Comparison of Hyperexponential And Group Poisson Traffic Models of Multiservice Communication Networks

Full Text

Введение

Одной из наиболее популярных моделей телекоммуникационного трафика, являются гиперэкспоненциальные потоки, для которых функция распределения вероятностей интервалов между соседними заявками имеет вид [1]:

$F\left(x\right)=1-\sum _{i=1}^k{p}_i{e}^{-{\lambda }_i\theta }$.

Промежутки времени между соседними заявками в гиперэкспоненциальном потоке описываются экспоненциальными распределениями, однако, параметр распределения для различных промежутков времени может быть разным, причем, с вероятностью $p_i$, $(i=\mathrm{1,....}k)$ параметр распределения потока равен ${\lambda }_i$, а $\sum _{i=1}^k{p}_i=1$.

Весь процесс образования потока может быть разбит на отдельные, чередующиеся фазы, причем, длительность каждой фазы будет равной одному промежутку времени между соседними заявками, а фазы чередуются случайным образом независимо друг от друга. Случайный промежуток времени между двумя любыми соседними заявками во всем потоке обозначен символом θ.

Рассмотрим систему массового обслуживания (СМО), в которой заявки поступают и обслуживаются по гиперэкспоненциальным законам второго порядка (система $H_2/H_2/1$).

Входной поток заявок задан распределением, вида:

$F\left(\theta \right)=1-a_1{e}^{-{\lambda }_1\theta }-a_2{e}^{-{\lambda }_2\theta }$,

а поток событий обслуживания задан распределением вида:

$\Phi \left(\tau \right)=1-b_1{e}^{-{\mu }_1\tau }-b_2{e}^{-{\mu }_2\tau }$,

где $\tau$ – интервал времени обслуживания одной заявки, ${\mu }_i$ интенсивность облуживания заявок на i-й фазе, $b_i^{}$ – вероятность i-й фазы обслуживания.

СМО с гиперпуассоновскими потоками хорошо изучены. Еще в середине прошлого века для подобных распределений было получено соотношение, непосредственно определяющее среднее время ожидания $T_{ож}$ в очередях одноканальной СМО [1].

$T_{ож}=\frac{({\mu }_1+{\xi }_1)({\mu }_2+{\xi }_1)}{(-{\xi }_1){\mu }_1{\mu }_2(1-\frac{{\xi }_1}{{\xi }_2})}+\frac{({\mu }_1+{\xi }_2)({\mu }_2+{\xi }_2)}{(-{\xi }_2){\mu }_1{\mu }_2(1-\frac{{\xi }_2}{{\xi }_1})}$,

где ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$ – корни уравнения

$(\frac{a_1{\lambda }_1}{{\lambda }_1-s}+\frac{a_2{\lambda }_2}{{\lambda }_2-s})(\frac{b_1{\mu }_1}{{\mu }_1+s}+\frac{b_2{\mu }_2}{{\mu }_2+s})=1$,

лежащие в левой полуплоскости $\mathrm{Re}\left(s\right)<0$.

Там же рассмотрены модели СМО с входными потоками и гиперэкспоненциальными распределениями интервалов обработки заявок, наряду с моделями с гиперэкспоненциальными входными потоками и эрланговскими распределениями интервалов обработки заявок.

Все рассмотренные выше модели предполагают отсутствие в потоках корреляционных связей и полную взаимную независимость поступающих заявок и временных интервалов их обработки. Подобные допущения ограничивают область применения гиперэкспоненциальных моделей при анализе реальных потоков мультисервисных сетей связи, заявки в которых носят пачечный характер и существенно коррелируют между собою.

Групповые гиперэкспоненциальные модели

Нами предлагается гиперэкспоненциальный групповой поток – это поток независимых событий, в котором интервалы между соседними событиями распределены по гиперэкспоненциальному закону, т.е. образуют отдельные фазы. Также, как это происходит в обычном гиперэкспоненциальном потоке, длительность каждой фазы равна одному промежутку времени между соседними событиями, а фазы чередуются случайным образом, независимо друг от друга. Однако, в отличие от обычного гиперэкспоненциального потока, в котором в качестве событий выступают отдельные заявки, здесь каждое событие заключается в одновременном появлении в момент $t_k$ «пачки» из ${\mu }_k$ независимых случайно распределенных чисел заявок. Для гиперэкспоненциального потока второго порядка имеем всего две фазы, последовательно и независимо следующие друг за другом с вероятностями p и (1-p).

