АНАЛИЗ КОРРЕЛИРОВАННОЙ ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ G/G/1
- Авторы: Буранова М.А1, Резяпкина М.И1
-
Учреждения:
- Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
- Выпуск: Том 18, № 4 (2020)
- Страницы: 417-427
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2073-3909/article/view/112173
- DOI: https://doi.org/10.18469/ikt.2020.18.4.05
- ID: 112173
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В статье рассматриваются коррелированные очереди, в которых время обслуживания пакета сильно коррелировано с временем между поступлениями пакетов из-за конечной пропускной способности входных и выходных каналов. Рассмотрены подходы к оценке параметров функционирования сетей с коррелированными очередями. Представлен аналитический метод для получения оценки времени ожидания пакета в сети на основе подхода с использованием копул. Исследованы корреляционные свойства реального видеотрафика, определены законы распределений для интервалов времени между пакетами и времен обработки пакетов, наиболее точную аппроксимацию дало распределение Вейбулла. Определено, что интервалы времени между пакетами и времена обработки пакетов имеют значительную взаимную корреляцию. Получены оценки для среднего времени ожидания пакета в сети и для вариации задержки пакета при передаче в сети G/G/1.
Полный текст
Введение При проектировании инфокоммуникацион- ных сетей одной из актуальных задач является точное прогнозирование параметров их функцио- нирования, таких как оценка параметров качества обслуживания QoS (Quality of Service): задержка, изменение задержки передачи пакетов (джиттер), вероятность потерь пакетов. При решении дан- ных задач возникают проблемы, обусловленные особенностями обрабатываемых в инфокомму- никационных сетях потоков, отличие потоков от пуассоновского, наличие свойств самоподобия, корреляционные связи внутри последователь- ностей обслуживаемых пакетов. Большинство работ по анализу инфокоммуникационных сетей и оценке параметров их функционирования ос- нованы на предположении о независимости по- токов [1-4], в то время как многочисленные ис- следования доказывают обратное [5-8]. Для моделирования систем обработки потоков в инфокоммуникационных сетях традиционно используют системы массового обслуживания, для аналитического описания которых необходи- мо определить последовательности интервалов времени между пакетами и времен обработки пакетов. Следует отметить, что современные ин- фокоммуникационные сети лучше описываются моделью очереди G/G/1. Имеются подтвержде- ния о наличии зависимостей внутри данных по- следовательностей [3; 9; 10] и между ними [5-8]. Следует обратить внимание, что предположения о независимости могут привести к неоправданно оптимистичным прогнозам оценки параметров работы сетей. Анализ данных проблем можно найти в [6; 7] и ссылках на них. В [6] авторы рассмотрели систему с пуассоновскими поступлениями, в ко- Есть и другие работы [1; 8], основанные на моделях с учетом корреляций. Однако, как пока- зано в [6], данные модели слабо учитывают осо- бенности процессов прибытия и обслуживания и, следовательно, приводят к неточности в прогно- зировании производительности системы. И их нельзя использовать для получения фактического времени ожидания. Одна из самых ранних работ по системати- ческому исследованию вопроса о корреляции между временем обслуживания пакетов и време- нем между пакетами - это работа [1], в которой Л. Клейнрок изучал влияние коррелированных длин сообщений и времен между прибытиями в контексте модели сети очередей для сетей связи. Там же он показал сложность этой проблемы. В [5] были показаны некоторые подходы к ана- лизу функционирования сетей при наличии кор- реляций внутри последовательностей интерва- лов времени между пакетами и времен обработки пакетов, при этом корреляции между данными последовательностями учитываются только для оценки задержки, а для оценки такого важного параметра