THE MATRIX METHODS FOR CALCULATING OF MULTILAYER PLANAR METAMATERIALS CHARACTERISTICS IN CASE OF CHIRALITY AND SPATIAL DISPERSION

Abstract


Application of matrix methods for calculating the characteristics of reflective metamaterials composed of several planar layers based on a media with spatial dispersion and chirality discussed in the work. The surface impedance and transmission matrices of generalized layer received. As an example, the problem of plane electromagnetic wave of linear polarization reflection from two-layer dielectric-chiral metamaterial basing on a thin wire coils located in the air and double-chiral metamaterial on a perfectly conducting substrate are considered. Frequency dependencies of reflection and transmission coefficients modules of the main and cross-polarized field components at the different container geometrical and the chiral metamaterial inclusions dimensions are considered. Metastructure enables the conversion of normally incident radiation in the scattering in the plane of the structure at some frequencies. Ability to use double-chiral metastructure a protective coating for the metallized object is predicted.

Full Text

Метаматериалы - это композиционные материалы, ϲʙᴏйства которых в целом определяются не столько ϲʙᴏйствами составляющих элементов, сколько искусственно созданной периодической структурой. Метаматериалы принято подразделять на сверхвысокочастотные (СВЧ) и оптические [1-2]. Любой метаматериал представляют собой совокупность двух веществ различного происхождения - контейнера и резонансных элементов, которые в нем размещаются. В настоящее время активно проводятся теоретические и экспериментальные исследования метаматериалов, обладающих свойством киральности, которые, в частности, проявляют различные электромагнитные свойства при падении волн с различными поляризациями, то есть являются частотно- и поляризационно-селективными. Киральный метаматериал включает в свою структуру тонкопроволочные элементы, обладающие зеркально асимметричной формой [3-4]. В [5-6] изучены свойства однослойного кирального метаматериала на основе тонкопроволочных спиралей, для которого доказана возможность преобразования радиально падающего электромагнитного излучения СВЧ в азимутальное рассеяние вдоль поверхности метаматериала. Метод частичных областей, применяемый в [6], приводит к достаточно трудоемкому процессу построения решений для многослойных киральных метаматериалов. В данной работе рассмотрена возможность применения матричного метода, активно применяемого в оптике [7] для расчета характеристик оптических стоп, для анализа многослойных киральных метаматериалов СВЧ. Удобством использования данного метода является его универсальность: достаточно найти вид матрицы передачи обобщенного кирального слоя, и тогда выходная матрица получается путем перемножения матриц отдельных слоев. В работе для обобщенного кирального слоя получен тензор поверхностного импеданса. Также при использовании матричного метода возможен учет пространственной дисперсии кирального метаматериала на основе известных соотношения для эффективной диэлектрической проницаемости и относительного параметра киральности [8]. Тензор поверхностного импеданса обобщенного кирального слоя Киральный метаматериал описывается в общем случае материальными уравнениями, одновременно связывающими между собой индукции и напряженности электрического и магнитного полей [3-4]: (1) где ; - частотно-зависимые относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; - относительный параметр киральности; верхние и нижние знаки соответствует зеркально асимметричным элементам правой и левой форм, соответственно. Материальные уравнения (1) записаны в гауссовой системе единиц. Частотные зависимости материальных параметров кирального метаматериала определяются формулами [8]: (2) где - относительная диэлектрическая проницаемость контейнера; - резонансная частота; - параметр, определяющий линейный размер спиральных включений и - параметр, связанный с концентрацией элементов; - скорость света. При решении задачи, считается, что магнитная проницаемость контейнера является частотно независимой: . Кроме того, можно учесть комплексность диэлектрической проницаемости дисперсного метаматериала, то есть , где действительная и мнимая части относительной диэлектрической проницаемости при учете дисперсии среды связаны соотношениями Крамерса-Кронига [9]: (3) где под v.p. понимается интеграл в смысле главного значения. Рассмотрим границу раздела между диэлектрической областью 1 и полубесконечной киральной средой, показанную на рис. 1. Пусть плоская волна линейной E-поляризации падает под углом на полубесконечный киральный метаматериал, который является бесконечно протяженной вдоль координаты . На рис. 1 показана ориентация векторов поля падающей волны перпендикулярной поляризации и векторов основного и кросс-поляризованного полей отраженной волны. Запишем уравнения Максвелла для электромагнитного поля в киральной среде [3]: (4) Будем считать, в силу геометрии задачи, что векторы поля не зависят от координаты и для