THE MATRIX METHODS FOR CALCULATING OF MULTILAYER PLANAR METAMATERIALS CHARACTERISTICS IN CASE OF CHIRALITY AND SPATIAL DISPERSION

Full Text

Метаматериалы - это композиционные материалы, ϲʙᴏйства которых в целом определяются не столько ϲʙᴏйствами составляющих элементов, сколько искусственно созданной периодической структурой. Метаматериалы принято подразделять на сверхвысокочастотные (СВЧ) и оптические [1-2]. Любой метаматериал представляют собой совокупность двух веществ различного происхождения - контейнера и резонансных элементов, которые в нем размещаются. В настоящее время активно проводятся теоретические и экспериментальные исследования метаматериалов, обладающих свойством киральности, которые, в частности, проявляют различные электромагнитные свойства при падении волн с различными поляризациями, то есть являются частотно- и поляризационно-селективными. Киральный метаматериал включает в свою структуру тонкопроволочные элементы, обладающие зеркально асимметричной формой [3-4]. В [5-6] изучены свойства однослойного кирального метаматериала на основе тонкопроволочных спиралей, для которого доказана возможность преобразования радиально падающего электромагнитного излучения СВЧ в азимутальное рассеяние вдоль поверхности метаматериала. Метод частичных областей, применяемый в [6], приводит к достаточно трудоемкому процессу построения решений для многослойных киральных метаматериалов. В данной работе рассмотрена возможность применения матричного метода, активно применяемого в оптике [7] для расчета характеристик оптических стоп, для анализа многослойных киральных метаматериалов СВЧ. Удобством использования данного метода является его универсальность: достаточно найти вид матрицы передачи обобщенного кирального слоя, и тогда выходная матрица получается путем перемножения матриц отдельных слоев. В работе для обобщенного кирального слоя получен тензор поверхностного импеданса. Также при использовании матричного метода возможен учет пространственной дисперсии кирального метаматериала на основе известных соотношения для эффективной диэлектрической проницаемости и относительного параметра киральности [8]. Тензор поверхностного импеданса обобщенного кирального слоя Киральный метаматериал описывается в общем случае материальными уравнениями, одновременно связывающими между собой индукции и напряженности электрического и магнитного полей [3-4]: (1) где ; - частотно-зависимые относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; - относительный параметр киральности; верхние и нижние знаки соответствует зеркально асимметричным элементам правой и левой форм, соответственно. Материальные уравнения (1) записаны в гауссовой системе единиц. Частотные зависимости материальных параметров кирального метаматериала определяются формулами [8]: (2) где - относительная диэлектрическая проницаемость контейнера; - резонансная частота; - параметр, определяющий линейный размер спиральных включений и - параметр, связанный с концентрацией элементов; - скорость света. При решении задачи, считается, что магнитная проницаемость контейнера является частотно независимой: . Кроме того, можно учесть комплексность диэлектрической проницаемости дисперсного метаматериала, то есть , где действительная и мнимая части относительной диэлектрической проницаемости при учете дисперсии среды связаны соотношениями Крамерса-Кронига [9]: (3) где под v.p. понимается интеграл в смысле главного значения. Рассмотрим границу раздела между диэлектрической областью 1 и полубесконечной киральной средой, показанную на рис. 1. Пусть плоская волна линейной E-поляризации падает под углом на полубесконечный киральный метаматериал, который является бесконечно протяженной вдоль координаты . На рис. 1 показана ориентация векторов поля падающей волны перпендикулярной поляризации и векторов основного и кросс-поляризованного полей отраженной волны. Запишем уравнения Максвелла для электромагнитного поля в киральной среде [3]: (4) Будем считать, в силу геометрии задачи, что векторы поля не зависят от координаты и для общности будем полагать, что вдоль других координат поле изменяется по гармоническим законам: (5) где и - проекции волнового вектора на данные оси. Рис. 1. Граница раздела «диэлектрик-киральная среда» Тогда из уравнений (4) с учетом (5) получаем соотношения, связывающие тангенциальные составляющие векторов поля внутри киральной среды: (6) Соотношения (6) можно записать в терминах компонент тензора поверхностного импеданса: (7) где поверхностного импеданса кирального метаматериала, который является двумерным тензором второго ранга и имеет вид: (9) где На границе раздела «диэлектрик - киральная среда» при выполняются граничные условия: (10) Индексы «1» относятся к полям во внешней области 1. С использованием (10) формулы (7) записываются следующим образом: (11) Соотношения (11), по своей сути, являются обобщением приближенных