Determination of the conditions for the safe approach of an inspector satellite with a spacecraft in Earth orbit

Full Text

Введение

Ежегодно в околоземном космическом пространстве (ОКП) растет число космических аппаратов (КА), выведенных из эксплуатации по различным причинам. Частичным решением проблемы накопления в ОКП нефункционирующих объектов может стать своевременное проведение сервисно-восстановительных работ для дальнейшего функционирования КА на орбите Земли. Важным этапом таких работ является техническое диагностирование нефункционирующего КА, реализация которого возможна с помощью орбитальной космической инспекции, или, по-другому, спутника-инспектора. Спутник-инспектор представляет собой малый КА, который свободно перемещаясь в ОКП способен проводить внешний осмотр, а также осуществлять техническое обследование неисправностей КА.

Кроме того, такой спутник может быть использован в качестве средства очистки рабочих орбит от космического мусора [1]. При сближении с неизвестным объектом спутник-инспектор, определяя его характеристики, может создать такие условия, которые будут затруднять дальнейшее функционирование объекта в ОКП. Таким образом, вместо того, чтобы позволить выведенным из эксплуатации КА и их конструкционным элементам дрейфовать в ОКП, спутник-инспектор уменьшит количество космического мусора и создаст более безопасное будущее для освоения космоса.

В 1878 году Джордж Уильямом Хилл представил первые результаты исследований относительного орбитального движения. В его статье рассматривалось орбитальное движение Луны относительно Земли [2].

Позднее У.Х. Клохесси и Р.С. Уилтшир опубликовали свои уравнения для описания относительного орбитального движения спутника общего назначения с целью разработки систем управления для достижения орбитального сближения [3]. Уравнения Клохесси-Уилтшира получили широкое распространение и уже применялись в работах [4–6].

Стоит также отметить, что необходимым условием деятельности спутника-инспектора является его нахождение в окрестности инспектируемого КА. Поэтому для выведения спутника в область КА применяется один из методов сближения [7].

На основе вышесказанного можно сделать вывод о высокой актуальности исследования движения спутника-инспектора, которое будет описываться уравнениями относительного орбитального движения.

Математическая модель

Пусть КА массой m0 находится на круговой орбите радиуса R0, а спутник-инспектор массой m – на орбите радиуса r. Расстояние между инспектором и космическим аппаратом много меньше радиуса орбиты КА ρ << R0 (рисунок 1).

Будем рассматривать движение инспектора в подвижной орбитальной системе координат [8], за начало отсчета которой примем центр масс КА, с которым будет сближаться инспектор, т.е. система координат будет перемещаться вместе с КА. На рисунке 1 показаны выбранные направления осей: Ox0 проходит через центр масс Земли и КА, Oy0 направлена вдоль вектора скорости КА, Oz0 перпендикулярна плоскости орбиты.

 

Рисунок 1. Постановка задачи, система координат

 

Система координат Ox0y0z0 является неинерциальной, т.к. она вращается вокруг оси $O{z}_0$ с угловой скоростью ${\omega }_0$, а начало отсчета движется по круговой орбите с ускорением $a_0$:

$a_0={\omega }_0^2{R}_0.$

где ${\omega }_0$ – орбитальная скорость КА. Это ускорение вызвано действием сил притяжения Земли:

$a_0=\frac{F}{m_0}=\frac{\mu \cdot m_0}{R_0^2}\cdot \frac{1}{m_0}=\frac{\mu }{R_0^2},$

где μ = GM – стандартный гравитационный параметр, G – гравитационная постоянная, M – масса Земли.

