Numerical-Analytical Delay Model Based on Qs With Operational Shift of Distribution Principles

Full Text

Введение

В русскоязычной и англоязычной научной литературе авторами не обнаружено сведений о системах массового обслуживания (СМО), сформированных с помощью операционного сдвига законов распределений интервалов поступлений и времени обслуживания. Такие СМО с операционным сдвигом законов распределений в дальнейшем будем рассматривать как системы с запаздыванием по времени. Наиболее близко к этой тематике относятся работы [1; 2], в которых аппроксимация очередей к интернет ресурсам представлена как система с запаздыванием во времени.

Исследования по рассматриваемой тематике приведены во многих работах авторов, включая [3–6]. Используемый для этого метод наиболее полно с демонстрацией примеров описан в [7]. Данный метод используется во многих областях научных исследований, например [8; 9]. Кроме того, в работе использованы приемы и методы аппроксимации законов распределений [10–13]. Сравнительно новые результаты по СМО представлены в [14–17].

В работе [6] приведены полученные автором результаты по системе, сформированной функциями плотностей вида:

$a\left(t\right)=4{\lambda }^{2}t{e}^{-2\lambda t}$,

$b\left(t\right)=q{\mu }_1{e}^{-{\mu }_{1}t}+\left(1-q\right){\mu }_2{e}^{-{\mu }_{2}t}$.

Для нее получена следующая математическая модель задержки:

. (1)

Здесь ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ – инверсные значения корней -  ${\sigma }_1$, - ${\sigma }_2$ многочлена третьей степени ${\sigma }^3-c_2{\sigma }^2-c_1\sigma -c_0$ с коэффициентами   $c_2=4\lambda -{\mu }_1-{\mu }_2,$ $c_1=4\lambda ({\mu }_1+{\mu }_2-\lambda )-{\mu }_1{\mu }_2$, $c_0=4{\lambda }^{2}q({\mu }_1-{\mu }_2)+4\lambda {\mu }_1({\mu }_2-\lambda )]$ включающими параметры распределений a(t) – интервалов поступлений и b(t) – времени обслуживания.

Все параметры выражения (١) определяются методом моментов через числовые характеристики распределений a(t) и b(t):

${}_{\lambda }=\frac{1}{\lambda }$, $\overline{{\text{τ}}_{\lambda }^2}=\frac{3}{2{\lambda }^2}$, ${\overline{\tau }}_{\mu }=\frac{q}{{\mu }_1}+\frac{\left(1-q\right)}{{\mu }_2}$, $\overline{{\tau }_{\mu }^2}=\frac{2q}{{\mu }_1^2}+\frac{2\left(1-q\right)}{{\mu }_2^2}$ [6].

Здесь «–» стандартная операция усреднения для моментов.

Постановка и решение задачи

Теперь подвергнем распределения a(t) и b(t) операции сдвига вправо:

$a\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}4{\lambda }^2\left(t-t_0\right)e^{-2\lambda \left(t-t_0\right)},t>t_0,\\ \mathrm{0,}0\le t\le t_0,\end{array}\right.$, (2)

$b\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}q{\mu }_1{e}^{-{\mu }_1(t-t_0)}+\left(1-q\right){\mu }_2{e}^{-{\mu }_2(t-t_0)},t>t_0,\\ \mathrm{0,}0\le t\le t_0.\end{array}\right.$. (3)

В качестве новых законов распределений a(t) и b(t), формирующих СМО, будем рассматривать (2) и (3). Авторами ставится задача получения численно-аналитической модели задержки для системы, формируемой законами распределений (2) и (3).

Для решения поставленной задачи запишем изображения Лапласа для функций (2) и (3):

$A^{\text{*}}\left(s\right)={[2\lambda /(2\lambda +s\left)\right]}^2\cdot e^{-t_{0}s}$, $B^{*}\left(s\right)=[q\frac{{\mu }_1}{s+{\mu }_1}+\left(1-q\right)\frac{{\mu }_2}{s+{\mu }_2}]\cdot e^{-t_{0}s}$.