качества обслуживания в инфокомму- никационных сетях, как изменение задержки при передаче пакетов (джиттер, вариация задержки), не показан. Более общие корреляции были рассмотрены в [11] с использованием двумерного экспонен- циального распределения для характеристики корреляции между временем прибытия и обслу- живанием. Впоследствии эта работа была расши- рена в нескольких статьях. В [12] было показано, что плотность задержки имеет гиперэкспонен- циальное распределение, а в [13] изучалась чув- ствительность этого распределения к величине коэффициента корреляции. Период занятости исторой время обслуживания Bn n-го пакета проследовался в [14], а система с бесконечным чиспорционально времени An между прибытиями лом серверов рассматривалась в [15]. (n - 1)-го и n-го пакетов, то есть Bn An , где Аналогично подходу в [5] рассмотрим канал - положительная постоянная. Было получено преобразование Лапласа распределения времени пребывания в системе, которое состоит из време- ни ожидания в очереди плюс время обработки па- кета путем решения линейного функционального уравнения [7], полученного из уравнения эволю- ции системного времени. Однако они рассматри- вают только случай 1 из-за технических труд- ностей, связанных с решением функционального уравнения. связи с конечной пропускной способностью, соединяющий два узла - узел 1 и узел 2 (см. ри- сунок 1). Пакеты передаются от узла 1 к узлу 2. В такой системе время между прибытиями со- ставляет два последовательных пакета в узле 2 - это сумма времени передачи (время обслужива- ния в узле 1) первого пакета и времени между двумя пакетами. Здесь время между появлением пакетов опре- деляется периодом времени между периодом Рисунок 1. Корреляционная модель очереди окончания передачи первого пакета и периодом начала передачи второго пакета (см. рисунок 1). Поскольку канал, соединяющий два узла, имеет конечную пропускную способность, скажем τ, канал не может отправлять количество пакетов от узла 1 к узлу 2 превышает τ T, и, следовательно, для больших пакетов требуется более длительное время передачи в обоих узлах. Следовательно, время между прибытиями в узле 2 сильно кор- релирует со временем обслуживания в узле 2. Определение задержки и изменения задержки при передаче пакетов по сети на основе данной модели представляется достаточно перспектив- ным. Модель коррелированной очереди Анализируемая модель представляет собой систему очередей в узле 2, в которой хранятся пакеты, поступающие по входному каналу с ко- нечной пропускной способностью к выходному каналу, имеющему одинаковую со входным каобслуживания которого является таким же, как и ON-период, который следует за ним. Кроме того, можно допустить длительность периода OFF равной нулю, так как в случае, если у узла 1 имеются пакеты для передачи или имеется пач- ка пакетов, он может непрерывно передавать их узлу 2. При анализе данной модели воспользуемся подходом, показанным в [5] для аналогичного случая, где введено предположение, что количе- ство последовательных периодов ON между дву- мя периодами OFF положительной длительности имеет некоторое произвольное распределение, а периоды OFF положительной длины распре- делены экспоненциально. Каждый период ON аппроксимируется гиперэкспоненциальным рас- пределением. Данная модель разработана для оценки сред- ней задержки пакетов в сети. Изменение задерж- ки может быть определено как вариация задержки пакета [10]. Вариация задержки пакета в потоке налом пропускную способность. Процесс поступления пакетов в очередь моделируется чередую- X D X , где D X - дисперсия задержщимся процессом, имеющим два типа периодов: ки пакетов. Если ввести обозначение fT x - ON-периоды передачи (наличия пакетов) и OFF- периоды между передачей пакетов. С точки зрения теории очередей можно пред- ставить последовательности ON-периода как последовательность времен обработки пакетов, плотность вероятностей случайной величины T (время ожидания пакета