Из двух формул ускорения центра масс КА следуют выражения для его угловой и линейной скорости, а также периода обращения:

${\omega }_0=\sqrt{\frac{\mu }{R_0^3}},$ $V_0={\omega }_0{R}_0=\sqrt{\frac{\mu }{R_0}},$

$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{R_0^3}{\mu }}.$

Запишем для спутника-инспектора основное уравнение динамики относительного движения [9]:

$m\overrightarrow{\ddot{\rho }}=\overrightarrow{F}+{\overrightarrow{Ф}}_e+{\overrightarrow{Ф}}_{с},$ (1)

где $\overrightarrow{F}$ – гравитационная сила, ${\overrightarrow{Ф}}_e$ – переносная сила инерции, ${\overrightarrow{Ф}}_{С}$ – сила инерции Кориолиса, которые определяются по формулам:

$\overrightarrow{F}=G\frac{Mm}{{\left|\overrightarrow{r}\right|}^2}\cdot \left(-\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|}\right)=-\frac{\mu }{{\left|\overrightarrow{r}\right|}^3}m\overrightarrow{r}=-{\omega }_0^2{\left(\frac{R_0}{r}\right)}^{3}m\overrightarrow{r}$,

$\begin{array}{l}{\overrightarrow{Ф}}_e=-m{\overrightarrow{a}}_e=-m\left({\overrightarrow{a}}_0+{\overrightarrow{\omega }}_0\times \left({\overrightarrow{\omega }}_0\times \overrightarrow{\rho }\right)\right)=\\ =-m\left(-{\omega }_0^2{\overrightarrow{R}}_0-{\omega }_0^2{\overrightarrow{\rho }}_{xy}\right)=m{\omega }_0^2\left({\overrightarrow{R}}_0+{\overrightarrow{\rho }}_{xy}\right)\end{array}$

${\overrightarrow{Ф}}_c=-m{\overrightarrow{a}}_c=-m\cdot 2\left({\overrightarrow{\omega }}_0\times \overrightarrow{\dot{\rho }}\right)$,

где ${\overrightarrow{a}}_e$ – переносное ускорение спутника, ${\overrightarrow{\rho }}_{xy}$ – проекция вектора $\overrightarrow{\rho }$ на плоскость $O{x}_0{y}_0$ (рисунок 2), ${\overrightarrow{a}}_e$ – ускорение Кориолиса.

Подставив выражения для сил в уравнение (1) и сократив на $m$, получим:

$\overrightarrow{\ddot{\rho }}=-{\omega }_0^2{\left(\frac{R_0}{r}\right)}^3\overrightarrow{r}+{\omega }_0^2\left({\overrightarrow{R}}_0+{\overrightarrow{\rho }}_{xy}\right)-2\left({\overrightarrow{\omega }}_0\times \overrightarrow{\dot{\rho }}\right).$ (2)

 

Рисунок 2. Орбитальная система координат

 

Для упрощения дальнейших вычислений линеаризуем ${\left(R_0/r\right)}^3$:

$f\left(r\right)={\left(\frac{R_0}{r}\right)}^3$.

Разложим в ряд Тейлора функцию $f\left(r\right)$:

$\begin{array}{l}f\left(r\right)\approx f\left(R_0\right)+{\left.{f^{\text{'}}}_r\right|}_{r=R_0}\cdot \left(r-R_0\right)+\\ +\frac{1}{2}{\left.{f^{\text{'}\text{'}}}_r\right|}_{r=R_0}\cdot {\left(r-R_0\right)}^2+\dots \end{array}$

Порядок малости слагаемых, содержащих множитель $\left(r-R_0\right)$ в степенях выше первых, позволяет ими пренебречь:

$f\left(r\right)\approx f\left(R_0\right)+{\left.{f^{\text{'}}}_r\right|}_{r=R_0}\cdot \left(r-R_0\right)$. (3)

Найдем все слагаемые формулы (3):

$f\left(R_0\right)={\left(\frac{R_0}{R_0}\right)}^3=1$,

${f^{\text{'}}}_r=3{\left(\frac{R_0}{r}\right)}^2\cdot \left(-\frac{R_0}{r^2}\right)=-3\frac{R_0^3}{r^4}$,

${f^{\text{'}}}_r\left(R_0\right)=-3\frac{R_0^3}{R_0^4}=-\frac{3}{R_0}$.

Используя правило треугольника для сложения векторов (рисунок 1), получим:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{R}}_0+\overrightarrow{\rho }$.

Разложим вектор  по единичным векторам:

$\overrightarrow{r}=\left(R_0+x\right)\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.

