Blind identifiability of a linear dynamic communication channel model

Full Text

Введение

В задачах, относящихся к обработке сигналов в системах связи, часто возникает проблема построения математических моделей каналов передачи непосредственно по регистрируемым данным, в условиях, когда тестирование канала испытательным импульсом невозможно или нежелательно [1; 2]. В этих случаях говорят о задаче слепой идентификации канала связи.

В большинстве практических случаев в телекоммуникациях речь идет о линейной, нестационарной модели взаимодействия входных, выходных сигналов и помех, т.е. о модели линейной динамической системы (ЛДС)
[3; 4].

Задача идентификации линейной динамической системы в общем случае тесно связана с задачами управляемости и наблюдаемости. В теории автоматического управления проблема нахождения условий управляемости (возможности приведения динамической системы в заданное состояние с помощью управляющих воздействий за конечное время) и наблюдаемости (возможности определения переменных состояния по измерениям физических переменных в системе) была корректно поставлена лишь во второй половине 20-го века.

Решение проблем управляемости и наблюдаемости было найдено Р. Калманом в рамках моделей «вход-состояние-выход». В рамках данной модели предполагается, что система описывается вектором состояний, часть которых может быть недоступна для управления или наблюдения. При этом выбор вектора состояний системы не является единственным, и для него не существует общих принципов выбора [3; 4].

В задачах идентификации систем на первое место выходит понятие идентифицируемости системы. В существующей литературе имеется большое многообразие подходов к определению этого свойства систем, зависящих, к тому же, от особенностей построения процесса идентификации [4; 6; 7].

В данной работе мы рассмотрим связь понятий идентифицируемости, наблюдаемости и управляемости ЛДС, используемых для описания систем, опираясь в основном на работу [6].

Далее мы рассмотрим задачу слепой идентифицируемости ЛДС и сформулируем условия, при которых задача имеет решение.

Слепая идентификация одномерного канала связи (SISO) часто рассматривается как возможность повышения скорости в системах передачи данных, за счет отказа от периодического тестирования канала. Однако большинство найденных способов слепой оценки параметров канала имеют низкую помехоустойчивость, что ограничивает возможность практического применения данных методов. Между тем, в системах, использующих канал с несколькими входами и выходами (MIMO) или с одним входом и несколькими выходами (SIMO) ситуация с помехоустойчивостью более оптимистичная.

Задача слепой идентификации систем связи имеет большую библиографию, с которой можно ознакомиться, например в [8]. Теоремы слепой идентификации SIMO канала можно найти в [9], для MIMO канала в [10], для SISO канала [11].

В указанной литературе рассматривается математические модели систем «вход-выход», возможность использования моделей «вход-состояние-выход» остается за рамками рассмотрения. Данная статья частично восполняет этот пробел.

Управляемость и наблюдаемость динамических систем

Как известно линейная динамическая система произвольного вида, задается в дискретном времени матрицами $A,B,C,D$.

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{u}}[k + 1] = {\bf{Au}}[k] + {\bf{Bx}}[k],}\\
{{\bf{y}}[k] = {\bf{Cu}}[k] + {\bf{Dn}}[k],}\\
{{\bf{u}}[0] = 0.}
\end{array}} \right. \) (1)

где $\mathbf{x}\left[k\right]$ – $\left[{\sigma }_{ij}\right],$ входной вектор, $\mathbf{y}\left[k\right]$ – выходной вектор, $\mathbf{u}\left[k\right]$ – вектор состояний системы, $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$,$C$, $\mathbf{D}$ – постоянные матрицы.

ЛДС называется управляемой, если в отсутствии шумов для любых двух состояний $\mathbf{u}\left[0\right]$ и $\mathbf{u}\left[n\right]$, существует управляющее входное воздействие, при котором ЛДС может быть переведена из начального состояния в конечное.

Теорема 1. Критерий управляемости (P. Калман). Динамическая система управляема тогда и только тогда, когда матрица управляемости

\( {{\bf{W}}_B} = \left( {{\bf{B}}{\kern 1pt} {\bf{AB}}{\kern 1pt} {{\bf{A}}^2}{\bf{B}}{\kern 1pt} \ldots {\kern 1pt} {{\bf{A}}^{n - 1}}{\bf{B}}} \right) \) (2)

имеет ранг равный n.

Запишем соответствующие состояния системы:

\( \begin{array}{l}
{\bf{u}}[1] = {\bf{Au}}[0] + {\bf{Bx}}[0],\\
{\bf{u}}[2] = {\bf{Au}}[1] = \\
= {{\bf{A}}^2}2{\bf{u}}[0] + {\bf{ABx}}[0] + {\bf{Bx}}[1],\\
...\\
{\bf{u}}[n] = {\bf{Au}}[n - 1] = \\
= {{\bf{A}}^n}{\bf{u}}[0] + {{\bf{A}}^n}{\bf{Bx}}[0] + ... + {\bf{Bx}}[n - 1].
\end{array} \) (3)

Так как $\mathbf{u}\left[0\right]$ и $\mathbf{A}$ – известны заранее, то для неизвестного управляющего воздействия можно записать систему уравнений в виде

\( \begin{array}{l}
{\bf{u}}[n] - {{\bf{A}}^n}{\bf{u}}[0] = {{\bf{A}}^n}{\bf{Bx}}[0] + ... + {\bf{Bx}}[n - 1] = \\
= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\bf{B}}&{{\bf{AB}}}&{...}&{{{\bf{A}}^{n - 1}}{\bf{B}}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\bf{x}}[n - 1]}\\
{{\bf{x}}[n - 2]}\\
\vdots \\
{{\bf{x}}[0]}
\end{array}} \right)
\end{array} \) (4)

Если условие теоремы 1 выполняется, то решение данного уравнения относительно управляющего воздействия существует для каждого из m входов системы $\mathbf{x}\left[k\right]$.

Под наблюдаемой системой в дискретном времени будем понимать однородную систему, состояние которой $\mathbf{u}\left[0\right]$ можно в отсутствии шумов однозначно восстановить по выходным сигналам $y\left[0\right]$,$\mathbf{y}\left[1\right]$,…,$\mathbf{y}\left[n\right]$.

Запишем связь выходных сигналов однородной системы и ее состояний

\( \begin{array}{l}
{\bf{y}}[0] = {\bf{C}}{{\bf{u}}_0}\\
{\bf{y}}[1] = {\bf{CAu}}[0],\\
{\bf{y}}[2] = {\bf{CAu}}[1] = {\bf{C}}{{\bf{A}}^2}{\bf{u}}[0],\\
...\\
{\bf{y}}[n] = {\bf{CAu}}[n - 1] = {\bf{C}}{{\bf{A}}^{n - 1}}{\bf{u}}[0].
\end{array} \) (5)

В матричной форме можно записать

\( \left( \begin{array}{l}
{\bf{y}}[0]\\
{\bf{y}}[1]\\
{\bf{y}}[2]\\
...\\
{\bf{y}}[n]
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}
{\bf{C}}{{\bf{u}}_0}\\
{\bf{CAu}}[0]\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^2}{\bf{u}}[0]\\
...\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^{n - 1}}{\bf{u}}[0]
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}
{\bf{C}}\\
{\bf{CA}}\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^2}\\
...\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^{n - 1}}
\end{array} \right){\bf{u}}[0] \). (6)

Таким образом, условием наблюдаемости является требование \( rank\left( {{{\bf{C}}^t}{\kern 1pt} {{\bf{C}}^t}{{\bf{A}}^t}{\kern 1pt} {{\bf{C}}^t}{{{\bf{(}}{{\bf{A}}^2}{\bf{)}}}^t}{\kern 1pt} \ldots {{\bf{C}}^t}{\kern 1pt} {{({{\bf{A}}^{n - 1}})}^t}} \right) = n \), что соответствует следующей теореме.

Теорема 2. Критерий полной наблюдаемости (P. Калман). Для того чтобы система (1) была полностью наблюдаемой необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости

\( {\bf{W}}_C^t = \left( {{{\bf{C}}^t}{\kern 1pt} {{\bf{C}}^t}{{\bf{A}}^t}{\kern 1pt} {{\bf{C}}^t}{{{\bf{(}}{{\bf{A}}^2}{\bf{)}}}^t}{\kern 1pt} \ldots {{\bf{C}}^t}{\kern 1pt} {{({{\bf{A}}^{n - 1}})}^t}} \right) \), (7)

размерности $n\times np$, имела ранг равный n.

Идентифицируемость линейной динамической системы

В задачах идентификации оптических систем на первое место выходит понятие идентифицируемости системы. Рассмотрим некоторые имеющиеся подходы к пониманию данной проблемы в форме последовательно доказываемых утверждений.