в сети) и с учетом, что задержка пакета определяется случайной вели- чиной T, дисперсию задержки можно определить согласно выражению последовательности OFF-периодов как последовательностей интервалов времени между па- D X 2 x - M x fT 0 x dx (1) кетами. Периоды OFF фиксируют время между T x2 f x dx - x fT 2 x dx . появлением последовательных пакетов в узле 1, а периоды ON фиксируют время передачи паке- тов в узле 1, так что время между поступлениями двух последовательных пакетов в очереди состо- ит из периода OFF и ON. Поскольку очередь в узле 2 может передавать пакет через свой выходной канал только после того, как получит последний бит пакета, при анализе можно предположить, что в конце каж- дого периода ON есть прибывший пакет, время 0 0 Чтобы исследовать влияние корреляций на производительность системы, необходимо рас- смотреть и проанализировать аналогичную оче- редь GI/G/1. Рассмотрим коррелированную очередь узла в сети, где процесс ввода в очередь управляется че- редующимися процессами ON и OFF, а пропуск- ная способность входного и выходного каналов одинакова. Как упоминалось в разделе 1, периоды ON фиксируют время между появлением па- кетов, а периоды OFF фиксируют время передачи ет экспоненциальному распределению с параме- тром i . пакетов на предыдущем узле в сети. Поскольку Пусть n s - преобразование Лапласа Wn предполагается, что система очередей может обслуживать пакет только после того, как получит весь пакет, очевидно, что всегда будет новый падля R(s) ≥ 0. Тогда, приняв, что Sn1 i, получим n1 s кет в конце каждого периода ON. Так как пропускная способность входного M -1 i 0 i PWn 0 E[e( - s[ I( n1) - J( n1) ] ) S ( n1) i канала и выходного канала одинакова, время об- служивания пакетов равно периодам ON, за кото- рыми они следуют. В конце каждого периода ON M -1 i i 0 0 dWn () (3) начинается либо период OFF, либо другой период { e( -i x ) E e( - s (- J( n1) ) dx ON, так как допускаются периоды ON с нулевой длиной. Следует обратить внимание, что после- довательные периоды ON захватывают последо- вательные передачи пакетов в предыдущем узле сети. Важно, что после каждого периода OFF всегда начинается новый период ON. i x 0 e( -i x ) E[e( - s ( x - J( n1) ) ) ]dx}. i x Наблюдая за тем, что каждый следующий пе- риод ON наступает после периода ON n 1 с ве- При анализе предполагается, что периоды ON роятностью p (в этом случае мы имеем J n1 0) генерируются в соответствии с гиперэкспонени что период OFF наступает после периода ON циальным распределением, имеющим M экспоn 1 с вероятностью q 1 - n (в этом случае длиненциальных составляющих, то есть функция на J n1 соответствует экспоненциальному распреплотности f(x) периодов ON определяется выражением делению с параметром ), получаем, что l -1 M -1 k -1 M -1 f x e-i x , M -1 1, 0. s i a k s ij c, (4) i i i i l 0 k 0 ik 0 j 0 i 0 i 0 где ñ - константа (с учетом, что все задействован- В конце каждого периода ON либо период ные параметры заданы), определяемая по формуле OFF начинается с вероятностью q 1 - p, либо M -1 другой период ON начинается с вероятностью p. Тогда общее число периодов ON между двумя ñ - i i 0 i i ; последовательными периодами OFF, длина кото- рых больше, чем ноль, имеет распределение, отai s - ps . i i q личное от экспоненциального. Предполагается, что периоды OFF положительной длины генери- руются в соответствии с экспоненциальным рас- пределением с параметром β. Предполагая, что используется k экспонент в гиперэкспоненциальном распределении, - па- раметр распределения, получим Пусть In и Jn n 1 обозначают длительl -1 M -1 a s k -1 c. ность n-го периодов ON и OFF соответственно. ik k 0 i 0 ij j 0 k Пусть начальные периоды ON - вложенные точки и пусть Wn обозначает незавершенную работу системы, определяемую количеством работы в В итоге из (4) следует окончательное выраже- ние для s системе в n-й вложенной точке n 0. Время 0 - l -1 M -1 a s k -1 l k 0 j i i j i это нулевая вложенная точка, и мы предполага- s . 0 0 k 0 k (5) ем, что первый период ON начинается в момент k 0i 0a k s j 0 i j l -1 M -1 i k k -1 времени 0. Тогда Wn уравнению: удовлетворяет следующему Среднее время ожидания пакета в очереди можно определить как первую производную W0 0, Wn1 (2) s при условии s 0 Wn - In1 In1 - Jn1 , n 0, l -1 l -1 M -1 n-1 M -1 i pi ain k k ij k где A max A, 0. Пусть Sn1 обозначает тип l 1 k 0 k 0, in 0 n k j 0 ik 0 qij экспоненциального распределения, которое при- E W j 0 .(6) l -1 M -1 k -1 нимает In1. Тогда Sn1 i с вероятностью i , aik j ij 0 i M -1, и, следовательно, In1 соответству- 0 l 0 k 0 ik 0 Учитывая, что общую сетевую задержку в со- S - T , åñëè R T , ответствии с моделью коррелированной очереди J i 1 i i 1 i рисунок 1 и согласно выражению (2) можно заi 1 Si 1 - Ri 1 . писать как Z W - I I , Определим функции плотности вероятно- стей рассматриваемых случайных величин: где I - это общая случайная величина для In , fR y - функция плотности вероятности для можно получить преобразование Лапласа для Z, времени между поступлениями; fS z - функаналогично подходу для s в виде ция плотности вероятности для времени обслуживания; fT x функция плотности вероятно- s E e- s (Wn - I ) I сти для времени ожидания в сети. Законы распределения случайных величин S - s - ps s sq c, - ps и R можно определить, анализируя реализацию случайного процесса, определяя законы рас- E Z E W q 1 - c , (7) пределения для времени обслуживания и для времени между поступлениями. Распределение случайной величины Т - непростая задача, а для где q - вероятность, с которой в конце каждого периода ON начинается период OFF. Данный подход показывает возможные пути случая зависимых случайных величин требует особого подхода. Заметим, что определения параметров качества обслуживания T S R. (8) в системе с наличием корреляции. При этом оче- видно, что выражения (7) и (8) довольно слож- Тогда плотность распределения случайной величины T [17] ны при использовании для численной оценки задержки в очереди и в системе в целом. Кроме того, данный подход не позволяет определить та- кой важный параметр, как изменение задержки, Или fT x fS , R y, x - y dy. 0 (9) который очень важен при оценке качества функционирования современных инфокоммуникациfT x fS , R x - z, z dz. 0 (10) онных сетей. Поэтому рассмотрим более оптимальный подход (с точки зрения удобства применения), основанный на показанном в [16] определении двумерных плотностей вероятностей с исполь- зованием копул. Как было показано выше, при определении времени ожидания пакета в сети и вариации задержки в сети фактически задача Определить двумерную плотность вероятно- стей можно с использованием копул на основе результатов теоремы Склара [18], методика при- менения такого подхода представлена в [16]. Согласно показанному в [17; 19] получим fS , R y, z c FR y , FS z fR y fS z , (11) где сводится к определению плотности вероятностей fT x . c u, v 2C u, v uv В [2-4] показано, что если учесть предпо- - плотность (производная) копулы, для нашего ложение Линдли [1], заключающееся в том, что случая u FR y , v FS z функции распре- i 1 -й пакет не будет ждать в очереди при выполнении условия, что интервал времени между приходом i 1 -го и i-го пакета больше, чем вре- мя задержки i -го пакета в узле сети, и если приделения случайных величин. Из работ, посвященных теории копул, следу- ет, что для различных классов (типов распреде- лений) следует использовать различные копулы. нять, что Ti - время задержки i-го пакета в узле Анализ имеющихся подходов [16] показал, что сети, которое определяется в виде Ti Si Ri , наиболее удобной для использования в нашем где Ri время между поступлениями пакетов и случае является копула Фарли - Гумбеля - Мор- Si - время обслуживания пакета, то время ожи- дания пакета в очереди равняется W 0, åñëè Ri 1 Ti , генштерна (Farlie-Gumbel-Morgenstern copula), имея достаточно простую функциональную