общности будем полагать, что вдоль других координат поле изменяется по гармоническим законам: (5) где и - проекции волнового вектора на данные оси. Рис. 1. Граница раздела «диэлектрик-киральная среда» Тогда из уравнений (4) с учетом (5) получаем соотношения, связывающие тангенциальные составляющие векторов поля внутри киральной среды: (6) Соотношения (6) можно записать в терминах компонент тензора поверхностного импеданса: (7) где поверхностного импеданса кирального метаматериала, который является двумерным тензором второго ранга и имеет вид: (9) где На границе раздела «диэлектрик - киральная среда» при выполняются граничные условия: (10) Индексы «1» относятся к полям во внешней области 1. С использованием (10) формулы (7) записываются следующим образом: (11) Соотношения (11), по своей сути, являются обобщением приближенных граничных условий Леонтовича-Щукина [10] и переходят в них при , то есть при . В случае нормального падения волны на границу раздела при соотношения (11) являются точными. Примером использования (11) является вывод формул Френеля для киральной среды. Например, для случая падения плоской электромагнитной волны H-поляризации, запишем выражения во внешней области 1 в виде суммы основных и кросс поляризованных компонент поля: (12) где - коэффициент отражения основной компоненты при падении H-поляризованной волны; - коэффициент отражения кросс-поляризованной E-компоненты при падении H-поляризованной волны. Подставляя (12) в импедансные граничные условия (11), получаем обобщенные формулы Френеля для границы раздела «диэлектрическая среда-киральная среда» при падении волны H-поляризации: (13) Как видно из (13), кросс-поляризованное поле не возникает в случае, когда , то есть при . При выводе формул (13) предполагалось для простоты отсутствие дисперсии киральной среды. Соотношения (13) совпадают с известными формулами Френеля для киральной среды [3]. Матрица передачи обобщенного кирального слоя Рассмотрим теперь не бесконечную киральную среду, а слой кирального метаматриала толщиной h, который разделяет произвольные области 1 и 2. Для получения матрицы передачи тонкого кирального слоя удобно воспользоваться двухсторонними приближенными граничными условиями, рассмотренными в [11-12]: (14) В (14) индексы «1» и «2» относятся к компонентам поля во внешних областях 1 и 2 соответственно. Зависимость материальных параметров кирального слоя от частоты опущена для сокращения записи. Соотношения (14) после ряда преобразований можно привести к следующему виду: (15) где (16) Используя выражения для элементов тензора (16), получаем соотношение для матрицы передачи тонкого кирального слоя, бесконечно протяженного вдоль оси : (17) Как видно из тензора (17), за кросс-поляризацию поля отвечают недиагональные элементы матрицы передачи. Если структура состоит из нескольких слоев метаматериала, каждый из которых описывается матрицей передачи , то матрица передачи всей метаструктуры в целом представляется в виде произведения матриц отдельных слоев: (18) где N - число слоев метаматериала. Применение метода матриц передачи для расчета характеристик планарных двухслойных киральных метаструктур Рассмотрим задачу об определении коэффициентов отражения и прохождения при падении плоской электромагнитной волны на метаматериал, состоящий из двух планарно расположенных кирального и диэлектрического слоёв, который является бесконечно протяженным вдоль оси . Геометрия задачи приведена на рис. 2. Пусть на метаматериал из диэлектрической области 1 ( и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости) под углом падает плоская электромагнитная волна линейной поляризации (в статье рассмотрен случай падения волны с перпендикулярной поляризацией). Область 2 на рис. 2 представляет собой слой кирального метаматериала толщиной ( и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; - параметр киральности). Киральный метаматериал состоит из многовитковых тонкопроволочных спиралей, намотанных на диэлектрические цилиндрические оправки, которые равномерно размещены в планарном контейнере. Дисперсионная модель такого кирального метаматериала описана в [4]. Область 3 представляет собой диэлектрический слой толщиной с параметрами и . Область 4 - диэлектрик с параметрами и . Рис. 2. Геометрия задачи Матрица передачи кирального слоя 2 определяется соотношением (17), в то время как матрица передачи диэлектрического слоя 3 получается из (17) при . Матрица передачи всей метаструктуры получается путем перемножения матриц двух слоев. На последнем этапе решение задачи сводится к системе из двенадцати линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов отражения и прохождения волн во внешних областях и внутренних слоях. Все коэффициенты обозначены на рис. 2. Индекс «e» относится к полю основной компоненты, индекс «h» - к полю кросс-поляризованной компоненты. Анализ численных результатов Кирально-диэлектрическая метаструктура в вакууме. При анализе численных характеристик основной интерес представлял расчет частотных зависимостей отраженной ( и ) и прошедшей ( и ) мощностей (в дБ). Диэлектрический