MULTIDIMENSIONAL NON-HARMONIC SPECTRUMS IN DIAGNOSTICS OF THE CHAOTIC PSEUDORANDOM GENERATORS

Abstract

Lorenz and Chua nonlinear dynamic systems based pseudorandom consequences generators are considered. Multidimensional non-harmonic spectrums in diagnostics of the chaotic systems signals are discovered.

Full Text

При формировании сигналов с воспроизводимыми статистическими характеристиками на основе нелинейных систем с динамическим хаосом актуальным является решение задачи перевода нелинейных систем с динамическим хаосом из режима с преобладанием регулярной моды в режим с преобладанием хаотический моды путем введения внешних управляющих воздействий на параметры систем. Одним из широко используемых видов управляющих воздействий на параметры нелинейных систем и параметры временной дискретизации являются квазирезонансные воздействия [1]. Нелинейные системы с динамическим хаосом характеризуются наличием как регулярных, так и хаотических мод поведения. Реальные физические системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями, находятся в условиях действия комплекса шумов и флуктуаций, которые могут существенно изменить спектрально-корреляционные и вероятностные характеристики порождаемых системами сигналов [1-2]. Применение стабилизирующих воздействий на параметры систем обеспечивают необходимую модовую структуру, которая может изменяться при действии комплекса шумов и помех в реальной помеховой обстановке. Оперативная диагностика состава текущих мод рассматриваемого класса систем, с прогнозированием его изменений во времени, позволяет прогнозировать отказы, связанные с недопустимым изменением состава текущих мод систем. Актуальной является решение задачи диагностики нелинейных систем с хаотической динамикой в условиях действия комплекса шумов и флуктуаций по порождаемым ими сигналам. В настоящее время наиболее широко исследованы нелинейные системы с хаотической динамикой Лоренца Χ = -σ(Χ-Υ);Ϋ = τΧ-Υ-ΧΖ; ^ Ż = -bZ-XY; и Чуа X = a(Y-h(X)); Ϋ = Χ-Υ + Ζ; (2) Ż=—βΥ. Формирователи сигналов на их основе реализованы в виде специализированных интегральных радиоэлектронных схем, в которых неизбежно возникновение шумов и флуктуаций. В системах уравнений (1)-(2) X ; Y ; Z - пространственные переменные нелинейных систем с динамическим хаосом; г\а\Ь - параметры системы Лоренца; а ; β - параметры системы Чуа, h(X) - кусочно-линейная аппроксимация нелинейности системы Чуа [3]. В оперативной диагностике формирователей сигналов на основе эффектов динамического хаоса целесообразно совместное применение гармонического и негармонического обобщенного спектрального анализа формируемых сигналов [5-6]. Цель работы - диагностика управляемых квазирезонан-сными воздействиями формирователей сигналов на базе систем Лоренца и Чуа, в условиях действия комплекса аддитивных шумов, при помощи негармонического спектрального анализа сигналов. Негармонический спектральный анализ фрактальных сигналов нелинейных радиоэлектронных систем с гармоническим спектром вида 1//β проводится путем разложения временных реализаций сигналов по базису дробно-степенных функций времени, адекватного анализируемым сигналам [5-6]: μ(<)=ς + Bt (3) На основе представления (3) в работе получены негармонические спектры: W((X, Y, Z)!(X0i,Y0i,Zm),а); W((X,Υ,Ζ)/(Χ0ί,Υ0ί,Ζ0ί),τ/Τ) ; W(a,r/T), «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 2, 2013 10 Афанасьев В.В., Логинов С.С. где (X, Y, Z) /(X0i, Y0i, Z0i ) - нормированные к значениям в состоянии равновесия амплитуды переменных систем Лоренца і= 1, Чуа і = 2; а -параметры дробно-степенных зависимостей; τIT - длительности дробно-степенных импульсов, нормированные к периоду квазирезонанс-ных колебаний T исследуемых систем. Одним из широко используемых видов управляющих воздействий на параметры нелинейных систем и параметры временной дискретизации являются квазирезонансные воздействия вида [4; 7] m(t) = т0(1 + Mf(t)), (4) где m(t) и т0 - мгновенное и начальное значения выбранного параметра системы; f (0 - функция, определяющая форму воздействий; M -коэффициент, влияющий на глубину модуляции параметра системы. Воздействия вида (4) на параметр временной дискретизации систем позволяют стабилизировать хаотическую моду нелинейных систем с динамическим хаосом, необходимую при формировании псевдослучайных сигналов. В этом случае необходима оперативная диагностика нелинейных радиоэлектронных систем с хаотической динамикой в условиях квазирезонансных воздействий на параметры временной дискретизации. Энергетическая эффективность управляющих воздействий зависит от их спектральных характеристик [4]. Низкочастотные (НЧ) шумы и флуктуации из области стационарных воздействий ω<Ω (Ω - частота квази-резонансных колебаний в системах (1) и (2)) приводят к случайному временному сдвигу спирали траекторий в фазовом пространстве. Эффект воздействия высокочастотных (ВЧ) шумов, принадлежащих области ω>Ω, зависит от инерционности нелинейных систем [4]. Поэтому важной задачей является оценка влияния спектральных характеристик аддитивных шумовых воздействий на негармонические спектры сигналов нелинейных систем с хаотической динамикой. По отношению к параметрам систем с динамическим хаосом в работе исследуются следующие шумовые воздействия на параметры систем Лоренца X = a{Y-X) + ua{t)Xn\ Ÿ = -XZ + rX-Y + ur(t)YQl; Ż = XY -bZ + ub (i)Z01, (5) X = a(Y-h(X)) + ua(t)X02; Ϋ = Χ-Υ + Ζ; (6) Ż — —ßY + uz(t) Z02, где и„(/); ur(t); ub(t) - определяют закон аддитивных воздействий по отношению к значениям Xm ; Ym ; Z01 в состоянии равновесия системы (1); «»(О; Mß(0 - определяют закон аддитивных воздействий по отношению к значениям Χΰΐ > ^02 » ^02 в состоянии равновесия системы (2). На рис. 1-2 приведены негармонические спектры сигналов X ; Y системы Лоренца в условиях квазирезонансных воздействий на параметр временной дискретизации. Рис. 1. Негармонический спектр сигнала системы Лоренца при воздействиях вида (4) с M = 0,2 τ IT 2.57 2.30 2.02 1.74 1.46 1.18 0.90 0.62 0.35 0 07 0.21 'S,. : . _ 1.17 2.14 3.10 4.06 5.02 5.99 6.95 7.91 8.I а и Чуа Рис. 2. Негармонический спектр сигнала системы (1) при воздействиях вида (4) с M = 0,8 На рис. 2, в отличие от рис. 1, приведено сечение негармонического спектра. Из рис. 1-2 видно, что при увеличении глубины модуляции M происходит «размывание» характерных регулярных образований в спектрах сигналов нелинейной системы Лоренца. Кроме того, в негармонических спектрах разрушаются регулярные образования, существовавшие в спектрах систем «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 2, 2013 Афанасьев В.В., Логинов С.С. 11 в отсутствие управляющих воздействий на параметр временной дискретизации. Это говорит о дополнительной стохастизации системы и существенном изменении структуры генерируемых ей колебаний. С целью оценки влияния интенсивности низкочастотных шумов на характеристики сигналов системы (1) были оценены негармонические спектры при вариации интенсивностей шумов σ,/(Χ01),σ,/(701),σ,/(Ζ01)Ε[10-Μ0-1]5 где - среднеквадратическое значение шума. Реализации высокочастотных шумов u(t) с равномерным законом распределения были получены с помощью генераторов псевдослучайных чисел с использованием пакетов MathCad и MATLAB. Низкочастотные шумы формировались путем цифровой фильтрации реализаций ВЧ-шумов. Частота среза фильтров выбиралась менее частоты квазирезонансных колебаний систем Лоренца и Чуа. Как показал анализ реализаций сигналов в условиях воздействий ВЧ-аддитивных шумов, они незначительно влияют на структуру негармонических спектров. Поэтому основное внимание в работе было уделено анализу влияния НЧ-шумов. На рис. 3 приведены негармонические спектры сигналов Χ,Υ,Ζ системы Лоренца в условиях аддитивных НЧ-воздействий вида (3) при фиксированном значении отношения среднеквадратического значения шумов к координатам точек равновесия систем равном σ,/(Χ01) = σ,/(701) = σ,/(Ζ01) = 4·10-3. Из рис. 3 видно, что при аддитивных шумовых воздействиях вида (3) происходит «размывание» негармонических спектров сигналов X ; Y ', Z. Однако, в отличие от спектров на рис. 1-2, характерные регулярные образования на спектрах рис. 3 близки по форме к образованиям, полученным в [3] при отсутствии внешних воздействий и