Разложение выражения $A*\left(-s\right)\cdot B*\left(s\right)-1=\alpha \left(s\right)/\beta \left(s\right)$ на дробно-рациональные функции α(s) и β(s) приведет к равенству вида:

$\begin{array}{l}\frac{\alpha \left(s\right)}{\beta \left(s\right)}={\left(\frac{2\lambda }{2\lambda -s}\right)}^2{e}^{t_{0}s}\times [q\frac{{\mu }_1}{s+{\mu }_1}+\left(1-q\right)\frac{{\mu }_2}{s+{\mu }_2}]e^{-t_{0}s}\\ -1=\frac{-s(s+{\sigma }_1)(s+{\sigma }_2)(s-{\sigma }_3)}{{(2\lambda -s)}^2(s+{\mu }_1)(s+{\mu }_2)}\end{array}$, (4)

т.к. полином четвертой степени в числителе выражения (4) можно представить в виде разложения $-\sigma ({\sigma }^3-c_2{\sigma }^2-c_1\sigma -c_0)$ с коэффициентами, которые приведены выше. Наша задача состоит в определении нулей и полюсов выражения (4). Здесь опущены не очень сложные математические выкладки.

Нужные нам нули полинома третьей степени ${\sigma }^3-c_2{\sigma }^2-c_1\sigma -c_0$ (два действительных отрицательных числа) обозначим -${\sigma }_1$, -${\sigma }_2$, а одно положительное число ${\sigma }_3$. Тогда дробно рациональные функции α(s) и β(s) из выражения (4) будут иметь вид:

$\alpha \left(s\right)=\frac{s\left(s+{\sigma }_1\right)\left(s+{\sigma }_2\right)}{\left(s+{\mu }_1\right)(s+{\mu }_2)}$,

$\beta \left(s\right)=-\frac{{\text{(2λ}-s)}^2}{(s-{\sigma }_3)}$.

Из выражения (4) для всех систем с операционным сдвигом следует одно общее свойство, выражающееся в том, что операционный сдвиг не влияет на спектральное решение, т.е. последнее остается инвариантным к операции сдвига законов распределений у СМО. Это вытекает из свойства запаздывания изображения Лапласа и из специфики выражения $A*\left(-s\right)\cdot B*\left(s\right)-1=\alpha \left(s\right)/\beta \left(s\right)$, где присутствуют противоположные знаки у перед комплексной частотой s. Теперь, после того, как найдены составляющие спектрального решения α(s) и β(s), а также определены их нули и полюса, мы можем утверждать, что они удовлетворяют всем требованиям спектрального решения [7].

Таким образом, для систем с операционным сдвигом законов распределений, можем использовать те же результаты, что и для обычных систем. При этом учитываем последствия применения операции сдвига, которые изменят и числовые характеристики, а также параметры этих распределений.

Спектральные решения для обычной системы и системы с операционным сдвигом будут совпадать, и, следовательно, численно-аналитическая модель задержки (1) справедлива и для системы с операционным сдвигом. При этом надо учесть тот факт, что числовые характеристиками сдвинутых распределений (2) и (3) и параметры этих распределений становятся функционально зависимыми от параметра сдвига.

Для применения в дальнейшем формулы (1) для расчета средней задержки, через изображения Лапласа запишем начальные моменты до второго порядка.

Для закона распределения (3):

${}_{\text{λ}}={\text{λ}}^{\text{-1}}+t_0$, $\overline{{\tau }_{\lambda }^2}=t_0^2+\frac{2t_0}{\lambda }+\frac{3}{2{\lambda }^2}$, $c_{\text{λ}}=\left[\sqrt{2}\left(1+\text{λ}{t}_0\right)\right]{ }^{-1}$. (5)

Для закона распределения (3)

${\overline{\tau }}_{\mu }=q{\mu }_1^{-1}+(1-q){\mu }_2^{-1}+t_0$

$\overline{{\tau }_{\mu }^2}=2[q{\mu }_1^{-2}+(1-q\left){\mu }_2^{-2}\right]+t_0^2+2t_0[q{\mu }_1^{-1}+(1-q\left){\mu }_2^{-1}\right]$,

