Исследование отражения плоской электромагнитной волны от планарной оптически активной структуры

Полный текст

В настоящее время значительный интерес представляет разработка современных метаматериалов [1-4], то есть композиционных структур, получающихся искусственным внедрением элементов в однородные среды (контейнеры). Изменение структуры осуществляется на уровне атомов (метаматериалы для оптического диапазона) или на уровне макроструктуры (СВЧметаматериалы). Благодаря преобразованиям микро- или макроструктуры, у искусственного метаматериала изменяются его электрофизические свойства (эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости) и, как следствие, проявляются электромагнитные свойства, которые не присущи естественным материалам природного происхождения. Самыми широко известными свойствами метаматериалов являются возможность создания на их основе суперлинз, невидимых и малоотражающих покрытий и др. Во время явления, когда в структуру метаматериала проникают элементы зеркально асимметричной формы, метаматериал принято называть киральным (хиральным). Свойства киральных сред СВЧ-диапазона исследованы к настоящему времени очень подробно [5-8]. Основными свойствами распространения электромагнитных волн в киральном метаматериале являются: распространение волн с право (ПКП) и левокруговыми (ЛКП) поляризациями с различными фазовыми скоростями, а также кросс-поляризация падающего излучения. В настоящее время описаны исследования неоднородных киральных метаматериалов, а также излучения электромагнитных волн полосковыми антеннами, расположенными на подложках из метаматериалов. Такое явление, как киральность в оптическом диапазоне, известно давно и связано с кристаллами. В данной статье проводится аналогия между естественными и искусственными киральными средами, кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с возможностью концентрации оптической энергии оптически активными кристаллами. Материальные уравнения для оптически активной среды Для начала докажем, что имеется возможность свести тензорные материальные уравнения для оптически активного кристалла к скалярным материальным уравнениям для искусственной киральной среды диапазона сверхвысоких частот [1-4]. Для достижения этой цели выведем формулы, которые связывают относительный параметр киральности для искусственной среды и параметр оптической активности для оптически активного кристалла. Кристалл, подобно бигиротропной среде, можно описать с помощью материальных уравнений: , , = ε =µ D E B H       (1) где ε  - тензор диэлектрической проницаемости; µ  - тензор магнитной проницаемости. В статье применяется общепринятая смешанная система единиц. Тензоры ε  и , µ  приведенные к главным оптическим осям кристалла, имеют следующий вид: 1 1 2 2 , , 0 00 0 0 00 0 i i i i ε - χ   ε = ε   χ ε   µ - χ   µ = µ   χ µ     (2) где 1 χ и 2 χ - неопределенные безразмерные параметры. Подставим тензоры (2) в материальные уравнения (1), в результате чего получим: 1 1 2 2 , . 0 00 0 0 00 0 i i i i ε - χ   = ε   χ ε   µ - χ   = µ   χ µ   DE BH   (3) Уравнения Максвелла для оптически активной среды с учетом материальных уравнений (1) записываются следующим образом: 0 0 , . rot rot ik ik = ε = - µ HE EH     (4) Пусть размер оптически активного кристалла вдоль оси Oz много больше его размеров вдоль других координатных осей: , , zx zy dd dd   (5) где x d - размер кристалла вдоль оси ; Ox y d - размер кристалла вдоль оси ; Oy z d - размер кристалла вдоль оси . Oz При выполнении условий (5) можно считать, что / 0, z ∂∂≡ что соответствует отсутствию зависимости векторов поля от координаты . z Спроецируем уравнения Максвелла (4) на оси декартовой системы: 0 0 2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 , , , , , . z xz z y y x xz z xz z y y x xz E ik H k H y E ik H x E E k H ik H xy H ik E k E y H ik E x H H k E ik E xy ∂ = - µ - χ ∂ ∂ - = - µ ∂ ∂ ∂ - = χ - µ ∂∂ ∂ = ε + χ ∂ ∂ - = ε ∂ ∂ ∂ - = - χ + ε ∂∂ (6) Выражая из соотношений (6) x- и y- составляющие векторов поля оптической волны через продольные компоненты z E и , zH получаем: 2 , 0 0 1 , 0 0 , . z xz z y z xz z y iE H i H ky iEH kx iH E i E ky iHE kx ∂χ = + µ ∂ µ ∂ = - µ∂ ∂χ = - + ε ∂ ε ∂ = ε∂ (7) Подставляя соотношения (7) в третье и шестое уравнения системы (6), получаем следующие связанные дифференциальные уравнения второго порядка: 2 2 2 02 0 1 2 2 2 2 01 0 2 1 0, 0, zz