граничных условий Леонтовича-Щукина [10] и переходят в них при , то есть при . В случае нормального падения волны на границу раздела при соотношения (11) являются точными. Примером использования (11) является вывод формул Френеля для киральной среды. Например, для случая падения плоской электромагнитной волны H-поляризации, запишем выражения во внешней области 1 в виде суммы основных и кросс поляризованных компонент поля: (12) где - коэффициент отражения основной компоненты при падении H-поляризованной волны; - коэффициент отражения кросс-поляризованной E-компоненты при падении H-поляризованной волны. Подставляя (12) в импедансные граничные условия (11), получаем обобщенные формулы Френеля для границы раздела «диэлектрическая среда-киральная среда» при падении волны H-поляризации: (13) Как видно из (13), кросс-поляризованное поле не возникает в случае, когда , то есть при . При выводе формул (13) предполагалось для простоты отсутствие дисперсии киральной среды. Соотношения (13) совпадают с известными формулами Френеля для киральной среды [3]. Матрица передачи обобщенного кирального слоя Рассмотрим теперь не бесконечную киральную среду, а слой кирального метаматриала толщиной h, который разделяет произвольные области 1 и 2. Для получения матрицы передачи тонкого кирального слоя удобно воспользоваться двухсторонними приближенными граничными условиями, рассмотренными в [11-12]: (14) В (14) индексы «1» и «2» относятся к компонентам поля во внешних областях 1 и 2 соответственно. Зависимость материальных параметров кирального слоя от частоты опущена для сокращения записи. Соотношения (14) после ряда преобразований можно привести к следующему виду: (15) где (16) Используя выражения для элементов тензора (16), получаем соотношение для матрицы передачи тонкого кирального слоя, бесконечно протяженного вдоль оси : (17) Как видно из тензора (17), за кросс-поляризацию поля отвечают недиагональные элементы матрицы передачи. Если структура состоит из нескольких слоев метаматериала, каждый из которых описывается матрицей передачи , то матрица передачи всей метаструктуры в целом представляется в виде произведения матриц отдельных слоев: (18) где N - число слоев метаматериала. Применение метода матриц передачи для расчета характеристик планарных двухслойных киральных метаструктур Рассмотрим задачу об определении коэффициентов отражения и прохождения при падении плоской электромагнитной волны на метаматериал, состоящий из двух планарно расположенных кирального и диэлектрического слоёв, который является бесконечно протяженным вдоль оси . Геометрия задачи приведена на рис. 2. Пусть на метаматериал из диэлектрической области 1 ( и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости) под углом падает плоская электромагнитная волна линейной поляризации (в статье рассмотрен случай падения волны с перпендикулярной поляризацией). Область 2 на рис. 2 представляет собой слой кирального метаматериала толщиной ( и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; - параметр киральности). Киральный метаматериал состоит из многовитковых тонкопроволочных спиралей, намотанных на диэлектрические цилиндрические оправки, которые равномерно размещены в планарном контейнере. Дисперсионная модель такого кирального метаматериала описана в [4]. Область 3 представляет собой диэлектрический слой толщиной с параметрами и . Область 4 - диэлектрик с параметрами и . Рис. 2. Геометрия задачи Матрица передачи кирального слоя 2 определяется соотношением (17), в то время как матрица передачи диэлектрического слоя 3 получается из (17) при . Матрица передачи всей метаструктуры получается путем перемножения матриц двух слоев. На последнем этапе решение задачи сводится к системе из двенадцати линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов отражения и прохождения волн во внешних областях и внутренних слоях. Все коэффициенты обозначены на рис. 2. Индекс «e» относится к полю основной компоненты, индекс «h» - к полю кросс-поляризованной компоненты. Анализ численных результатов Кирально-диэлектрическая метаструктура в вакууме. При анализе численных характеристик основной интерес представлял расчет частотных зависимостей отраженной ( и ) и прошедшей ( и ) мощностей (в дБ). Диэлектрический слой обладает материальными параметрами (пенополистирол С-50) и толщиной 3 мм. Киральный слой выполнен на основе контейнера из пенополистирола С-50 толщиной 5 мм: , . Киральные спиральные элементы состоят из двух витков радиусом 10 мм и расположены на расстоянии 50 мм друг от друга. Внешние области считались вакуумными. Дисперсия материальных параметров описывалась формулами (2) с использованием модели кирального слоя на основе тонкопроволочных спиралей, подробно рассмотренной в [12]. На рис. 3 представлены частотные зависимости отраженной и прошедшей мощностей основной компоненты поля в диапазоне от 1 до 6 ГГц. Сплошными кривыми