RESEARCH OF THE REFLECTION OF A FLAT ELECTROMAGNETIC WAVE FROM A PLANAR OPTICAL ACTIVE STRUCTURE

Abstract


The paper considers the possibilities of capturing optical energy by planar optically active media (crystal). When an infrared optical wave is incident on an optically active medium with the property of chirality, it is possible to transform radially incident radiation into azimuthal scattering along a planar structure. The problem of an oblique incidence of an electromagnetic wave on an optically active crystal is considered. It is shown that tensor material equations for optically active crystal can be reduced to material equations of scalar type with the insertion of the relative parameter optical activity of a crystal. The problem of the incidence of an electromagnetic wave on an optically active crystal was solved by the method of partial regions. At the frst stage, the electromagnetic feld in an optically active media and in its surrounding areas was determined. At the second stage, after applying the boundary conditions, an inhomogeneous system of linear algebraic equations was obtained about unknown refection and passage coefcients. In this work, two types of the structure were considered: the optically active crystal, located on a dielectric substrate and the optically active crystal, located on an ideally conducting substrate. The dispersion of the refractive index and the parameter of the optical activity of the optically active crystal were taken into account. Minimizing the modules of refection and passage coefcients by selecting the geometric dimensions of the optically active crystal was the main purpose. As a result, the parameters of the crystal were selected, in which the efect of azimuthal scattering of incident emitting is predominant over classic Fresnel scattering. In this case, the researching optical structures based on optically active crystal can perform the function of capturing the optical emitting of the infrared range by concentrating a part of the light energy inside the optically active crystal.

Full Text

В настоящее время значительный интерес представляет разработка современных метаматериалов [1-4], то есть композиционных структур, получающихся искусственным внедрением элементов в однородные среды (контейнеры). Изменение структуры осуществляется на уровне атомов (метаматериалы для оптического диапазона) или на уровне макроструктуры (СВЧметаматериалы). Благодаря преобразованиям микро- или макроструктуры, у искусственного метаматериала изменяются его электрофизические свойства (эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости) и, как следствие, проявляются электромагнитные свойства, которые не присущи естественным материалам природного происхождения. Самыми широко известными свойствами метаматериалов являются возможность создания на их основе суперлинз, невидимых и малоотражающих покрытий и др. Во время явления, когда в структуру метаматериала проникают элементы зеркально асимметричной формы, метаматериал принято называть киральным (хиральным). Свойства киральных сред СВЧ-диапазона исследованы к настоящему времени очень подробно [5-8]. Основными свойствами распространения электромагнитных волн в киральном метаматериале являются: распространение волн с право (ПКП) и левокруговыми (ЛКП) поляризациями с различными фазовыми скоростями, а также кросс-поляризация падающего излучения. В настоящее время описаны исследования неоднородных киральных метаматериалов, а также излучения электромагнитных волн полосковыми антеннами, расположенными на подложках из метаматериалов. Такое явление, как киральность в оптическом диапазоне, известно давно и связано с кристаллами. В данной статье проводится аналогия между естественными и искусственными киральными средами, кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с возможностью концентрации оптической энергии оптически активными кристаллами. Материальные уравнения для оптически активной среды Для начала докажем, что имеется возможность свести тензорные материальные уравнения для оптически активного кристалла к скалярным материальным уравнениям для искусственной киральной среды диапазона сверхвысоких частот [1-4]. Для достижения этой цели выведем формулы, которые связывают относительный параметр киральности для искусственной среды и параметр оптической активности для оптически активного кристалла. Кристалл, подобно бигиротропной среде, можно описать с помощью материальных уравнений: , , = ε =µ D E B H       (1) где ε  - тензор диэлектрической проницаемости; µ  - тензор магнитной проницаемости. В статье применяется общепринятая смешанная система единиц. Тензоры ε  и , µ  приведенные к главным оптическим осям кристалла, имеют следующий вид: 1 1 2 2 , , 0 00 0 0 00 0 i i i i ε - χ   ε = ε   χ ε   µ - χ   µ = µ   χ µ     (2) где 1 χ и 2 χ - неопределенные безразмерные параметры. Подставим тензоры (2) в материальные уравнения (1), в результате чего получим: 1 1 2 2 , . 0 00 0 0 00 0 i i i i ε - χ   = ε   χ ε   µ - χ   = µ   χ µ   DE BH   (3) Уравнения Максвелла для оптически активной среды с учетом материальных уравнений (1) записываются следующим образом: 0 0 , . rot rot ik ik = ε = - µ HE EH     (4) Пусть размер оптически активного кристалла вдоль оси Oz много больше его размеров вдоль других координатных осей: , , zx zy dd dd   (5) где x d - размер кристалла вдоль оси ; Ox y d - размер кристалла вдоль оси ; Oy z d - размер кристалла вдоль оси . Oz При выполнении условий (5) можно считать, что / 0, z ∂∂≡ что соответствует отсутствию зависимости векторов поля от координаты . z Спроецируем уравнения Максвелла (4) на оси декартовой системы: 0 0 2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 , , , , , . z xz z y y x xz z xz z y y x xz E ik H k H y E ik H x E E k H ik H xy H ik E k E y H ik E x H H k E ik E xy ∂ = - µ - χ ∂ ∂ - = - µ ∂ ∂ ∂ - = χ - µ ∂∂ ∂ = ε + χ ∂ ∂ - = ε ∂ ∂ ∂ - = - χ + ε ∂∂ (6) Выражая из соотношений (6) x- и y- составляющие векторов поля оптической волны через продольные компоненты z E и , zH получаем: 2 , 0 0 1 , 0 0 , . z xz z y z xz z y iE H i H ky iEH kx iH E i E ky iHE kx ∂χ = + µ ∂ µ ∂ = - µ∂ ∂χ = - + ε ∂ ε ∂ = ε∂ (7) Подставляя соотношения (7) в третье и шестое уравнения системы (6), получаем следующие связанные дифференциальные уравнения второго порядка: 2 2 2 02 0 1 2 2 2 2 01 0 2 1 0, 0, zz z zz z H k H Ek y E k E Hk y ⊥ ⊥  ε ∇ + εµ- χ -  µ   ε∂ - χ + χ =  µ∂  µ  ∇ + εµ- χ +  ε  µ∂  + χ + χ =  ε∂  (8) где 22 2 22 xy⊥ ∂∂ ∇ = + ∂∂ - оператор Лапласа по поперечным координатам. Считая, что зависимость векторов поля оптической волны от координаты y имеет следующий вид: ( ) ( ) 0,, ky zz E y H y Ae εµ  (9) получаем следующие дифференциальные уравнения: 2 2 2 02 2 0 1 2 2 2 2 01 2 0 2 1 0, 0. zz z zz z H k H kE E k E kH ⊥ ⊥  ε ∇ + εµ- χ -  µ   ε - εµ χ + χ =  µ  µ  ∇ + εµ- χ -  ε  µ  - εµ χ + χ =  ε  (10) Соотношения (10) - связанные дифференциальные уравнения второго порядка оптически активного кристалла, рассматриваемого относительно продольных составляющих векторов поля световой волны. Аналогичные уравнения для искусственной киральной среды имеют вид [9]: ∇ + εµ+χ - µχ = ∇ + εµ+χ + εχ = (11) Заметим, что в формулах (11) χ - относительный параметр киральности для искусственной киральной среды. Сравнивая систему дифференциальных уравнений для оптически активной среды (10) и для искусственной киральной среды (11), можно сделать вывод о том, что они имеют полностью аналогичный вид. После установки сходств и различий уравнений (10) и (11) легко получить формулы связи между относительными параметрами киральности и оптической активности. Таким образом, доказано, что при выполнении условий перехода от параметра киральности к параметру оптической активности: 1 2 ,i i ε χ = χ µ µ χ = χ ε (12) материальные уравнения для оптически активной среды 1 1 2 2 0 0 0 , 0 0 00 0 i i i i ε - χ   = ε   χ ε   µ - χ   = µ   χ µ   DE BH   (13) являются полностью эквивалентными соотношениям для искусственной киральной среды: , . i i =ε - χ =µ + χ DEH BHE     (14) Для оптически активных кристаллов 2 0 χ= и 1,µ= следовательно, формула перехода принимает с учетом (14) следующий вид: 1 . i χχ=- ε (15) В итоге для перехода от решения задач с киральными метаматериалами СВЧ к решению задач с кристаллами необходимо в конечных соотношениях заменить (15) и применить новые дисперсионные зависимости материальных параметров ε и , 1χ справедливые для оптического диапазона. Отражающая планарная оптически активная среда Приведем пример, когда линейно поляризованная электромагнитная волна (ЭМВ) отражается от оптически активного планарного кристалла, геометрия которого представлена ниже. Из рисунка 1 можно выделить три области: 1 - диэлектрик, 2 - оптически активный кристалл и 3 - диэлектрик. Они обладают параметрами , 1ε 1 µ - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости первой области; 1 θ=θ - углы падения и отражения ЭМВ от границы раздела «диэлектрик 1 - оптически активный кристалл»; 2, ε 2, µ 2 ′χ - относительные диэлектрическая, магнитная проницаемость и параметр оптической активности области 2; 2, Rθ 2 Lθ - углы преломления волн ПКП и ЛКП в область 2; 3, ε 3 µ - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости третьей области; 3 θ - угол прохождения ЭМВ из оптически активного кристалла в область 3; , eer eh r - коэффициенты отражения для основной и кросс-поляризованной компоненты электромагнитного поля (ЭМП) в области 1; ( ) 2 ,RT - ( ) 2LT - - коэффициенты прохождения для волн ПКП и ЛКП; ( ) 2 ,RT + ( ) 2LT + - коэффициенты отражения от границы раздела «оптически активный кристалл - область3» для волн ПКП и ЛКП; , eet eht - коэффициенты прохождения для основной и кросс-поляризованной компоненты ЭМП в области 3. В оптически активном кристалле электромагнитное поле представляется в виде суперпозиции четырех волн с круговыми поляризациями - двух прошедших в оптически активный кристалл из диэлектрика (области 1) с коэффициентами прохождения ( ) RT - и ( ) LT - и двух отраженных от границы раздела «оптически активный кристалл - область 3» обратно в область 2 с коэффициентами ( ) RT + и ( ). + LT Индексы «R» относятся к волнам ПКП, индексы «L» - к волнам ЛКП. Для определения продольных составляющих векторов ЭМП в оптически активном кристалле воспользуемся известными соотношениями [9] E T e T e T e T e i H T e T e T e T e -- + -- + -- + -- + = + + ++  = + + η  ++  (16) где ( ) { } , , , sin , cosRL R L R Ls - = θ - θ - единичные векторы, вдоль которых распространяются преломленные волны; ( ) , RLs + ={ } ,,sin ,cos R L R L θθ - единичные векторы, вдоль которых распространяются прошедшие волны; ,RL θ - углы преломления волн ПКП и ЛКП соответственно; ( ) 2 η= 2 1 ε - импеданс (характеристическое сопротивление) оптически активного кристалла; ,RL k = 2 02 k n i ′χ   ε   - постоянные распространения нормальных волн ПКП и ЛКП в оптически активном кристалле; 22n = ε - относительный показатель преломления области 2. Распишем выражения для продольных составляющих в более подробном виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos ; . R R R R R R L L L L L L R R R R R R L L L L L L z ik x y R ik x y R ik x y L ik x y L z ik x y R ik x y R ik x y L ik x y L E Te Te Te Te H i T e Te Te Te - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ = = + ++ ++ + = = ε+ +- -- - (17) Выражения для составляющих ЭМП ( ) 2 xE и ( ) 2 xH в оптически активном кристалле имеют вид: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 02 2 22 2 2 2 22 02 2 1 ; 1 . zz x zz x EH E i i yy k EH H i i yy k  ′ χ ∂ ∂ = - - +  ∂∂ ′  εχ  ε+  ε   ′ ∂ χ ∂ =- - ε - ∂∂ ′  εχ  ε+  ε  Подставляя выражения (17) в соотношения (18), получаем: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos cos cos ; RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L E i T e Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = θ-   --   -θ -  -  ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos cos cos . RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L H Te Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = ε θ - +   +-   -θ -  -  (19) Для определения углов преломления волн ПКП и ЛКП ,RL θ воспользуемся законами Снеллиуса [9]: , 3 ,3 sin ; sin RL RL k k θ = θ 2 2 2 3, 3 sin sin . RL i n ′χ ε ε θ = θ  Таким образом, выражения для составляющих электромагнитного поля в оптически активном кристалле имеют вид: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos ; R R R R R R L L L L L L ik x y zR ik x y R ik x y L ik x y L E T e Te Te Te - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ = + ++ ++ + ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos ; R R R R R R L L L L L L ik x y zR ik x y R ik x y L ik x y L H i T e Te Te Te - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ = ε+ +- -- - ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos cos cos ; RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L E i T e Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = θ-   --   -θ -  -  ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos cos cos , RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L H Te Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = ε θ - +   +-   -θ -  -  (20) где 1 2 2 2 sin sin ; n i = θ ′ χ ε ε  2 21 , 2 2 2 cos 1 sin . RL n i θ=- θ  ′χ ε   ε   В результате при использовании граничных условий получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов отражения и прохождения для оптически активной среды:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 cos 0 , 0 0 0 0 ee eh R R L L ee eh r r T T A T T t t + - + -   -   θ  η  =        (21) 11 17 18 22 27 28 32 37 38 41 47 48 51 52 57 61 62 68 71 72 78 81 82 87 0; AAAAAAA AAAAAA AAAAAA AAAAA = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 21 42 23 24 25 26 1; 1; A A A A A A = = = = = = - ( ) 1 12 13 14 cos ; ; RA A A iC =η θ = - = ( ) 15 16 31 1 cos ;;LA A iC A θ = - = - = η ( ) ( ) 33 34 35 3622 ;; RL CC A A A A = - = - = - = - ηη ( ) ( ) 43 44 45 4622 ;; ii A A A A = = - = = ηη ( ) ( ) 53 54;; RR RR ik h ik h RR A iC e A iC e β -β= -= ( ) ( ) 55 56;; LL LL ik h ik h LL A iC e A iC e β -β= = - ( ) ( ) ( ) 333 57 3 63 cos ; ; RRik h ik h A e A e -β β= -η θ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 33 64 65 66 67 73 2 74 75 22 3 76 77 23 ; ; ; ;; ;; cos ;; RR LL LL RR RR LL LL ik h ik h ik h ik hik R ik h ik h RL ik h ik hL A e A e A e C A e A e CC A e A e C A e A e -β β -β β-β -β β -β -β = = = = - = η = -= ηη θ = -= ηη ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 83 84 22 85 86 22 ;; ;; RR RR LL LL ik h ik h ik h ik h ii A e A e ii A e A e β -β β -β = = ηη = -= - ηη ( ) 33 88 , ik h Ae -β= где 1 , 2 2 2 2 1 3 3 sin sin ; cos 1 sin ; RL n i n n θ=θ ′ χ ε ε  θ = - θ    2 1 ,, 2 2 2 sincos 1 ; R L R L nC i θ = θ = -  ′χ ε   ε   ( ) ( ) 2 1 1 1 2 22 1 ;; cos ; . ii n h h n η = = εµ ε β = θ = ε Система (21) определяет требуемое решение задачи и из нее определяются коэффициенты отражения и прохождения. Дисперсионный анализ оптически активной среды При проведении дисперсионного анализа важно принимать во внимание дисперсию вещественных параметров оптически активной среды, а именно зависимость ( ) εω и ( ). χω Для модели оптически активной среды дисперсия диэлектрической проницаемости определяется следующим законом: ( ) 2 0 22 0 1, β ε ω = + Ω -ω (22) где 0 β - удельное вращение; 0 Ω - резонансная частота поглощения кристалла. Заметим, что параметр оптической активности также зависит от частоты: ( ). χ=χ ω В научной литературе [10] указывается, что для оптически активной среды частотная зависимость параметра оптической активности определяется следующим образом: ( ) ( ) 2 0 0 22 0 ,A c βω χω= Ω -ω (23) где 0 A - расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке, c - скорость света. Резонансные частоты 0 Ω и удельное вращение 0 β для различных кристаллов разные. Формулы для частотных зависимостей постоянных распространения волн ПКП и ЛКП в безграничной оптически активной среде имеют вид: ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 22 00 00 22 22 0 0 1. RL kk kA c  ω = ε ω ±χ ω =   β β ω +±  Ω -ω Ω -ω   (24) Оценка полученных результатов Для решения поставленной задачи в первую очередь необходимо определить корреляцию между , eer ee t основной компоненты световой волны и , λ . θ При решении задачи будем считать, что на рассматриваемую структуру падает плоская электромагнитная волна перпендикулярной поляризации под углом 0 θ= и области 1 и 3 представляют собой вакуум, то есть обладают параметрами 1,3 1,3 1. ε =µ = При численном расчете отражательных характеристик оптически активных кристаллов были использованы значения параметров, приведенные в таблице. Прослойка оптически активного кристалла в каждом примере составляет 1 и 1,5 мм. Таблица. Параметры оптически активных кристаллов № Название, формула Показатель преломления Параметр оптической активности 1 SrS4O6 (дитионат стронция) 2,34 3 3,4 10- ⋅ 2 CaS4O6 (дитионат кальция) 2,17 3 2,27 10- ⋅ 3 CaCO3 (исландский шпат) 1,65 2 1,4 10- ⋅ На рисунке 2 приведены зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат стронция. На рисунке 2, а прослойка оптически активного кристалла - 1 мм (аналогич мм (аналогичмм (аналогично для рисунков 3, а и 4, а), на рисунке 2, б - 1,5 мм (аналогично для рисунков 3, б и 4, б). Рисунок 2. Зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля от длины волны при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат стронция Рисунок 3. Зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля от длины волны при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат кальция На рисунке 3 представлены зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат кальция. На рисунке 4 приведены зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на исландский шпат. Расчеты во всех трех представленных выше случаях были проведены на следующих длинах волн: от 0,3 до 1,8 мкм. Рисунок 4. Зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля от длины волны при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на исландский шпат Выводы 1. В оптически активных кристаллах на некоторых частотах имеется возможность преобразовать нормально падающее оптическое излучение в азимутальное рассеяние. Этим свойством обладают как искусственные метаматериалы СВЧ, так и естественные кристаллы в оптическом диапазоне. 2. Проведя оценку полученных результатов, можно говорить о том, что исландский шпат будет характеризоваться оптимальными концентрирующими параметрами и максимальным значением аргумента оптической активности, что обусловлено прямой пропорцией удельного вращения кирального активного кристалла к уровню бокового рассеяния. 3. Ввиду того что параметр оптической активности в 100 раз меньше относительной характеристики киральности метаматериала, в СВЧдиапазоне показатель изменения нормально падающего оптического излучения в поверхностное рассеяние метаматериала разительно отличается в меньшую сторону от аналогичной характеристики искусственного метаматериала.

About the authors

O. V Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Samara, Russian Federation

O. Yu Gubareva

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Samara, Russian Federation

E. V Mavritskiy

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Samara, Russian Federation

O. V Shaban

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Samara, Russian Federation

References

  1. Capolino F. Theory and Phenomena of Metamaterials. Boca-Raton: Taylor&Francis - CRC Press, 2009. 992 p.
  2. Caloz C., Itoh T. Electromagnetic metamaterials: Transmition line theory and microwave applications. The engineering approach. N.Y.: Wiley IEEE Press, 2006. 376 p.
  3. Sarychev A., Shalaev V. Electrodynamics of Metamaterials. Singapore: World Scientific, 2007. 247 p.
  4. Tie J.C., Smith, D.R., Ruopeng Liu. Metamaterials: Theory, Design and Application. N.Y.: Springer, 2010. 376 p.
  5. Киральные электродинамические объекты / Б.З. Каценеленбаум [и др.] // Успехи физических наук, 1997. Т. 167. № 11. С. 1201-1212.
  6. Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media / I.V. Lindell [et al.]. London: Artech House, 1994. 291 p.
  7. Tretyakov S.A. Electromagnetics of complex media: chiral, bi-isotropic, and certain bianisotropic materials // Journal of Communications Technology and Electronics. 1994. Vol. 39. № 14. 32 p
  8. Lakhtakia A., Varadan V.K., Varadan V.V. Timeharmonic electromagnetic fields in chiral media. Lecture Notes in Physics. Berlin: Heidelberg and Boston: Springer-Verlag, 1989. 121 p.
  9. Неганов В.А., Осипов О.В. Отражающие, волноведущие и излучающие структуры с киральными элементами. М.: Радио и связь, 2006. 280 с.
  10. Semchenko I.V., Tretyakov S.A., Serdyukov A.N. Research on chiral and bianisotropic media in Byelorussia and Russia in the last ten years // Urbana: Progress in Electromagnetics Research. 1996. Vol. 12. P. 335-370.

Statistics

Views

Abstract - 21

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2019 Osipov O.V., Gubareva O.Y., Mavritskiy E.V., Shaban O.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies