Numerical method for calculating the locations of safety system repeaters on terrain with obstacles

Dmitry Yu. Startsev; Старцев Дмитрий Юрьевич; Ilya V. Loginov; Логинов Илья Валентинович; Vladimir G. Sosunov; Сосунов Владимир Геннадьевич; Oleg V. Pligunov; Плыгунов Олег Вячеславович

doi:10.18469/ikt.2023.21.1.07

Numerical method for calculating the locations of safety system repeaters on terrain with obstacles

Authors: Startsev D.Y.¹, Loginov I.V.¹, Sosunov V.G.¹, Pligunov O.V.¹
Affiliations:
1. The Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation
Issue: Vol 21, No 1 (2023)
Pages: 53-63
Section: Radio transmitting and receivering devices, television
URL: https://journals.eco-vector.com/2073-3909/article/view/627310
DOI: https://doi.org/10.18469/ikt.2023.21.1.07
ID: 627310

Cite item

Full Text

Abstract
Full Text
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

When deploying temporary technical security systems in the interests of ensuring public safety during mass events, quick-deployable sensors for detecting dangerous events are widely used: to monitor traffic flows and visitors, to detect fires, fights, aggressive behavior, dangerous abandoned objects and unmanned aerial vehicles. A number of important limitations, including geometric dimensions of the detector and repeater installation areas, the capacity of data transmission channels, the presence of restricted areas and the high speed of data transmission from modern sensors of dangerous events, show the need for rational location of repeaters. An iterative algorithm used to estimate placement locations provides an opportunity to find repeater installation points in order to ensure the transmission of high-speed monitoring information flows.

Keywords

repeater, method, location, coordinates, distance, security system, radio communication, information flow, detector

Full Text

Введение

При проведении массовых мероприятий с большим количеством людей на различных объектах, слабо оборудованных, либо совсем не оборудованных стационарными техническими средствами обеспечения безопасности и соблюдения правопорядка (городские площади, парки, стадионы и др.), возникает необходимость в развертывании временных технических систем безопасности. Для этих целей широко используются быстроразвертываемые детекторы обнаружения опасных событий, позволяющие: осуществлять наблюдение за транспортными потоками и посетителями; обнаруживать возгорания, драки, агрессивное поведение, опасные предметы, оставленные без присмотра, изменения химического и радиационного фона, беспилотные летательные аппараты и др. Передача информации от таких датчиков в центр управления безопасностью осуществляется по радиоканалу, при этом скорость передачи данных от одного датчика может достигать 10-30 мбит/с. В связи с этим возникает необходимость обеспечения непрерывной надежной радиосвязи для гарантированного получения сигналов наблюдения и тревожных событий, что приводит к необходимости развертывания сети радиосвязи, включающей в свой состав значительное число ретрансляторов [1].

Наличие ряда важных ограничений, основными из которых являются: геометрические размеры зоны размещения детекторов; пропускные способности каналов связи; наличие запретных зон размещения и высокая скорость передачи данных от современных датчиков обуславливает необходимость рационального размещения ретрансляторов при развертывании временных технических систем безопасности. При этом, единого решения, которое бы учитывало, как характеристики датчиков, так и параметры системы передачи данных для условий высокой закрытости местности в настоящий момент не разработано, что показывает актуальность разработки численных методов размещения ретрансляторов систем безопасности на местности.

Формальная постановка задачи размещения ретрансляторов на местности

Исходными данными для решения задачи размещения ретрансляторов технической системы безопасности на местности выступает план временно развертываемой технической системы безопасности [2]. План системы на местности разрабатывается заранее. Указываются места размещения высокоскоростных детекторов с точностью не менее 0,1 м. В общем случае известно следующее (пример – рисунок 1):

– множество строений (сооружений). Они представляют собой препятствия для распространения сигнала и запретные места для расстановки ретрансляторов передачи данных. Моделируются множеством многоугольников с характеристиками ослабления сигнала (определяется типом сооружения): $Z = {z_{j}}$ , $z_{j} = 〈{p_{1}, \dots, p_{j i}, \dots, p_{I (Z_{j})}}, γ〉$ , где $z_{j}$ – препятствие, $p_{j i}$ – вершина многоугольника (препятствия), $γ$ – коэффициент ослабления радиосигнала в препятствии;

– множество запретных зон размещения ретрансляторов, задаваемых многоугольниками: $Z D = {z d_{j}}$ , $z d_{j} = 〈{p_{1}, \dots, p_{j i}, \dots, p_{I (Z d_{j})}}〉$ , где $z d_{j}$ – j-я запретная зона, $p_{i} = 〈x_{i}, y_{i}〉$ – координаты вершины многоугольника запретной зоны, $I$ – количество вершин многоугольника;

– множество высокоскоростных датчиков и их отображение на карте (плане): $D = {d_{j}}$ , где $d_{j}$ – высокоскоростной датчик: $d_{j} = 〈с_{j}, p_{j}〉$ , характеризующийся $с_{j}$ – потоком данных с датчика ( $с_{d} \approx 2..10$ Мбит/с), и $p_{j} = 〈x_{i}, y_{i}〉$ – координатами места размещения датчика;

– множество доступных ретрансляторов: $R s = \{r s_{i}\}$ , где $r s_{i} = 〈P, D〉$ , где $P$ – мощность передатчика, $D$ – характеристики диаграммы направленности антенны.

Найти:

– подмножество установленных ретрансляторов $R s P \subseteq R s$ , где $r s P = 〈r s, p, A z〉$ , $A z$ – направление (азимут) ретранслятора, $p = 〈x_{i}, y_{i}〉$ – координаты ретранслятора.

При выполнении следующего ограничения на размещение ретрансляторов:

$||R s P|| \to \min$ при ограничении:

$C_{k m}^{R} (R S S I = \min R S S I_{k j m}) \geq С_{k m}^{N D}$ ,

где $C_{k m}^{R} = C (R S S I)$ – максимальная пропускная способность k-го ретранслятора, $C_{i k m}^{N D} = \sum_{j = 1}^{N_{i k m}^{D}} с_{i j}, d_{i j} \in D_{i k m}$ – суммарный поток передачи данных от всех высокоскоростных датчиков, подключенных к k-му ретранслятору $r s P_{k}$ (РТР).

Рисунок 1. Пример исходных данных

Обзор подходов к решению задачи размещения объектов на местности

Общую постановку задачи на построение временно развертываемой системы безопасности и наблюдения и решение задачи оптимального размещения детекторов на местности рассматривали многие авторы: разработан алгоритм автоматизированного проектирования системы видеонаблюдения [3], эвристический алгоритм размещения, основанный на использовании диаграммы Вороного, покрывающий замкнутый многоугольник без дыр [4], эвристика замощения пространства геометрическими фигурами детектирования [2], в [5] решает задачу оптимизации размещения двумерных геометрических объектов на анизотропном материале с использованием методов математического программирования.

Известны исследования посвященные оптимизации размещения беспроводных терминалов [6–9]. В [6] рассматривается задача перепроектирования беспроводных сетей при изменении внешних условий на основе методов машинного обучения. В [10] рассмотрено размещение датчиков температуры. В [7] предлагаются основанные на UWB коммуникационные протоколы для расчета местоположения беспроводных сенсоров. Применяется метод, основанный на ортогональном переменном коэффициенте распространения и скачке времени, методе оценки максимального правдоподобия для вычисления расстояний до опорных сенсоров, учитывающий координаты подвижных сенсоров с использованием метода наименьших квадратов. В [8] предлагается новый алгоритм, позволяющий точно находить лучшие местоположения беспроводных датчиков при минимизации средней потребляемой энергии в сети. Оптимизация проводится по критериям стоимости и качества связи.

Задача размещения объектов на местности с ограничениями может быть представлена как задача покрытия многоугольника с препятствиями некоторыми фигурами (для ретранслятора это область одного уровня сигнала с заданной гарантированной пропускной способностью). Указанного рода задачи нашли распространение в нескольких отраслях науки и техники: в астрономических исследованиях решается задача покрытия кругами плоскости; в системах видеонаблюдения решается задача покрытия треугольниками или секторами; в системах транспортного мониторинга рассматривается задача покрытия территории кругами областей действия RFID-считывателей; для химических исследований используется задача покрытия шарами заданной трехмерной области; при строительстве дорог используется покрытие плоскостей плитами различной геометрической формы; в системах виртуальной реальности решают задачи генерации карт вейпоинтов [11]. Общие классы решения задач данного вида включают [12]:

– задачи компоновки объектов в контейнеры (двух и трехмерные) [13]: элементов печатных плат, грузов, коробок, товаров [14; 15];

– задачи оптимального раскроя материалов, решаемые в машиностроении, текстильной и авиастроительной промышленности, при этом заготовки могут быть произвольной формы;

– задачи распределения ограниченных ресурсов различных типов: память вычислительных машин, участки полей и лесов [16].

Все рассмотренные выше классы задач относятся к задачам оптимизационного геометрического моделирования, заключающегося в оптимизации размещения объектов произвольных измерений в заранее заданных областях [17–21]. При этом в известных решениях не показано использование покрытия области фигурами, имеющими вид диаграмм направленности антенн с учетом ограничения количества устройств и мест их размещения.

Модель ретранслятора

Во временно развертываемых системах безопасности используются сети связи, организованные на основе технологий Wi-Fi, WiMAX, 3G, 4G, 5G. В работе, независимо от общности рассматриваемых вопросов размещения ретрансляторов, дальнейшие рассуждения приведены для технологии Wi-Fi, которая позволяет обеспечить передачу данных со скоростью 1000 – 50 Мбит/с на расстояние до 100-300 м.

Технология IEEE 802.11 (Wi-Fi). Для построения беспроводных сетей, как правило, применяют беспроводные клиентские устройства (адаптеры), точки доступа, беспроводные маршрутизаторы, повторители, мосты и антенны.

Исходные данные для решения поставленной задачи целесообразно разделить на две группы – данные, позволяющие определить минимально необходимый уровень мощности сигнала на входе датчика для обеспечения радиосвязи, и план временно развертываемой технической системы безопасности.

С точки зрения расстановки ретрансляторов необходимо учитывать, что распространение радиоволн в сложных условиях связаны с явлениями многолучевости, обусловленной многократными отражениями радиоволн от стен и объектов, а также дифракцию на многочисленных острых кромках предметов и рассеяние при столкновении радиоволн с препятствием соизмеримым с длиной волны. Данные эффекты обуславливают сложную структуру электромагнитного поля. Поэтому в каналах беспроводной связи возникают затухания сигналов двух типов – крупномасштабное и мелкомасштабное.

Крупномасштабное затухание показывает среднее ослабление мощности сигнала из-за распространения на расстояние, определяется наличием вдоль траектории распространения таких объектов как: строения, растительность, рекламные щиты, стены, двери, перекрытия зданий и т. д. Таким образом, потери на пути распространения радиосигнала при крупномасштабном затухании можно рассчитать, как функцию от расстояния. В этом случае мощность принимаемого сигнала уменьшается с расстоянием по степенному закону, а отклонения от среднего значения определяются логарифмически нормальным распределением [22].

Мелкомасштабное затухание обусловлено вариациями амплитуды и фазы сигнала, и проявляется как расширение сигнала во времени и нестационарное поведение частотного канала связи. В системах беспроводной связи параметры канала изменяются во времени, в том числе и из-за движения передатчика или приемника. Мелкомасштабное затухание называется релеевским, если прямая видимость между передатчиком и приемником отсутствует, а сигнал в точку приема приходит в результате многократных отражений от различных объектов. Огибающая такого сигнала моделируется релеевской функцией плотности вероятности. Преобладание прямой видимости при распространении сигнала позволяет описать огибающую мелкомасштабного затухания функцией плотности вероятности вида Райса. Этот вид затухания вносит значительный вклад в затухание в каналах мобильной связи из-за того, что распространение сигнала происходит на большие расстояния. В случае же распространения Wi-Fi сигнала на незначительных территориях этим видом затухания можно пренебречь, обеспечив на линии некоторый энергетический запас. Таким образом, при решении поставленной задачи представляет интерес не вычисление точной интенсивности (ослабления) сигнала, а некоторая его оценка, ввиду сложности учета деталей строений и, следовательно, всех особенностей мелкомасшатабного затухания.

С учетом сказанного для определения величины крупномасштаного затухания воспользуемся известной формулой:

$L = 20 \cdot X \cdot \lg (\frac{4 π d f}{c})$ ,

где X – коэффициент ослабления, равный 1 для открытого пространства, d – расстояние до детектора, f – частота радиосигнала, с – скорость света.

При этом минимально необходимое значение уровня принимаемого сигнала датчика во многом определяется передающей и приемной антеннами.

Типовая диаграмма направленности наиболее распространенных антенн, используемых для передачи сигнала по радиоканалу, представлена на рисунке (рисунок 2).

Рисунок 2. Типовая диаграмма направленности антенн

Исходя из вышеизложенного, для решения поставленной задачи с учетом известных потерь (L), коэффициентов усиления передающей и приемной антенн (G₁,G₂) и мощности передачи точки доступа (P₁) можно определить минимально необходимый уровень мощности принимаемого сигнала (RSSI):

$R S S I = P_{1} \cdot G_{1} \cdot G_{2} \cdot L$ .

При этом следует полагать, что потери в фидере для точки доступа будут незначительны, и их можно не учитывать, а в целях устойчивого функционирования радиолинии следует ввести запас уровня сигнала на входе приемника.

В общем случае пропускная способность радиоканала от датчика до ретранслятора определяется модуляцией и кодированием сигнала (рис. 3) и зависит от наличия прямой видимости, мощности передаваемого сигнала, используемого диапазона частот, коэффициента усиления антенны и количества информационных потоков, а также от вида используемой модуляции. Значение пропускной способности ретранслятора может быть представлено в виде функции от уровня сигнала в точке наихудшего приема сигнала (определяется таблично в зависимости от технологии передачи данных:

$C_{k m}^{R} = C (R S S I)$ . (1)

В соответствии с рекомендацией МСЭ-R M.1851-1 примером диаграммы направленности может служить косинус-квадратная антенна со следующими характеристиками:

– относительная форма распределения поля:

$f (α) = \cos^{2} (π \cdot α / 2)$ ;

– диаграмма направленности:

$F (μ) = \frac{π^{2}}{2 μ} [\frac{\sin μ}{π^{2} - μ^{2}}]$ , (2)

где $μ = \frac{π \cdot 83,2 \cdot \sin θ}{θ_{3}}$ , $θ_{3}$ – ширина луча по уровню половинной мощности сигнала, $θ$ – направление на рассматриваемую точку.

В качестве приемной антенны целесообразно использовать штыревую антенну, коэффициент усиления которой составляет порядка 2–3 дБ.

Рисунок 3. Пропускная способность от дальности до точки для Wi-Fi 802.11n/ac

Алгоритм расчета мест размещения ретрансляторов

Алгоритм определения мест размещения ретрансляторов представлен на рисунке 3. На первом шаге определяется минимальное количество ретрансляторов с учетом совокупного потока данных от всех детекторов к k-му ретранслятору $r s P_{k}$ :

$C_{i k m}^{D} = \sum_{j = 1}^{N_{i k m}^{D}} с_{i j}, d_{i j} \in D_{i k m}$ . (3)

При этом все множество детекторов разбивается на равные по размеру подмножества таким образом, чтобы расстоянием между двумя наиболее удаленными детекторами для каждого подмножества было минимальным:

