МОДЕЛИРОВАНИЕ СШП-ИМПУЛЬСА НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОДНЫХ РЭЛЕЯ И ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА

Аннотация

В статье рассмотрена задача проектирования импульса, соответствующего спектральной маске FCC на уровень излучения сверхширокополосных систем связи. Представлены результаты применения генетического алгоритма к задаче оптимизации весовых коэффициентов и коэффициентов формы импульса, построенного на основе комбинации производных Рэлея.

Полный текст

Введение Современная технология сверхширокополо-сной ( СШП) радиосвязи является перспективным направлением развития высокоскоростной передачи данных на короткие расстояния, обеспечивающей низкое энергопотребление, упрощение построения аппаратуры и снижение стоимости затрат, а также высокую спектральную эффективность. Реализация данных преимуществ подразумевает разработку особых методов формирования, обработки, передачи и приема сигналов, что подтверждается значительным количеством исследований и публикаций, представленных за последние годы. Согласно определению Федерального агентства по связи США (Federal Communications Commission, FCC), для СШП-систем выделен диапазон частот 3,1 ... 10,6 ГГц, что подразумевает совместную одновременную работу с другими радиоустройствами. В связи с этим определены нормы на уровень эффективной излучаемой мощности для СШП-устройств - так называемая спектральная маска FCC. В рамках данных ограничений возникает интересная задача формирования импульса, спектральная плотность мощности (СПМ) которого ражение для энергии выходного сигнала модулятора к виду: N“ N° ! С 1 \ ^=ЁЁ(фДг'+1Ь'+1К) *=l J=1 (36) {і,...,і + і + Дміг.+;. - MX,MXJ). Заключение В работе получено общее выражение для энергии сигнала на выходе модулятора в виде пространственно-матричного произведения. Доказано, что энергия сигнала на выходе модулятора однозначно определяется структурой модулятора Ф і, i = l,N„ и матрицами начальных моментов сигнала на его входе Мх от первого до порядка, «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 14 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. соответствовала бы маске FCC. Большинство работ, посвященных данной тематике, основано на применении гауссова импульса и его производных, взятых в различных комбинациях, поскольку их легко описывать и генерировать с помощью аналоговых схем. В частности, в [1] оптимальный импульс получен как сумма первой, четвертой и пятой производных, оптимизированных «методом роя частиц» (particle swarm optimization - PSO). Линейная комбинация первых пятнадцати производных, подобранных по «методу проб и ошибок» (trial and error), представлена в [2]. Пятая производная Гаусса с коэффициентом формы а = 41 пс удовлетворяет маске FCC согласно [3], но неприемлема для создания недорогих маломощных устройств. Постановка задачи Согласно теореме Парсеваля эффективность излучения импульса обеспечивается равенством нулю энергии сигнала s(t) и его преобразования Фурье S(f при f = 0: (1) В данной работе поставлена задача проектирования СШП-импульса, соответствующего требованиям спектральной маски FCC, представленной на рис. 1, на основе применения производных Рэлея, поскольку они удовлетворяют выражению (1) и не имеют постоянной составляющей [4]. Frequency, Hz Рис. 1. Спектральная маска FCC Применение производных объясняется тем, что если на вход антенны подать некоторый импульс, то выходной сигнал ввиду особенностей антенны будет представлять собой производную от входного воздействия. С целью максимизации использования выделенного диапазона частот выбор весовых коэффициентов и коэффициентов формы предлагается осуществить посредством генетического алгоритма (ГА), представляющего собой довольно простой и прозрачный в реализации метод оптимизации и поиска минимума функции, основанный на концепциях естественного отбора и генетики. Решение Временная форма, соответствующая распределению Рэлея, может быть записана следующим образом: / ч 4 nt Г 2 nt2 П0 = -^ехР \--г <т <т (2) где а - коэффициент формы импульса. Тогда n-ная производная Рэлея задается выражением: sto(t) = (3) CT о Пребразование Фурье для нее (рассматриваем амплитудный спектр): (crfjn)2 j (4) Дифференцируя (4) и приравнивая к нулю, получаем максимальную частоту спектра d\S (/)[ = ст(2ж/)п ґ2ф + ц_ff )x df xexp-j (of4n)2\ 2 j’ (5) f,= Й + 1 na (6) Тогда, учитывая, что максимальное значение спектра на данной частоте равно: (/-)!= V °- y (7) получаем выражение для нормированной СПМ: |Я(и)(/)|2 2 - (8) 1^-(/)!=■ Ґ = (cTf)2 п и + 1 ч и+1 ехр |-(сг/ 4я)2 + й + і|. Нормирование производится относительно пикового значения, разрешенного маской FCC и «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. 15 равного -41,3 дБм/МГц. Поскольку численные расчеты по моделированию импульсов проводились в среде MATLAB, то для проверки адекватности результатов СПМ была также рассчитана как преобразование Фурье от автокорреляционной функции сигнала. Временные зависимости первых пяти производных Рэлея представлены на рис. 2, а их нормированные СПМ - на рис. 3. Рис. 2. Временная форма производных Рэлея, п = 1 ... 5 Рис. 3. Нормированные СПМ производных Рэлея, п = 1 ... 5 Возможность регулирования СПМ импульса для соответствия маске FCC определяется выбором определенного значения коэффициента формы о. На основе экспериментальных данных установлено, что первая, вторая и третья производные не удовлетворяют маске FCC при любом значении о, и поскольку для синтеза предпочтительнее использовать производные низших порядков ввиду простоты реализации, то выбран импульс порядка n = 4, для которого „(4) (0= Ґ (ЬжЛ 4 ( V 15* 1л3 - -10' + - V W хехр 2яГ (9) Динамика изменения СПМ четвертой производной Рэлея в зависимости от значения коэффициента формы показана на рис. 4. Уменьшение значения а во временной области приводит к смещению СПМ в область более высоких частот и расширению полосы. Рис. 4. Нормированные СПМ четвертой производной Рэлея с различными значениями о Очевидно, что для увеличения спектральной эффективности оптимальный импульс должен быть представлен в виде: (10) i=i где w. - весовой коэффициент. В данном случае используется сумма производных одного порядка, но с разными значениями коэффициентов формы. Пусть N = 2, тогда будем искать решение на основе ГА [5] в виде вектора [w1, w2, а1, а2], представляющего собой набор генов - генотип. Ниже представлены основные этапы ГА. 1. Первоначально случайным образом создается некоторая комбинация, к которой применяются генетические операторы (скрещивание и мутация). 2. Далее полученное множество решений оценивается при помощи целевой функции, и производится селекция лучших вариантов. 3. Если оптимальное решение найдено, то цикл завершается. «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 16 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. 4. В противном случае к полученному генотипу снова применяются генетические операторы. Зададим целевую минимизируемую функцию: со *1 = Л^сс(/)-^Р,(/)|2#, (11) -00 где Popt - СПМ оптимального импульса в диапазоне частот 3,1 ... 10,6 ГГц; PFCC - СПМ маски FCC. Модернизируем последовательность действий следующим образом. 1. При помощи ГА рассчитаем значение а для первого импульса таким образом, чтобы вписать левый фронт в маску FCC. 2. Аналогично для второго импульса рассчитаем значение коэффициента формы а2 так, чтобы зафиксировать правый фронт. 