z zz z H k H Ek y E k E Hk y ⊥ ⊥  ε ∇ + εµ- χ -  µ   ε∂ - χ + χ =  µ∂  µ  ∇ + εµ- χ +  ε  µ∂  + χ + χ =  ε∂  (8) где 22 2 22 xy⊥ ∂∂ ∇ = + ∂∂ - оператор Лапласа по поперечным координатам. Считая, что зависимость векторов поля оптической волны от координаты y имеет следующий вид: ( ) ( ) 0,, ky zz E y H y Ae εµ  (9) получаем следующие дифференциальные уравнения: 2 2 2 02 2 0 1 2 2 2 2 01 2 0 2 1 0, 0. zz z zz z H k H kE E k E kH ⊥ ⊥  ε ∇ + εµ- χ -  µ   ε - εµ χ + χ =  µ  µ  ∇ + εµ- χ -  ε  µ  - εµ χ + χ =  ε  (10) Соотношения (10) - связанные дифференциальные уравнения второго порядка оптически активного кристалла, рассматриваемого относительно продольных составляющих векторов поля световой волны. Аналогичные уравнения для искусственной киральной среды имеют вид [9]: ∇ + εµ+χ - µχ = ∇ + εµ+χ + εχ = (11) Заметим, что в формулах (11) χ - относительный параметр киральности для искусственной киральной среды. Сравнивая систему дифференциальных уравнений для оптически активной среды (10) и для искусственной киральной среды (11), можно сделать вывод о том, что они имеют полностью аналогичный вид. После установки сходств и различий уравнений (10) и (11) легко получить формулы связи между относительными параметрами киральности и оптической активности. Таким образом, доказано, что при выполнении условий перехода от параметра киральности к параметру оптической активности: 1 2 ,i i ε χ = χ µ µ χ = χ ε (12) материальные уравнения для оптически активной среды 1 1 2 2 0 0 0 , 0 0 00 0 i i i i ε - χ   = ε   χ ε   µ - χ   = µ   χ µ   DE BH   (13) являются полностью эквивалентными соотношениям для искусственной киральной среды: , . i i =ε - χ =µ + χ DEH BHE     (14) Для оптически активных кристаллов 2 0 χ= и 1,µ= следовательно, формула перехода принимает с учетом (14) следующий вид: 1 . i χχ=- ε (15) В итоге для перехода от решения задач с киральными метаматериалами СВЧ к решению задач с кристаллами необходимо в конечных соотношениях заменить (15) и применить новые дисперсионные зависимости материальных параметров ε и , 1χ справедливые для оптического диапазона. Отражающая планарная оптически активная среда Приведем пример, когда линейно поляризованная электромагнитная волна (ЭМВ) отражается от оптически активного планарного кристалла, геометрия которого представлена ниже. Из рисунка 1 можно выделить три области: 1 - диэлектрик, 2 - оптически активный кристалл и 3 - диэлектрик. Они обладают параметрами , 1ε 1 µ - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости первой области; 1 θ=θ - углы падения и отражения ЭМВ от границы раздела «диэлектрик 1 - оптически активный кристалл»; 2, ε 2, µ 2 ′χ - относительные диэлектрическая, магнитная проницаемость и параметр оптической активности области 2; 2, Rθ 2 Lθ - углы преломления волн ПКП и ЛКП в область 2; 3, ε 3 µ - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости третьей области; 3 θ - угол прохождения ЭМВ из оптически активного кристалла в область 3; , eer eh r - коэффициенты отражения для основной и кросс-поляризованной компоненты электромагнитного поля (ЭМП) в области 1; ( ) 2 ,RT - ( ) 2LT - - коэффициенты прохождения для волн ПКП и ЛКП; ( ) 2 ,RT + ( ) 2LT + - коэффициенты отражения от границы раздела «оптически активный кристалл - область3» для волн ПКП и ЛКП; , eet eht - коэффициенты прохождения для основной и кросс-поляризованной компоненты ЭМП в области 3. В оптически активном кристалле электромагнитное поле представляется в виде суперпозиции четырех волн с круговыми поляризациями - двух прошедших в оптически активный кристалл из диэлектрика (области 1) с коэффициентами прохождения ( ) RT - и ( ) LT - и двух отраженных от границы раздела «оптически активный кристалл - область 3» обратно в область 2 с коэффициентами ( ) RT + и ( ). + LT Индексы «R» относятся к волнам ПКП, индексы «L» - к волнам ЛКП. Для определения продольных составляющих векторов ЭМП в оптически активном кристалле воспользуемся известными соотношениями [9] E T e T e T e T e i H T e T e T e T e -- + -- + -- + -- + = + + ++  = + + η  ++  (16) где ( ) { } , , , sin , cosRL R L R Ls - = θ - θ - единичные векторы, вдоль которых распространяются преломленные волны; ( ) , RLs + ={ } ,,sin ,cos R L R L θθ - единичные векторы, вдоль которых распространяются прошедшие волны; ,RL θ - углы преломления волн ПКП и ЛКП соответственно; ( ) 2 η= 2 1 ε - импеданс (характеристическое сопротивление) оптически активного кристалла; ,RL k = 2 02 k n i ′χ   ε   - постоянные распространения нормальных волн ПКП и ЛКП в оптически активном кристалле; 22n = ε - относительный показатель преломления области 2. Распишем выражения для продольных составляющих в более подробном виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos ; . R R R R R R L L L L L L R R R R R R L L L L L L z ik x y R ik x y R ik x y L ik x y L z ik x y R ik x y R ik x y L ik x y L E Te Te Te Te H i T e Te Te Te - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ = = + ++ ++ + = = ε+ +- -- - (17) Выражения для составляющих ЭМП ( ) 2 xE и ( ) 2 xH в оптически активном кристалле имеют вид: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 02 2 22 2 2 2 22 02 2 1 ; 1 . zz x zz x EH E i i yy k EH H i i yy k  ′ χ ∂ ∂ = - - +  ∂∂ ′  εχ  ε+  ε   ′ ∂ χ ∂ =- - ε - ∂∂ ′  εχ  ε+  ε  Подставляя выражения (17) в соотношения (18), получаем: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos cos cos ; RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L E i T e Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = θ-   --   -θ -  -  ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos cos cos . RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L H Te Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = ε θ - +   +-   -θ -  -  (19) Для определения углов преломления волн ПКП и ЛКП ,RL θ воспользуемся законами Снеллиуса [9]: , 3 ,3 sin ; sin RL RL k k θ = θ 2 2 2 3, 3 sin sin . RL i n ′χ ε ε θ = θ  Таким образом, выражения для составляющих электромагнитного поля в оптически активном кристалле имеют вид: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos ; R R R R R R L L L L L L ik x y zR ik x y R ik x y L ik x y L E T e Te Te Te - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ = + ++ ++ + ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos ; R R R R R R L L L L L L ik x y zR ik x y R ik x y L ik x y L H i T e Te Te Te - - θ - θ + θ + θ - - θ - θ + θ + θ = ε+ +- -- - ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos sin cos sin cos sin cos cos cos ; RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L E i T e Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = θ-   --   -θ -  -  ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 sin cos 2 sin cos sin cos sin cos cos cos , RR RR LL LL xy x RR xy R xy LL xy L H Te Te Te Te - θ - θ + θ - θ - θ - θ + θ - θ  = ε θ - +   +-   -θ -  -  (20) где 1 2 2 2 sin sin ; n i = θ ′ χ ε ε  2 21 , 2 2 2 cos 1 sin . RL n i θ=- θ  ′χ ε   ε   В результате при использовании граничных условий получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов отражения и прохождения для оптически активной среды:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 cos 0 , 0 0 0 0 ee eh R R L L ee eh r r T T A T T t t + - + -   -   θ  η  =        (21) 11 17 18 22 27 28 32 37 38 41 47 48 51 52 57 61 62 68 71 72 78 81 82 87 0; AAAAAAA AAAAAA AAAAAA AAAAA = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 21 42 23 24 25 26 1; 1; A A A A A A = = = = = = - ( ) 1 12 13 14 cos ; ; RA A A iC =η θ = - = ( ) 15 16 31 1 cos ;;LA A iC A θ = - = - = η ( ) ( ) 33 34 35 3622 ;; RL CC A A A A = - = - = - = - ηη ( ) ( ) 43 44 45 4622 ;; ii A A A A = = - = = ηη ( ) ( ) 53 54;; RR RR ik h ik h RR A iC e A iC e β -β= -= ( ) ( ) 55 56;; LL LL ik h ik h LL A iC e A iC e β -β= = - ( ) ( ) ( ) 333 57 3 63 cos ; ; RRik h ik h A e A e -β β= -η θ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 33 64 65 66 67 73 2 74 75 22 3 76 77 23 ; ; ; ;; ;; cos ;; RR LL LL RR RR LL LL ik h ik h ik h ik hik R ik h ik h RL ik h ik hL A e A e A e C A e A e CC A e A e C A e A e -β β -β β-β -β β -β -β = = = = - = η = -= ηη θ = -= ηη ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 83 84 22 85 86 22 ;; ;; RR RR LL LL ik h ik h ik h ik h ii A e A e ii A e A e β -β β -β = = ηη = -= - ηη ( ) 33 88 , ik h Ae -β= где 1 , 2 2 2 2 1 3 3 sin sin ; cos 1 sin ; RL n i n n θ=θ ′ χ ε ε  θ = - θ    2 1 ,, 2 2 2 sincos 1 ; R L R L nC i θ = θ = -  ′χ ε   ε   ( ) ( ) 2 1 1 1 2 22 1 ;; cos ; . ii n h h n η = = εµ ε β = θ = ε Система (21) определяет требуемое решение задачи и из нее определяются коэффициенты отражения и прохождения. Дисперсионный анализ оптически активной среды При проведении дисперсионного анализа важно принимать во внимание дисперсию вещественных параметров оптически активной среды, а именно зависимость ( ) εω и ( ). χω Для модели оптически активной среды дисперсия диэлектрической проницаемости определяется следующим законом: ( ) 2 0 22 0 1, β ε ω = + Ω -ω (22) где 0 β - удельное вращение; 0 Ω - резонансная частота поглощения кристалла. Заметим, что параметр оптической активности также зависит от частоты: ( ). χ=χ ω В научной литературе [10] указывается, что для оптически активной среды частотная зависимость параметра оптической активности определяется следующим образом: ( ) ( ) 2 0 0 22 0 ,A c βω χω= Ω -ω (23) где 0 A - расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке, c - скорость света. Резонансные частоты 0 Ω и удельное вращение 0 β для различных кристаллов разные. Формулы для частотных зависимостей постоянных распространения волн ПКП и ЛКП в безграничной оптически активной среде имеют вид: ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 22 00 00 22 22 0 0 1. RL kk kA c  ω = ε ω ±χ ω =   β β ω +±  Ω -ω Ω -ω   (24) Оценка полученных результатов Для решения поставленной задачи в первую очередь необходимо определить корреляцию между , eer ee t основной компоненты световой волны и , λ . θ При решении задачи будем считать, что на рассматриваемую структуру падает плоская электромагнитная волна перпендикулярной поляризации под углом 0 θ= и области 1 и 3 представляют собой вакуум, то есть обладают параметрами 1,3 1,3 1. ε =µ = При численном расчете отражательных характеристик оптически активных кристаллов были использованы значения параметров, приведенные в таблице. Прослойка оптически активного кристалла в каждом примере составляет 1 и 1,5 мм. Таблица. Параметры оптически активных кристаллов № Название, формула Показатель преломления Параметр оптической активности 1 SrS4O6 (дитионат стронция) 2,34 3 3,4 10- ⋅ 2 CaS4O6 (дитионат кальция) 2,17 3 2,27 10- ⋅ 3 CaCO3 (исландский шпат) 1,65 2 1,4 10- ⋅ На рисунке 2 приведены зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат стронция. На рисунке 2, а прослойка оптически активного кристалла - 1 мм (аналогич мм (аналогичмм (аналогично для рисунков 3, а и 4, а), на рисунке 2, б - 1,5 мм (аналогично для рисунков 3, б и 4, б). Рисунок 2. Зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля от длины волны при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат стронция Рисунок 3. Зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля от длины волны при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат кальция На рисунке 3 представлены зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на дитионат кальция. На рисунке 4 приведены зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на исландский шпат. Расчеты во всех трех представленных выше случаях были проведены на следующих длинах волн: от 0,3 до 1,8 мкм. Рисунок 4. Зависимости квадратов модулей коэффициентов отражения и прохождения основной компоненты поля от длины волны при нормальном падении волны с перпендикулярной поляризацией на исландский шпат Выводы 1. В оптически активных кристаллах на некоторых частотах имеется возможность преобразовать нормально падающее оптическое излучение в азимутальное рассеяние. Этим свойством обладают как искусственные метаматериалы СВЧ, так и естественные кристаллы в оптическом диапазоне. 2. Проведя оценку полученных результатов, можно говорить о том, что исландский шпат будет характеризоваться оптимальными концентрирующими параметрами и максимальным значением аргумента оптической активности, что обусловлено прямой пропорцией удельного вращения кирального активного кристалла к уровню бокового рассеяния. 3. Ввиду того что параметр оптической активности в 100 раз меньше относительной характеристики киральности метаматериала, в СВЧдиапазоне показатель изменения нормально падающего оптического излучения в поверхностное рассеяние метаматериала разительно отличается в меньшую сторону от аналогичной характеристики искусственного метаматериала.

Об авторах

О. В Осипов

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Самара, Российская Федерацмя

О. Ю Губарева

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Самара, Российская Федерацмя

Е. В Маврицкий

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Самара, Российская Федерацмя

О. В Шабан

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Самара, Российская Федерацмя

Список литературы

Дополнительные файлы