слой обладает материальными параметрами (пенополистирол С-50) и толщиной 3 мм. Киральный слой выполнен на основе контейнера из пенополистирола С-50 толщиной 5 мм: , . Киральные спиральные элементы состоят из двух витков радиусом 10 мм и расположены на расстоянии 50 мм друг от друга. Внешние области считались вакуумными. Дисперсия материальных параметров описывалась формулами (2) с использованием модели кирального слоя на основе тонкопроволочных спиралей, подробно рассмотренной в [12]. На рис. 3 представлены частотные зависимости отраженной и прошедшей мощностей основной компоненты поля в диапазоне от 1 до 6 ГГц. Сплошными кривыми на рис. 3 показаны зависимости прошедшей мощности основной компоненты ( ); штриховыми линиями - отраженной мощности основной компоненты ( ). Падение волны на метаструктуру считалось нормальным для того, чтобы степень кросс-поляризации поля была незначительной. Рис. 3. Уровни ослабления основного поля в дБ в прямом и обратном направлениях (за и перед метаструктурой) Как видно из рис. 3, на зависимостях наблюдаются узкие резонансные максимумы ослабления энергии в прямом направлении, на которых возможно эффективное преобразование нормально падающего СВЧ излучения в азимутальное рассеяние. Из рис. 3 следует, что на частотах 2,7; 3,25; 3,6 и 3,8 ГГц возможна ситуация, когда уровни ослабления в прямом направлении составляют по -30дБ. Кроме того, на этих частотах уровни ослабления в обратном направлении составляют -10 … -17 дБ. На рис. 4 приведены характеристики, аналогичные как на рис. 3, но для случая контейнера слоя 2 толщиной 10 мм. Как видно из рис. 4, при увеличении толщины контейнера кирального слоя в два раза, на зависимостях также наблюдаются узкие резонансные максимумы ослабления энергии в прямом направлении, на которых возможно преобразование нормально падающего СВЧ излучения в азимутальное рассеяние, однако их количество уменьшается, и они смещаются в область более высоких частот. Из рис. 4 видно, что на частотах 3,9 и 5,8 ГГц возможна ситуация, когда уровни ослабления в прямом направлении достигают -30дБ. Кроме того, на этих частотах уровни ослабления в обратном направлении составляют -10 … -15 дБ. Дважды-киральная метаструктура на идеально проводящей подложке. В данном случае поле не проходит в область 4 и интерес представляло исследование характеристик отражения плоской электромагнитной волны от метаструктуры. При анализе численных характеристик основной интерес представлял расчет частотных и угловых зависимостей модуля коэффициента отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля. Интерес вызвал случай, когда планарные слои 2 и 3 являются киральными («дважды-киральная» метастурктура), обладают различной толщиной (100 мм и 30 мм), одинаковой относительной диэлектрической проницаемостью 3,5 и достаточно большим значением относительной магнитной проницаемости 13,0. Киральные спиральные элементы состоят из двух витков радиусом 10 мм и расположены на расстоянии 50 мм друг от друга. На рис. 5 представлены частотные и угловые зависимости модуля коэффициента отражения основной компоненты поля в диапазоне от 1 до 4 ГГц. Сплошными кривыми на рис. 5 показаны зависимости модуля коэффициента отражения основной компоненты : от угла падения (см. рис. во вставке) и от частоты (основной рис. 5). Падение волны на метаструктуру считалось нормальным для того, чтобы степень кросс-поляризации поля была незначительной. Рис. 4. Уровни ослабления в дБ в прямом и обратном направлениях (за и перед метаструктурой) Рис. 5. Частотная и угловая зависимости модуля коэффициента отражения основной компоненты Как видно из частотной зависимости, показанной на рис. 5, от дважды-киральной структуры практически отсутствует отражение плоской электромагнитной волны с перпендикулярной поляризацией в диапазоне ниже 3,6 ГГц, то есть на этих частотах поле локализуется в метаструктуре, которая играет роль малоотражающего покрытия для указанного типа поляризации. На частотах выше 3,6 ГГц модуль коэффициента отражения равен единице или близок к ней, то есть волна «не чувствует» наличие метаматериала вообще. Согласно рис. 5, свойство малого отражения у метаматериала сохраняется в диапазоне углов от нуля (нормальное падение) до 60°. Данная зависимость рассчитывалась на частоте 2 ГГц. Заключение Выводы по результатам работы сводятся к следующему. 1. Получены в явном виде тензор поверхностного импеданса обобщенной киральной среды и матрица передачи слоя. 2. Рассмотрено решение электродинамической задачи отражения плоской электромагнитной волны от двухслойного кирально-диэлектрического метаматериала, которое показало возможность использования указанной структуры для преобразования, радиально падающего СВЧ излучения на заданной частоте в азимутальное рассеяние. 3. Рассмотрено решение электродинамической задачи отражения плоской электромагнитной волны от двухслойного дважды-кирального метаматериала, расположенного на идеально проводящей подложке, которое показало возможность использования указанной структуры в качестве защитного экрана СВЧ в некотором диапазоне частот СВЧ.