на рис. 3 показаны зависимости прошедшей мощности основной компоненты ( ); штриховыми линиями - отраженной мощности основной компоненты ( ). Падение волны на метаструктуру считалось нормальным для того, чтобы степень кросс-поляризации поля была незначительной. Рис. 3. Уровни ослабления основного поля в дБ в прямом и обратном направлениях (за и перед метаструктурой) Как видно из рис. 3, на зависимостях наблюдаются узкие резонансные максимумы ослабления энергии в прямом направлении, на которых возможно эффективное преобразование нормально падающего СВЧ излучения в азимутальное рассеяние. Из рис. 3 следует, что на частотах 2,7; 3,25; 3,6 и 3,8 ГГц возможна ситуация, когда уровни ослабления в прямом направлении составляют по -30дБ. Кроме того, на этих частотах уровни ослабления в обратном направлении составляют -10 … -17 дБ. На рис. 4 приведены характеристики, аналогичные как на рис. 3, но для случая контейнера слоя 2 толщиной 10 мм. Как видно из рис. 4, при увеличении толщины контейнера кирального слоя в два раза, на зависимостях также наблюдаются узкие резонансные максимумы ослабления энергии в прямом направлении, на которых возможно преобразование нормально падающего СВЧ излучения в азимутальное рассеяние, однако их количество уменьшается, и они смещаются в область более высоких частот. Из рис. 4 видно, что на частотах 3,9 и 5,8 ГГц возможна ситуация, когда уровни ослабления в прямом направлении достигают -30дБ. Кроме того, на этих частотах уровни ослабления в обратном направлении составляют -10 … -15 дБ. Дважды-киральная метаструктура на идеально проводящей подложке. В данном случае поле не проходит в область 4 и интерес представляло исследование характеристик отражения плоской электромагнитной волны от метаструктуры. При анализе численных характеристик основной интерес представлял расчет частотных и угловых зависимостей модуля коэффициента отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля. Интерес вызвал случай, когда планарные слои 2 и 3 являются киральными («дважды-киральная» метастурктура), обладают различной толщиной (100 мм и 30 мм), одинаковой относительной диэлектрической проницаемостью 3,5 и достаточно большим значением относительной магнитной проницаемости 13,0. Киральные спиральные элементы состоят из двух витков радиусом 10 мм и расположены на расстоянии 50 мм друг от друга. На рис. 5 представлены частотные и угловые зависимости модуля коэффициента отражения основной компоненты поля в диапазоне от 1 до 4 ГГц. Сплошными кривыми на рис. 5 показаны зависимости модуля коэффициента отражения основной компоненты : от угла падения (см. рис. во вставке) и от частоты (основной рис. 5). Падение волны на метаструктуру считалось нормальным для того, чтобы степень кросс-поляризации поля была незначительной. Рис. 4. Уровни ослабления в дБ в прямом и обратном направлениях (за и перед метаструктурой) Рис. 5. Частотная и угловая зависимости модуля коэффициента отражения основной компоненты Как видно из частотной зависимости, показанной на рис. 5, от дважды-киральной структуры практически отсутствует отражение плоской электромагнитной волны с перпендикулярной поляризацией в диапазоне ниже 3,6 ГГц, то есть на этих частотах поле локализуется в метаструктуре, которая играет роль малоотражающего покрытия для указанного типа поляризации. На частотах выше 3,6 ГГц модуль коэффициента отражения равен единице или близок к ней, то есть волна «не чувствует» наличие метаматериала вообще. Согласно рис. 5, свойство малого отражения у метаматериала сохраняется в диапазоне углов от нуля (нормальное падение) до 60°. Данная зависимость рассчитывалась на частоте 2 ГГц. Заключение Выводы по результатам работы сводятся к следующему. 1. Получены в явном виде тензор поверхностного импеданса обобщенной киральной среды и матрица передачи слоя. 2. Рассмотрено решение электродинамической задачи отражения плоской электромагнитной волны от двухслойного кирально-диэлектрического метаматериала, которое показало возможность использования указанной структуры для преобразования, радиально падающего СВЧ излучения на заданной частоте в азимутальное рассеяние. 3. Рассмотрено решение электродинамической задачи отражения плоской электромагнитной волны от двухслойного дважды-кирального метаматериала, расположенного на идеально проводящей подложке, которое показало возможность использования указанной структуры в качестве защитного экрана СВЧ в некотором диапазоне частот СВЧ.

About the authors

Dmitriy Sergeevich Klyuev

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: klyuevd@yandex.ru

Oleg Vladimirovich Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: o.osipov@psuti.ru

Andrey Olegovich Pocheptsov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: pao@psuti.ru

Elena Sergeevna Rezepova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: e.rezepova@psuti.ru

References

Supplementary files