОВ: , , (12) rc - радиус сердцевины ОВ, n1, n2 - показатели преломления сердцевины и оболочки ОВ. 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 M = … … … … … … … … … … … 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 Рис. 1. Матрица M Таблица 1. Значения нормированной частоты отсечки для мод LPlm m l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Функция Бесселя 0 0 3,832 7,016 10,173 13,324 16,471 19,616 22,760 25,904 J1(x) 1 2,405 5,520 8,654 11,792 14,931 18,071 21,212 24,352 27.493 J0(x) 2 3,832 7,016 10,173 13,324 16,471 19,616 22,760 25,904 29,047 J1(x) 3 5,136 8,417 11,620 14,796 17,960 21,117 24,270 27,421 30,569 J2(x) 4 6,380 9,761 13,015 16,223 19,400 22,583 25,748 28,908 32.065 J3(x) 5 7,588 11.065 14,373 17,616 20,827 24,019 27,199 30,371 33,537 J4(x) 6 8,771 12,339 15,700 18,980 22,218 25,430 28,627 31,812 34,989 J5(x) 7 9,936 13,589 17,004 20,321 23,586 26,820 30,034 33,233 36,422 J6(x) 8 11,086 14,821 18,288 21,642 24,935 28,191 31,423 34,637 37,839 J7(x) 9 12,225 16,038 19,555 22,945 26,267 29,546 32,796 36,026 39,240 J8(x) 10 13,354 17,241 20,807 24,234 27,584 30,885 34,154 37,400 40,629 J9(x) 11 14,476 18,433 22,047 25,509 28,887 32,212 35,500 38,762 42,004 J10(x) 12 15,590 19,616 23,276 26,773 30,179 33,526 36,834 40,112 43,368 J11(x) Параметры U и W связаны с нормированной частотой ОВ V соотношением: . (13) Для каждой пары значений l и V уравнение (11) может иметь несколько решений Ulm (и Wlm), соответствующих разным модам LPlm с постоянными распространения: . (14) Решения для полей мод будут иметь вид: - в сердцевине , (15) - в оболочке . (16) Для расчета числа направляемых мод необходимо рассмотреть условия отсечки каждой моды. Известно, что в ОВ со ступенчатым ППП условия отсечки моды имеют вид - при l ¹ 0: ; - при l = 0: . (17) Таким образом, для каждой моды, кроме фундаментальной, можно определить нормированную частоту отсечки Vcut. Уравнения (17) имеют бесконечное число корней. Порядковый номер корня m соответствует радиальному порядку отсекаемой моды. В таблице 1 представлены значения нормированной частоты отсечки Vcut для линейно-поляризованных мод. Значения Vcut lm позволяют рассчитать длины волн отсечки каждой линейно-поляризованной моды . (18) Число линейно-поляризованных мод MLP, направляемых ОВ с нормированной частотой V, можно определить, пересчитав все дискретные решения (16), для которых V < Vcut. Приближенно MLP можно рассчитать по выражению . (19) Отметим, что поля всех направляемых мод существуют как в сердцевине, так и в оболочке. Долю мощности моды, сосредоточенную в сердцевине, можно рассчитать по выражению: - при l = 0: ; - при l ≠ 0: . (19) Результаты моделирования ОВ стандарта G.652 на длинах волн 650 и 850 нм В работе было проведено моделирование ОВ стандарта G.652. Конструктивные параметры модели представлены в таблице 2. таблица 2. Конструктивные параметры моделируемого ОВ № п/п Параметр Значение 1 ППП Ступенчатый 2 Материал сердцевины 4,1% GeO2, 92,1% SiO2 3 Материал оболочки 100% SiO2 4 Радиус сердцевины, мкм 4,1 5 Радиус оболочки, мкм 125 В таблице 3 представлены результаты расчета V и MLP: по приближенной формуле (19) и уточненные. таблица 3. Число направляемых линейно-поляризованных мод в моделируемом ОВ № п/п Параметр Значение на длине волны 650 нм Значение на длине волны 850 нм 1 V 5,465 4,116 2 MLP, рассчитанное по (19) 7 4 3 Уточненное MLP 5 3 В таблицах 4 и 5 приведены основные параметры направляемых линейно-поляризованных мод рассматриваемого ОВ на длинах волны 650 и 850 нм соответственно. На рис. 2 показаны результаты расчета нормированных распределений напряженности электрического поля направляемых линейно-поляризованных мод в рассматриваемом ОВ на длинах волн 650 и 850 нм. На рис. 3 показаны результаты расчета зависимости хроматической дисперсии фундаментальной моды от длины волны. Длина волны нулевой дисперсии составила примерно 1311 нм. На всех графиках обозначение Emax - это амплитуда напряженности электрического поля основной моды. Таблица 4. Параметры направляемых мод в рассматриваемом ОВ на длине волны 650 нм Мода LPlm Постоянная распространения βlm, 1/мкм Эффективный показатель преломления neff Нормированная частота отсечки Vcut lm Доля мощности в сердцевине ηlm, % Длина волны отсечки λcut lm, мкм Хроматическая дисперсия Dchr lm, пс/(нм∙км) LP01 14,134 1,462 - 97,73 - -235,26 LP11 14,121 1,461 2,405 93,72 1,477 -232,32 LP21 14,104 1,459 3,832 87,22 0,927 -234,72 LP02 14,099 1,4585 3,832 82,85 0,927 -247,83 LP31 14,085 1,457 