$c_{\mu }^2=\frac{\left[\right(1-q^2){\mu }_1^2-2{\mu }_1{\mu }_{2}q(1-q)+q(2-q\left){\mu }_2^2\right]}{{[t_0{\mu }_1{\mu }_2+(1-q){\mu }_1+q{\mu }_2]}^2}$. (6)

Из уравнений моментов (5) и (6) определяем параметры распределений (2) и (3). Из них следует, что параметры $\mu \text{,\hspace{0.33em}}{c}_{\mu },t_0$ связаны ограничением $c_{\mu }\ge 1-t_0/{\overline{\tau }}_{\mu }$, $0<t_0<{\overline{\tau }}_{\mu }$. Таким образом, система E₂/H₂/1, сформированная операционным сдвигом распределений (2) и (3) применима при выполнении ограничений

$c_{\mu }\ge 1-t_0/{\overline{\tau }}_{\mu }$, $0<t_0<{\overline{\tau }}_{\mu }$. (7)

Функциональная зависимость коэффициентов вариаций интервалов поступлений и времени обслуживания cλ и cμ от параметра сдвига t0 явно прослеживается из выражений (5) и (6), и как будет видно из следующего раздела, полностью подтверждается при численном расчете.

Алгоритм применения выражения (1) для дальнейших расчетов относительно прост. Через заданные начальные моменты распределений из уравнений (5) и (6) последовательно определяем все параметры выражения (1) [6].

Численные эксперименты в Mathcad

На рисунке 1 представлен вариант расчета среднего времени ожидания для случая высокой нагрузки, равной 0,95 при коэффициенте вариации времени обслуживания, равном 2 и параметре сдвига 0,99. Из программы на Mathcad хорошо прослеживается алгоритм применения расчетной формулы (1). В таблице 1 представлены результаты серии численных расчетов в Mathcad.

 

Рисунок 1. Пример численного расчета в программе Mathcad

 

В таблице 1 приведены результаты численных расчетов в Mathcad для указанной системы с операционным сдвигом законов распределений (обозначена S₂) при значениях параметра сдвига t₀ от 0,001 до 0,99 для случаев умеренной и высокой нагрузки (ρ=0,6; 0,95) для сравнительно малого значения коэффициента вариации времени обслуживания значения  соответственно для обычной системы (обозначена S₁).

 

Таблица 1. Результаты серии численных расчетов в Mathcad

Входные параметры				Среднее время ожидания
ρ	cλ	cμ	t0	для системы S2	для системы S1
0,6	0,287	1,010	0,99	0,764	3,212
	0,495	1,500	0,5	1,702
	0,672	1,818	0,1	2,865
	0,703	1,990	0,01	3,176
	0,707	1,998	0,001	3,208
0,95	0,042	1,010	0,99	9,690	42,570
	0,371	1,500	0,5	22,471
	0,640	1,900	0,1	37,980
	0,700	1,990	0,01	42,098
	0,706	1,999	0,001	42,522

 

Заключение

Операционный сдвиг законов распределений уменьшает коэффициенты вариаций интервала между поступлениями и времени обслуживания требований и, как следствие, уменьшается средняя задержка. Результаты табл. 1 демонстрируют, как уменьшаются коэффициенты вариаций при изменении значений параметра сдвига.

Адекватность предложенной численно-аналитической модели задержки в системе с операционным сдвигом подтверждается несколькими факторами. Во-первых результаты расчетов таблицы 1 полностью подтверждают общую теорию систем G/G/1 в части функциональной зависимости задержки от коэффициентов вариаций. Во-вторых, поведение задержки в зависимости от величины параметра сдвига свидетельствует о сохранении свойства непрерывности для указанных СМО, обычных и с операционным сдвигом. Кроме того, результаты по системам с запаздыванием по времени согласуются с данными имитационного моделирования [18].

About the authors

Veniamin N. Tarasov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: v.tarasov@psuti.ru

Head of Software and Management in Technical Systems Department, Doctor of Technical Science, Professor

Russian Federation, Samara

Nadezhda F. Bakhareva

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: n.bahareva@psuti.ru

Head of Informatics and Computer Technics Department, Doctor of Technical Science, Professor

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files