Допустим, имеется однородная ЛДС, описываемая следующим уравнениями в пространстве состояний в дискретном времени

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{u}}[k + 1] = {\bf{Au}}[k],}\\
{{\bf{y}}[k] = {\bf{Eu}}[k],}\\
{{\bf{u}}[0] = {{\bf{u}}_0}.}
\end{array}} \right. \). (8)

Под идентифицируемостью системы в данном случае будем понимать возможность однозначного определения матрицы $\mathbf{A}$ и ненулевого вектора начальных условий ${\mathbf{u}}_0$ по набору $\mathbf{y}\left[k\right]$ в условиях отсутствия помех.

Теорема 3. ЛДС вида (8) идентифицируема тогда и только тогда, когда $n\times n$ матрица

\( {{\bf{W}}_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{u}}_0}}&{{\bf{A}}{{\bf{u}}_0}}&{...}&{{{\bf{A}}^{\left( {n - 1} \right)}}{{\bf{u}}_0}}
\end{array}} \right)\ \), (9)

имеет полный ранг.

Доказательство.

Пусть для идентификации доступны данные:

\( \begin{array}{l}
{\bf{u}}[0] = {{\bf{u}}_0}\\
{\bf{u}}[1] = {\bf{Au}}[0],\\
{\bf{u}}[2] = {\bf{Au}}[1] = {{\bf{A}}^2}{\bf{u}}[0],\\
...\\
{\bf{u}}[n] = {\bf{Au}}[n - 1] = {{\bf{A}}^{n - 1}}{\bf{u}}[0].
\end{array} \) (10)

Вектор начальных условий ${\mathbf{u}}_0$ определяется тривиальным образом из первого уравнения, оставшиеся неизвестные элементы матрицы определяются с помощью следующей системы уравнений.

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\bf{u}}[1]}&{{\bf{u}}[2]}&{...}&{{\bf{u}}[n]}
\end{array}} \right) = {\bf{W}}_0^t{{\bf{A}}^t} \). (11)

Для существования единственного решения необходимо и достаточно, чтобы $rank\left({\mathbf{W}}_0\right)=n$. Теорема доказана.

Допустим, имеется неоднородная ЛДС, описываемая следующим уравнениями в пространстве состояний в дискретном времени

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{u}}[k + 1] = {\bf{Au}}[k] + {\bf{Bx}}[k],}\\
{{\bf{y}}[k] = {\bf{Eu}}[k],}\\
{{\bf{u}}[0] = {{\bf{u}}_0}.}
\end{array}} \right. \). (12)

Под идентифицируемостью системы в данном случае будем понимать возможность однозначного определения матриц $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ и ненулевого вектора начальных условий ${\mathbf{u}}_0$ по набору $\mathbf{y}\left[k\right]$ при управляемом входе, в условиях отсутствия помех. Другими словами, нам доступна возможность сформировать входные сигналы таким образом, чтобы была возможна идентификация системы. Воспользуемся этим и сформулируем следующую теорему.

Теорема 4. ЛДС вида (12) идентифицируема тогда и только тогда, когда $rank\left({\mathbf{W}}_0\right)=n$, а входные управляющие сигналы могут быть нулевыми и образовывать множество линейно независимых векторов вида \( \left\{ {{\bf{Bx}}[k + 1],{\bf{Bx}}[k + 2],...,{\bf{Bx}}[k + m]} \right\} \).

Доказательство.

Допустим, для идентификации доступны данные:

\( \begin{array}{l}
{\bf{u}}[0] = {{\bf{u}}_0}\\
{\bf{u}}[1] = {\bf{Au}}[0] + {\bf{Bx}}[0],\\
{\bf{u}}[2] = {\bf{Au}}[1] + {\bf{Bx}}[1] = \\
= {{\bf{A}}^2}{\bf{u}}[0] + {\bf{ABx}}[0] + {\bf{Bx}}[1],\\
...\\
{\bf{u}}[n + m] = {\bf{Au}}[n + m - 1] + {\bf{Bx}}[n + m - 1] = \\
= {{\bf{A}}^{n + m}}{\bf{u}}[0] + {{\bf{A}}^{n + m}}{\bf{Bx}}[0] + ... + {\bf{Bx}}[n + m - 1].
\end{array} \) (13)

Вектор начальных условий ${\mathbf{u}}_0$ определяется тривиальным образом из первого уравнения, оставшиеся неизвестные элементы матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ определяются с помощью следующей системы $\left(n+m\right)n$ линейных уравнений

\( \begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\bf{u}}[1]}&{{\bf{u}}[2]}&{...}&{{\bf{u}}[n + m]}
\end{array}} \right) = \\
= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{u}}^t}[0]}\\
{{{\bf{u}}^t}[1]}\\
\vdots \\
{{{\bf{u}}^t}[n + m - 1]}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{x}}^t}[0]}\\
{{{\bf{x}}^t}[1]}\\
\vdots \\
{{{\bf{x}}^t}[n + m - 1]}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{l}
{{\bf{A}}^t}\\
{{\bf{B}}^t}
\end{array} \right)
\end{array} \). (14)

Представим матрицу системы уравнений (14) в виде блочной матрицы

\( {\bf{Q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{U}}_1}}&{{{\bf{X}}_1}}\\
{{{\bf{U}}_2}}&{{{\bf{X}}_2}}
\end{array}} \right) \), (15)

где ${\mathbf{U}}_1$ и ${\mathbf{X}}_2$ – квадратные матрицы размером $n\times n$ и $m\times m$ соответственно, при этом

\( {{\bf{U}}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{u}}^t}[0]}\\
{{{\bf{u}}^t}[1]}\\
\vdots \\
{{{\bf{u}}^t}[n - 1]}
\end{array}} \right) \),\( {{\bf{U}}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{u}}^t}[n]}\\
{{{\bf{u}}^t}[n + 1]}\\
\vdots \\
{{{\bf{u}}^t}[n + m - 1]}
\end{array}} \right) \),

\( {{\bf{X}}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{x}}^t}[0]}\\
{{{\bf{x}}^t}[1]}\\
\vdots \\
{{{\bf{x}}^t}[n - 1]}
\end{array}} \right) \), \( {{\bf{X}}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{x}}^t}[n]}\\
{{{\bf{x}}^t}[n + 1]}\\
\vdots \\
{{{\bf{x}}^t}[n + m - 1]}
\end{array}} \right) \).

В соответствии с определением идентифицируемости, положим, что в процессе идентификации первые $n$ входных отсчетов нулевые, а оставшиеся таковы, что $\det \left({\mathbf{X}}_2\right)\ne 0$. Тогда для идентифицируемости системы необходимо и достаточно, чтобы $rank\left({\mathbf{U}}_1\right)=n$, $rank\left({\mathbf{X}}_2\right)=m$. Таким образом $rank\left(\mathbf{Q}\right)=n+m$.

Легко проверить, что при таком входном сигнале ${\mathbf{U}}_1={\mathbf{W}}_0$, а из условия $rank\left({\mathbf{X}}_1\right)=m$ следует, что вектора \( \left\{ {{\bf{Bx}}[n],{\bf{Bx}}[n + 1],...,{\bf{Bx}}[n + m - 1]} \right\} \) – линейно независимы. Теорема доказана.

Допустим, имеется неоднородная ЛДС, описываемая следующим уравнениями в пространстве состояний в дискретном времени

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{u}}[k + 1] = {\bf{Au}}[k] + {\bf{Bx}}[k],}\\
{{\bf{y}}[k] = {\bf{Cu}}[k],}\\
{{\bf{u}}[0] = {{\bf{u}}_0}.}
\end{array}} \right. \). (16)

Под идентифицируемостью системы в данном случае будем понимать возможность определения матриц $\mathbf{A}$,$\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ и, в том числе, нулевого вектора начальных условий по набору $\mathbf{y}\left[k\right]$ при управляемом входе, в условиях отсутствия помех.

Теорема 5. ЛДС вида (16) идентифицируема тогда и только тогда, когда:

1. ЛДС полностью наблюдаема и управляема.
2. \( rank\left( {{{\bf{W}}_0}} \right) = n \).
3. Входные управляющие сигналы могут быть нулевыми и/или образовывать множество линейно независимых векторов.

Доказательство данной теоремы кажется вполне очевидным, если учесть имеющуюся свободу в выборе ансамбля входных сигналов, а также доказательство критерия наблюдаемости и предыдущую теорему.

Из условия наблюдаемости следует, что существует однозначное соответствие между наблюдаемыми данными и вектором состояний в любой момент времени.

Из условия управляемости следует возможность создать любые начальные условия на входе однородной модели, в том числе такие, чтобы стала возможна идентификация однородной модели системы.

Из 3-го требования теоремы следует возможность идентификации матрицы $\mathbf{B}$, при известных $\mathbf{A}$ и $\mathbf{C}$.

Доказательство.

Допустим, начальные условия ЛДС ненулевые, а входные сигналы равны нулю. Тогда на выходе однородной ЛДС наблюдаются сигналы

\( \begin{array}{l}
{\bf{y}}[0] = C{{\bf{u}}_0}\\
{\bf{y}}[1] = C{\bf{Au}}[0],\\
...\\
{\bf{y}}[n] = C{{\bf{A}}^n}{\bf{u}}[0].
\end{array} \). (17)

Сформируем для каждого j-го выхода вектор ${\mathbf{y}}_j\left[0\right]$, такой, что

\( {{\bf{y}}_j}\left[ 0 \right] = {\left( \begin{array}{l}
{\bf{C}}\\
{\bf{CA}}\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^2}\\
...\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^{n - 1}}
\end{array} \right)_j} \cdot {\bf{u}}[0] = {{\bf{W}}_C}[j]{\bf{u}}[0] \). (18)

В соответствии с критерием наблюдаемости \( [{{\bf{W}}_C}[j]\ \) имеет полный ранг и соответственно имеет обратную матрицу \( {\bf{W}}_C^{ - 1}[j] \). Тогда для любого j

\( {{\bf{y}}_j}\left[ 0 \right] = {\left( \begin{array}{l}
{\bf{C}}\\
{\bf{CA}}\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^2}\\
...\\
{\bf{C}}{{\bf{A}}^{n - 1}}
\end{array} \right)_j} \cdot {\bf{u}}[0] = {{\bf{W}}_C}[j]{\bf{u}}[0] \),

\( \begin{array}{l}
{{\bf{y}}_j}\left[ 1 \right] = \\
= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0&{...}&0\\
0&0&1&{...}&0\\
0&0&0&{...}&0\\
{}&{}&{}&{...}&{}\\
{ - a_n^j}&{ - a_{n - 1}^j}&{ - a_{n - 2}^j}&{...}&{ - a_1^j}
\end{array}} \right){{\bf{y}}_j}\left[ 0 \right] = \\
= {\bf{A}}_{St}^j{{\bf{y}}_j}[0]
\end{array} \). (19)

Продолжая последовательность ${\mathbf{y}}_j\left[k\right]$, получим стандартную управляемую модель в пространстве состояний для j-го выхода однородной системы, у которой \( {\bf{C}}_{St}^j = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&{..}&0
\end{array}} \right) \).

Параметры ${\mathbf{A}}_{St}^j$ легко восстановить из последовательности ${\mathbf{y}}_j\left[k\right]$, записав соответствующие линейные уравнения.

Далее, создавая на каждом i-м входе последовательность \( {{\bf{B}}_i}{x_i}[k],{{\bf{B}}_i}{x_i}[k + 1],...,{{\bf{B}}_i}{x_i}[k + n - 1] \) в соответствии с 3-м условием теоремы, получим оценку

\( {\bf{B}}_{st}^{i,j} = {{\bf{W}}_C}[j]{{\bf{B}}_i} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{b_1^{i,j}}\\
{b_2^{i,j}}\\
{b_3^{i,j}}\\
\vdots \\
{b_n^{i,j}}
\end{array}} \right) \). (20)

Таким образом, идентифицируем строчную форму стандартной наблюдаемой модели для каждого j-го выхода и i-го входа.

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\bf{y}}_j}[k + 1] = {\bf{A}}_{St}^j{{\bf{y}}_j}[k] + {\bf{B}}_{St}^{i,j}{x_i}[k],}\\
{{z_j}[k] = {\bf{C}}_{St}^j{{\bf{y}}_j}[k]}\\
{{{\bf{y}}_j}[0].}
\end{array}} \right. \). (21)

Запишем передаточную функцию для каждого j-го выхода и j-го входа

\( {w_{i,j}}(z) = \frac{{d_1^{i,j}{z^{ - 1}} + \ldots + d_{n - 1}^{i,j}{z^{ - n + 1}} + d_n^{i,j}{z^{ - n}}}}{{1 + a_1^j{z^{ - 1}} + \ldots + a_{n - 1}^j{z^{ - n + 1}} + a_n^j{z^{ - n}}}}. \) (22)

Таким образом, если выполняются условия теоремы, то система идентифицируема, т.е. существует единственная передаточная функция MIMO системы $\mathbf{W}\left(z\right)$, заданная матрицей дробно-рациональных функций $w_{i,j}\left(z\right)$, которую можно оценить, задавая различные сигналы на входе идентифицируемой системы.