Вектор $y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ пренебрежимо мал по сравнению с вектором $\left(R_0+x\right)\overrightarrow{i},$ поэтому с большой степенью точности можно принять:

$r=R_0+x$,

откуда $r-R_0=x$.

Подставляя найденные слагаемые в уравнение (3), получим:

$f\left(r\right)\approx 1-\frac{3}{R_0}x$,

${\left(\frac{R_0}{r}\right)}^3\approx 1-3\frac{x}{R_0}$.

Тогда уравнение (2) примет вид:

$\overrightarrow{\ddot{\rho }}=3{\omega }_0^2\frac{x}{R_0}\overrightarrow{r}+{\omega }_0^2\left({\overrightarrow{\rho }}_{xy}-\overrightarrow{\rho }\right)-2\left({\overrightarrow{\omega }}_0\times \overrightarrow{\dot{\rho }}\right)$,

или в координатной форме:

$\begin{array}{c}\ddot{x}\left(t\right)=3{\omega }_0^{2}x\left(t\right)+2{\omega }_0\dot{y}\left(t\right);\\ \ddot{y}\left(t\right)=-2{\omega }_0\dot{x}\left(t\right);\\ \ddot{z}\left(t\right)=-{\omega }_0^{2}z\left(t\right).\end{array}$ (4)

Система (4) называется уравнениями Клохесси-Уилтшира, решив которую получим следующий закон движения спутника:

$\begin{array}{c}x\left(t\right)=4x_0+\frac{2{\dot{y}}_0}{{\omega }_0}+\frac{{\dot{x}}_0}{{\omega }_0}\sin {\omega }_{0}t-\left(3x_0+\frac{2{\dot{y}}_0}{{\omega }_0}\right)\cos {\omega }_{0}t;\\ y\left(t\right)=-(6{\omega }_0{x}_0+3{\dot{y}}_0)t+y_0-\frac{2{\dot{x}}_0}{{\omega }_0}+\left(6x_0+\frac{4{\dot{y}}_0}{{\omega }_0}\right)\sin {\omega }_{0}t+\frac{2{\dot{x}}_0}{{\omega }_0}\cos {\omega }_{0}t;\\ z\left(t\right)=\frac{{\dot{z}}_0}{{\omega }_0}\sin {\omega }_{0}t+z_0\sin {\omega }_{0}t.\end{array}$  (5)

$\begin{array}{c}\dot{x}\left(t\right)={\dot{x}}_0\cos {\omega }_{0}t+\left(3x_0{\omega }_0+2{\dot{y}}_0\right)\sin {\omega }_{0}t;\\ \dot{y}\left(t\right)=-\left(6{\omega }_0{x}_0+3{\dot{y}}_0\right)+\left(6{\omega }_0{x}_0+4{\dot{y}}_0\right)\cos {\omega }_{0}t-2{\dot{x}}_0\sin {\omega }_{0}t;\\ \dot{z}\left(t\right)={\dot{z}}_0\cos {\omega }_{0}t-z_0{\omega }_0\sin {\omega }_{0}t.\end{array}$  (6)

Система (5) описывает пассивное движение инспектора в окрестности КА. Если продифференцировать ее по времени, получим выражения для скоростей.

На основе уравнений (5) и (6) моделируются следующие этапы движения спутника-инспектора: приближение и остановка, выполнение которых обеспечивается двухимпульсным маневром, а также движение после остановки.

Процесс приближения осуществляется в течение заданного промежутка времени [0,t1) при помощи импульса наведения $\Delta V_1$, который сблизит спутник-инспектор и КА на необходимое расстояние. Для нахождения импульса $\Delta V_1$ необходимо подставить в систему (5) начальные и конечные координаты спутника и решить ее относительно начальных скоростей.

В момент времени t1 производится остановка спутника-инспектора посредством импульса замедления $\Delta V_2$, который мгновенно уменьшит набранную скорость до нуля и завершит сближение. Подстановкой начальных скоростей в систему (6) найдем скорости, с которыми спутник прилетит на безопасную границу. Тогда компоненты искомого импульса равны полученным скоростям, взятым с противоположным знаком.