$D = \cup_{k = 1}^{N^{R}} D_{k}$ ,

где $D_{k}$ – k-е подмножество детекторов $N D_{i}$ ,

где: $\max_{D_{k}} l e n g t h (d_{i}, d_{j}) \to m i n$ ,

где $l e n g t h (d_{i}, d_{j})$ – смещенное на диаграмму направленности антенны евклидово расстояние между двумя детекторами:

$l e n g t h (d_{i}, d_{j}) = \frac{\sqrt{{(x_{j} - x_{i})}^{2} + {(y_{j} - y_{i})}^{2}}}{f (α)}$ . (4)

Начальное количество ретрансляторов рассчитывается по формуле:

$N_{R} = ⌈C_{i k}^{D} / C (R S S I (\max l e n g t h (N D)))⌉$ . (5)

Рисунок 4. Блок-схема алгоритма расчета мест размещения ретрансляторов

С использованием алгоритма (рисунок 4) формируется исходное (новое) размещение ретрансляторов: $R s_{i m} = {\{r s_{j}\}}_{i m}$ .

Для нового размещения ретрансляторов генерируется новое m-е разбиение подмножества детекторов $D_{k}$ :

$D_{i m} = \cup_{k = 1}^{N^{R}} D_{i k m}$ .

Рассчитывается пропускная способность ретранслятора $C_{k m}^{R} = C (R S S I)$ на основе значения $R S S I (d_{i k m})$ всех детекторов, замкнутых на i-й ретранслятор.

По всем сравниваются значения необходимой и имеющейся пропускной способности и проверяется условие:

$\forall r s P_{i} \in R s P_{i m} : C_{i k m}^{R} > C_{i k m}^{D}$ . (6)

При выполнении условия (6) работа алгоритма завершается, в противном случае генерируется новое размещение путем сдвига координат ретрансляторов против градиента (рис. 6). При расчете новой пропускной способности сети передачи данных рассчитывается нехватка пропускной способности:

$Δ C = C_{k m}^{R} - С_{k m}^{N D}$ ,

которое сравнивается с потоком данных от одного детектора $ε_{c} = {\bar{c}}_{i j}$ . При нехватке ресурса добавляется дополнительный ретранслятор и генерируется новое размещение.

Пример нахождения смещенного на диаграмму направленности антенны евклидова расстояния между детекторами приведен на рисунке 5. Задано 10 детекторов, с одним из них совмещается ретранслятор, и рассчитывается значение функции $l e n g t h (d_{i}, d_{j})$ для всех детекторов.

Рисунок 5. Иллюстрация расчета смещенного расстояния (n=10)

Итеративный алгоритм нахождения рационального местоположения ретранслятора приведен на рисунке 6.

Рисунок 6. Итеративный алгоритм нахождения местоположения ретранслятора

Исходные данные:

$r s P = \{x_{0}; y_{0}\}$ – точка местоположения ретранслятора;

$D_{k} = \cup_{j = 1}^{|D_{k}|} d_{j}$ – множество детекторов, подсоединенных к ретранслятору.

Найти: $r s P_{k} = \{x_{0, k}; y_{0, k}\}$ – точку размещения ретранслятора, такую, что $\max_{D} l e n g t h (r s P_{k}, d_{j}) \to m i n$ .

Основная идея алгоритма – использование градиентного метода оптимизации. Первоначальная величина сдвига равна 1/10 от евклидового расстояния до детектора. При возрастании текущего значения смещенного расстояния, величина сдвига уменьшается в два раза. При попадании в препятствие (запретную зону) – сдвиг выполняется по границе запретной зоны в сторону убывания смещенного расстояния.

Критерий останова: сдвиг меньше 0,1 м или изменение смещенного расстояния меньше 1 (определяются точностью позиционирования ретранслятора на местности).

Пример: исходное положение детекторов приведено на рисунке 5. Начальное расположение ретранслятора совпадает с детектором: $d = \{40; 23\}$ . Итоговое расположение ретранслятора после 16 итерации: $d = \{13; - 8\}$ .