Допустим, начальные условия ЛДС нулевые, тогда условие управляемости дает возможность задать начальные условия однородной системы, так, чтобы выполнилось требование к идентифицируемости однородной системы.

Теорема доказана.

Теперь, если это необходимо, можно построить матрицы $A$,$C$,$B$ ЛДС. Однако, выбор матриц модели системы вида (13) в пространстве состояний неоднозначен, даже в случае полностью идентифицируемой системы существует много способов построения моделей данного типа, неразличимых по входу и выходу, в том числе содержащих минимальное число параметров.

Слепая идентифицируемость линейной динамической системы

Под слепой идентифицируемостью системы в данном случае будем понимать возможность определения матриц $A$,$B$,$C$ в (16) и в том числе нулевого вектора начальных условий ${\mathbf{u}}_0$ по набору $\mathbf{y}\left[k\right]$ при неизвестной входной последовательности конечной длины, в условиях отсутствия помех.

Теорема 7. SIMO ЛДС вида (16) идентифицируема вслепую тогда и только тогда, когда:

1. ЛДС идентифицируема в обычном смысле.
2. Передаточная матрица системы \( {\bf{W}}\left( z \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {\frac{{{P_1}\left( z \right)}}{{{Q_1}\left( z \right)}}}&{...}&{\frac{{{P_M}\left( z \right)}}{{{Q_M}\left( z \right)}}}
   \end{array}} \right)^t} \), такова, что многочлены \( {P_i}\left( z \right){Q_j}\left( z \right) \) и \( {P_j}\left( z \right){Q_i}\left( z \right) \) не имеют общих корней при \( i \ne j \), M – число каналов.

Доказательство.

Допустим, MIMO ЛДС в дискретном времени задана в пространстве состояний системой уравнений

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{u}}[k + 1] = {\bf{Au}}[k] + {\bf{Bx}}[k],}\\
{{\bf{y}}[k] = {\bf{Cu}}[k],}\\
{{\bf{u}}[0] = 0.}
\end{array}} \right. \)   .      (23)

Применяя z-преобразование, получим

\( \begin{array}{l}
z{\bf{U}}(z) = {\bf{AU}}(z) + {\bf{BX}}(z),\\
{\bf{Y}}(z) = {\bf{CU}}(z).
\end{array} \) (24)

Затем

\( \begin{array}{l}
{\bf{U}}(z) = {\left( {z{\bf{E}} - {\bf{A}}} \right)^{ - 1}}{\bf{BX}}(z),\\
{\bf{Y}}(z) = {\bf{CU}}(z).
\end{array} \) (25)

Таким образом, получим матрицу передаточных функций (передаточную матрицу) системы в виде

\( {\bf{W}}(z) = {\bf{C}}{\left( {z{\bf{E}} - {\bf{A}}} \right)^{ - 1}}{\bf{B}} \). (26)

Если система идентифицируема в обычном смысле, то существует единственная передаточная функция MIMO системы \( {\bf{W}}(z) \), заданная матрицей дробно-рациональных функций \( {w_{i,j}}(z) \), или в случае SIMO, вектором

\( {\bf{W}}\left( z \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{P_1}\left( z \right)}}{{{Q_1}\left( z \right)}}}&{...}&{\frac{{{P_M}\left( z \right)}}{{{Q_M}\left( z \right)}}}
\end{array}} \right)^t} \). (27)

Если система полностью наблюдаема и управляема, то передаточная матрица полностью описывает систему в терминах вход-выход.

Для любого i-го и j-го выхода можно записать

\( \frac{{{y_i}\left( z \right)}}{{{y_j}\left( z \right)}} = \frac{{{P_i}\left( z \right){Q_j}\left( z \right)}}{{{Q_i}\left( z \right){P_j}\left( z \right)}}\ \). (28)

Тогда, при соблюдении 2-го условия выходные сигналы полностью описывают передаточную матрицу системы.

Заключение

Таким образом, если система идентифицируема, то для ее описания достаточно использовать модель «вход-выход», при этом модель «вход-состояние-выход» является избыточной. Для слепой идентифицируемости линейной динамической системы, по крайней мере для случая дискретной системы с одним входом и множественным выходом, необходимо и достаточно выполнение двух условий: идентифицируемости системы в обычном смысле и отсутствие общих нулей полиномиальных компонентов передаточной матрицы системы.

About the authors

Oleg V. Goryachkin

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: o.goryachkin@psuti.ru

Vice-Rector for Scientific Work, Doctor of Technical Sciences, Professor

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files