BLIND IDENTIFICATION ALGORITHM MIMO-CHANNEL WITH CYCLIC SHIFT INFORMATION

Abstract

In the article the blind identification algorithm multidimensional matrix channel are discussed. This algorithm based on the modified system MIMO, where information sequences are repeated cyclic.

Full Text

Введение В настоящее время интенсивно развиваются системы беспроводной связи (мобильный Internet, компьютерные радиосети внутри зданий и т.п.). Сильные замирания сигнала в канале затрудняют оценку переданных сообщений и приводят к искажениям передаваемой информации. Для устране ния замираний в современных беспроводных технологиях широко применяется система MIMO, то есть система, где информация передается одновременно несколькими разнесенными передатчиками и принимается на несколько независимых приемников. Система MIMO применяется в беспроводных локальных сетях стандарта IEEE 802.11n, а также в беспроводных сетях мобильной связи WiMAX. В настоящее время значения элементов матрицы импульсных характеристик MIMO-канала на приемной стороне определяются по тестовым импульсам. Однако при внесении в систему MIMO циклического сдвига передаваемой последовательности по передающим позициям в течение некоторого фиксированного интервала времени мы будем иметь избыточность, достаточную для слепого оценивания матрицы импульсной характеристики мат «Инфокоммуникационные технологии» Том 10, № 4, 2012 3. Пашинцев В.П., Малофей А.О., Жук А.П. и др. Развитие теории синтеза и методов формирования ансамблей дискретных сигналов для перспективных систем радиосвязи различных диапазонов радиоволн. М.: Физматлит, 2010. - 196 с. 4. Ипатов В.П., Орлов В.К., Самойлов И.М., Смирнов В.Н. Системы мобильной связи. М.: Горячая линия - Телеком, 2003. - 288c. Березовский А.А., Горячкин О.В., Харитонова А.А. 15 ричного канала. Кроме того, в такой системе кратно увеличивается помехоустойчивость за счет разнесения каналов на приеме и передаче. Рассмотрим MIMO-систему с N передающими и M приемными антеннами (антенными элементами). Тогда свойства MIMO-канала, соединяющего m-ый передающий элемент с n-ым приемным элементом, описываются комплексными импульсными характеристиками hnm(t). Данные коэффициенты образуют матрицу импульсных характеристик Н(^) размера NxM. Их значения случайно изменяются со временем из-за наличия многолучевого распространения сигнала. В общем случае сигнал на приемной стороне записывается следующим образом: X(f) = H(f)*S(f)+N(f), (і) где S(/) - матрица передаваемых сигналов; N(?) -матрица собственных шумов приемных элементов антенны; х(*) - матрица принятого сообщения. Значения элементов матрицы Н(ґ) являются основной характеристикой канала системы MIMO, а значения элементов матрицы изменяются при изменении местоположения или только приемных устройств, или только передающих, или приемных и передающих устройств одновременно. В рассматриваемой задаче канал MIMO стационарен на интервале времени передачи информационной последовательности по всем N каналам. Рис. 1. Схема работы системы MIMO с циклическим сдвигом передаваемой последовательности Для определения коэффициентов матрицы импульсных характеристик предлагается использовать метод слепой идентификации, использующий идею, описанную в [1]. В [2] был предложен алгоритм слепой идентификации одномерного векторного канала, основанный на методе взаимных отношений, имеющий эффективную вычислительную структуру, основанную на аналитическом решении задачи. Найденная процедура была названа автором «алгоритмом нулевого подпространства». В данной статье решается задача построения алгоритма слепой идентификации векторного многомерного канала связи MIMO с циклическим сдвигом информационной последовательности. Алгоритм слепой идентификации векторного многомерного канала связи MIMO Для решения задачи запишем уравнение, эквивалентное методу взаимных отношений, в полиномиальной форме: Ц-\Ь2-\ У11 h ’Z2>*1 ,l2 {S2 ) _ h=ot2=o Lx -1L2 -1 v J ^ ^ yhJl (Zl ’z2,*l )Kh (52 ) = 0 ’ /1=0/2=0 где M-1 *1-1 t2-\ Уі„і2 (zi ’ z2 ’5) - X S E у h+hJi+h z'Jl z22s ’ *'=0 71=072=° M-1 Kh^= Hhii2S'’ Li’L2 - размер двумерной і=0 импульсной характеристики, M - число каналов, tl9t2 - размер обрабатываемых фрагментов сигналов, h0 0 (sh^_x L^_x (.у) - искомые полиномы. Выберем 2LXL2 -1 различных значений формальных переменных {z1?z2}. Тогда мы можем записать 2LXL2 -1 однородных линейных уравнений относительной ЬЛЬ2 неизвестных полиномов \o(4-A,-l,L2-l(S)- В матричной форме, получим: Yj (zj^2^2-1 ? ^1 ? ^2 ) ‘ ’ ^2 ) ~~ yLl-l,L2-AZl’S2) ~yoAZl’Sl) До^г^-і^г) ••• {z 2^2-19 s 2) ••• ^0,0 (^1) -yk-l,L2-l(ZUSl) ' УLx-U2-l (Z21^12-1 ’ Sl )y X ^Zj-i,£2-1^1) ^0,0 (^2 ) \^lLx-\,L1-\i,S2 )j = 0. (3) «Инфокоммуникационные технологии» Том 10, № 4, 2012 16 Березовский А.А., Горячкин О.В., Харитонова А.А. При выполнении условий теоремы о слепой идентифицируемости канала полиномиальная матрица Y1(z1,...,z2iii2_1,51,s2) имеет ранг 2^2-1. 2 В отсутствие шума легко получить явное решение однородной системы уравнений (3). Так как хотя бы один из ее миноров порядка 2ЬуЬ2 — 1 Mi(z1,...,z2L^L>_l,s1,s2) і = l,...,2Z[Z/2 - номер столбца, отличен от нуля. Пусть это будет М2LlL2{z1,...,z2LiL2_1,sl,s2), тогда, полагая значение полинома hLi_1Li_1(s2) произвольным, получим следующую невырожденную систему 2L1L2 -1 линейных уравнений с коэффициентами над полем С: ЕЕ д,/Д2у’52К./Д5і)- Л =0 /,=0 *1-и *2 и-\ и-1 М"1 2. ~х ✓ \ / \ Е Е Л Л 1Z7 ’ S1 Ph,h (s2)= ’ (4) /,=0 l2 = 0 /j ^ Ly — 1 ИЛИ 12 ^ i>2 — 1 = У lx-\,l2-і (zy ’^і (52 ) где: j = \,...,2LxL2 — 1. Решая ее методом Крамера, получим общее решение системы в виде: Vі22І1І2-І9Л1>Л2 / :2 M 2LyLi2 (z1,...,z2£ii2_1,51,52) (Zj, ^2 J (5) или/2 ^ Z2 -1,/ = +/2A. В силу произвольности положим его равным (_і) ^ ^24І2 (Z1 v»z2L-H‘yl»‘S'2)» тогда решение системы уравнений (4) с точностью до произвольного комплексного коэффициента будет иметь вид: \,l2iSl)= {~tfMl{Zl’-"’Z2L-l’Sl’S2)’ \,lS?2) = (rtflL2 ^i,i2 +/(Z1 ’• ■ • >Z2LlL2-1 ’S1 ’S2) > где / = 0,...,ZjZ2-l. Заметим также, что нам нужно вычислить только LjZ2 миноров, так как из анализа структуры матрицы (3) следует, что ^l2LlL2-l{Zl’—’Z2L1L2-l’Sl’S2 )~ = (-l)il 1M.l{z1,...,z2LiL2_l,s2,s^j. Таким образом, мы нашли значения неизвестных полиномов в точках и s2. Если М = 2 , этого достаточно для оценки всех коэффициентов неизвестного векторного канала: ^(l) _ s2\,l2 (51 ) ~ Sl\,l2 (52 ) ll’12 S2~sl ’ ^ h(2) = hluh(S2)- K,h(S\) h’h с _ с ' (7) где ll=Q,...,Ll-\, 12 =0,...,L2-l. Для того, чтобы найти решение системы для произвольного числа каналов мы должны выполнить вычисления в кольце C[sl5s2]. Поскольку решение системы (3) по формулам (6) не содержит операции деления, то мы получим решение с точностью до некоторого полинома g(sl5.s2) Є ф1;52]. Поскольку полиномы ht ; (.У]) и ht г (s^) очевидно не имеют общих множителей, то неизвестный множитель мы мо жем найти как наибольший общий делитель полиномов M/(z1,...,z2iii2_1,s1,.y2) и ml1l2+i[zi>->z2l1l2-i>sus2)> используя, например алгоритм Евклида. Конечно, такой алгоритм не имеет практического значения из-за больших вычислительных затрат. Альтернативный путь состоит в формировании системы линейных уравнений для M значений полиномов канала ht j (jjA^j (sM). Запишем неизвестные значения в виде вектора h(5lv..,sM)= (Aqq (^l )>•••> (^і )>••• ■ Тогда система линейных уравнений в матричной форме имеет вид: Y(z15..., zr ,sX9...9s M )= (Yl{Zl>->ZT>3l>32) Zr’SM- 1>S (9) M-l> JM «Инфокоммуникационные технологии» Том 10, № 4, 2012 Березовский А.А., Горячкин О.В., Харитонова А.А. 17 где Y{zl,...,zr,sl,...,sM)(M-\)r ЦЬ2М -комплексная матрица ранга {МЬ,Ь2-1), г как и ранее, выбирается из условия {M-\)-r>LxL2 -М-1. Общее решение для коэффициентов канала может быть найдено далее по интерполяционной формуле Лагранжа: м hh,h(s)=llhh,iSsMs)’ (10) i=1 где: Lfis) - элементарные лагранжевы интерполяционные многочлены, определяемые формулой: м t\s ~si М L,{*) = i*i м j=і j*‘ (И) Таким образом, в отсутствие шума алгоритм слепой идентификации канала сводится к вычислению базиса нуль-пространства матрицы Y{zl,...,zr,sl,...,sM). Условия теоремы о слепой идентифицируемости векторного канала обеспечивают единственность решения этой задачи, то есть наличие единственного нулевого собственного числа и соответствующего ему единственного собственного вектора с точностью до комплексной константы, за счет строгого равенства rank(Y(zj,...,zr,s1,...,sM)) = MLXL2 -1. Данный алгоритм далее будем называть алгоритмом нулевого подпространства (АНП). Наличие аддитивного шума в матрице входных данных \{zx,...,zr,sx,...,s м) = Y^Zj v..? z