$F\left(\theta \right)=1-p{e}^{-{\lambda }_1\theta }-(1-p)e^{-{\lambda }_2\theta }$.

Вероятности чисел заявок в «пачках» на каждой из фаз могут быть распределены по различным законам: $f_{1k}$ и $f_{2k}$.

Для демонстрации возможностей ординарного и группового гиперэкспоненциальных потоков, приведем далее результаты имитационного моделирования для средней очереди в СМО с постоянным значением времени обслуживания.

На рисунке 1 приведены зависимости средней очереди от загрузки прибора для ординарного гиперэкспоненциального потока с параметрами p = 0,5, λ₁ = 30, λ₂ = 6 и группового гиперэкспоненциального потока с параметрами p = 0,5, λ₁=3, λ₂=0.6, все пачки имеют постоянный размер 10.

Видно, что наклон кривой при малых загрузках близок к нулю для обоих потоков, что говорит о малой пригодности гиперэкспоненциальных и даже групповых гиперэкспоненциальных моделей потоков с малыми размерами пачек пакетов, для аппроксимации зависимостей очередей в СМО мультисервисных систем. При повышении интенсивности высокочастотной составляющей ординарного гиперэкспоненциального потока, он стремится к групповому пуассоновскому потоку с геометрическим распределением чисел заявок в «пачке».

 

Рисунок 1. Зависимости размеров средних очередей группового гиперэкспоненциального и обычного гиперэкспоненциального оттоков от коэффициента загрузки

 

Групповые пуассоновские модели потоков

Другой моделью обобщения пуассоновских потоков, сочетающей в себе простоту анализа, свойственную классическим пуассоновским моделям и возможность учета пачечного характера современного пакетного трафика являются групповые потоки Пуассона. [4; 6; 12].

Они обобщают пуассоновские потоки и являются альтернативой моделям, учитывающим фрактальные свойства потоков [2; 3; 8–11], которые, в виду весьма высокой сложности, нашли ограниченное применение на практике.

В таких потоках выполняются свойство стационарности и отсутствия последействия, но не выполняется свойство ординарности.

Групповой пуассоновский поток – это поток независимых событий с параметром $\lambda$. Интервалы между соседними событиями распределены по экспоненциальному закону. Каждое событие заключается в одновременном появлении в момент $t_k$ «пачки» из ${\mu }_k$ независимых случайно распределенных чисел заявок, с распределением $f_k$. Примем, что  – это интервал времени обработки одной заявки в некоторой СМО. Разделим достаточно большой промежуток времени Т, в течение которого действует поток указанных событий, на $N_{\tau }$ таких последовательных интервалов. Пусть $m_i\left(\tau \right)$ – число событий, произошедших в течение i-го интервала времени $\tau$. Тогда вероятности наступления на интервале $\tau$ ровно  событий подчиняются закону Пуассона:

$P\left|m_i\left(\tau \right)=n\right|=P_n\left(\lambda \tau \right)=\frac{{\left(\lambda \tau \right)}^n}{n!}{e}^{-\lambda \tau }$.

Нами получены соотношения, определяющие зависимости математического ожидания $\overline{m\left(\tau \right)}$ и дисперсии $D_m\left(\tau \right)$ чисел заявок, поступающих в течение интервалов  [6].

$\overline{m\left(\tau \right)}=\lambda \tau \overline{k}$,

$D_m\left(\tau \right)=\rho \overline{k}(1+{\nu }_k^2)=E\rho$, (1)

где $\overline{k}$ – среднее число заявок в «пачке» $\rho =\lambda \tau \overline{k}=\overline{m\left(\tau \right)}$ – общий коэффициент загрузки; ${\nu }_k^2=\frac{D_k}{{\left(\overline{k}\right)}^2}$ – квадрат коэффициента вариации чисел заявок в пачках. Дисперсия $D_m\left(\rho \right)$ линейно зависит от коэффициента загрузки  (рисунок 2), так же, как это бывает в обычном пуассоновском потоке, где $D_m\left(\rho \right)=\rho$.

 

Рисунок 2. Зависимости дисперсий групповых потоков от коэффициента загрузки

 

Средние значения очередей в системах массового обслуживания с групповыми пуассоновскими потоками.

С применением интервального метода анализа трафика, нами была получена зависимость средних размеров очередей для одноканальных СМО [5].