5,136 64,03 0,692 -268,38 Таблица 5. Параметры направляемых мод в рассматриваемом ОВ на длине волны 850 нм Мода LPlm Постоянная распространения βlm, 1/мкм Эффективный показатель преломления neff Нормированная частота отсечки Vcut lm Доля мощности в сердцевине ηlm, % Длина волны отсечки λcut lm, мкм Хроматическая дисперсия Dchr lm, пс/(нм∙км) LP01 10,7735 1,4575 - 95,29 - -88,78 LP11 10,7586 1.4554 2,405 86,16 1,455 -91,01 LP21 10,7406 1,4530 3,832 66,56 0,913 -133,7 LP02 10,7378 1,4526 3,832 35,98 0,913 -332,9 а) б) Рис. 2. Нормированные распределения напряженности электрического поля направляемых линейно-поляризованных мод на длинах волн 650 нм (а) и 850 нм (б): 1 - LP01, 2 - LP11, 3 - LP21, 4 - LP02, 5 - LP31 Рис. 3. Дисперсионная характеристика фундаментальной моды моделируемого ОВ таблица 6. Конструктивные параметры ОВ № п/п Параметр Значение 1 Материал сердцевины 3,5% GeO2, 96,5% SiO2 2 Радиус сердцевины, мкм 3,9 3 Материал внутреннего и внешнего слоев оболочки 100% SiO2 4 Радиус внутреннего слоя оболочки, мкм 9,5 5 Материал центрального слоя оболочки 1,0% F, 99.0% SiO2 6 Радиус центрального слоя оболочки, мкм 14,75 7 Радиус центрального слоя оболочки, мкм 125 таблица 7. Число направляемых линейно-поляризованных мод в моделируемом ОВ № п/п Параметр Значение на длине волны 650 нм Значение на длине волны 850 нм 1 V 4,816 3,662 2 MLP, рассчитанное по (19) 5 3 3 Уточненное MLP 4 2 Результаты моделирования ОВ стандарта G.657 на длинах волн 650 и 850 нм В работе было проведено моделирование ОВ стандарта G.657. Конструктивные параметры модели представлены в таблице 6. В таблице 7 представлены результаты расчета V и MLP: по приближенной формуле (19) и уточненное по таблице 1. В таблицах 8 и 9 приведены основные параметры направляемых линейно-поляризованных мод рассматриваемого ОВ на длинах волны 650 и 850 нм соответственно. Таблица 8. Параметры направляемых мод в рассматриваемом ОВ на длине волны 650 нм Мода LPlm Постоянная распространения βlm, 1/мкм Эффективный показатель преломления neff Нормированная частота отсечки Vcut lm Доля мощности в сердцевине ηlm, % Длина волны отсечки λcut lm, мкм Хроматическая дисперсия Dchr lm, пс/(нм∙км) LP01 14,124 1.461 - 96,85 - -226,53 LP11 14,111 1,460 2,405 91,08 1,303 -225,0 LP21 14,094 1,458 3,832 80,94 0,817 -234,64 LP02 14,089 1,4575 3,832 72,29 0,817 -266,16 Таблица 9. Параметры направляемых мод в рассматриваемом ОВ на длине волны 850 нм Мода LPlm Постоянная распространения βlm, 1/мкм Эффективный показатель преломления neff Нормированная частота отсечки Vcut lm Доля мощности в сердцевине ηlm, % Длина волны отсечки λcut lm, мкм Хроматическая дисперсия Dchr lm, пс/(нм∙км) LP01 10,767 1,457 - 93,690 - -83,80 LP11 10,752 1,4545 2,405 80,750 1,294 -90,26 а) б) Рис. 4. Нормированные распределения напряженности электрического поля направляемых линейно-поляризованных мод на длинах волн: а) 650 нм; б) 850 нм; 1 - LP01, 2 - LP11, 3 - LP21, 4 - LP02 На рис. 4 показаны результаты расчета нормированных распределений напряженности электрического поля направляемых линейно-поляризованных мод в рассматриваемом ОВ на двух длинах волн 650 и 850 нм. На графиках Emax - это амплитуда напряженности электрического поля основной моды. Рис. 5. Дисперсионная характеристика фундаментальной моды моделируемого ОВ. На рис. 5 показаны результаты расчета зависимости хроматической дисперсии фундаментальной моды от длины волны. Заключение Результаты проведенных расчетов могут быть использованы при: - проектировании локальных сетей, работающих в видимой и ближней инфракрасной областях, - организации дополнительных оптических каналов в существующих сетях небольшой протяженности, - разработке оптических рефлектометров для измерений на локальных сетях, а также на абонентских участках пассивных оптических сетей. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-37-50088.

About the authors

Maria Sergeevna Bylina

The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications

Email: bylinamaria@mail.ru

Sergey Fedorovich Glagolev

The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications

Email: glagolevsf@yandex.ru

Michael Victorovich Dashkov

Povolzhskiy State University of Telecommunication and Informatics

Email: mvd.srttc@gmail.com

Andrei Sergeevich Diubov

The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications

Email: blip@mail.ru

Valentin Alexandrovich Hrichkov

The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications

Email: hrichkovv@gmail.com

References

Supplementary files