Рисунок 7. Иллюстрация итеративного изменения координат ретранслятора

Рисунок 8. Значения целевой функции $\max_{D} l e n g t h (r s P_{k}, d_{j})$

Рисунок 9. Изменение величины сдвига от итерации алгоритма

Рисунок 10. Изменение величины смещенного расстояния от итерации алгоритма

Вычислительная сложность и сходимость алгоритма: количество итераций основного алгоритма (рисунок 4) не превышает количества детекторов, количество итераций алгоритма размещения ретранслятора (рисунок 6) на практике составляло 30-70. Все расчеты имеют линейную сложность, соответственно, худший случай квадратично завит от числа детекторов.

Пример расчета мест размещения ретрансляторов

Для автоматизации подготовки данных по расстановке ретрансляторов разработано программное средство, позволяющее для заданных исходных данных (местоположения детекторов и интенсивности информационных потоков) рассчитывать местоположение ретрансляторов с учетом зон видимости.

Вариант расчета местоположения ретрансляторов приведен на рисунке 11 и 12.

Рисунок 11. Пример размещения ретрансляторов (22 детектора, 3 ретранслятора)

Рисунок 12. Пример размещения ретрансляторов (17 детекторов, 5 ретрансляторов)

Вариант 2 расчета местоположения ретрансляторов приведен на рисунке 3 (режим 2).

Результаты выполненных с использованием алгоритма (рисунок 4) расчетов для различных исходных данных показали возможность нахождения минимального количества ретрансляторов и мест их установки для заданной конфигурации высокоскоростных датчиков.

Заключение

В работе рассмотрена проблема обеспечения непрерывной надежной радиосвязи для получения сигналов наблюдения и тревожных событий во временно развертываемых системах безопасности. В рамках решения этой задачи предложен алгоритм расчета мест размещения ретрансляторов на местности с препятствиями. Итеративный алгоритм расчета мест размещения позволяет найти точки установки ретрансляторов для обеспечения передачи высокоскоростных потоков информации мониторинга.

About the authors

Dmitry Yu. Startsev

The Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Email: starcev_d@mail.ru

Employee

Russian Federation, Oryol

Ilya V. Loginov

The Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Author for correspondence.
Email: loginov_iv@bk.ru