шумов. Диапазоны изменения параметров Т/Т, ОС практически не изменяются по сравнению с негармоническими спектрами в отсутствие шумов. Происходит лишь «расширение» спектральных линий. На рис. 4 приведены негармонические спектры сигналов Χ,Υ,Ζ системы Лоренца в условиях аддитивных низкочастотных воздействий вида (3) при σ,/(^01) = σ,/(701) = σ,/(Ζ01) = 4·10-2. Рис. 3. Негармонические спектры сигналов системы (1) при аддитивных воздействиях вида (5) для сигналов: а) Х;б) Y ; β) Z Принципиальным отличием спектров, приведенных на рис. 4, по сравнению с рис. 3 является то, что наблюдается дальнейшее «размывание» спектральных линий и разрушение характерных спектров сигналов системы (1). На рис. 4а основная часть спектральных линий сосредоточена в пределах 0,3<τ/Τ<0,9 и 0,7<а<2,3 . В отличие от этого на рис. 3а спектр сосредоточен в пределах более узких линий, но в более широком диапазоне значений параметров 0,55 < τIT <2,0 и 0,54 <«<3,2. В негармоническом спектре сигнала Y при увеличении интенсивности шума (см. рис. 4б) происходит также разрушение двух характерных спектральных линий. В результате этого параметры спектров меняются в пределах 0,05<г/Г<1 и 0,95 < а <2,0, что также существенно отличается от пределов изменения при относительно низких интенсивностях шума (см. рис. 3б) 0,12<г/Г<1,4 и 0,9<«<3,1. «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 2, 2013 12 Афанасьев В.В., Логинов С.С. г/ГГ 2.532.26; 1J 1.70 1.43 1.15 0.87 0.59 0.32- 0.04' 0.45 1.01 - ..........і.......— % г а) 1.56 2.11 2.67 3.22 3.77 4.33 4.88 5.43 а Рис. 4. Негармонические спектры сигналов системы Лоренца при аддитивных шумах вида (5) для сигналов: а) X ; б) Y ; β) Z На рис. 5 приведены негармонические спектры сигналов X системы Чуа в условиях аддитивных низкочастотных воздействий вида (4) при фиксированном значении отношения среднеквадратического значения шумов к координатам точек равновесия системы (2) σ^·/(Χ02). В отличие от спектров сигналов системы Лоренца, приведенных на рис. 3-4, в спектрах сигнала X системы Чуа при воздействии низкочастотных шумов не происходит «размывание» спектра с сохранением характерных спектральных линий. В спектрах системы Чуа при вариации уровня шумов происходит разрушение первоначальных распределений с значительным изменением вида спектров. Аналогичные изменения происходят и со спектрами сигналов Υ,Ζ системы Чуа. Сравнение рис. 1-2 и рис. 3-4 показывает, что спектры сигналов системы Лоренца в случае квазирезонансных воздействий и низкочастотных шумов имеют принципиальные различия. При квазирезонансных воздействиях происходит быстрое «разрушение» структуры первоначального спектра при увеличении глубины модуляции. В спектрах сигналов в случае низкочастотных шумов при относительно больших вариациях интенсивности воздействий сохраняется структура спектра без воздействий. Рис. 5. Негармонические спектры сигналов системы Чуа для аддитивных воздействиях вида (4): а) для сигнала X при σΑ /(Х02 ) = 10_3 ; б) для сигнала Y при oÀl{Yai) = 4-Ю“3 Выводы 1. Негармонический спектральный анализ служит эффективным средством диагностики управляемых формирователей псевдослучайных сигналов на базе систем Лоренца и Чуа. 2. Квазирезонансные воздействия на параметры временной дискретизации систем с динамическим хаосом вызывают разрушение структуры негармонических спектров сигналов систем без управляющих воздействий. 3. Аддитивные низкочастотные шумы в системе Лоренца вызывают размывание негармонических дробно-степенных спектров с сохранением их структуры, при этом степень размывания пропорциональна интенсивности шумов. В сис «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 2, 2013 13 теме Чуа аддитивные низкочастотные шумы вызывают разрушение первоначальной структуры негармонических спектров без воздействий. 4. Анализ многомерных негармонических дробно-степенных спектров управляемых формирователей псевдослучайных сигналов позволяет определить эффективность стабилизирующих воздействий при действии комплекса шумов, и позволяет организовать оперативную диагностику состава текущих мод формирователей псев-до случайных сигналов