r, .Sj 9>>*9 s ^ ) + v(zj э...? z r, ) с°здает условия, когда rank может быть равен ML или может быть меньше (LM -1). В первом случае нуль-пространство матрицы состоит только из нулевого вектора, а во втором содержит несколько базисных векторов. Поэтому задача слепой идентификации может вообще не иметь решения или решение задачи становится неоднозначным. Как уже отмечалось выше, в этом случае мы можем использовать стратегию метода наименьших квадратов, то есть в качестве решения задачи для случая rank{Y{zx,...,zr,sx,...,sM ))= MLXL2 взять собственный вектор, соответствующий минимальному по модулю собственному числу матрицы \\zx,...,zr,sx,...,sM)i{zx,...,zr,sx,...,sM)\ h(sl5...,sM) = arg min h(^i v-^м )*'Y* (zj,..., zr, jjsM )x xY(zxzr,sxsM )h(SlsM) (12) нал ничении нормы В этом случае решение задачи всегда единственно и, как известно, минимизирует функциопри °іраh(slv..,SM)| 2 = 1 ■ Поскольку выбор числа уравнений и, соответственно, числа строк в матрице Y(z, zr, sx ) в нашей интерпретации произволен, то мы можем выбрать их число строго равным {LXL2M -1). Тогда rank^[{zx,...,zr,,sx,...,sM^<MLxL2-1 теперь уже за счет линейной независимости строк. При этом, поскольку r = {LXL2M -\)/{м -1) целое только в частных случаях, то мы выбираем r как наименьшее целое, а г' так, что (М -2)-г + г' = -1. При этом .(13) Теперь мы можем решать задачу слепой идентификации векторного канала при наличии шума, используя алгоритмы точного решения однородной системы уравнений. При этом, поскольку нуль-пространства матрицы \{zx,...,zr,,sx,...,sM) и матрицы Y (zx,...,z,,,sx,...fM)Y(zx,...,zt,,sl,...fM) совпадают, то решение, получаемое, например, по формулам (6), и решение вариационной задачи (12) совпадают с точностью до комплексного множителя, и являются нормальным псевдорешением однородной системы уравнений (9). Таким образом, мы показали эквивалентность оценки АНП и оценки, полученной в рамках метода наименьших квадратов. Несмотря на то что формулы (10) дают явное решение, непосредственное их использование для нахождения численного решения однородной системы, задаваемой матрицей (13), нецелесообразно даже при сравнительно небольших размерах матрицы, поскольку требует вычисления {lxl2m- 1) определителей размера {lxl2m- і). Поэтому более целесообразно использование ал- «Инфокоммуникационные технологии» Том 10, № 4, 2012 18 Березовский А.А., Горячкин О.В., Харитонова А.А. горитмов, имеющих меньшие вычислительные затраты. Одним из таких методов может быть несколько модифицированный метод Перселла. В рамках данного подхода мы интерпретируем систему однородных уравнений с матрицей (13) как условия ортогональности вектора с (LxL2M — l) линейно независимыми строками матрицы (13). При этом решение системы находится путем построения базисов подпространств унитарного линейного пространства с^м убывающих размерностей: С1^ 2 — Rq d і?]... z) Rk z)... z) 5 где Rk - подпространство, состоящее из векторов, ортогональных к первым к строкам у^.^у*. матрицы Базис подпространства Rk строится из базиса подпространства Rk_x в виде следующих линейных комбинаций: е* _ 1 _ скек~1 ei _ і сі ек > i = k + \,...,LlL2M. Коэффициенты с,- определяются из условия ортогональности строк матрицы Y{zx,...,zr,,sx,...,sM) и вектора решения в виде ' (укА > Для реализуемости процесса необходимо, чтобы скалярные произведения (у^е*-1) были отличными от нуля. Если к = 0, то в качестве базиса берется естественный базис в С: е? =(1Д...,0),...,е^2М =(0,...,0Д). Подпространство Rl,l„M-\ является нуль-пространством матрицы y(z1,...,z,.,,s1,...,sm), так как единственный базисный вектор этого подпро странства ортогонален ко всем линейно независимым векторам Уі^-^У^м-і и является численным решением системы однородных уравнений, заданных матрицей (13). Таким образом. мы получили итерационную модификацию АНП, которая, конечно, с точки зрения погрешности, эквивалентна АНП в аналитической форме, но требует меньших вычислительных затрат. Выводы Получен алгоритм слепой идентификации MIMO-канала с циклическим сдвигом передаваемой последовательности. Получена эффективная с вычислительной точки зрения модификация данного алгоритма, т.е. последовательность вычислений, содержащая минимальное количество операций сложения и умножения, имеющая простую структуру вычислений.