About the authors

Dmitriy Sergeevich Klyuev

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: klyuevd@yandex.ru

Oleg Vladimirovich Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: o.osipov@psuti.ru

Andrey Olegovich Pocheptsov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: pao@psuti.ru

Elena Sergeevna Rezepova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: e.rezepova@psuti.ru

References

  1. Engheta N., Ziolkowski R.W., ets. Metamaterials: Physics and Engineering Explorations. Hoboken: John Wiley & Sons, 2006. - 414 p.
  2. Capolino F., ets. Metamaterials Handbook. Vol. I. Phenomena and Theory of Metamaterials. CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009. - 724 p.
  3. Lindell I.V., Sihvola A.H., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media. London: Artech House, 1994. - 291 p.
  4. Lakhtakia A., Varadan V.K., Varadan V.V. Time-harmonic electromagnetic fields in chiral media. Lecture Notes in Physics. Berlin: Heidelberg and Boston: Springer-Verlag, 1989. - 121 p.
  5. Осипов О.В., Плотников А.М., Салимова Н.Р. Использование эффекта азимутального рассеяния электромагнитных волн метаструктурой на основе элементов Телледжена в прикладных задачах электродинамики // ИКТ. Т.10. №1, 2012. - С. 8-15.
  6. Осипов О.В. Почепцов А.О., Юрасов В.И. Киральный метаматериал для частотно-селективной концентрации энергии сверхвысокочастотного излучения // ИКТ. Т.12, №4, 20124. - С. 76-82.
  7. Тамир Т., Когельник Г., Хаммер Д. Интегральная оптика. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. - 344 с.
  8. Semchenko I.V., Tretyakov S.A., Serdyukov N.N. Research on chiral and bianisotropic media in Byelorussia and Russia in the last ten years // Progress in Electromagnetics Research. Vol.12, 1996. - P. 335-370.
  9. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. - 383 с.
  10. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. - 544 с.
  11. Неганов В.А., Осипов О.В. Отражающие, волноведущие и излучающие структуры с киральными элементами. М.: Радио и связь, 2006. - 280 с.
  12. Осипов О.В., Панферова Т.А. Приближенные граничные условия для тонких киральных слоев с криволинейной формой поверхности // Радиотехника и электроника. Т.55, №5, 2010. - С. 568-570.

Statistics

Views

Abstract - 18

PDF (Russian) - 3

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2017 Klyuev D.S., Osipov O.V., Pocheptsov A.O., Rezepova E.S.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies