Research of Two Queuing Systems M/E2/1 with Ordinary and Shifted Input Distributions

Full Text

Статья посвящена исследованию двух систем массового обслуживания (СМО) M/E2/1 с обычными и сдвинутыми вправо экспоненциальным и эрланговским входными распределениями. Первая система относится к типу M/G/1, а вто-M/G/1, а вто-/G/1, а вто-G/1, а вто-/1, а вторая - G/G/1. В теории массового обслуживания исследования систем G/G/1 актуальны до сих пор в связи с тем, что нельзя получить решения для среднего времени ожидания в очереди в конечном виде в общем случае. В работе авторов [1] впервые приведены результаты по исследованию системы M/M/1 с запаздыванием во времени со сдвинутыми экспоненциальными входными распределениями. В [1] показано, что среднее время ожидания требования в очереди в системе с запаздыванием во времени меньше, чем в классической системе M/M/1 при одинаковом коэффициенте загрузки за счет того, что коэффициенты вариации времен поступления cλ и обслуживания cμ становятся меньше единицы при параметре запаздывания t> В [2] идеи статьи [1] перенесены на системы H2/H2/1, H2/M/1 и M/H2/1.Результаты работ [1; 2] совместно с классической теорией массового обслуживания [3] позво-ляют расширить теорию метода спектрального разложения (МСР) решения интегрального урав-нения Линдли (ИУЛ) также на сдвинутое распре-деление Эрланга.При решении задачи методом спектрального разложения будем использовать стандартную символику оригинала [3], в которой для преобразований Лапласа функций плотностей распределений интервалов между поступающими в систему требованиями и времени обслуживания введены обозначения ()As∗ и ( ).Bs∗ Метод спектрального разложения состоит в преобразо-вании ключевого выражения ( )( )* *1A sB s-⋅ -к произведению некоторых двух множителей в виде дробно-рациональных функций. Для опре-деленности это произведение представим в виде ( )( )* *1A sB s- ⋅ -=( )( )/,ss+-ψψ где рациональные функции ( )s+ψ и ( )s-ψ являются компонентами метода спектрального разложения. Конструирование этих компонент ( )s+ψ и ( )s-ψ является важной частью МСР, и они должны удовлетворять специальным условиям. Система М/E2/1 и вывод решения для среднего времени ожиданияДля системы М/E2/1 законы распределения интервалов входного потока и времени обслуживания задаются функциями плотности вида,()tat e-λ= λ(1)( )22.4tb tte-μ= μ(2)При таком виде функции (2) решения для среднего времени ожидания для системы М/E2/1 в теории массового обслуживания [3; 4; 8; 9] авторами не найдено, и поэтому это решение находим методом спектрального разложения решения ИУЛ, как это показано в [1; 2; 6; 11-13]. Такой подход позволяет определить не только среднее время ожидания, но и моменты высших порядков времени ожидания. Учитывая тот факт, что понятие «дрожание задержки» в стандарте [7] определено как разброс времени ожидания от его среднего значения W, дрожание задержки можно определить через дисперсию. Преобразования Лапласа функций (1) и (2) соответственно имеют вид( );*Assλ=λ+( )2*2.2Bssμ=μ+В связи с тем что система М/E2/1 относится к классу систем М/G/1, воспользуемся результатом для данной системы. Среднее время ожидания в системе М/G/1 дается формулой Полячека - Хин-G/1 дается формулой Полячека - Хин-/1 дается формулой Полячека - Хин-чина [3]:()2,21Wμλτ=-ρ(3)где λ - интенсивность входного потока; 2μτ - второй начальный момент времени обслужива-ния; ρ - коэффициент загрузки 01.<ρ< Для распределения Эрланга второго порядка E2 ви-торой начальный момент времени обслуживания 223/(),2μτ= μ тогда среднее время ожидания в системе М/E2/1 окончательно равно()3.41Wρ=μ -ρ(4)Результатом (4) мы воспользуемся при иссле-довании системы со сдвинутыми распределения-ми, которую обозначим как2Ì /Å /1.--Система 2//--ME1 и вывод решения для среднего времени ожиданияДля системы 2Ì /Å /1-- функциями плотно-стей распределений интервалов будут сдвинутые вправо от нулевой точки распределения:- для входного потока( )( )0,ttat e-λ -= λ(5)- для времени обслуживания( )()( )0220.4ttbtt t e-μ -=μ-(6)Для вывода решения по среднему времени ожидания для данной системы используем клас-сический метод спектрального разложения реше-ния интегрального уравнения Линдли (ИУЛ).Преобразование Лапласа функции (5) есть функция( )0,*tsAses-λ=λ+а для функции (6):( )0222.*stBses-μ=μ+Тогда спектральное разложение: ( )( )**A sB s-⋅ -( )( )1/ss+--=ψ ψ для рассматриваемой систе-мы примет вид( )( )()()()()002**222211221244.2SsttA s Bseesssssssss Показатели степени у экспонент с противоположными знаками здесь обнуляются, и эффект от операции сдвига исчезает. Квадратный трехчлен в числителе последнего выражения ()24ss+ μ-λ +()24,μ -λμ где ()4μ μ-λ >0 и ()4μ-λ >0 при μ>λ в случае стабильной системы, имеет два действительных отрицательных корня 1,s-2:s-()()()214/2 [ 4/2] 4,s- =- μ-λ + μ-λ- μ μ-λ()()()224/2 [ 4/2] 4.s- =- μ-λ - μ-λ- μ μ-λТогда мы придем к окончательному виду спектрального разложения:( )( )( )( )()()()()122.2* *1s ss s ssB sssAss+-ψ ++=ψλ- μ-+-⋅=Исходя из правил построения функций ( )s+ψи ( ),-ψs строим их в виде( )()()()122,2sss ssss+++ψ=μ+( ).ss-ψ =λ- Далее по методике спектрального разложения на-ходим константу:( )()122204lim1 ,44ssssKs+→ψμ μ-λ== == -ρμμкоторая представляет вероятность того, что очередное поступающее в систему требование застает ее свободной. Теперь построим функцию( )( )()()()()21212,sKss sss ss++-ρ μ+Φ= =ψ ++через которую получим преобразование Лапласа функции плотности времени ожидания в системе 2Ì /Å /1:--( )( )()()()()2*1212*.sWs s sss ss+-ρ μ+=Φ=++ (7)В [3] приведено уравнение Полячека - Хинчина для преобразования Лапласа функции плотности времени ожидания для системы М/G/1:( )()( )**1 ,sWssBs-ρ=-λ+λ(8)где ( )*Bs - преобразование Лапласа функции плотности времени обслуживания. Теперь предстоит доказать тождественность выражений (7) и (8). В нашем случае ( )*Bs=()222/4sμ +μ и после подстановки этой функции в (8) получим:( )()()()()()()()()()*22222121[2 / (2 )]1212,24sWssssssss ssss-ρ==-λ+λ μ μ+-ρ μ+-ρ μ+==++-λ μ + + λμтак как знаменатель раскладывается на множители вида()()()()()()222122444.sssssss ss-λ μ + + λμ ==++Следовательно, равенства (7) и (8) тожде ственны. Далее необходимо определить числовые характеристики сдвинутых распределений (5), (6). Они нужны, в свою очередь, для определения неизвестных параметров распределений (5), (6) по методу моментов. Определение числовых характеристик распределений -M и 2-E. Числовые характеристики сдвинутого экспоненциального распределения M- приведены в [1]. Средний интервал поступлений равен10.t-λτ=λ +(9)Коэффициент вариации интервалов поступлений выглядит как()10.1 tc-λ= +λ(10). Для определения числовых характеристик сдвинутого распределения Эрланга 2E- воспользуемся свойством преобразования Лапласа функ-ции плотности воспроизводить моменты: ()()0002*0022003022821/22.tssttssssdBdedsdssetetsss-==-=μ-μ+μμ=+= μ+μ+= -μ+= Отсюда среднее время обслуживания требований:10.t-μτ=μ +(11)Найдя вторую производную от преобразования Лапласа функции (8) при 0,=s определяем второй начальный момент интервала между поступлениями:2*200220()322.sdstBtds== ++μμ Отсюда определим коэффициент вариации времени обслуживания:()1021.ct-μ=+μ(12) Теперь оценим влияние параметра сдвига 0tна числовые характеристики рассматриваемых распределений. Для интервалов поступлений по закону M- коэффициент вариации cλ уменьшается при сдвиге в ()01t+λ раз по сравнению с коэффициентом 1cλ= для распределения M. Таблица. Результаты экспериментов для СМО М/E2/1 и 2Ì /Å /1-- Коэффициент вариации времени обслужива-ния для распределения 2Å:-cμ уменьшается при сдвиге в ()01t+μ раз по сравнению с коэффициентом 1/ 2cμ= для распределения Е2. Учитывая, что среднее время ожидания в системе G/G/1 связано с коэффициентами вариаций времени между поступлениями требований и времени обслуживания квадратичной зависимостью, в системе с запаздыванием время ожидания будет меньше, чем в обычной системе. Таким образом, для определения среднего времени ожидания мы можем использовать формулу (4) с параметрами / ,μλρ=τ τ где λτ и μτопределены (9) и (11), а μ рассчитываем из (11) при заданных ,μτλτ и параметре сдвига 0.t В качестве входных параметров для расчета системы 2Ì /Å /1-- удобнее брать ,λτ,μτ,cλcμ и 0.t Диапазоны изменения коэффициентов вариаций определяются, соответственно, выражениями (10) и (12): ( ) 0,1 ,cλ∈ а () 0,1/ 2cμ∈ в зависимости от величины параметра сдвига 00.t> В таблице приведены расчеты для системы 2Ì /Å /1-- при малой, средней и высокой нагруз-ках 0,1;ρ= 0,5; 0,9. При этих коэффициентах загрузки значения параметра сдвига 00, 01;t= 0,1; 0,5 и 0,9 обеспечивают определенные значения коэффициентов вариаций входного потока cλ и времени обслуживания cμ согласно равенствам (10) и (12). С уменьшением параметра сдвига 0t среднеевремя ожидания в системе 2Ì /Å /1-- стремится к значению среднего времени ожидания в обычной системе М/E2/1. Как и следовало ожидать, уменьшение коэффициентов вариации cλ и cμ влечет за собой сокращение времени ожидания. Заключение Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.1. Введение операции сдвига во времени в законы распределения, описывающие работу СМО, приводит к увеличению загрузки системы с запаздыванием. Для системы 2Ì /Å /1-- с запаздыванием загрузка увеличивается в 0(1 ) /t+μ0(1 )t+λ раз по сравнению с обычной системой М/E2/1.2. Однако операция сдвига уменьшает коэффициенты вариаций случайного интервала между поступлениями и времени обслуживания требований. В связи с тем что среднее время ожидания в системе G/G/1 зависит от квадратов этих коэффициентов вариаций, среднее время ожидания в очереди к системе с запаздыванием будет меньше, чем в обычной системе при одной и той же загрузке. Например, для системы 2Ì /Å /1--при загрузке 0,9ρ= и параметре сдвига 00,9t=коэффициент вариации интервалов поступления cλ уменьшается с 1 для обычной системы до 0,19 для системы с запаздыванием, коэффициент вариации времени обслуживания cμснижается с 1/ 2 до 0,071, а время ожидания сокращается с 6,75 единицы времени для обычной системы до 0,19 единицы.3. Изложенные результаты справедливы только для одинаковых параметров сдвига t0 для распределения интервалов между поступлениями требований и времени обслуживания.

About the authors

V. N Tarasov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: tarasov-vn@psuti.ru
Samara, Russian Federation

N. F Bakhareva

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: nadin1956_04@inbox.ru
Samara, Russian Federation

E. G Akhmetshina

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: elyamalusha@mail.ru
Samara, Russian Federation

References

Supplementary files