UWB PULSE SHAPING BASED ON RAYLEIGH DERIVATIVES AND GENETIC ALGORITHM

Abstract

The task of designing the pulse, that satisfies the FCC spectral mask on radiation level for ultra wideband communication systems, is considered in the article. The results of applying the genetic algorithm for weight and shape factors optimization of the pulse based on Rayleigh derivatives are presented.

Full Text

Введение Современная технология сверхширокополо-сной ( СШП) радиосвязи является перспективным направлением развития высокоскоростной передачи данных на короткие расстояния, обеспечивающей низкое энергопотребление, упрощение построения аппаратуры и снижение стоимости затрат, а также высокую спектральную эффективность. Реализация данных преимуществ подразумевает разработку особых методов формирования, обработки, передачи и приема сигналов, что подтверждается значительным количеством исследований и публикаций, представленных за последние годы. Согласно определению Федерального агентства по связи США (Federal Communications Commission, FCC), для СШП-систем выделен диапазон частот 3,1 ... 10,6 ГГц, что подразумевает совместную одновременную работу с другими радиоустройствами. В связи с этим определены нормы на уровень эффективной излучаемой мощности для СШП-устройств - так называемая спектральная маска FCC. В рамках данных ограничений возникает интересная задача формирования импульса, спектральная плотность мощности (СПМ) которого ражение для энергии выходного сигнала модулятора к виду: N“ N° ! С 1 \ ^=ЁЁ(фДг'+1Ь'+1К) *=l J=1 (36) {і,...,і + і + Дміг.+;. - MX,MXJ). Заключение В работе получено общее выражение для энергии сигнала на выходе модулятора в виде пространственно-матричного произведения. Доказано, что энергия сигнала на выходе модулятора однозначно определяется структурой модулятора Ф і, i = l,N„ и матрицами начальных моментов сигнала на его входе Мх от первого до порядка, «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 14 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. соответствовала бы маске FCC. Большинство работ, посвященных данной тематике, основано на применении гауссова импульса и его производных, взятых в различных комбинациях, поскольку их легко описывать и генерировать с помощью аналоговых схем. В частности, в [1] оптимальный импульс получен как сумма первой, четвертой и пятой производных, оптимизированных «методом роя частиц» (particle swarm optimization - PSO). Линейная комбинация первых пятнадцати производных, подобранных по «методу проб и ошибок» (trial and error), представлена в [2]. Пятая производная Гаусса с коэффициентом формы а = 41 пс удовлетворяет маске FCC согласно [3], но неприемлема для создания недорогих маломощных устройств. Постановка задачи Согласно теореме Парсеваля эффективность излучения импульса обеспечивается равенством нулю энергии сигнала s(t) и его преобразования Фурье S(f при f = 0: (1) В данной работе поставлена задача проектирования СШП-импульса, соответствующего требованиям спектральной маски FCC, представленной на рис. 1, на основе применения производных Рэлея, поскольку они удовлетворяют выражению (1) и не имеют постоянной составляющей [4]. Frequency, Hz Рис. 1. Спектральная маска FCC Применение производных объясняется тем, что если на вход антенны подать некоторый импульс, то выходной сигнал ввиду особенностей антенны будет представлять собой производную от входного воздействия. С целью максимизации использования выделенного диапазона частот выбор весовых коэффициентов и коэффициентов формы предлагается осуществить посредством генетического алгоритма (ГА), представляющего собой довольно простой и прозрачный в реализации метод оптимизации и поиска минимума функции, основанный на концепциях естественного отбора и генетики. Решение Временная форма, соответствующая распределению Рэлея, может быть записана следующим образом: / ч 4 nt Г 2 nt2 П0 = -^ехР \--г <т <т (2) где а - коэффициент формы импульса. Тогда n-ная производная Рэлея задается выражением: sto(t) = (3) CT о Пребразование Фурье для нее (рассматриваем амплитудный спектр): (crfjn)2 j (4) Дифференцируя (4) и приравнивая к нулю, получаем максимальную частоту спектра d\S (/)[ = ст(2ж/)п ґ2ф + ц_ff )x df xexp-j (of4n)2\ 2 j’ (5) f,= Й + 1 na (6) Тогда, учитывая, что максимальное значение спектра на данной частоте равно: (/-)!= V °- y (7) получаем выражение для нормированной СПМ: |Я(и)(/)|2 2 - (8) 1^-(/)!=■ Ґ = (cTf)2 п и + 1 ч и+1 ехр |-(сг/ 4я)2 + й + і|. Нормирование производится относительно пикового значения, разрешенного маской FCC и «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. 15 равного -41,3 дБм/МГц. Поскольку численные расчеты по моделированию импульсов проводились в среде MATLAB, то для проверки адекватности результатов СПМ была также рассчитана как преобразование Фурье от автокорреляционной функции сигнала. Временные зависимости первых пяти производных Рэлея представлены на рис. 2, а их нормированные СПМ - на рис. 3. Рис. 2. Временная форма производных Рэлея, п = 1 ... 5 Рис. 3. Нормированные СПМ производных Рэлея, п = 1 ... 5 Возможность регулирования СПМ импульса для соответствия маске FCC определяется выбором определенного значения коэффициента формы о. На основе экспериментальных данных установлено, что первая, вторая и третья производные не удовлетворяют маске FCC при любом значении о, и поскольку для синтеза предпочтительнее использовать производные низших порядков ввиду простоты реализации, то выбран импульс порядка n = 4, для которого „(4) (0= Ґ (ЬжЛ 4 ( V 15* 1л3 - -10' + - V W хехр 2яГ (9) Динамика изменения СПМ четвертой производной Рэлея в зависимости от значения коэффициента формы показана на рис. 4. Уменьшение значения а во временной области приводит к смещению СПМ в область более высоких частот и расширению полосы. Рис. 4. Нормированные СПМ четвертой производной Рэлея с различными значениями о Очевидно, что для увеличения спектральной эффективности оптимальный импульс должен быть представлен в виде: (10) i=i где w. - весовой коэффициент. В данном случае используется сумма производных одного порядка, но с разными значениями коэффициентов формы. Пусть N = 2, тогда будем искать решение на основе ГА [5] в виде вектора [w1, w2, а1, а2], представляющего собой набор генов - генотип. Ниже представлены основные этапы ГА. 1. Первоначально случайным образом создается некоторая комбинация, к которой применяются генетические операторы (скрещивание и мутация). 2. Далее полученное множество решений оценивается при помощи целевой функции, и производится селекция лучших вариантов. 3. Если оптимальное решение найдено, то цикл завершается. «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 16 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. 4. В противном случае к полученному генотипу снова применяются генетические операторы. Зададим целевую минимизируемую функцию: со *1 = Л^сс(/)-^Р,(/)|2#, (11) -00 где Popt - СПМ оптимального импульса в диапазоне частот 3,1 ... 10,6 ГГц; PFCC - СПМ маски FCC. Модернизируем последовательность действий следующим образом. 1. При помощи ГА рассчитаем значение а для первого импульса таким образом, чтобы вписать левый фронт в маску FCC. 2. Аналогично для второго импульса рассчитаем значение коэффициента формы а2 так, чтобы зафиксировать правый фронт. 3. Суммируем полученные импульсы с ко -эффициентами w1, w2, рассчитанными также по ГА. Конечный результат получаем в виде вектора [0, 226 0, 180 0, 982 0, 684]. СПМ смоделированного импульса, представленная на рис. 5, соответствует маске FCC, но использование спектра не эффективно. Назовем этот импульс субоптимальным РИ1. Frequency, Hz 9 X 10 Рис. 5. Нормированные СПМ: Pulse1 @ = 0,226 нс), Pulse2 (а2 = 0,180 нс), SumPulse (суммарный импульс РИ1) Тогда рассчитаем первоначальные значения коэффициентов а1 и а2 таким образом, чтобы одиночные импульсы несколько выходили за границы маски, и зададим дополнительную целевую функцию F2, максимизирующую эффективность использования спектра, в виде Рассчитанные значения параметров представлены в таблице 1, а суммарный оптимальный импульс РИ2 и его СПМ - на рис. 6-7: v(0 = •‘уі(4)(ґ’сгі)+w2-44)(^і)- (13) Таблица 1. Расчетные значения параметров импульсов РИ1; РИ2 и ГИ РИ1 РИ2 ГИ 0\ 0,226 нс 0, 245 нс 0,0915 нс 02 0,180 нс 0,165 нс 0,0435 нс Wi 0,982 1,999 -1,07 W2 0,684 0,416 1,081 Можно видеть, что данный комбинационный импульс отлично вписывается в маску FCC и при этом обладает высокой спектральной эффективностью. ■1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time, s -9 X 1 0 Рис. 6. Временная форма оптимального импульса РИ2 2 4 6 8 10 12 Frequency, Hz 9 X 10 Рис. 7. Нормированные СПМ: Pulse1 @ = 0,245 нс), Pulse2 (а2 = 0,165 нс), SumPulse (суммарный импульс РИ2) «Инфокоммуникационные технологии» Том 11, № 3, 2013 Абдрахманова Г.И., Багманов В.Х. 17 Применим данный алгоритм расчета к третьей производной гауссова импульса: „W ч A f 3t t3 'і Г t2 1 „ 1 (')=vsr[?“^Jexpr^r (14) где A - амплитуда импульса, А = w Аналогичным образом рассмотрим оптимизируемый импульс ГИ1 как сумму двух компонентов. Результаты расчета генотипа и соответствующие им графики представлены в таблице 1 и на рис. 8-9. При этом наблюдается существенное совпадение формы РИ2 и ГИ как во временной, так и в частотной областях. В таблице 2 приведено сравнение полученных импульсов с представленными в литературе по целевой функции F2 (12). •1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time, s -9 хЮ Рис. 8. Временная форма оптимального импульса ГИ1 ! ! ! ! ! ! ! ! ....../ / / \ ^ /Jr / / ..і... /Ш г \ \ \ ..... ! ! J Л / à \...... \ \ / і / / •V \ \ 1 1 I 1 1 1 ...J ) І І \ \ \ \ Pulse 1 f 1 1 1 " \ \ ----Pulse2 -*- SumPulse -FCC ' 1 I f /і I 1 23456789 10 11 Frequency, Hz 9 X 10 Рис. 9. Нормированные СПМ: Pulsel (а1 = 0,0915 нс), Pulse2 (а2 = 0,0435 нс), SumPulse (суммарный импульс ГИ1) Таблица 2. Результаты сравнения импульсов Название импульса Ft, % Маска FCC 100 РИ2 93,6 ГИ1 92,09 5 производная Гаусса [3] 90,11 ГИ2 [6] 35,67 ГИЗ [7] 31,81 ГИ4 [7] 32,40 В рассматриваемом случае ГИ2 - импульс, представляющий собой комбинацию четырех субимпульсов, каждый из которых оптимален в своем диапазоне и составлен не менее чем из восьми гауссовых производных порядков n = 1 ... 15, выбранных по «методу проб и ошибок» [6]. ГИ3 - линейная комбинация первых 15 производных Гаусса с одинаковыми весовыми коэффициентами а = 0,35 нс [7], ГИ4 - с различными [7]. Спроектированный импульс РИ2 незначительно превосходит по СПМ пятую производную Гаусса и ГИ1. А по сравнению с ГИ2 ... ГИ4 выигрыш в среднем составляет 60%. Выводы В работе представлена методика моделирования СШП-импульса, удовлетворяющего спектральной маске FCC. Предложенный импульс представляет собой линейную комбинацию двух четвертых производных Рэлея. Результаты моделирования показывают высокую спектральную эффективность и отличное соответствие маске FCC. Малое число используемых производных и их низкий порядок позволяют обеспечить простую реализацию на основе КМОП-технологии. Исследование поддержано грантом Евро