Однако после остановки из-за воздействия внешних сил и сил инерции спутник через некоторое время начнет пассивное движение относительно КА, поэтому данный этап рассматривается с целью определения возможного столкновения в течение промежутка времени (t1,t2].

Проведем исследование для конкретной задачи. Пусть спутник инспектор был выведен на орбиту исследуемого КА радиуса $R_0=6780\cdot {10}^3$ м на расстоянии 10 000 км от него. Под КА будем понимать Международную космическую станцию (МКС). И пусть необходимо приблизиться к МКС на минимально возможное расстояние, учитывая ее размеры ($\approx$73 м × 109 м × 30 м) [10]. Тогда условимся, что для таких маневров граница безопасного приближения находится на расстоянии 100 м от центра масс МКС по каждой оси, т.е. получаем сферу радиусом 100 м (рисунок 3). Движение спутника будем рассматривать только в плоскости $O{x}_0{y}_0$. В начальный момент относительное движение спутника отсутствует.

На рисунке 3 цифрами 1 и 2 обозначены стартовые положения спутника на этапе приближения, а цифрами 3, 4, 5, 6 – конечные положения этого этапа. Разные масштабы осей использованы для наглядности рисунка. Тогда, комбинируя эти положения, получим следующие маршруты движения спутника:

1 → 3, 1 → 4, 1 → 5, 1 → 6;

2 → 3, 2 → 4, 2 → 5, 2 → 6.

Изменяя время, за которое спутнику необходимо сблизиться с МКС, проведем три эксперимента для построенных маршрутов. Т.е. для трех разных интервалов времени сближения получим 24 траектории движения спутника.

 

Рисунок 3. Граница безопасного приближения, положения спутника

 

Моделирование этапа сближения и остановки

Пусть в первом эксперименте спутнику необходимо приблизиться к МКС за один час, во втором – за два часа, а в третьем – за три.

Продемонстрируем результаты экспериментов на примере маршрута 1 → 3.

В первом эксперименте спутник-инспектор прилетает точно на границу безопасного приближения, не пересекая ее (рисунок 4). Следовательно, для заданных начальных условий сближение спутника с МКС пройдет без столкновений, т.е. сближение будет безопасным. В таблице 1 представлены результаты моделирования движения по всем возможным восьми маршрутам в первом численном эксперименте.

 

Рисунок 4. Эксперимент №1: траектория движения спутника-инспектора в плоскости

 

Таблица 1. Результаты эксперимента №1

Маршрут	м/с	м/с	Результат
1 g 3	1,5802	1,5923	безопасное сближение
1 g 4	1,7223	1,7334	столкновение
1 g 5	1,6344	1,6344	столкновение
1 g 6	1,6674	1,6674	безопасное сближение
2 g 3	1,7223	1,7334	столкновение
2 g 4	1,5802	1,5923	безопасное сближение
2 g 5	1,6674	1,6674	безопасное сближение
2 g 6	1,6344	1,6344	столкновение

 

Во втором эксперименте спутник пересекает границу безопасного приближения, и все последующее движение продолжает внутри этой границы (рисунок 5). Таким образом, на этапе приближения произойдет столкновение спутника с МКС. В таблице 2 представлены результаты моделирования движения по всем возможным восьми маршрутам во втором численном эксперименте.

 

Рисунок 5. Эксперимент №2: траектория движения спутника-инспектора в плоскости

 

Таблица 2. Результаты эксперимента №2

Маршрут	м/с	м/с	Результат
1 g 3	2,1859	2,1947	столкновение
1 g 4	2,5333	2,5409	безопасное сближение
1 g 5	2,3356	2,3356	безопасное сближение
1 g 6	2,3828	2,3828	столкновение
2 g 3	2,5333	2,5409	безопасное сближение
2 g 4	2,1859	2,1947	столкновение
2 g 5	2,3828	2,3828	столкновение
2 g 6	2,3356	2,3356	безопасное сближение

 

В третьем эксперименте траектория движения спутника вблизи МКС не пересекает границу безопасного приближения (рисунок 6). Значит сближение спутника с МКС так же, как и в первом эксперименте, будет безопасным. Результаты третьего эксперимента для каждого маршрута приведены в таблице 3.