Employee

Russian Federation, Oryol

Vladimir G. Sosunov

The Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Email: vlsosunov@mail.ru

Employee

Russian Federation, Oryol

Oleg V. Pligunov

The Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation

Email: loginov_iv@bk.ru

Employee

Russian Federation, Oryol

References

Loginov I.V., Startsev D.Yu., Salamatov S.K. Optimal placement of video cameras with radio channel network in fast development facilities monitoring and physical protection systems. Vo-prosy oboronnoj tehniki. Serija 16: Tehnicheskie sredstva protivodejstvija terrorizmu, 2021, no. 5–6 (155–156), pp. 105–112. (In Russ.)
Loginov I.V., Startsev D.Yu. Algorithm for optimal placement of wireless video sensors in fast development facilities monitoring and physical protection systems. Informacionnye sistemy i tehnologii, 2021, no. 5 (127), pp. 39–49. (In Russ.)
Lukoyanov S.V., Belov S.V. Procedure for the rational location of video surveillance cameras as part of the access control and management system. Vestnik Astrahanskogo tekhnicheskogo uni-versiteta. Seriya: Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika, 2012, no. 2, pp. 82–87.
(In Russ.)
Voronov A.A. Method of covering objects of micro-circuit topology with straight angles based on the use of a generalized Voronoi diagram. Ob"edinennyj institut problem informatiki NAN Belarusi, 2009, no. 3, pp. 367–375. (In Russ.)
Petrenko S.V. Optimization of placement of two-dimensional geometric objects on anisotropic material using mathematical programming methods: diss. … cand. tech. sciences. Ufa, 2005, 115 p. (In Russ.)
Alsheikh M.A. et al. Machine Learning in Wireless Sensor Networks: Algorithms, Strategies, and Applications. IEEE Communications Surveys and Tutorials, 2014, vol. 16, no. 4, pp. 1996–2018.
Wu D., Bao L., Li R. UWB-Based Localization in Wireless Sensor Networks. Communications, Network and System Sciences, 2009, no. 5, pp. 407–421.
Ouchitachen H., Hair A., Idrissi N. Optimal Placement of Sensors in Mission-specific Mobile Sensor Networks. TELKOMNIKA Indonesian Journal of Electrical Engineering, 2015, vol. 16, no. 1, pp. 191–199.
Reddy G.P., Gerardine M. Optimal node placement in wireless sensor networks. International Journal of Engineering Science and Technology, 2011, vol. 3, no. 2, pp. 1124–1129.
Gongsheng H., Pei Zh., Linfeng Zh. Optimal Location of Wireless Temperature Sensor Nodes in Large-scale Rooms. 13th international conference on indoor air quality and climate, indoor air, 2014, pp. 895–902. doi: 10.13140/RG.2.1.1897.2884
Safonov A.A., Panfilov A.N. Application of geometric coverage algorithms for solving the problem of RFID equipment placement. Vestnik molodjozhnoj nauki Rossii, 2019, no. 2, pp. 39. (In Russ.)
Zabelin S.L., Frolovsky V.D. Development and research of models, methods and algorithms for synthesis and analysis of solutions to geometric coating problems. Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo universiteta telekommunikacij informatiki. Novosibirsk, 2013, no 2, pp. 42–53.
(In Russ.)
Kureychik V.V., Glushchenko A.E. Multilevel approach for high dimensional 3D packing prob-lem. Izvestiya YUzhnogo federal'nogo universiteta. Tehnicheskie nauki, 2020, no. 2 (212), pp. 6–16. (In Russ.)
Valeeva A.F., Totskov I.E. Solving the problem of three-dimensional packaging. Kompleksnyj analiz, differencial'nye uravneniya, chislennye metody i prilozheniya: materialy mezhdunarodnoj konferencii: mat. vserossijskoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii. Ufa: IMVC UNC RAN, 1996, pp. 30–36. (In Russ.)
Verkhoturov M.A., Verkhoturova G.N. On the problem of threedimensional packaging of ob-jects of complex geometric shapes. Rol' geometrii v iskusstvennom intellekte i sistemah avtomatizirovannogo proektirovaniya: mat. vserossijskoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii. Ulan-Ude, 1996, pp. 43–45. (In Russ.)
Gil N.I. Mathematical modeling of irregular placement of planar geometric objects in design au-tomation systems (theoretical foundations, methods, applications): avtoref. diss. … cand. tech. sciences. Minsk, 1990, 32 p. (In Russ.)
Stoyan Yu.G., Yakovlev S.V. Mathematical models and optimization methods of geometric de-sign. Kiev: Sciences Dumka, 1986. 286 p. (In Russ.)
Dycknoff H. A typology of cutting and packing problems. European Journal of Operational Research, 1991, no. 44, pp. 145–159.
Gilmore P.C., Gomory R.E. A linear programming approach to the cutting stock problem. Operation Research, 1961, vol. 9, no. 6, pp. 849–859.
Khasanov R.I., Dyaminova E.I. Mathematical and software support for the placement of orthogonal objects in a polygonal area based on matrix technology. Molodezhnyj vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviacionnogo tehnicheskogo universiteta, 2019, no. 1 (20), pp. 183–186. (In Russ.)
Yahui S., Saman H. Minimum-Cost Heterogeneous Node Placement in Wireless Sensor Networks. IEEE Access, 2019, vol. 7, pp. 14847–14858.
Sklyar B. Digital Communication. Theoretical foundations and practical application. 2th Ed., re-vised. Moscow: Izd-vo Williams, 2007, 1104 p. (In Russ.)