фор- му, она позволяет моделировать умеренные зави- симости. i 1 W S - R . i i i 1 Джиттер при этом определяется как Копулу Фарли - Гумбеля - Моргенштерна [17-21] можно представить в виде: Рисунок 2. Гистограмма измерений интервалов времени между поступлениями пакетов. Распределение Weibull, параметры: a = 0,005; b = 1 Рисунок 3. Гистограмма измерений длин пакетов. Распределение Weibull (3P), C u, v uv 1 1 - u p 1 - v p , (12) параметры: a = 94; b = 1; c = -4 пакетами и длины пакетов (времена обработки где - параметр копулы R, циент корреляции, R - коэффипакетов). Для аналитической оценки проанализируем Учтем, что параметр должен удовлетворять следующим условиям: статистические характеристики собранного тра- фика. Статистический критерий согласия Кол- -max 1, p2 2 1 , p могорова - Смирнова - это один из наиболее распространенных и удобных инструментов для где p - целое число p 2,3. Параметр определяется согласно выражению 2 u, v 3 p , s p 2 где s u, v - коэффициент корреляции Спирмена. проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения некоторой выборки случайных величин. Для данного исследования необходимо определить законы распределения случайных величин: интервалов времени между пакетами и длин пакетов (времен обработки пакетов). С помощью Easyfit Professional проанализиру- При p 2 из (11) получим fS , R y, z 1 1 - 2u 1 - 2v fR y fS z . (13) ем классы распределений процессов поступления интервалов времени между пакетами и длитель- ности пакетов. При аппроксимации снятых пара- метров трафика в программе Easyfit Professional При известном значении fT x достаточно получаем законы распределения на рисунках 2 и 3. просто определить среднее время обработки (задержку) пакетов в сети и вариацию задержки па- кетов в сети. Анализ статистических характеристик видеотрафика В качестве анализируемого трафика можно использовать видеотрафик, зарегистрированный Следовательно, интервалы времени между па- кетами подчиняются закону Вейбулла с параме- трами a = 0,005; b = 1 (см. рисунок 2), а длины па- кетов - Вейбулла (Weibull, 3P) с параметрами a = = 94; b = 1; c = -4 (см. рисунок 3). Функция распределения и плотность распре- деления Вейбулла имеет вид b x на уровне пользователя, как один из наиболее F x 1 - exp - , (14) характерных для обработки в современных ин- фокоммуникационных сетях. Для регистрации b-1 a b потока наиболее подходящим является анализаf x b x x exp - . (15) тор пакетов Wireshark. Все пакеты собираются в a a a режиме реального времени и предоставляются в удобном для чтения формате. Программа поддер- живает очень мощную систему фильтрации. Файл трассировки Wireshark (trace file) содер- Аналогично для трехпараметрического рас- пределения Вейбулла (Weibull) функция распре- деления и плотность распределения имеют вид b жит необходимые для анализа работы сети харак- x - c F x 1 - exp - , (16) теристики трафика: интервалы времени между a Рисунок 4. График зависимости коэффициентов взаимной корреляции временных интервалов времен обработки пакетов и времен между поступлениями пакетов (ON- и OFF-периодов) b x - c b-1 b x - c работки пакетов и интервалами времен между f x exp - , (17) поступлениями пакетов. Это позволяет сделать a a a предположение о зависимости данных случайгде a - параметр масштаба, характеризующий степень растянутости кривой распределения вдоль оси x и связанный со средним значением случайной величины; b - параметр формы; ñ - параметр сдвига, являющийся минимальным воз- можным значением случайной величины x. Анализ законов распределений для интерва- лов времени между пакетами и времен обработки пакетов показал принадлежность к классу расных величин. Из чего следует обоснованность применения методики оценки задержки в систе- ме с коррелированной очередью. Но для оцен- ки параметра из выражения (12) необходимо определить коэффициент корреляции Спирмена. Метод ранговой корреляции Спирмена позво- ляет определить силу и направление