 

Рисунок 6. Эксперимент №3: траектория движения спутника-инспектора в плоскости

 

Таблица 3. Результаты эксперимента №3

Маршрут	м/с	м/с	Результат
1 g 3	0,3711	0,4196	безопасное сближение
1 g 4	0,5244	0,5598	безопасное сближение
1 g 5	0,3122	0,3122	столкновение
1 g 6	0,3185	0,3185	безопасное сближение
2 g 3	0,5244	0,5598	безопасное сближение
2 g 4	0,3711	0,4196	безопасное сближение
2 g 5	0,3185	0,3185	безопасное сближение
2 g 6	0,3122	0,3122	столкновение

 

Результаты трех экспериментов показывают, что нет однозначно безопасных маршрутов. Результаты, помимо прочего, зависят от заданного времени сближения. Влияние времени сближения на безопасность маршрутов является предметом дальнейшего исследования.

Моделирование этапа пассивного движения

Рассмотрим этап пассивного движения спутника после безопасного сближения с МКС и проведем еще два эксперимента. Начальным положением спутника в данном этапе является его конечное положение на этапе сближения, т.е. в начальный момент времени спутник-инспектор находится на границе безопасного приближения в точках 3, 4, 5, 6 (рисунок 3).

Пусть в первом эксперименте начальное положение спутника находится на оси Ox (положения 3, 4 на рисунке 3), а во втором – на оси Oy (положения 5, 6 на рисунке 3). Проведем исследование в течение первых 30 минут пассивного движения спутника.

 

Рисунок 7. Эксперимент №4: траектория движения спутника-инспектора в трехмерном пространстве

 

Рисунки 7 и 8, на которых спутник начинает движение из положения 3, показывают, что инспектор находится максимально близко с МКС в течение примерно 100 первых секунд своего пассивного движения, затем с течением времени он отдаляется без столкновений, не пересекая границу безопасного приближения. Таким образом, спутник-инспектор может наблюдать за МКС из положения 3 в течение некоторого ограниченного времени, за которое он должен собрать всю необходимую информацию или выполнить другую поставленную ему задачу.

Для начального положения 4 получается аналогичный результат (в статье он не иллюстрируется).

 

Рисунок 8. Эксперимент №4: изменение координат спутника-инспектора

 

Рисунок 9. Эксперимент №5: изменение координат спутника-инспектора

 

На рисунке 9, где спутник начинает движение из положения 5, видно, что координаты инспектора с течением времени не изменяются, поэтому он будет находиться максимально близко с МКС в течение всего времени пассивного движения. Т.е. спутник и МКС будут двигаться вместе, т.к. они находятся на одной орбите и движутся с одинаковыми первыми космическими скоростями. Аналогичный результат получим и для начального положения 6.

Заключение

Таким образом, приведенные в статье уравнения относительного движения позволили произвести оценку параметров сближения спутника-инспектора и КА, а также сделать вывод о безопасности подобных маневров.

На основе результатов трех экспериментов сближения можно сделать вывод, что, изменяя время, в течение которого спутнику-инспектору необходимо приблизиться к КА, его начальные условия могут оказаться как благоприятными для сближения, так и привести к столкновению.

Кроме того, результаты двух экспериментов для этапа пассивного движения после безопасного сближения показали, что наиболее удобными положениями спутника для длительного наблюдения за МКС являются точки 5 и 6, т.е. когда спутник и МКС находятся на одной орбите.

Результаты работы можно использовать при проектировании спутника-инспектора или КА, в задачу которых входит сближение (а возможно и стыковка) с другими космическими объектами, при расчете требуемого объема рабочего тела, при выборе двигателей и т.д.

About the authors

Alexey V. Alekseyev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: alekseev.av@ssau.ru

к.т.н., доцент кафедры теоретической механики 

Russian Federation, Samara

Vladislava V. Efremenkova

Samara National Research University

Email: vladaefr@mail.ru

Student of Theoretical Mechanics Department

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files