3. Суммируем полученные импульсы с ко -эффициентами w1, w2, рассчитанными также по ГА. Конечный результат получаем в виде вектора [0, 226 0, 180 0, 982 0, 684]. СПМ смоделированного импульса, представленная на рис. 5, соответствует маске FCC, но использование спектра не эффективно. Назовем этот импульс субоптимальным РИ1. Frequency, Hz 9 X 10 Рис. 5. Нормированные СПМ: Pulse1 @ = 0,226 нс), Pulse2 (а2 = 0,180 нс), SumPulse (суммарный импульс РИ1) Тогда рассчитаем первоначальные значения коэффициентов а1 и а2 таким образом, чтобы одиночные импульсы несколько выходили за границы маски, и зададим дополнительную целевую функцию F2, максимизирующую эффективность использования спектра, в виде Рассчитанные значения параметров представлены в таблице 1, а суммарный оптимальный импульс РИ2 и его СПМ - на рис. 6-7: v(0 = •‘уі(4)(ґ’сгі)+w2-44)(^і)- (13) Таблица 1. Расчетные значения параметров импульсов РИ1; РИ2 и ГИ РИ1 РИ2 ГИ 0\ 0,226 нс 0, 245 нс 0,0915 нс 02 0,180 нс 0,165 нс 0,0435 нс Wi 0,982 1,999 -1,07 W2 0,684 0,416 1,081 Можно видеть, что данный комбинационный импульс отлично вписывается в маску FCC и при этом обладает высокой спектральной эффективностью. ■1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time, s -9 X 1 0 Рис. 6. Временная форма оптимального импульса РИ2 2 4 6 8 10 12 Frequency, Hz 9 X 10 Рис. 7. Нормированные СПМ: Pulse1 @ = 0,245 нс), Pulse2 (а2 = 0,165 нс), SumPulse (суммарный импульс РИ2) «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. 17 Применим данный алгоритм расчета к третьей производной гауссова импульса: „W ч A f 3t t3 'і Г t2 1 „ 1 (')=vsr[?“^Jexpr^r (14) где A - амплитуда импульса, А = w Аналогичным образом рассмотрим оптимизируемый импульс ГИ1 как сумму двух компонентов. Результаты расчета генотипа и соответствующие им графики представлены в таблице 1 и на рис. 8-9. При этом наблюдается существенное совпадение формы РИ2 и ГИ как во временной, так и в частотной областях. В таблице 2 приведено сравнение полученных импульсов с представленными в литературе по целевой функции F2 (12). •1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time, s -9 хЮ Рис. 8. Временная форма оптимального импульса ГИ1 ! ! ! ! ! ! ! ! ....../ / / \ ^ /Jr / / ..і... /Ш г \ \ \ ..... ! ! J Л / à \...... \ \ / і / / •V \ \ 1 1 I 1 1 1 ...J ) І І \ \ \ \ Pulse 1 f 1 1 1 " \ \ ----Pulse2 -*- SumPulse -FCC ' 1 I f /і I 1 23456789 10 11 Frequency, Hz 9 X 10 Рис. 9. Нормированные СПМ: Pulsel (а1 = 0,0915 нс), Pulse2 (а2 = 0,0435 нс), SumPulse (суммарный импульс ГИ1) Таблица 2. Результаты сравнения импульсов Название импульса Ft, % Маска FCC 100 РИ2 93,6 ГИ1 92,09 5 производная Гаусса [3] 90,11 ГИ2 [6] 35,67 ГИЗ [7] 31,81 ГИ4 [7] 32,40 В рассматриваемом случае ГИ2 - импульс, представляющий собой комбинацию четырех субимпульсов, каждый из которых оптимален в своем диапазоне и составлен не менее чем из восьми гауссовых производных порядков n = 1 ... 15, выбранных по «методу проб и ошибок» [6]. ГИ3 - линейная комбинация первых 15 производных Гаусса с одинаковыми весовыми коэффициентами а = 0,35 нс [7], ГИ4 - с различными [7]. Спроектированный импульс РИ2 незначительно превосходит по СПМ пятую производную Гаусса и ГИ1. А по сравнению с ГИ2 ... ГИ4 выигрыш в среднем составляет 60%. Выводы В работе представлена методика моделирования СШП-импульса, удовлетворяющего спектральной маске FCC. Предложенный импульс представляет собой линейную комбинацию двух четвертых производных Рэлея. Результаты моделирования показывают высокую спектральную эффективность и отличное соответствие маске FCC. Малое число используемых производных и их низкий порядок позволяют обеспечить простую реализацию на основе КМОП-технологии. Исследование поддержано грантом Евро