корреляци- онной связи между двумя признаками или двумя профилями признаков как пределений с тяжелыми хвостами, это позволя- ет сделать вывод о том, что для моделирования s 1 - 6 di , n n2 -1 (20) системы обработки данного потока наиболее точгде для случайных величин и d - , ной является модель G/G/1. При определении параметров функциониро- вания необходимо учитывать наличие зависимо- стей между временными интервалами, между па- кетами и временами обработки пакетов. Анализ взаимной корреляции интервалов вре- мени между пакетами и времен обработки паке- тов определяется согласно выражению для оцен- ки корреляции двух случайных величин и по формуле: R , E - E E i i i n - объем выборки. Для рассматриваемого пото- ка коэффициент корреляции Спирмена s 0, 46. Определение совместной плотности распределений интервалов времени между пакетами и длин пакетов видеотрафика Зная законы распределения случайных вели- чин R и S, учитывая (11) и (13), можно определить совместную плотность распределения данных случайных величин с учетом, что они являются зависимыми E - E E - E (19) f y, z 1 1 - 2u 1 - 2v , S , R fR y fS z . (21) где E , E математическое ожидание Основываясь на том, что fR y функция случайной величины и соответственно; плотности вероятности для времени между по- , - среднеквадратическое отклонение слуступлениями, fS z - функция плотности вечайных величин и . Из анализа графика зависимости коэффици- ентов взаимной корреляции (рисунок 4) можно сделать вывод о наличии достаточно сильной корреляции между интервалами временем оброятности для времени обслуживания, а R и S - случайные величины, для которых необхо- димо определить совместную плотность распре- деления, в (21) будем использовать функцию рас- пределения (14), (16) вместо u и v и плотности распределения (15) и (17) вместо fR y и fS z a a3 c из выражения (13). Тогда можем получить следу- ющее выражение: 2 3 -1 1 2 a2 - a1 a exp - 2 2 b 1 1 2 1 a1a2 2a c exp 1 1 1 - 2 1 - exp - y a a a - 2a 2a aa a1 2 1 2 1 2 1 1 2 a a ac fS , R y, z b 2 1 1 2 exp 1 . x - y - c 2 2a - a a aa 1 - 21 - exp - 2 1 1 1 2 a2 Вариацию задержки можно определить со- гласно (1) как b -1 1 b 1 b y 1 y exp - X D X a1 a1 a1 2 b x - y - c b2 -1 b x - y - c 2 T x2 f x dx - x fT x dx . 2 exp - . 0 0 a2 a2 a2 Введем вспомогательную величину А соглас- Задача, которую необходимо решить в рамках данного исследования, - определение суммы но следующим обозначениям: двух случайных величин: интервалов времени между пакетами и времен обработки пакетов, со- гласно (9)-(10) при условии b1 b2 1: T A x2 f 0 2a a4 x dx c 3 -1 a 1 2 a 2 exp - a fT x fS , R y, x - y dy 0 2 1 2 3 1 4 1 a1a2 2a c exp 1 y 1 1 - 2 1 - exp - a2 - a1 a2 - 2a1 2a1 a1a2 0 a1 3 1 a a ac 1 2 1 x - y - c 4 2a - a a exp aa . 1 - 21 - exp - 2 1 1 1 2 a2 Тогда вариация задержки примет окончатель- 2 1 y ный вид: X A - E T . exp - a1 a1 Численные результаты 1 x - y - c Учитывая полученные в результате статисти- a exp - dy a ческого анализа законы распределения интер- 2 3 -1 a1a2 2 exp - x - c валов времени между пакетами и длин пакетов, принимая во внимание параметры данных рас- a - a 2 a пределений, получим: 2 1 2 - для интервалов времени между пакетами 1 1 2a1 x - c a = 0,005; b = 1; 2 exp - a2 - a1 a2 - 2a1 a1a2 - для длин пакетов: a = 94; b = 1; c = -4. При ñ s 0, 46 получим следующие выраже- 2 1 exp - a1 x - c . ния для оценки времени ожидания пакетов в сети 2a2 - a1 a1a2 E T 104 мс; Для вариации задержки получим Полученное выражение для fT x позволяет X 84 мс. оценить как среднее время ожидания пакета в сети или среднюю задержку пакета в сети, так и вариацию задержки пакета в сети. Среднее значе- ние задержки представляет собой E T xfT x dx 0 Выводы В работе проанализированы методики оцен- ки параметров качества обслуживания пакетов в сети при наличии корреляций в очереди между интервалами времени между пакетами и длинами пакетов. Определено, что при наличии корреляции достаточно эффективным является подход, основанный на использовании копул. При анализе корреляционных свойств ин- тервалов времени между пакетами и длин паке- тов, характеризующих обрабатываемый трафик, определено наличие сильных корреляций. Полу- чены оценки средней задержки в сети и вариации задержки в сети при наличии корреляций между интервалами времени между пакетами и длинами пакетов.×