$\overline{q\left(\rho \right)}=\frac{D_m\left(\rho \right)+2{\mu }_{q_{i-1}{m}_i}\left(\rho \right)}{2(1-\rho )}-\frac{\rho }{2}$,

Здесь $D_m\left(\rho \right)$ – дисперсия $m_i\left(\rho \right)$, а ${\mu }_{q_{i-1}{m}_i}\left(\rho \right)$ – второй взаимный центральный момент последовательностей $q_{i-1}\left(\rho \right)$ и $m_i\left(\rho \right)$, называемый ковариационным моментом или ковариацией. Он определяется, как математическое ожидание произведений центрированных значений элементов $q_{i-1}\left(\tau \right)$ и $m_i\left(\tau \right)$.

Рассмотрим указанную формулу применительно к модели группового пуассоновского потока. Дисперсия $D_m\left(\rho \right)$ определяется соотношением (1), а ${\mu }_{q_{i-1}{m}_i}\left(\rho \right)=0$ ввиду независимости событий в рассматриваемом потоке. Следовательно, для рассматриваемых групповых пуассоновских потоков получаем простое соотношение

$\overline{q\left(\rho \right)}=\frac{\rho E}{2(1-\rho )}-\frac{\rho }{2}$.

Для обычного пуассоновского потока $E=1$, получаем известную формулу Хинчина-Поллачека для СМО с постоянным значением времени обслуживания.

Наклон кривой, реализуемой зависимостью (1) на начальном участке, при весьма малых значениях коэффициента загрузки определяется производной ${\overline{q\left(0\right)}}^{/}=E-1$.

На рисунке 3 представлены полученные в результате имитационного моделирования зависимости размеров средних очередей для обычного пуассоновского (нижняя кривая) потоков и группового пуассоновского (верхняя кривая).

 

Рисунок 3. Зависимости размеров средних очередей группового пуассоновского и обычного пуассоновского потоков от коэффициента загрузки $\mathit{\rho }$

 

В верхнем углу рисунка 3 показано значение размера очереди для группового потока, при коэффициенте загрузки $\rho =\mathrm{0,5}$, полученное непосредственно с графика $\overline{q\left(\rho \right)}=\mathrm{5,186}$. Теоретическое значение, определенное по формуле (5), $\overline{q\left(\rho \right)}=\mathrm{5,25}$. Незначительная разница объясняется погрешностью процесса имитационного моделирования. Как и следовало ожидать, наклон кривой для пуассоновского потока при малых значениях коэффициента загрузки практически равен нулю. Это свойство является основной причиной препятствующей хорошей аппроксимации зависимостей очередей в СМО мультисервисных сетей с помощью пуассоновских и гиперэкспоненциальных моделей трафика.

На рисунке 4 представлены результаты приближения очереди реального видеотрафика с помощью группового пуассоновского и гиперэкспоненциального потоков для малых значений загрузки канала. Сверху вниз: групповой пуассоновский поток-2, реальный трафик-1, групповой гиперэкспоненциальный поток-3, ординарный гиперэкспоненциальный поток-4, который имеет следующие параметры: отношение интенсивности высокочастотной фазы к интенсивности низкочастотной фазы – равно 20, вероятность высокочастотной фазы Р – равна 0,95.

 

Рисунок 4. Зависимости размеров средних очередей реального трафика и приближений

 

Из графиков следует, что ординарный гиперпуассоновский поток совершенно не пригоден в качестве модели видеотрафика, поскольку даже при самом широком изменении параметров, средние размеры его очередей при малых загрузках изменяются весьма незначительно.

Заключение

Таким образом, в работе продемонстрировано, что ординарные потоки, как пуассоновские, так и гиперэкспоненциальные, малопригодны для аппроксимации очередей, образуемых реальным видеотрафиком современных мультисервисных сетей. Для хорошей аппроксимации можно использовать групповые потоки обоих типов. Однако, групповые пуассоновские потоки позволяют получить весьма простые аналитические зависимости средних значений очередей от коэффициента загрузки систем массового обслуживания и поэтому являются наиболее предпочтительными.

About the authors

Boris Ya. Likhttsinder

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: lixt@psuti.ru

Doctor of Technical Science, Professor of Networks and Communication Systems Department

Russian Federation, Samara

Alexander Yu. Privalov

Samara National Research University

Email: privalov1967@gmail.com

Professor of the Chair of Applied Mathematics and Physics, Doctor of Technical Science

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files