Об авторах
М. А Буранова
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Email: buranova-ma@psuti.ru
Самара, РФ
М. И Резяпкина
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Email: rez8pkina@mail.ru
Самара, РФ
Список литературы
- Kleinrock L. Queueing Systems: Volume I - Theory. New York: Wiley, 1975. 432 p
- Dbira H., Girard A., Sanso B. Calculation of packet jitter for non-poisson traffic // Annals of Telecommunications. 2016. Vol. 71, no. 5-6. P. 223-237
- Kartashevskii V.G., Buranova M.A. Analysis of packet jitter in multiservice network // 5th International Scientific-Practical Conference Problems of Infocommunications Science and Technology, PIC S and T 2018 - Conference Proceedings. 2018. P. 797-802. DOI: https://doi.org/10.1109/INFOCOMMST.2018.8632085
- Карташевский В.Г., Буранова М.А. Моделирование джиттера пакетов при передаче по мультисервисной сети // Информационные технологии и телекоммуникации. 2019. Т. 17, № 1. С. 34-40
- Hwang G.U., Sohraby K. Performance of correlated queues: the impact of correlated service and inter-arrival times // Performance Evaluation. 2004. Vol. 55, no. 1-2. P. 129- 145. DOI: https://doi.org/10.1016/S0166-5316(03)00102-0
- Analysisofacorrelatedqueueinacommunication system / I. Cidon [et al.] // IEEE Trans. Inform. Theory. 1993. No. 39 (2). P. 456-465
- On queues with interarrival times proportional to service times / I. Cidon [et al.] // INFOCOM’93. 1993. P. 308-313
- Elwalid A.I., Mitra D., Stern T.E. Statistical multiplexing of Markov modulated sources: theory and computational algorithms // 13th International Teletraffic Congress, Copenhagen. 1991. P. 495-500
- Шелухин О.И., Осин А.В., Смольский С.М. Самоподобие и фракталы // Телекоммуникационные приложения. М.: Физматлит, 2008. 368 с
- Kartashevskiy I., Buranova M. Calculation of Packet Jitter for Correlated Traffic // Lecture Notes in Computer Science. 2019. Vol. 11660. P. 610-620. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-30859-9_53
- Conolly B.W., Choo Q.H. The waiting time process for a generalized correlated queue with exponential demand and service // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1979. No. 37 (2). P. 263-275
- Hadidi N. Queues with partial correlation // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1981. No. 40 (3). P. 467-475
- Hadidi N. Further results on queues with partial correlation // Operations Research. 1985. № 33. P. 203-209
- Langaris C. Busy-period analysis of a correlated queue with exponential demand and service // Journal of Applied Probability. 1987. № 24. P. 476-485
- Langaris C. A correlated queue with innitely many servers // Journal of Applied Probability. 1986. № 23. P. 155-165
- Карташевский И.В. Использование копул в статистическом анализе телекоммуникационного трафика // Инфокоммуникационные технологии. 2016. Т. 14, № 4. С. 405-412
- Фантаццини Д. Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций // Прикладная эконометрика. 2011. № 3 (23). С. 98-132
- Farlie D.G.J. The performance of some correlation coefficients for a general bivariate distribution // Biometrika. 1960. No. 47. P. 307-323
- Gumbel E.J. Bivariate exponential distributions // Journal of the American Statistical Association. 1960. No. 55. P. 698-707
- Morgenstern D. Einfache Beispiele zweidimensionaler Verteilungen // Mitteilungsblatt für Mathematische Statistik. 1956. No. 8. P. 234-235
- Пеникас Г.И. Модели «копула» в приложении к задачам финансов // Журнал новой экономической ассоциации. 2010. № 7 (7). С. 24-44